24.2.3切线的判定和性质导学案
24.2.3圆的切线的判定和性质导学案
《24.2.3圆的切线的判定和性质》导学案班级： 姓名： 主备人：张文斌 审核人： 审阅人：教师寄语：悟性的高低取决于有无悟“心”,其实,人与人的差别 就在于你是否 去思考,去发现，去总结。
学习目标：（1）掌握切线的判定定理；切线的性质定理.（2）熟练应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，熟练掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法.（3）培养自己观察、探索、分析、总结、推理论证等能力.学习重（难）点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目。
学习过程：一、复习引入、辞旧迎新1.直线和圆有哪些位置关系？2.什么叫直线与圆相切？如何识别?二、自学指导（请同学们阅读P 95---P 96按照学习目标和下列提示完成任务。
） 自学探究（一）想一想： 过圆0内一点作直线，这条直线与圆有怎样的位置关系？过半径OA 上一点（A 除外）能作圆O 的切线吗？过点A 呢？切线的判定定理：几何符号表达：自学探究（二）如图,如果直线I 是⊙O 的切线,A 是切点,那么半径OA 与L 垂直吗?为什么?切线的性质定理：几何符号表达：判 断（比谁快）1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）A利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:想一想：判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?三：示范引领例1、（教材95页例1）已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。
证明：oA BC例2、已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
方法小结：（例1与例2的证法有何不同?）四：课堂巩固（看谁聪明）练习1.如图，△AOB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝120°，以O 为圆心， 5为半径的⊙O 与OA 、OB 相交。
《24.2.2 第3课时 切线长定理》教案、导学案、同步练习
《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
切线的判定和性质(教案、教学反思、导学案)
第2课时切线的判定和性质【知识与技能】能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题.【过程与方法】经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯.【情感态度】体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性.【教学重点】切线的判定定理及性质定理的探究和运用.【教学难点】切线的判定定理和性质的应用.一、情境导入，初步认识情境 1 下雨天，小孩子总喜欢转动雨伞，你发现雨伞的水珠顺着伞面的边缘飞出，水珠是顺着什么方向飞出的？情境2 用机器打磨铁制零件时，铁屑是沿什么方向飞出的？情境3用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球会顺着什么方向飞出吗？【教学说明】通过观察生活中的实例，使学生初步感知直线与圆相切的情景，深化学生思想中的数学模型.二、思考探究，获取新知1.切线的判定定理思考1 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？分析：∵直线l⊥OA，而点A是⊙O的半径OA的外端点.∴直线l与⊙O只有一个交点，并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA，即是⊙O的半径.∴直线l与⊙O相切.【归纳总结】切线的判定定理：经过半径的外端（点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【教学说明】结合切线的定义以及“如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆相切”，引导学生得出结论.在切线的判定定理中，“经过外端”和“垂直于半径”两者缺一不可.试一试（1）已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？（只能作一条直线）（2）下图中的直线是圆的切线吗？（都不是圆的切线）2.切线的性质定理思考2 已知直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？为什么？（学生讨论，由学生代表回答）教师点评：由于l是⊙O的切线，点A为切点，∴圆心O到l的距离等于半径，所以OA就是圆心O到直线l的距离.∴OA⊥直线l.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A.∴OA⊥直线l.【教学说明】这个问题在引导学生分析时，直接证明比较困难，我们可以运用反证法.假设OA与l不垂直，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，直线l与⊙O就相交了，而这与直线l与⊙O相切矛盾.因此，OA垂直于直线l.三、典例精析，掌握新知例1 教材98页例1.（要证明一条直线是圆的切线，必须符合两个条件，即“经过半径外端”和“垂直于这条半径”.引导学生分析.例2 （1）如图（1），AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点，∠PAB=30°，求∠AOB.（2）如图（2），AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点C，连接CA、CB，AB=12，∠ACD=30°，求AC的长.解：（1）∵△OAB为等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA.又∵PA是⊙O的切线，∴由切线的性质可知：PA⊥OA，∴∠OAP=90°，∴∠OAB=∠OAP-∠BAP=90°-30°=60°，∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×60°=60°.（2）连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，而∠ACD=30°，.∴∠OCA=60°，∴△OAC是等边三角形，AC=OA=r=1/2×AB=1/2×12=6.【教学说明】例1是对切线的判定定理的应用，要使学生掌握用这个定理来证明切线的关键（紧扣两点）.例2是利用切线的性质解题.在解决与圆有关的切线的问题时，常见辅助线有：（1）已知直线是圆的切线时，通常连接过切点的半径，则这条半径垂直于切线.