数值实验二实验报告

贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告

课程名称： 数值分析 班级：数学专业2班 实验日期： 2013年 9月 26 日 学 号： 110701020016 姓名： 指导教师： 杨 一 都 实验成

绩：

一、实验名称

实验二: Lagrange 插值与曲线拟合的最小二乘法 二、实验目的及要求

1.让学生掌握Lagrange 插值与曲线拟合的最小二乘法

2.让学生能够用这些方法解决一些实际问题 三、实验环境

每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0). 四、实验内容 题1: 对函数2

11

)(x x f +=

,取n+1个等距分布的插值节点,取不同的n ,作n 次Lagrange 插值,把)(x f 和插值多项式的图象绘制在同一张图上进行比较. 题

曲线拟合较好?为什么?你能找出更好的拟合曲线吗? 提示:用残差平方的大小来判断拟合的优劣,越小越好. 五、算法描述及实验步骤 1.

（1）算法描述：

画出2

11

)(x

x f +=的原函数图像与它的Lagrange 多项式插值图像在同一 图上进行比较。 （2）实验步骤：

①.在M-file 编辑窗口编辑Lagrange 插值M 文件； ②.画出f(x)原函数图像；

③.在命令窗口调用Lagrange 插值取n=10画拟合图像； ④.观察比较两个图像。

2.

（1）算法描述：

分别用一次、二次、和三次多项式曲线,以及最小二乘法拟合这些数据点, 找出哪一种曲线拟合较好。 （2）实验步骤：

①. 在M-file 编辑窗口编辑函数式M 文件konghaijun.m ；

②.在MATLAB命令窗口中调用konghaijun.m函数运行即可；

六、调试过程及实验结果

https://www.360docs.net/doc/ff6113422.html,grange插值

2.曲线拟合的最小二乘法

由图像可得三次多项式曲线拟合较好,

七、总结

1、通过这次实验，我初步掌握了Lagrange插值与曲线拟合的最小二乘法及用这些方法解决一些实际问题。

2、通常情况下，Lagrange高次插值比低次插值精度高,但从第一题的图像可以看出插值次数太高也不一定能提高精度，会出现Runge现象。

3、从第二题的图像可以看出用一次、二次、和三次多项式曲线拟合以及最小二乘法拟合这些数据点,曲线拟合比直线拟合得好，高次的会比低次的拟合得好。但用最小二乘法去拟合较少的数据点是更好的拟合曲线。

八、附录（源程序清单）

1,

function cy=Lagrange(x,y,n,cx)

m=length(cx);cy=zeros(1,m);

for k=1:n+1

t=ones(1,m);

for j=1:n+1

if j~=k

t=t.*(cx-x(j))./(x(k)-x(j));

end

end

cy=cy+y(k).*t;

end

>> x=-5:0.01:5;

>> y=1./(x.^2+1);

>> plot(x,y)

>> plot(x,y,'r*')

>> n=10;

>> x0=-5:10/n:5;

>> y0=1./(1+x0.^2);

>> cx=-5:0.01:5;

>> cy=Lagrange(x0,y0,n,cx);

>> hold on

>> plot(cx,cy,'g*')

2,

function konghaijun

x=[-3,-1,0,1,3,5];

y=[-6,-3,-1,0,1,3];

subplot(1,3,1)

scatter(x,y,'filled','r')

hold on

p1=polyfit(x,y,1);

y1=polyval(p1,x);

e1=norm(y-y1)

t=-4:0.01:6;

pt1=polyval(p1,t);

plot(t,pt1)

title('一次多项式拟合图象')

subplot(1,3,2)

scatter(x,y,'filled','r')

hold on

p2=polyfit(x,y,2);

y2=polyval(p2,x);

e2=norm(y-y2)

t=-4:0.01:6;

pt2=polyval(p2,t);

plot(t,pt2)

title('二次多项式拟合图象')

subplot(1,3,3)

scatter(x,y,'filled','r')

hold on

p3=polyfit(x,y,3);

y3=polyval(p3,x)

y3=polyval(p3,x);

e3=norm(y-y2)

t=-4:0.01:6;

pt3=polyval(p3,t);

plot(t,pt3)

title('三次多项式拟合图像')

>> konghaijun

e1 =

1.6087

e2 =

0.8405

y3 =

-6.0950 -2.5294 -1.2901 -0.2980 1.2893 2.9231 e3 =

0.8405