2020高考数学中档题强化训练含答案

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！ 1．（本小题满分12分）

已

知

函

数

a R a a x x x x f ,(cos )6

sin()6

sin()(∈++-

++

=π

π

是常数）

， （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）若)(,]2

,2[x f x 时π

π-∈的最大值为1，求a 的值.

解：（Ⅰ）a x x a x x x x f ++=++-++=cos sin 3cos )6

sin()6sin()(π

π (2)

分

a x ++=)6

sin(2π

………………………………………4分

∴f (x )的最小正周期为2π …………………………………6分

（Ⅱ）??

?

???-∈+

∴??

?

???-∈πππ

π

π32,362,2x x Θ………………………………8分

∴

f (x )的最大值为

2+a …………………………………………………………10分

∴

2+a =1

∴

a =－

1………………………………………………………12分

2．（本小题满分12分）

数列{a n } 的前n 项和)(2N n b a S n n ∈+?=,其中a ,b 是常数. （Ⅰ）若{a n }是等比数列，求a,b 应满足的条件？ （Ⅱ）当{a n }是等比数列时，求1

lim

+∞→n n

n S S 的值.

2．解：（理）（Ⅰ）由已知

b a S a +==211………………………………………………2分

由1112)2(2,2---?=+?-+?=-=≥n n n n n n a b a b a S S a n 时 (4)

分

∴当a ≠0时，{a n } 从第二项起成等比数列. 若{a n }是等比数列，则首项为a ，公比为2. ∴

2a +b =a

∴

a +

b =0……………………………………………………6分

∴若{a n }为等比数列，a 、b 应满足的条件是a +b =0，且a 、

b 均不为零.…8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）a a S a

a S n n n n -?=-?=++1122…………………………

10分

1212lim 22lim lim 111

--=-?-?=∴+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n a a a a S S .21)2

1(2)21(1lim =--=∞→n

n n …………………12分

3．（本小题满分12分）

长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，E 是侧棱BB 1中点.

（Ⅰ）求证：直线AE ⊥平面A 1D 1E ； （Ⅱ）求二面角E —AD 1—A 1的大小； （Ⅲ）求三棱锥A —C 1D 1E 的体积. 解：（Ⅰ）已知几何体为长方体

∴A 1D 1⊥平面ABB 1A 1

∴A 1D 1⊥AE ………………………………2分 又AB ＝１，BB 1=2，E 为BB 1的中点 ∴△ABE 为等腰直角三角形 ∴AE=2同理A 1E=2 ∴∠AEA 1为直角 即AE ⊥A 1E ∴

AE

⊥

平

面

A 1D 1E ………………………………4分

（Ⅱ）取AA 1中点O ，连OE ，则EO ⊥A 1A 、EO ⊥A 1D 1、

∴EO ⊥平面

ADD 1A 1…………………………………………5分

过O 在平面ADD 1A 1中作OF ⊥AD 1，交AD 1于F 连结EF ，则AD 1⊥EF

∴∠EFO 为二面角E —AD 1—A 1的平面角……………………7分

555

11sin ,111=

?=?

=∠?=?∴AD D A OA OAF OA OF AFO 中 55

arctg EFO EFO tg =∠∴=∠∴

即二面角.511arctg A AD E 的大小为--………………………………9分 （Ⅲ）由于AB ∥C 1D 1 ∴AB ∥平面C 1D 1E 6

1

1)1121(3111111

1=????=

==∴---E BC D E D C B E

D C A V V V …………………12分

高考数学中档题精选（5）

1．（12分）设a ，b ，c 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的长，且

0222=-+mc b a （m 为常数）.若1)(=+tgC ctgB ctgA ，求m 的值.

解： 由1cos sin sin sin )sin(cos sin )sin cos sin cos ()(=+=

+=+C

B A C

B A C

C

C B A

A tgC ctg

B ctgA .cos sin sin sin .sin )sin(.1802

C B A C C B A C B A =∴=+∴=++οΘ（6分）

由正弦定理得.cos 2C ab c =（8分）从而由余弦定理及

0222=-+mc b a 得

.3.2cos 222222=∴-=-+=m c mc C ab b a c （12分） 2．（12分）已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，且)

0,2(1≠≥?=-n n n n S n S S a 且9

21=a .

（1）求证：}1{n

S 为等差数列； （2）求：n

n

n S a ∞

→lim

的值； （3）求满足a n ＞a n －1的自然数n 的集合. 解：（1）由)2(11

11

11≥-=-?=-=---n S S S S S S a n n n n n n n 知

（2分）

当n ≥2时}1{n

S 成等差数列 )2(2

11)1()1(111≥+-=-?-+=∴

n n n S S n （3分）

又∵当n=1时，2

91111

=

=

a S 而n=1时，2

92

11=+-n （4分） 故当n ≥

1时，}1{n

S 成等

差数列 （5分） （2）02132lim lim

=-=∞→∞→n S a n n

n n （8分）

（3）当n ≥3时，0)

215)(213)(211(16

1>---=

???=--n n n a a n n （9

分）

12,2

11

215213a a N n n n <∈<<<∴

+又或 ∴满足题设的

n 集合为{3、4、5、

7}（12分）

3．（本小题满分12分）.