（2）要证明一条直线是圆的切线：①若直线过圆上某一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证这条半径与直线垂直.即：已知公共点，连半径证垂直.②若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的半径长.即：未知公共点，作垂线证半径.这种题型后面会给出练习.四、运用新知，深化理解1.完成教材第98页练习1、2.2.如图，已知PA是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E，求证：AC是⊙O的切线.【教学说明】教材上的练习1、2由学生自主完成，加深对切线的判定及性质的理解掌握；第2题是对切线的性质与判定的综合应用，教师可先让学生独立思考，再加以提示.最后，师生共同完成解题.【答案】1.（1）∵AT=AB，∴∠B=∠T=45°，∴∠A=180°-∠B-∠T=90°.又∵AB是⊙O的直径，∴AT是⊙O的切线.（2）l1∥l2，理由如下：∵AB是⊙O的直径，且l1、l2是⊙O的切线，∴l1⊥AB，l2⊥AB，∴l1∥l2.2.过O点作OF⊥AC于点F，连接OE.则OE⊥AE.∴∠OEA=∠OFA=90°，又∵PA是∠BAC的平分线，∴∠OAE=∠OAF，∵AO=AO，∴△OAF≌△OAE，∴OF=OE.又∵OE是半径，∴OF也为半径长.∴AC是⊙O的切线.五、师生互动，课堂小结1.让学生回顾本堂课的两个知识点.2.试着让学生自己总结切线的证明方法，然后相互交流.【教学说明】在这一环节，教师要尽可能地让学生自主总结与交流，然后适当地予以点评和补充.1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.24.2.2直线和圆的位置关系第2课时切线的判定与性质一、新课导入1.导入课题:情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的?这节课，我们学习切线的判定和性质.（板书课题）2.学习目标:（1）能推导切线的判定定理和性质定理.（2）能初步运用切线的判定定理和性质定理解决简单的几何问题.3.学习重、难点：重点：切线的判定定理与性质定理.难点：切线的判定与性质的初步运用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第97页的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：阅读思考，动手操作，归纳猜想.（4）自学提纲：①如图，OA是⊙O的半径，过A点作直线l⊥OA，那么直线l与⊙O有什么位置关系？a.直线l满足的条件是经过A点且垂直于OA .b.直线l和⊙O的位置关系是相切，为什么？②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .③已知一个圆和圆上一点，如何过这个点画圆的切线？试试看.④请总结一下判定切线共有哪几种方法？a.圆心到直线的距离等于半径，这条直线和圆相切.b.切线的判定定理.2.自学：学生参照自学提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生对判定定理的理解和运用（特别是提纲第④题）.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、改正结论.4.强化：（1）切线的判定定理:①经过半径的外端；②垂直于这条半径.两个条件缺一不可.（2）常见的辅助线作法及证法：①直线与圆的公共点已知(切点已知)，连接这个点和圆心，证直线与连线垂直即可.②直线与圆的公共点未知(切点未知)，过圆心作直线的垂线段，证“垂线段=半径”即可.（3）练习：如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝AT，∠TBA＝45°，直线AT是⊙O的切线吗？为什么？解：是.理由：∵AB=AT,又AT过点A,∴∠T=∠B=45°.∴∠A=180°-45°-45°=90°.又AT过点A，∴AT是⊙O的切线.1.自学指导：（1）自学内容：教材第98页“练习”之前的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：阅读、思考、归纳.（4）自学提纲：①如图，OA是⊙O的半径，直线l与⊙O相切于点A，那么直线l与半径OA有什么位置关系？l⊥OA.②切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.此定理的题设是l是⊙O的切线，l过A点，结论是l⊥OA.用反证法证明该定理时，应假设圆的切线不垂直于过切点的半径.③切线共有哪些性质？a.切线与圆只有一个公共点.b.圆心到切线的距离等于半径.c.圆的切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）.d.经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过切点.e.经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心.④如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线.证明：连接OD，OA，过O作OE⊥AC，则OD⊥AB,∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，则OA是∠BAC的平分线.∴OD=OE.又OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线.2.自学：学生参照自学提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生自学参考提纲的完成情况.②差异指导：定理的证明可进行集体指导(不做重点要求).（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正结论.4.强化：（1）①与圆有唯一公共点切线的性质②到圆心的距离等于圆的半径③垂直于过切点的半径..⎧⎪⎨⎪⎩.（2）如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点.求证：l1∥l2.证明：∵l1，l2是⊙O的切线.∴OA⊥l1,OB⊥l2.又O，A，B三点共线，∴l1∥l2.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、学习的积极性、学习的方法、效果等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)下列说法正确的是（B）A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.(10分)如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（C）A.24°B.25°C.28°D.30°3.(10分)如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的半径为8cm，AB=10cm，则OA的长为89cm.4.