奇妙的裴波那契数列和黄金分割
费波纳奇数列
费波纳奇数列费波纳奇数列费波纳奇数列（Fibonacci Number Series）该数列由十三世纪意大利数学家费波纳奇（Leonardo Fibonacci）发现。
数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数、奇异数。
具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……数列的公式：A0=A1=1；An=An-1+An-2 （n=2，3，4，……）用语言来表达的话，就是：从数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和。
与费波纳奇数列有关的数字现象很多：两个连续的费波纳奇数字没有公约数；数列中任何10个数之和，均可被11整除；……。
无论是从宏观的宇宙空间到微观的分子原子，从时间到空间，从大自然到人类社会，政治、经济、军事……等等，人们都能找到费波纳奇数的踪迹。
在期货市场、股票市场的分析中，费波纳奇数字频频出现。
例如在波浪理论中，一段牛市上升行情可以用1个上升浪来表示，也可以用5个低一个层次的小浪来表示，还可继续细分为21个或89个小浪；而一段熊市行情可以用1个下降浪来表示，也可以用3个低一个层次的小浪来表示，还可以继续细分为13个或55个小浪；而一个完整的牛熊市场循环，可以用一上一下2个浪来表示，也可以用8个低一个层次的8浪来表示，还可以继续细分为34个或144个小浪。
以上这些数字均是费波纳奇数列中的数字。
人们在谈到市场的回调、延伸时，常用到0.618，0.328，0.236和1.618，2.382，4.236等数字，这些数字均可出自费波纳奇数中数与数之比例，被称之为费波纳奇比列。
如，相邻两个费波纳奇数之比趋向于0.618或1.618，间隔一个的两个相邻费波纳奇数之比趋向于0.382或2.618；间隔两个的相邻费波纳奇数之比趋向于0.236或4.236。
带你了解数学中的奇妙规律
带你了解数学中的奇妙规律数学中有许多令人惊叹的奇妙规律，这些规律揭示了世界的秩序和美妙。
本文将带你一起探索数学中的奇妙规律，让我们一同进入这个神奇的领域。
1. 斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列是一个无限序列，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
这个数列具有惊人的特性，例如：当你把相邻两个数相除，会逐渐接近一个固定的比例——黄金分割。
黄金分割比例约为1.618。
2. 费马大定理费马大定理由法国数学家费马提出，它声称：对于任何大于2的整数n，方程x^n + y^n = z^n没有整数解。
这个定理迷惑了数学家长达几个世纪，直到1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
3. 素数之谜素数是仅能被1和它本身整除的正整数，它们分布得相当随机。
尽管如此，研究者们发现了一些规律，比如素数的最密集区域往往在数字线上的某些位置。
这种奇妙的规律尚未完全解开，仍然是数学界的谜题。
4. 黑洞数黑洞数是一个奇特的数字，它具有许多有趣的性质。
以任意顺序排列一个数字的各个数字，然后按降序和升序重新排列，然后用升序减去降序，得到的结果仍然是这个数本身。
例如，495是一个黑洞数：954-459=495。
5. 无穷的奇妙小数有些数字的小数部分是无限循环的，如1/3=0.3333…，但有一些数字的小数部分是无限不循环的。
这些无理数，如π和e，具有无穷不循环的小数部分，它们让数学世界充满了神秘与奇妙。
6. 矩阵的幂矩阵是数学中一种重要的工具，它们具有奇特的特性。
当一个矩阵乘以它自己时，我们得到矩阵的幂。
这些幂具有许多有趣的性质，它们可以描述复杂的变换和关系，被广泛应用于物理学、计算机科学等领域。
数学中的这些奇妙规律只是冰山一角，数学的世界充满了无限的奇迹等待我们去发现。
希望这篇文章带给你对数学的新认识和启发，让你更深入地了解数学的美妙与奇迹。
数学奇趣世界
数学奇趣世界数学是一门神奇而且充满乐趣的学科，它存在于我们生活的方方面面。
无论是自然界中的规律，还是人类社会的现象，都可以通过数学来进行解析和理解。
接下来，让我们一起进入数学的奇趣世界，探索数学之美吧！一、斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列是一个神奇的数列，它的特点是每个数都是前两个数的和。
从1和1开始，依次为1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...这个数列出现在自然界和艺术领域的许多地方，如植物的树叶排列、海螺壳的螺旋形态等。
有趣的是，相邻两个数的比值越来越接近一个特定的数值——黄金分割比例。
黄金分割是一种神秘而又美妙的比例关系，可以用一个数字表示：1.618。
很多古代建筑和艺术作品都运用了黄金分割比例，使得其具有更加和谐美观的外观。
数学中的黄金分割关系为我们揭示了人们对美的追求和自然界的奥秘。
二、无穷小与极限在微积分中，无穷小是一个神奇的概念，它代表了趋于零的量。
人们通过使用无穷小概念和极限理论，成功地解决了很多数学难题。
例如，通过使用微积分的方法，我们可以计算曲线的斜率、计算物体的速度、解决曲线下的面积等问题。
无穷小的概念也存在于我们生活的方方面面。