如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，A 1C 1的中点为D. （Ⅰ）求证BC 1∥平面AB 1D ； （Ⅱ）求二面角A 1—B 1D —A 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面的AB 1D 的距离.

解：（Ⅰ）连结A 1B ，设A 1B 与AB 1相交于点O ，则O 为A 1B 的中点.

连结DO ，因为D 为A 1C 1中点，所以DO 为△A 1BC 1的中位线，

所以DO ∥BC 1.

又DO ?平面AB 1D ，BC 1?平面

AB 1D

所以BC 1∥平面AB 1D. ……4分

（Ⅱ）由题意知B 1D 是正△A 1B 1C 1的中线，

所以A 1C 1⊥B 1D.

在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1 所以AD ⊥B 1D ，

所以∠ADA 1是二面角A 1—B 1D —A 的平面角……6分 在Rt △ADA 1中，.311

1==

∠D

A AA ADA tg 所以∠ADA 1=60°，即二面角A 1—

B 1D —A 等于60°.

……8分

（Ⅱ）因为O 为A 1B 中点，所以点B 到平面AB 1D 的距离等于点A 1到平面AB 1D 的距

离.由（Ⅱ）可知B 1D ⊥平面A 1ACC 1，

所以平面AB 1D ⊥平面A 1ACC 1，且平面AB 1D ∩平面

A 1ACC 1=AD.

过点A 1作A 1H ⊥AD ，垂足为H ，则A 1H ⊥平面AB 1D. 所以线段A 1H 的长度就是点A 1到平面AB 1D 的距离.

……11分

在Rt △A 1AD 中，.2

3

231111=?=?=

AD A A D A H A 所以点B 到平面AB 1D 的距离等于.2

3

……12分

或设点B 到平面AB 1D 的距离为h ，因为,1

1

ABB D D AB B V V --=

所以),23

)(

21(3

1)2

1(3

1111D A BB AB h D B AD ????=???.2

3=∴h ……12分

高考数学中档题精选（6）

1.已知函数x x x x x x f cos sin sin 3)3

sin(cos 2)(2+-+=π

.

（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 的最大值及最小值；

（3）写出函数)(x f 的单调递增区间. 解：(1)++=+-?

-

+=)3

sin(cos 22sin 2122cos 13)3

sin(cos 2)(ππx x x x x x x f Θ23)2cos 232sin 21(-

+x x

),3

2sin(223)3

2sin(3

sin

3

sin

)3

2sin(π

π

π

π

π

+=-

+

++++=x x x )(x f ∴的最小正周期

ππ

==

2

2T . （2）当)(12

2

23

2Z k k x k x ∈+

=+=+π

ππ

ππ即时，f （x ）取得最大值2；

当)(12

72323

2Z k k x k x ∈+=+

=+π

ππππ

即时，f （x ）取得最小值－2. （3）f （x ）的单调递增区间为)](12

,125[Z k k k ∈+-

π

πππ. 2.有两个各项都是正数的数列{a n },{b n },若对于任意自然数n 都有a n 、

b n 2、 a n+1成等差数列，b n 2、a n+1、b n+12成等比数列，

①求证：数列{b n }是等差数列；

②如果a 1=1,b 1=2，记数列{

n

a 1}的前n 项和为S n ，求n n S ∞

→lim . ①证明：依题意：a n +a n+1=2b n 2 b n 2b n +12=a n +12 又

a n >0 ,

b n >0

∴b n －1b n +b n b n +1=2b n 2 ∴b n －1＋b n +1=2b n 即{b n }是等差数列。

②解：由a 1=1,b 1=2得a 2=2×2－1=3, b 2=

32

2

,∴b n =

2

+(n －1)·2

2 = (n +1)22 ∴a n =b n b n －1＝ n (n +1)

2

2)1

11(2)1113121211(2lim =+-=+-++-+-

=∞

→n n n S n n Λ. 3.在立方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ， CC 1，D 1A 1，BB 1的中点. （1）证明：FH ∥平面A 1EG ；

（2）若AB=a ，求三棱锥A 1—EFG 的体积； （3）证明B 1D ⊥平面EFG.

19．（理）（1）证明：∵FH ∥B 1C 1，B 1C 1∥A 1G ，∴FH ∥A 1G.又A 1G ?平面A 1EG ，FH ?平面A 1EG ，

∴FH ∥平面A 1EG.

（2）解：连结HA 1，HE ，HG ，∵FH ∥平面A 1EG ，∴EG A F EG

A H V V 11

--= .

32222116

121)814141(313111111a a a a a a G A S V V V V EH A EH A G EG A H EG A F EFG A =?---=??=

===∴?---- （3）设BC 的中点为M ，连结EM ，FM ，AC ，BD. ∴AC ⊥BD ，由三垂线定理，得AC ⊥B 1D ，

又EM ∥AC. ∴EM ⊥B 1D.同理FM ⊥BD 1，又EM 与FM 相交，∴B 1D ⊥平面EFM ，B 1D ⊥EF.同理

B 1D ⊥FG ，又EF 与FG 相交，∴B 1D ⊥平面EFG.

另证：∵EB 1=ED ，∴E 在B 1D 的中垂面上，同理，F ，G 均在B 1D 的中垂面上，∴B 1D ⊥平面EFG