(20分)如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.证明：连接OP.∵AB切⊙O于点P，∴OP⊥AB.∴AP=BP（垂径定理）.5.(20分)如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD.求证:AC是⊙O的切线.证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠B=∠CAD.∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°.∵AC过点A,∴AC是⊙O的切线.二、综合应用（20分）6.(20分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE 是⊙O的切线，交AC的延长线于点E.求证：DE⊥AC.证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠EAD=∠DAO.又∵OA=OD.∴∠DAO=∠ODA.∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AC.又∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°.∴∠E=90°.即DE⊥AC.三、拓展延伸（10分）7.(10分)如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理.解：因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行.则连接两切点之间的线段就是圆的直径，利用图中刻度尺就可以测量出图形工件的直径.。
人教版九年级数学上册24.2.3《切线的判定和性质》教学设计
人教版九年级数学上册24.2.3《切线的判定和性质》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册24.2.3《切线的判定和性质》这一节主要介绍了直线与圆的位置关系，特别是圆的切线。
学生将学习如何判定一条直线是否为圆的切线，以及切线与圆的性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握切线的相关知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本几何图形有一定的了解。
但是，对于切线的判定和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，逐步引导他们理解和掌握切线的判定和性质。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解切线的定义，学会判定一条直线是否为圆的切线，掌握切线的性质。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等数学活动，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：切线的定义，判定一条直线是否为圆的切线，切线的性质。
2.难点：理解并掌握切线的判定定理，以及如何运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生观察、分析和推理，让学生在实际情境中理解切线的定义和性质。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考，激发学生的求知欲，培养学生解决问题的能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，鼓励学生互相交流、分享，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示切线的定义、判定和性质。
2.练习题：准备一些有关切线的练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。
3.教学道具：准备一些圆形模型和直线模型，以便在课堂上进行直观展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的圆形物体，如篮球、乒乓球等，引导学生观察这些圆形物体上的切线。
然后提出问题：“你们认为，什么是切线？切线有哪些特点？”2.呈现（10分钟）介绍切线的定义，通过动画演示切线的形成过程，让学生直观地理解切线的定义。
九年级数学： 24.2.3《切线的判定》导学案
八级下册数学科导学案主备人：审核组长：集体备课备注课题人教版数学八年级下册24.2.3 《切线的判定》课型新课导学案一、学习目标：1. 了解切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系2. 能判定一条直线是否为圆的切线（重、难点）3. 会过圆上一点画圆的切线二、学习重难点：1、探索切线的判定定理和性质定理，并运用.2、探索切线的判定方法三、预习感知1.经过并且的直线是圆的切线.2.切线的性质有：①切线和圆只有公共点；②切线和圆心的距离等于；③圆的切线过切点的半径.3.当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接和，得到半径，那么半径切线.四、合作探究活动一：探索直线与圆相切的另一个判定方法如图，⊙O中，直线l经过半径OA的外端，点A作且直线l⊥OA，你能判断直线l与⊙O的位置关系吗？你能说明理由吗？结论：__________________________________________。
（总结判断直线与圆相切的方法）活动二：思考探索；如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？活动三：例题分析例1：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
例2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数。
变式：已知：⊿ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。
（1）如图①AB是直线，要使EF是⊙O的切线，还要添加的条件是或或；（2）如图②，AB为非直径的弦∠CAE=∠B，求证: EF是⊙O的切线。
五、检查反馈：1、如图AB为⊙O的弦，BD切⊙O于点B，OD⊥OA，与AB相交于点C，求证：BD＝CD。
2、如图①，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点D。
图中互余的角有（）A 1对B 2对C 3对D 4对3、如图②，PA切⊙O于点A，弦AB⊥OP，弦垂足为M，AB=4,OM=1,则PA的长为（）A25B 5C 52 D 544、已知：如图③，直⊙O线BC切于点C，PD是⊙O的直径∠A=28°,∠B=26°,∠PDC=5、如图，AB是⊙O的直径，MN切⊙O于点C，且∠BCM=38°，求∠ABC的度数。