当我们走路的时候，步伐可以看作是无数小步伐的叠加；当我们观察天空时，星星的数目也是无穷的。
无穷小的思维方式，让我们能够理解和描述周围世界中的各种现象，并深入探究它们背后的数学原理。
三、数学游戏与智力竞赛数学不仅仅是一门理论学科，它也可以带给我们很多乐趣和挑战。
数学游戏和智力竞赛是许多数学爱好者和专业数学家热衷的活动。
例如，数独是一种著名的数学游戏，通过填充数字来满足每行、每列和每个小九宫格中数字不重复的要求。
这个游戏既考验我们的逻辑思维能力，又锻炼我们的数学计算能力。
除了数独，还有许多其他有趣的数学游戏，如解谜游戏、解题竞赛等。
这些活动不仅能够让我们享受数学的乐趣，还能够培养我们的思维能力和解决问题的能力。
结语数学是一门奇妙而又有趣的学科，它存在于我们的生活中，贯穿于自然界和人类社会的方方面面。
斐波那契数列与黄金分割教学教材
就可画出此函数的大致的图象，从而近似地找 到所要求的极大值点。但这种做法劳民伤财， 并不可取。
优选法——华罗庚教授在二十世纪六、七十年 代大力提倡的方法（美国数学家KIEFER于1953年 首先提出 ）
在区间[0,1]上按一定的原则取两点A<B，比较F(A)及F(B)的大小。 若 F(A)>F(B),
1个花瓣的 马蹄莲， 2个花瓣的 虎刺梅， 3个花瓣的 延龄草， 5个花瓣的 飞燕草， 8个花瓣的 大波斯菊， 13个花瓣的 瓜叶菊
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
现在我们来找数列的通项
斐波那契数列满足
an an1 an2
我们将斐波那契数列分解为两个等比数列之和，
再将两个等比数列的第n 项相加得到斐波那契数列的通项公式
等比数列的通项公式 代入条件
an a1q n1
an an1 an2
得 解之得两个根
a1qn1 a1qn2 a1qn3
当然, 在涉及艺术、音乐等领域中， 各人的主 观感觉起着重要作用， 说一定要严格地符合 黄金分割的原则, 恐怕过于牵强附会， 能够符 合到“八九不离十”的地步, 就很不错了。 因 此, 我们说黄金分割无处不在。这是一个事实. 但也不能机械地、形而上学地去理解， 认为 连小数点后面第几位都应该完全符合， 这样 的“削足适履”反而会闹出笑话，也不利于 创造性的思维， 能大体符合黄金分割的原则， 就很足以使人赞叹了。
在一个区间上取两个点的原则应是：这两个点应关于区间的中点对 称配置，同时，其中的任何一个点应同时是缩小区间上的一个这样的 点。
探索数列的奇妙
探索数列的奇妙数列是数学中的一个重要概念，它是按照一定规律排列的一系列数字的集合。
数列研究的是数的排列规律、增减关系及性质等，而其中的奇妙之处在于，数列背后隐藏着许多有趣、神秘的数学现象。
本文将探索数列的奇妙之处，揭示其背后的数学奥秘。
一、斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列是数学中一种经典的数列，它的定义方法是前两个数是1和1，之后的每个数都是前两个数之和。
这样得到的数列为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……斐波那契数列的奇妙之处在于，相邻两个数之间的比值逐渐趋近于黄金分割比（φ），即1.6180339887……。
这个比值是一个无理数，具有无限不循环小数的特点。
而斐波那契数列中，随着数列的不断延伸，相邻两个数之间的比值越来越接近黄金分割比。
这种神秘而又美妙的关系，在建筑、艺术等领域得到广泛应用。
例如，很多古代建筑物的比例采用了黄金分割比，给人以协调、美感的感觉。
二、等差数列与算术平均数等差数列是一种常见的数列，它的每一项与它的前一项之间的差值都是恒定的。
例如，1, 3, 5, 7, 9, 11, 13……就是一个以2为公差的等差数列。
在等差数列中，任意连续项的平均数都等于数列的中间项。
这是因为等差数列中的每一对数都能够与中间项进行“配对”，使得它们的和等于中间项的两倍。
这个性质在实际生活中应用广泛，例如计算平均年龄、平均得分等，都需要用到等差数列的平均数性质。
另外，等差数列还有一个有趣的性质，就是它的求和公式。
对于一个以a为首项，d为公差的等差数列，其前n项和可以表示为：Sn =(2a + (n-1)d) * n / 2。
这个公式可以快速计算等差数列的和，节省了大量的时间和精力。
三、等比数列与几何平均数等比数列是一种常见的数列，它的每一项与它的前一项之间的比值都是恒定的。
例如，1, 2, 4, 8, 16, 32, 64……就是一个以2为公比的等比数列。
在等比数列中，任意连续项的平均数都等于它们的几何平均数。
斐波那契与黄金数
无论是在古代还是在现今，数学都是一个非常神奇的领域，尤其是其中的黄金数更是一个神奇的数字。
今天我们就一起来看一下其中的美妙。
斐波那契是中世纪数学家，他对欧洲的数学发展有着深远的影响。
他生于意大利的比萨，曾经游历过东方和阿拉伯的许多地方。
1202年，斐波那契出版了他的著作《算盘书》。
在这部名著中，他首先引入了阿拉伯数字，将十进制计数法介绍到欧洲。
在此书中他还提出了有趣的兔子问题。
假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。
每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...可以将结果以表格形式列出：看出规律了吗？从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。
