最新人教版八年级数学下册第16章全章教案
16．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)
2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)
一、情境导入
问题1：你能用带有根号的式子填空吗？
(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________．
(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．
问题2：上面得到的式子3，S ，65，h
5
分别表示什么意义？它们有什么共同特征？
二、合作探究
探究点一：二次根式的定义
下列各式中，哪些是二次根式，
哪些不是二次根式？
(1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)3
13；(5)15－1
6
；(6)3－x (x ≤3)； (7)
－x (x ≥0)；(8)
（a －1）2；
(9)－x 2－5；
(10)（a －b ）2(ab ≥0)．
解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．
解：因为11，（－7）2，15－16
＝130
，3－x (x ≤3)，
（a －1）2，
（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．
方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“
”；(2)被开方数是非负数．
探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围
求使下列式子有意义的x 的取值
范围．
(1)1
4－3x ；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .
解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．
解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜4
3.
当x ＜43时，14－3x
有意义；
(2)由题意得?
????3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且
x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－x
x －2
有意义；
(3)由题意得?
????x ＋5≥0，
x ≠0，解得x ≥－5且
x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，
x ＋5
x
有意义． 方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【类型二】 利用二次根式的非负性求解
(1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3
|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；
(2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根．
解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．
解：(1)根据题意得???2a ＋8＝0，
b －3＝0，解得
??
?a ＝－4，
b ＝ 3.
则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；
(2)根据题意得?
???
?x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则
y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8.
方法总结：二次根式和绝对值都具有非
负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题
先观察下列等式，再回答下列问
题．
①
1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝11
2
；
②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116； ③
1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112
. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出
1＋142＋1
5
2的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用
含n 的式子表示的等式(n 为正整数)． 解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．
解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝11
20
； (2)
1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1
＝11
n （n ＋1）
(n 为正整数)． 方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．
三、板书设计 1．二次根式的定义
一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫
做二次根式．
2．二次根式有意义的条件
被开方数(式)为非负数；a 有意义?a ≥0.
通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．
第2课时 二次根式的性质
1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点)
2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点)
一、情境导入 a 2等于什么？
我们不妨取a 的一些值，如2，
－2，
3，－3，…分别计算出对应的a 2的值，看看有什么规律．
22＝4＝2；（－2）2＝4＝2； 32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；… 你能概括一下a 2的值吗？ 二、合作探究
探究点一：二次根式的性质
【类型一】行计算
化简：
(1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2
.
解析：根据二次根式的性质进行计算即
可．
解：(1)(
5)2
＝5；(2)
52＝5；
(3)（－5）2＝5；(4)(－5)2＝5.
方法总结：利用a 2＝|a |进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．
【类型二】 在实数范围内分解因式． (1)a 2－13；(2)4a 2－5；(3)x 4－4x 2＋4. 解析：由于任意一个非负数都可以写成
一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式．
解：(1)a 2－13＝a 2－(13)2＝(a ＋13)(a －13)；
(2)4a 2－5＝(2a )2－(5)2＝(2a ＋5)(2a －5)；
(3)x 4－4x 2＋4＝(x 2－2)2＝[(x ＋2)(x －2)]2＝(x ＋2)2(x －2)2.
方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式．
探究点二：二次根式性质的综合应用
【类型一】 结合数轴利用二次根式的
性质求值或化简
已知实数a ，b 在数轴上的位置如
图所示，化简：（a＋1）2＋2（b－1）2－|a－b
|.
解析：根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．
解：从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a －b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.
方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．
【类型二】二次根式的化简与三角形三边关系的综合
已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.
解析：根据三角形的三边关系得出b＋c ＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b ＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋
c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b ＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a ＋b－c.
方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．
【类型三】利用分类讨论的思想对二次根式进行化简
已知x为实数时，化简x2－2x＋1＋x2.
解析：根据a2＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答．解：x2－2x＋1＋x2＝（x－1）2＋
x2＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；当0＜x≤1时，x－1≤0，原式＝1－x＋x＝1；当x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.
方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子a2＝|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．
【类型四】二次根式的规律探究性问题
细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．
(1)2＋1＝2，S1＝
1
2，
(2)2＋1＝3，S 2＝
22
， (3)2
＋1＝4，S 3＝3
2
.
