一元二次方程根与系数的关系典型例题

一元二次方程根与系数的关系

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

一元二次方程的根与系数的关系

［学习目标］

1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）；

2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。

3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；

4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。

5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。

二. 重点、难点：

1. 教学重点：

一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。

2. 教学难点：

正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。

【典型例题】

例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。

分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。

解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：

解得：

（方法二）由题意：

解得：

根据韦达定理设另一根为x，则

点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。

例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值：

（1）；（2）；（3）

分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。

解：由已知，根据韦达定理

（1）

（2）

（3）

点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。

例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。

分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。

解：由题意，为的两个不等实根

因而有

又

点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。

例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。

解：（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有：

由

当时，代入

当时，由

代入

则

代入

把代入<2>中，

或

（解法二）将与相减得：

此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或

（1）若是0则；

（2）若是，则；

或

点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。

例5. 已知方程

（1）若方程两根之差为5，求k。

（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。

分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。

解：（1）设方程两根与，由韦达定理知：

又

（2）设方程两根，由根系关系知：

点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。

例6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。

分析：必用判别式，又韦达定理知，，显然可求a、b。

解：设已知方程的两根为m，3m

由韦达定理知：

即

把代入

得：

点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。

例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。

（1）用含m的代数式表示；

（2）当时，求m的值。

分析：应注意，即可用根系关系。

解：（1）由题意：

（2）由（1）得：

解得：

检验：当时，原方程无实根。

∴舍去

当时，原方程有实根。

∴

点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。例8. 已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。

分析：所求方程，只要求出的值即可，转化成例2类型了。

解：设所求一元二次方程为

为方程的两根

∴由韦达定理

又

∴所求一元二次方程为

即：

点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为

，当为分数时，往往化成整系数方程。

［总结扩展］

1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。

3. 本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程……

4. 通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一. 选择题。

1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（）

A. 2，-1

B. -1，2

C. -2，1

D. 1，-2

2. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（）

A. 4

B. -4

C. 1

D. -1

3. 若方程有两根，一根大于1,一根小于1.则k的取值范围是（）

A. B. C. D.

4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（）

A. B.

C. D. 不能确定

5. 方程的大根与小根之差等于（）

A. B. C. 1 D.

6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（）

A. B.

C. D.

二. 填空题。