概率论与数理统计练习题第四章答案

概率论与数理统计练习题

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第四章 随机变量的数字特征（一）

一、选择题： 1

．

设

随

机

变

量

X ，且()E X 存在，则()E X 是

[ B ]

（A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数

2．设X 的概率密度为

910()9

00

x

e x

f x x -?≥?=??

，则

1

()9

E X -=

[ C ]

（A ）919x x e dx +∞

-∞

?? （B ）919x

x e dx +∞-∞-?? （C ）1- （D ）1

3．设ξ是随机变量，()E ξ存在，若2

3

ξη-=，则()E η=

[ D ]

（A ）()E ξ （B ）

()3E ξ （C ）()2E ξ- （D ）()233

E ξ- 4．设随机变量X 和Y 独立且在(0,)θ上服从均匀分布，则{min(,)}E X Y =(考研题 2011) [ C ] （A ）

2θ （B ）θ （C ）3θ （D ）4

θ

二、填空题：

1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6,0.3,0.1，则()E X =

2．设X

为正态分布的随机变量，概率密度为2

(1)

8()x f x +-=，则2(21)E X -= 9

3．设随机变量X

，则2(3)E X X +=

116/15

4．设随机变量X 的密度函数为||

1()()2

x f x e x -=-∞<<+∞，则()E X = 0 *5．设随机变量(,1,2,

,)ij X i j n =独立且同分布,()2ij E X =，则行列式

11121

21222

12

n

n

n n nn

X X X

X X X

Y

X X X

=的数学期望()

E Y= 0 (考研题 1999)

三、计算题：

1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3

个球中最大编号，求().

E X

2．设随机变量2

~(,

)

X Nμσ，求(||).

E Xμ

-

3．设随机变量X的密度函数为

()

00

x

e x

f x

x

-

?≥

=?

<

?

，试求下列随机变量的数学期望。

（1）2

1

X

Y e-

=；（2）

2

max{,2}

Y X

=；（3）

3

min{,2}

Y X

=

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第四章 随机变量的数字特征（二）

一、选择题： 1

．

已

知

()1,()3E X D X =-=，则

2[3(2)]E X -=

[ B ]

（A ）9 （B ）6 （C ）30 （D ）36 2

．

设

~(,)X B n p ，则有

[ D ]

（A ）(21)2E X np -= （B ）(21)4(1)1D X np p -=-+ （C ）(21)41E X np +=+ （D ）(21)4(1)D X np p -=- 3．设ξ

服从参数为

λ的泊松分布，23ηξ=-，则

[ D ]

（A ）()23()23E D ηληλ=-=- （B ）()2()2E D ηλ

ηλ==

（C ）()23()43E D ηληλ=-=- （D ）()23()4E D ηληλ=-= 二、填空题：

1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , , .01，则 ()D X = 2．设随机变量X 的密度函数为||

1()()2

x f x e x -=

-∞<<+∞，则()D X = 2 3．随机变量X 服从区间[0，2]上的均匀分布，则

2

()

[()]D X E X = 1/3

4．设正态分布Y 2

(3)y

--，则()D X = 1/2

5．设随机变量X 服从参数为1λ=的泊松分布，则2

{()}P X E X == 1/2e (考研题 2008) 三、计算题：

1．设随机变量X 的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3,0.5,0.2，求21Y X =-的期望与方差；

2．设随机变量~(0,1)

X N，试求34

()().

E X D X E X E X

、、与

3．设随机变量X的分布密度为

02

()24

ax x

f x bx c x

<<

?

?

=+≤<

?

?

?其它

，已知

3

()2,(13)

4

E X P X

=<<=，求：（1）常数A，B，C的值；（2）方差()

D X；（3）随机变量X

Y e

=的期望与方差。

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第四章 随机变量的数字特征（三）

一、选择题：

1．对任意两个随机变量,X Y ，若()()()E XY E X E Y =，则

[ B ]

（A ）()()()D XY D X D Y = （B ）()()()D X Y D X D Y +=+ （C ）X Y 与相互独立 （D ）X Y 与不相互独立

2．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于 (考研题 2001) [ A ]

（A ）-1 （B ）0 （C ）12

（D ）1 二、填空题：

1．设随机变量(,)X Y 服从正态分布(0,0,1,1,0)N ，则(32)D X Y -= 13 。 2．设X 与Y 独立，且6)(=X D ，3)(=Y D ，则(2)D X Y -= 27 。 3．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===，则()D X Y -= 37 。 三、计算题：

1． 已知二维随机变量),(Y X 的分布律如

表： 试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立。

2．设~(0,4),~(0,4)X N Y U ，且X ，Y 相互独立，求：(),(),(23)E XY D X Y D X Y +-.

(,)()()()00{1,1}{1}{

1} XY Cov X Y E XY E X E Y X Y P X Y P X P Y X Y ρ=-=-∴=

=∴=-=-≠=-?=-∴与不相关又与不独立 2~(0,4),~(0,4)()0,()4;44

()2,(),()0

123

416

()()()433

X N Y U E X D X E Y D Y E XY EXEY D X Y D X D Y ∴=======+=+=+=

3

．设A

和B 为随机变量，且,111P(A )=,P(B |A )=,P(A |B )=432

令

（1）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；（2）求X 和Y 的相关系数ρXY 。(考研题 2004)

(2)

4

．

（

1

）

设

随

机

变

量

2(3),()()0,()4,()16,0.5XY W aX Y E X E Y D X D Y ρ=+=====-。求常数a 使()

E W 为最小，并求()E W 的最小值。

（2）设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且有2

2

(),()X Y D X D Y σσ==。证明当

222X Y a σσ=时，随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立。

??==?

?

??1,发生；

1,发生；

0，不发生；0，不发生.

A B X Y A B 22222222()[(3)]()6()9()()()()()4()16(,)4,()()

(,)()()()()4 XY E W E aX Y a E X aE XY E Y D X E X E X E X E Y Cov X Y D X D Y Cov X Y E XY E X E Y E XY ρ=+=++=-∴===

?=-=-∴=- (1)同而

理又

(2)证:(X,Y)服从二维正态分布, W=X-aY 与V=X+aY 都服从正态分布,当

a 2=2X σ/2

Y σ时,

Cov(W,V)=Cov(X-aY,X+aY) =Cov(X,X)- a 2Cov(Y,Y) =D(X)-a 2D(Y)

=2X σ-a 22

Y σ=0

∴

XY

=0,即W 与V 相互独立.