24.2.2.3切线长定理优质课教案完美版
作课类别课题24.2.2.3切线长定理课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.了解切线长的概念．2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握并能应用．过程方法复习圆与直线的位置关系和切线的判定和性质定理，知识迁移到切长线的概念和切线长定理，根据三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，并应用解决相关问题.情感态度学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步演绎推理能力.能有条理地，清晰地写出推理过程.教学重点切线长定理及其运用教学难点切线长定理的推导和运用教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入这节课我们继续来研究切线.1.作△ABC的三条角平分线，有什么结论？2.回忆切线的判定定理和性质定理？二、探究新知（一）切线长定理1.操作探究：从上面的复习，可知，过⊙O上任一点A都可以作圆的一条切线，且只能作一条，根据下面提出的问题，操作、思考、并解决问题：在纸上画⊙O，并画出过圆上点A的切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用圆的轴对称性，思考图中的线段PA与线段PB，∠APO与∠BPO有什么数量关系？分析：对折之后，OB与OA重合，OA是半径，OB也是半径. B 为OB•的外端，根据对折后角的度数不变，所以PB是⊙O的又一条切线，且PA=PB，∠APO=∠BPO．我们把线段PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，•叫做这点到圆的切线长．从上面的操作及圆的对称性可得：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．2.几何证明．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．分析：据所要证明的结论在图中分布的位置特点和已知条件，易得只要证明两个对应的三角形全等即可.得到老师在黑板上作出△ABC的三条角平分线，生口述其性质：①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．学生独立按要求画图，操作，思考、并尝试解决问题，之后学生分组讨论，老师请3～4位同学回答这个问题，师生达成共识.学生理解点到圆的切线长概念，初步感知圆的切线长定理.学生观察图形，思考证明思路，书写规范的证明步骤，教师及时点拨，肯定.学生亲自动手作图，复习旧知识，为探究本节课知识做准备学生通过画图，折叠，观察获得结论，初步感知定理使学生结合图形理解概念学生运用全等知识进行几何推理证明，体会数学结论的严谨性，培养学生BA CE DOF切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． （二）三角形的内切圆如图，三角形的三条角平分线交于一点，设交点为I ，那么I 到AB 、AC 、BC 的距离相等，因此以点I 为圆心，点I 到BC 的距离ID 为半径作圆，则⊙I 与△ABC 的三条边都相切．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． （三）应用1.如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，CD=1，AE=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．分析：可知OD 、OE 、OE 分别垂直于BC 、AC 、AB ，由于面积是已知的，•因此转化为面积法来求．连结AO 、BO 、CO ，就可把三角形ABC 分为三块，•问题迎刃而解．2.如图，⊙O 的直径AB=12cm ，AM 、BN 是切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，•交BN 于C ，设AD=x ，BC=y ．（1）求y 与x 的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若x 、y 是方程2t 2-30t+m=0的两根，求x ，y 的值． （3）求△COD 的面积．分析：（1）要求y 与x 的函数关系，就是求BC 与AD 的关系，根据切线长定理：DE=AD=x ，CE=CB=y ，即DC=x+y ，又因为AB=12，所以只要作DF ⊥BC 于 F ，根据勾股定理，便可求得．（2）∵x ，y 是2t 2-30t+m=0的两根，那么x 1+x 2=230=15，x 1x 2=2m ，结合（1）的结论便可求得x 、y 的值． 三、课堂训练 完成课本98页练习 四、小结归纳1．圆的切线长概念和定理； 2．三角形的内切圆及内心的概念 五、作业设计作业：复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做.教师引导学生将“三角形的三条角平分线交于一点，这点与三边距离相等”和“圆心与圆上各点距离都等于半径”结合，理解三角形的内切圆的概念. 学生审题，思考利用切线长定理求出三角形三边的长度，从题中条件“ABC 的面积为6”出发，作辅助线，再以面积为等量关系，建立以r 为未知数的方程. 理清题意，观察图形，结合题中条件思考解题思路，综合运用勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系和切线长定理.教师组织学生进行练习，教师巡回检查，师生交流评价，教师指导学生写出解答过程，进行题后反思.让学生尝试归纳，总结，，反思，教师点评汇总应用数学的意识和能力 从旧知识出发，呼应引课问题，自然引出三角形的内切圆概念，便于学生理解 使初步运用切线长定理，根据题中关键条件，考虑所求，灵活运用面积法得出解题方法，从而解决问题.培养学生综合解题能力，能从条件和结论出发，分析解题思路，化未知为已知，体会转化思想. 运用本节知识，形成做题技巧，培养学生的应用意识和能力归纳提升，加强反思，使学生对知识的掌握系统化 巩固深化提高板 书 设 计。
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》教学设计
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解和掌握切线的判定方法、性质定理以及切线长定理。
本节内容是在学习了函数图像、直线与圆的位置关系等知识的基础上进行学习的，为后续学习解析几何和高中数学打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数图像、直线与圆的位置关系等知识，具备了一定的几何直观能力和逻辑思维能力。