(1)请用含n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA 10的长；
(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 2
10的值．
解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n 个三角形的一直角
边长就是n ，另一条直角边长为1，然后利
用面积公式可得．
解：(1)(n )2＋1＝n ＋1，S n ＝n
2
(n 是正整数)；
(2)∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…∴OA 10＝10；
(3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 2
10＝
????122
＋
???
?
222
＋????322＋…＋????1022＝14(1＋2＋3＋…＋10)＝554
.
方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想．
探究点三：代数式的定义及简单应用
按照下列程序计算，表格内应输
出的代数式是____________．
n →立方→＋n →÷n →－n
→答案
解析：根据程序所给的运算，用代数式
表示即可，
根据程序所给的运算可得输出的代数式为n 3＋n n －n .故答案为n 3＋n
n
－n .
方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代
表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形
表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的
运算关系及运算顺序写出代数式．
三、板书设计
1．二次根式的性质1：(a )2＝a (a ≥0)； 2．二次根式的性质2：a 2＝a (a ≥0)． 3．代数式的定义
用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．
新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生
自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的学习和生活．
16．2二次根式的
乘除
第1课时二次根式的乘法
1．掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质；(重点)
2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)
一、情境导入
计算：
(1)4×25与4×25；
(2)16×9与16×9.
思考：
对于2×3与2×3呢？
从计算的结果我们发现2×3＝2×3，这是什么道理呢？
二、合作探究
探究点一：二次根式的乘法
【类型一】二次根式的乘法法则成立的条件
式子x＋1·2－x＝（x＋1）（2－x）成立的条件是() A．x≤2 B．x≥－1
C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2
解析：根据题意得
??
?
??x＋1≥0，
2－x≥0，
解得－1≤x≤2.故选C.
方法总结：运用二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．
【类型二】二次根式的乘法运算
计算：
(1)3×5；(2)
1
4×64；
(3)627×(－33)；
(4)
3
418ab·?
?
?
?
－
2
a
6b2
a.
解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．
解：(1)3×5＝3×5＝15；
(2)
1
4×64＝
1
4×64＝16＝4；
(3)627×(－33)＝－1827×3＝－1881＝－18×9＝－162；
(4)
3
418ab·?
?
?
?
－
2
a
6b2
a＝－3
4·
2
a·18ab·
6b2
a＝－
3
2a·36×3b
3＝－
3
2a·6b3b＝－
9b
a3b.
方法总结：在运算过程中要注意根号前
的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．
探究点二：积的算术平方根的性质
化简：
(1)（－36）×16×（－9）；
(2)362＋482；
(3)x3＋6x2y＋9xy2.
解析：主要运用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)和a2＝a(a≥0)对二次根式进行化简．解：(1)（－36）×16×（－9）＝36×16×9＝62×42×32＝62×42×32＝6×4×3＝72；
(2)362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122×52＝12×5＝60；
(3)x3＋6x2y＋9xy2＝x（x＋3y）2＝（x＋3y）2·x＝|x＋3y|x.
方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．
探究点三：二次根式乘法的综合应用
小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．
解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．
解：设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π×48π＝168π(cm2)，所以πr2＝168π，r＝242cm(r＝－242舍去)．答：这个圆的半径是242cm.
方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．
三、板书设计
1．二次根式的乘法法则：
a·b＝ab(a≥0，b≥0)
2．积的算术平方根：
ab＝a·b(a≥0，b≥
0)
在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．
第2课时 二次根式的除法
1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点)
2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点)
一、情境导入
计算下列各题，观察有什么规律？ (1)36
49
＝________；36
49
＝________． (2)
9
16
＝________；9
16＝________． 3649________3649
；
916
________
916
. 二、合作探究
探究点一：二次根式的除法 【类型一】 二次根式的除法运算
计算： (1)0.760.19
；(2)－
123
÷554； (3)6a 2b 2ab
；(4)5÷
???
?－5145. 解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开
方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个
数的倒数的方法进行计算，再进行约分．
解：(1)
0.76
0.19＝0.76
0.19＝4＝2； (2)－123
÷5
54
＝－123÷5
54
＝－53×54
5＝－18＝－32； (3)6a 2b 2ab ＝
6a 2b
2ab
＝3a ； (4)5÷?
??
?
－5
145＝－5÷
59
5
＝－5×15
×
59＝－15×53＝－13
. 方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．
【类型二】 二次根式的乘除混合运算
计算： (1)945÷3212×3
2223； (2)a 2
·ab ·b
b a
÷9b 2
a
. 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．
解：(1)原式＝9×13×3
2×
45×25×8
3
＝
183；
(2)原式＝a 2
·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b
3
a .