一个数列，如果从第三项起，每一项都是前两项之和，那么我们就把这样的数列称为斐波那契数列。
生活中有很多这样的数据，比如生活中大家常见的扑克牌，大家都知道有四种花色。
扑克牌上的“梅花”并非梅花，甚至不是花，而是三叶草。
在西方历史上，三叶草是一种很有象征意义的植物，据说第一叶代表希望，第二叶代表信心，第三叶代表爱情，而如果你找到了四叶的三叶草，就会交上好运，找到了幸福。
在野外寻找四叶的三叶草，是西方儿童的一种游戏，不过很难找到，据估计，每一万株三叶草，才会出现一株四叶的突变型。
在中国，梅花有着类似的象征意义。
民间传说梅花五瓣代表着五福。
民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和。
斐波那契数列与黄金分割
分形几何学将成为许多物理现象的有力工具。
1974年，就职于IBM托马斯·沃森研究中心的Mandelbrot萌生出一种新的 几何测量思想，用这个思想描述股票价格波动，结果显示整个市场从它的
10.门格尔海绵(Menger sponge)
分形的定义
Kenneth Falconer的定义（描述性）
分形的原意是不规则的、分数的、支离破碎的，它是一种具有自 相似性的图形、现象或物理过程等。
• 它具有精细的结构，即在任意小的尺度下，它可以有更小 的细节；
• 它是如此的不规则，无论从局部还是整体看，它都无法用 微积分或传统的几何语言来描述;
4.柯赫曲线(Koch curve)
5.柯赫雪花(Koch snowflake)
6.明可夫斯基香肠(Minkowski sausage)
7.皮亚诺曲线(Peano curve)
8.谢尔宾斯基三角垫(Sierpinski triangle gasket)
9.谢尔宾斯基方毯(Sierpinski carpet)
最大尺度到最小尺度是自相似的，这就是分形的雏形。后来，Mandelbrot 转向研究数据传输的噪声问题，他用自己萌发的几何学思路提出了一个模
型，该模型不用天文学数据，仅通过数学图形就显示出天体物理家证实的
宇宙星系分布。
Mandelbrot所做的描述，正是以19世纪数学家Cantor命名的抽象构造-Cantor集。这种高度抽象的描述对试图控制误差是有意义的。分析表明， 不应靠加强信号来淹没噪声，而应采用适当的信号。他认为“自相似绝不
• 它本身的结构通常在大小尺度上有某种自相似的性质； • 它的分形维数大于它的拓扑维数； • 在多数情况下，它可以由迭代方法产生； • 它通常具有“自然”的外貌。
斐波那契数列黄金比例
斐波那契数列黄金比例斐波那契数列黄金比例是数学界里非常著名的一种比例，它被认为是数学最经典的比例之一。
它被赋予了神话般的意义，也被认为是宇宙中一种不可思议的比例。
斐波那契数列黄金比例是一种数学模式，主要表现再无限连续的数字序列中，数字其间的比例。
这种比例也被称为“φ”，它的英文单词是“phi”，也就是希腊文的“φ”字母，表示“比率的”的意思。
斐波那契数列是一种按照固定的规律，无限连续发展的数列，它是一种典型的生长模式，也是十分神秘的一种模式。
斐波那契的数字序列按照规律，每两位之间的比例为黄金比例，我们习惯上称之为“黄金比例”，也称之为“金刚比”或“调和比”，它是一种极为重要的比例，其出现在许多不同科学领域中。
斐波那契数列黄金比例的定义是：两个数字之间的比率等于其算术平均的平方根。
例如，它的第一个数字1和它的第十个数字89，它们之间的比率就等于89根号二等于1.618。
由此可见，斐波那契数列黄金比例在若干数字之间构成一种精确的几何比例。
斐波那契数列黄金比例在多种领域中都有着广泛的应用，它可以被用来表现自然界中各种事物的比例。
尤其是在艺术和建筑方面，斐波那契数列黄金比例正是让美学完美的一种比例。
斐波那契数列黄金比例的创造者叫做斐波那契，是意大利著名的数学家，他在十九世纪以前就发现了这种比例。
他在研究黄金分割比例时，发现它的特殊性质将其用于预测东西方文明的发展进程。
此外，斐波那契数列黄金比例也被认为是古希腊几何学家赫拉克利特所发明的“黄金三角”的一个极简化版本。
它也由德国数学家穆勒所发现，他在他的文章《数学的基本原理》中对斐波那契数列黄金比例进行了讨论。
斐波那契数列黄金比例在现代社会中也有着广泛的应用，例如在货币经济中，在部分社会组织中也有利用它来实现资源的有效分配。
此外，在计算机领域，斐波那契数列也被用在编码理论、排序算法和压缩算法中。
通过以上对斐波那契数列黄金比例的分析，可以看出，斐波那契数列黄金比例是一种神奇而高超的比例，它被用来表现宇宙中的完美秩序，当我们观察到它的特殊性质时，我们会被自然的美感所折服。
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奇妙的裴波那契数列和黄金分割“斐波那契数列〞的创造者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契〔Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨〕。
他被人称作“比萨的列昂纳多〞。
1202年，他撰写了?珠算原理?(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯教师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21这个数列从第三项开场，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}〔又叫“比内公式〞，是用无理数表示有理数的一个范例。