但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理的理解和应用还需要加强。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中发现切线，培养学生的几何直观能力，同时，通过实例讲解，使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。
三. 教学目标1.让学生了解和掌握切线的判定方法。
2.使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。
3.培养学生运用切线知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。
2.教学难点：切线性质定理和切线长定理的理解和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现和理解切线。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画演示和实例讲解，使学生直观地理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和探究中加深对切线知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和教学素材。
2.准备切线相关的实际问题，用于引导学生学习。
3.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如：如何判断一条直线是否为圆的切线？圆的切线有什么特殊的性质？引发学生对切线的兴趣，从而导入新课。
2.呈现（10分钟）讲解切线的判定方法，通过多媒体动画演示和实例讲解，让学生直观地理解和掌握切线的判定方法。
3.操练（10分钟）让学生通过练习一些切线的判定问题，加深对切线判定方法的理解和应用。
新人教版初中数学九年级上册24.2.3《切线的判定及性质》优质教学设计
科目：数学年级：九年级授课人：单元：第24单元课题：切线的判定及性质课时：第24.2.3课时教学目标：掌握直线和圆相切的情形。
重点难点：直线和圓位置关系的表达形式与点与圆的位置关系表达的清晰区别教学过程：回顾旧知，在直线和圆的位置关系的基础上引出相切的概念引出新知并理解熟练运用，最后勤加练习。
探究1：切线的判定定理请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA。
思考：（1）圆心O到直线l的距离是多少？直线l经过半径OA的外端点A,圆心O到直线l的距离是⊙O的半径；（2）二者位置有什么关系？直线l垂直于半径0A．则:直线l与⊙O相切（3）由此你发现了什么？这样我们就得到了从“位置”的角度，发现了切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。
对定理的理解：切线必须同时满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．定理的数学语言表达：∵ OA是半径， l ⊥OA于A∴ l是⊙O的切线探究二：切线的性质定理由探究一反过来，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l 是不是一定垂直呢？反证法证明：假设l与OA不垂直,作OM⊥l于M因“垂线段最短”,故OA>OM即圆心到直线的距离小于半径.这与“直线l是圆O的切线”矛盾.故直线l与圆O一定垂直.切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径符号语言：∵ l是⊙O的切线，切点为A∴ l ⊥OA理解：切线的性质定理因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到：例题：例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。
∵ OA＝OB,CA＝CB,∴ AB⊥OC(三线合一)∵ OC是⊙O的半径∴ AB是⊙O的切线。
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《24.2.3圆的切线的判定和性质》导学案课题：《24.2.3圆的切线的判定和性质》
学习目标：（1）掌握切线的判定定理；切线的性质定理.
（2）熟练应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，熟
练掌握
圆的切线证明问题中辅助线的添加方法.
（3）培养自己观察、探索、分析、总结、推理论证等能力.
学习重（难）点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目。
学习流程：
一、复习引入、辞旧迎新
1.直线和圆有哪些位置关系？
2.什么叫直线与圆相切？如何识别?
二、自主学习
（请同学们阅读P95---P96按照学习目标和下列提示完成任务。
）
自学探究
想一想：过圆0内一点作直线，这条直线与圆有怎样的位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
切线的判定定理：
几何符号表达：
三．合作探究
如图,如果直线I是⊙O的切线,A是切点,那么半径OA与L垂直吗?为什么?
切线的性质定理：
几何符号表达：
判断（比谁快）
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（）
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:
想一想：判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
四：成果展示
例1、（教材95页例1）已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明 AB⊥OC即可。
证明：
o
A B
C
五．精讲释疑已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
方法小结：（例1与例2的证法有何不同?）
六．巩固练习（看谁聪明）
练习1.如图，△AOB中，OA＝OB＝10，
∠AOB＝120°，以O为圆心，
5为半径的⊙O与OA、OB相交。
求证：AB是⊙O的切线。
练习2如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交
边BC于P， PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。
练习3如图AB是⊙O的直径.AE是弦, EF是⊙O的切
线,E是切点,AF⊥EF,
垂足为F,AE平分∠FAB吗?
练习 4如图CB是⊙O的切线,C是切点,OB交⊙O于D, ∠B＝30°,BD=6cm,求BC
O
D 七．课堂小结
八．达标检测（比比谁棒）
1.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直
线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
2.如图所示,两个同心圆的圆心O,大圆的弦AB是小圆的切线,切点为
C.
求证:C是AB
C B A
O。