方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算
时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．
探究点二：商的算术平方根的性质 【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围
若
a 2－a ＝a
2－a
，则a 的取值范围是( )
A ．a ＜2
B ．a ≤2
C ．0≤a ＜2
D ．a ≥0
解析：根据题意得?????a ≥0，
2－a ＞0，
解得0≤a
＜2.故选C.
方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝b
a (a ＞0，
b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．
【类型二】
利用商的算术平方根的性质化简二次根式
化简： (1)17
9
； (2)3c 3
4a 4b 2
(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．
解析：运用商的算术平方根的性质，用
分子的算术平方根除以分母的算术平方根．
解：(1)17
9
＝169＝169＝43
； (2)
3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2
b
3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为
假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．
探究点三：最简二次根式
在下列各式中，哪些是最简二次
根式？哪些不是？并说明理由．
(1)45；(2)13；(3)5
2
；(4)0.5；(5)
14
5
. 解析：根据满足最简二次根式的两个条
件判断即可．
解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；
(2)
13＝3
3
，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；
(3)
5
2
，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；
(4)0.5＝
12＝2
2
，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；
(5)
145
＝95＝355
，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
方法总结：解决此题的关键是掌握最简
二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或
因式．
探究点四：二次根式除法的综合运用
座钟的摆针摆动一个来回所需的
时间称为一个周期，其周期计算公式为T ＝2π
l
g
，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?
解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．
解：∵T ＝2π
0.59.8≈1.42，60T ＝60
1.42
≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．
方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．
三、板书设计
1．二次根式的除法运算 2．商的算术平方根 3．最简二次根式
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
在教学中应注重积和商的互相转换，让
学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展．
16．3二次根式的
加减
第1课时二次根式的加减
1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点)
2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．(难点)
一、情境导入
小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？
二、合作探究
探究点一：被开方数相同的最简二次根式
已知最简二次根式2a＋b与a＋b
3a－4能够合并同类项，求a＋b的值．
解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可．
解：∵最简二次根式2a＋b与
a＋b
3a－4能够合并同类项，∴a＋b＝2，2a＋b＝3a－4，解得a＝3，b＝－1，∴a＋b ＝3＋(－1)＝2.
方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．
探究点二：二次根式的加减
【类型一】二次根式的加减运算
计算：12－
1
3
－(2)2＋|2－3|.
解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式．
解：原式＝23－
3
3－2＋2－3＝?
?
?
?
2－
1
3－13＝
23
3.
方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数
相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．
【类型二】二次根式的化简求值
先化简，再求值：
a2－b2
a
÷????
a－
2ab－b2
a，其中a＝2＋3，b＝2－ 3.
解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b的值代入计算即可求出．
解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）
a
÷
a 2－2a
b ＋b 2
a
＝
（a ＋b ）（a －b ）a ·a
（a －b ）2＝a ＋b a －b .当a ＝
2＋3，b ＝2－3时，原式＝
2＋3＋2－3
2＋3－2＋3＝4
2
3
＝23
3.
方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．
【类型三】 二次根式加减运算在实际生活中的应用
母亲节快到了，为了表示对妈妈
的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm 2，另一张面积为450cm 2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?
解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长．
解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为1.2m ＝120cm ＜197.96cm ，所以小号的金色细彩带不够
用.197.96－120＝77.96
≈78(cm)，即还需买78cm 的金色细彩带．
方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．
三、板书设计
1．被开方数相同的最简二次根式 2．二次根式的加减
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．
第2课时 二次根式的混合运算
1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)
2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)
一、情境导入
如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？
毛毛是这样算的：
梯形的面积：1
2(22＋43)×6＝(2
＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．
他的做法正确吗？ 二、合作探究
探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的四则运算
计算： (1)12
223
×9145
÷35
； (2)????312－2
13＋48÷23＋?
??
?132
； (3)2－(3＋2)÷3.
解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法
运算，然后进行加法运算．
解：(1)原式＝1
2×9×
83×145×53＝12
×9×229
＝2；
(2)原式＝???
?63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13
＝5；
(3)原式＝2－(3＋2)÷1
3
＝2－
3＋23＝2－1－233.
方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算
计算：
(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)?
??
?6－
1
332－3424×(－26)．
解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．
解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；
(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；
(3)原式＝?
??
?