〕【5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】比方：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887还有一项性质，从第二项开场，每个奇数项的平方都比前后两项之积少〔请自己验证后自己确定〕1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多〔请自己验证后自己确定〕1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比方5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你将发现随着数列的开展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
如果所有的数都要求是自然数，能找出被任意正整数整除的项的此类数列，必然是斐波那契数列的某项开场每一项的倍数，如4,6,10,16,26 〔从2开场每个数的两倍〕。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列〔f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2 〕的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+ +f(n)=f(n+2)-12.f(1)+f(3)+f(5)+ +f(2n-1)=f(2n)-13.f(0)+f(2)+f(4)+ +f(2n)=f(2n+1)-14.[f(0)]^2+[f(1)]^2+ +[f(n)]^2=f(n) f(n+1)5.f(0)-f(1)+f(2)- +(-1)^n f(n)=(-1)^n [f(n+1)-f(n)]+16.f(m+n)=f(m-1) f(n-1)+f(m) f(n)7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1) f(n+1)8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2〔1〕细察以下各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。
〔2〕细察以下花的类似花瓣局部，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。
斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3 百合和蝴蝶花5 蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8 翠雀花13 金盏草21 紫宛34，55，84 雏菊〔3〕斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子〔假定没有折损〕，直到到达与那息叶子正对的位置，那么其间的叶子数多半是斐波那契数。
叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。
叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序〔源自希腊词，意即叶子的排列〕比。
多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
〔4〕斐波那契数列与黄金比值相继的斐波那契数的比的数列：它们交织地或大于或小于黄金比的值。
该数列的极限为。
这种联系暗示了无论〔尤其在自然现象中〕在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。
【与之相关的数学问题】 1.排列组合.有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法1，2，3，5，8，13 所以，登上十级，有89种2.数列中相邻两项的前项比后项的极限.就是问，当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+ 5)/2，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。
3.求递推数列a(1)=1,a(n+1)=1+1/a(n).的通项公式.由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n).将菲波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
【斐波那契数列别名】斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列〞。
斐波那契数列一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;两个月后，生下一对小兔民数共有两对;三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;－－－－－－依次类推可以列出下表：经过月数：---0---1---2---3---4---5---6---7---8---9--10--11--12兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89-144-233表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。
这个数列有关十清楚显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/ [〔1＋5/2) n-(1- 5/2) n](n=1,2,3.....〕【数列值的另一种求法】F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]其中[ x ]表示取距离x 最近的整数。
斐波那契数列的应用】一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。
〞这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为商者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的方法到达了他的目的！这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺终究跑到哪儿去呢？斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。
例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息〞时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。
所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息〞，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息〞过一年的枝同时萌发，当年生的新枝那么次年“休息〞。
这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。
这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律〞。
另外，观察延龄草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金凤花,耧斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣.可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3,5,8,13,21斐波那契螺旋具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。
这似乎是植物排列种子的“优化方式〞，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。
叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最正确地利用空间〔要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的〕，每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度〞，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数1.618033989 的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。
向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能到达89，甚至144条。
介绍把一条线段分割为两局部，使其中一局部与全长之比等于另一局部与这局部之比。
其比值是[5^(1/2)-1]/2，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618这个数值的作用不仅仅表达在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可无视的作用。
让我们首先从一个数列开场，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144 ..这个数列的名字叫做“斐波那契数列〞，这些数被称为“斐波那契数〞。
特点是即除前两个数〔数值为1〕之外，每个数都是它前面两个数之和。
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n)/f(n-1)- 0.618 。
由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
不仅这个由1,1,2,3,5....开场的“斐波那契数〞是这样，随便选两个整数，然后按照斐波那契数的规律排下去，两数间比也是会逐渐逼近黄金比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。
五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
黄金分割三角形还有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18 。