6－
66－326×(－26)＝－2
3
6×(－26)＝8. 方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在
二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．
探究点三：二次根式混合运算的综合运用
【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型
对于任意的正数m 、n 定义运算※
为m ※n ＝???m －n （m ≥n ），
m ＋n （m 计算 (3※2)×(8※12)的结果为( ) A ．2－46 B ．2 C ．25 D ．20 解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋ 3)＝2.故选B. 方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键． 【类型二】 二次根式运算的拓展应用 请阅读以下材料，并完成相应的 任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第 n 个数可以用 1 5 ???? ? ?? ????1＋52n －? ????1－52n 表示(其中， n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数 列中的第1个数和第2个数． 解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即 可． 解：第1个数，当n ＝1时， 1 5 ??????? ????1＋52n －? ????1－52n ＝15[1＋52 －1－52]＝ 1 5 ×5＝1； 第2个数，当n ＝2时， 15???? ??? ????1＋52n －? ????1－52n ＝15???? ??? ????1＋522－? ????1－522＝ 15 ? ????1＋52＋1－ 52? ???? 1＋52－1－52＝15 ×1×5＝1. 方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键． 三、板书设计 1．二次根式的四则运算 先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的． 2．运用乘法公式和运算律进行计算 在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用． 本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣. 八年级下册数学教学计划 一、学生分析： 从八年级上册数学期末考试成绩来看，本班优秀率有突破15人，算是达到预期目 标，但及格率只达到43% 多，与预期尚有一定的差距。总体上来看，仅管绝大多数学生学习很努力，也掌握了一定的学习数学的方法和技巧，但基础知识的不扎实成为制约他们学习的瓶颈，造成班级发展不平衡，两极分化现象严重 二、教材分析： 第1章二次根式 二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对七年级上册“实数”、“代数式”等内容的延伸和补充。二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的有关运算时，所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；在进行二次根式的乘除时，所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。这些都说明了前后知识之间的内在联系。 本章的主要内容有二次根式，二次根式的性质，二次根式的运算（根号内不含字母、不含分母有理化）。 第2章一元二次方程 方程教学在中学数学教学中占有很大的比例，一元二次方程在初中代数中占有重要地位。一方面，一元二次方程可以看成是前面所学过的有关知识的综合运用，如有理数、实数的概念和整式、分式、开平方等的运算，一元一次方程、二元一次方程组解法等知识，在本章都有应用。从数学角度看，这一章的学习有一定难度，如果前面某个环节薄弱或知识点有问题，就会给本章的学习带来困难，因此，这一章的教学是对以前所学的有关知识的检验，又是一次复习与巩固。当然，一元二次方程知识也是前面所学知识的继续和发展，尤其是方程方面知识的深入和发展。 本章的主要内容是一元二次方程的解法和应用，课本首先引入一元二次方程的概念，从实数的性质，将分解成为两个一次因式相乘积为零的一元二次方程转化为两个一元一次方程入手，介绍了利用因式分解法解一元二次方程的方法，体现了数学的转化思想。接着课本首先从数的开平方的知识出发，直接讲开平方法，然后依次介绍了配方法和公式法。在讲述公式法的同时，课本特别给出了利用计算器解一元二次方程的解法示例，以揭示技术发展给数学学习带来的影响，这也是一种新的尝试。同时，以建立数学模型为主要着力点介绍了一元二次方程的应用，并在例题的设置上充分考虑了图表、立体图形、物体运动和经济活动中的问题背景，力图使学生在现实的环境中学习数学。这一章是全书乃至整个初中代数的一个重点内容。因为这一部分内容既是对以前所学内容的总结、巩固和提高，又是以后学习的知识基础。因此这一章可以说是起到了承上启下的作用。高中阶段的指数方程、对数方程及三角方程，无非就是指数、对数、三角函数的有关知识与一元一次方程、一元二次方程的综合 八年级数学下学期教学工作计划 一、指导思想 在教学中努力推进九年义务教育,落实新课改,体现新理念,培养创新精神通过数学课的教学,使学生切实学好从事现代化建设与进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识与基本技能;努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力,以及分析问题与解决问题的能力。 二、学情分析 八年级就是初中学习过程中的关键时期,学生基础的好坏,直接影响到将来就是否能升学。我班优生稍少,学生非常活跃,有少数学生不求上进,思维不紧跟老师。有的学生思想单纯爱玩,缺乏自主学习的习惯,有部分同学基础较差,厌学无目标。要在本期获得理想成绩,老师与学生都要付出努力,查漏补缺,充分发挥学生就是学习的主体,教师就是教的主体作用,注重方法,培养能力。 三、教材分析 本学期教学内容共计五章,知识的前后联系,教材的教学目标,重、难点分析如下: 《义务教育教科书?数学》八年级下册包括二次根式,勾股定理,平行四边形,一次函数,数据的分析等五章内容,学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准(2013年版)》(以下简称《课程标准》)中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。其中对于“综合与实践”领域的内容,本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习,并在每一章的最后安排了两个数学活动,通过这些课题学习与数学活动落实“综合与实践”的要求。 第16章“二次根式”主要讨论如何对数与字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。通过本章学习,学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构,并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。 第17章“勾股定理”主要研究勾股定理与勾股定理的逆定理,包括它们的发现、证明与应用。 第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质与判定,还研究了矩形、菱形与正方形等几种特殊的平行四边形。 第19章就是“一次函数”,其主要内容包括:常量与变量的意义,函数的概念,函数的三种表示法,一次函数的概念、图象、性质与应用举例,一次函数与二元一次方程等内容的关系,以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。 第20章“数据的分析”主要研究平均数(主要就是加权平均数)、中位数、众数以及方差等统计量的统计意义,学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势与离散情况,并通过研究如 《16.1二次根式》 本课通过现实问题提出二次根式要研究的问题，通过用字母表示算术平方根中的被开方数，把算术平方根一般化，得到二次根式的概念、二次根式有意义的条件、二次根式的非负 性．结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质． 1. 根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由； 2. 能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系． 3. 经历探索性质2 a = a （ a ≥0）和2)(a = a （a ≥0）的过程，并理解其意义； 4. 会运用性质2a = a （a ≥0）和2)(a = a （a ≥0）进行二次根式的化简； 5. 了解代数式的概念． 【教学重点】 从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念. 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计算和化简． 【教学难点】 二次根式有意义的条件. 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计算和化简． 课件 第一课时 一、导入新课： 导入一 唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.猪八戒很好奇，通过查阅资料算了人参果下落的时间t 与h 之间的关系式为t= 9.4h ,你知道式子9.4h 表示的什么?式子t=9 .4h 中h 表示什么意义？ [设计意图] 将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础. 导入二： 1.教师出示复习题: (1)4的平方根是 ;0的平方根是 ;-16的平方根是 . (2)5的平方根是 ;5的算术平方根是 . 学生口答:(1)4的平方根是±2；0的平方根是0；-16没有平方根. (2)5的平方根是±5的算术平方根是. 2.教师出示教材第2页“思考”题: 用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点: (1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S 的正方形的边长为 . (2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m 2,则它的宽为 m. (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t 2.如果用含有h 的式子表示t,那么t 为 . 学生思考后回答,教师补充得出答案:(1)S ；3(2)65(3) 5 h . [设计意图] 以回顾练习和思考的形式引导学生回顾前面学习的算术平方根和平方根，为下面的学习奠定基础，并引入新课. 二、二次根式的概念 问题1.上面问题中，得到的结果分别是：3；S ；65；5 h （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ 第17章 分式 §17、1、1 分式的概念 教学目标: 1、经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式就是否就是分式 3、能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件, 渗透数学中的类比,分类等数学思想。 教学重点: 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点: 能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。 教学过程: 一、做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_____米; (2)面积为S 平方米的长方形一边长a 米,则它的另一边长为________米; (3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的售价就是___元; 二、概括: 形如B A (A 、 B 就是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式、其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母、 整式与分式统称有理式, 即有理式 整式,分式、 三、例题: 例1 下列各有理式中,哪些就是整式？哪些就是分式？ (1)x 1; (2)2 x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -、 解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3)、 注意:在分式中,分母的值不能就是零、如果分母的值就是零,则分式没有意义、例如,在分式a S 中,a ≠0;在分式n m -9中,m ≠n 、 例2 当x 取什么值时,下列分式有意义？ (1)11－x ; (2)3 22+-x x 、 分析 要使分式有意义,必须且只须分母不等于零、 解 (1)分母1－x ≠0,即x ≠1、 所以,当x ≠1时,分式1 1－x 有意义、 (2)分母23+x ≠0,即x ≠-2 3、 所以,当x ≠-23时,分式3 22+-x x 有意义、 四、练习: P5习题17、1第3题(1)(3) 1.判断下列各式哪些就是整式,哪些就是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,9 1-x 2013年华师大版八年级数学下册教案(全册) 四川省射洪中学八年级数学下册教案华师大版第17章分式 §com 分式的概念 教学目标 1经历实际问题的解决过程从中认识分式并能概括分式 2使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3能通过回忆分数的意义类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件渗透数学中的类比分类等数学思想 教学重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件 教学难点 能通过回忆分数的意义探索分式的意义 教学过程 一做一做 1面积为2平方米的长方形一边长3米则它的另一边长为_____米 2面积为S平方米的长方形一边长a米则它的另一边长为________米 3一箱苹果售价p元总重m千克箱重n千克则每千克苹果的售价是___元二概括 形如 AB是整式且B中含有字母B≠0 的式子叫做分式其中A叫做分式的分 子B叫做分式的分母 整式和分式统称有理式即有理式整式分式 三例题 下列各有理式中哪些是整式哪些是分式 1 2 3 4 解属于整式的有24属于分式的有13 注意在分式中分母的值不能是零如果分母的值是零则分式没有意义例如在分式中a≠0在分式中m≠n 当取什么值时下列分式有意义 1 2 分析要使分式有意义必须且只须分母不等于零 解 1分母≠0即≠1 所以当≠1时分式有意义 2分母2≠0即≠- 所以当≠-时分式有意义 四练习 P5习题171第3题13 1．判断下列各式哪些是整式哪些是分式 9x4 2 当x取何值时下列分式有意义 1 2 3 3 当x为何值时分式的值为0 1 2 3 五小结 什么是分式什么是有理式 六作业 P5习题171第12题第3题24 七教学反思 §com 分式的基本性质 教学目标 1掌握分式的基本性质掌握分式约分方法熟练进行约分并了解最简分式的意义 2使学生理解分式通分的意义掌握分式通分的方法及步骤 教学重点 让学生知道约分通分的依据和作用学会分式约分与通分的方法 教学难点 1分子分母是多项式的分式约分 2几个分式最简公分母的确定 教学过程httpx kb1com 1分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变 用式子表示是 其中M是不等于零的整式 与分数类似根据分式的基本性质可以对分式进行约分和通分 第十六章分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 3.认知难点与突破方法 难点是能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处，从分数入手，研究出分式的有关概念，同时还要讲清分式与分数的联系与区别. 三、例、习题的意图分析 本章从实际问题引出分式方程 10020v 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为3. 以上的式子五、例题讲解 P5例1. 当x为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x的取值范围. [提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？（1m（2）1m1m 3 m 10020v 小时，逆流航行60千米所用时间 6020v 小时，所以 10020v = 6020v . 10020v ， 6020v ，s，v，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ a s m2m 1 2 = 6020v ，给出分式的描述性的定义：像这样分母中含有字母的式子属于分式. 1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m的解集中的公[分析] 分式的值为 16．1.1 二次根式 教案序号：1 时间： 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：二、探索新知 很明显3、10、4 6 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根 的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二 次根式，“”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a有意义吗？ 老师点评:（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 x 、x（x>0）、 0、42、-2、 1 x y + 、x y +（x≥0，y?≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x y +（x≥0，y≥0）；不是二 次根式的有：33、1 x 、42、 1 x y + ． 例2．当x是多少时，31 x-在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?31x -才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥1 3 当x ≥ 1 3 时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x 是多少时，23x ++1 1 x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++ 1 1 x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和1 1 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得230 10 x x +≥??+≠? 由①得：x ≥- 32 由②得：x ≠-1 当x ≥- 3 2 且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求 x y 的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案: 25 ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ．-7 B ．37 C ．x D ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） 浙教版八下数学各章节知识点及重难点 第一章二次根式 知识点一：二次根式的概念 二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根， 所以 是 为二次根式的前提条件，如 ，，等是二次根式， 而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当时，有意义， 是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有 意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a 的算术平方根，也就是说，（ ）是一个非负数，即 0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的 算术平方根是0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即0（），这 个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时 应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 1 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用： 若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则 等于a 本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a, 即 ； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平 方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 2 16．1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标: a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键: 1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入: （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题： 二、探索新知: ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二 a ≥0）? （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 老师点评:（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，、 1 x x>0）、、1x y +、 x ≥0，y?≥0）． 分析0． x>0、x ≥0，y ≥01x 、1 x y +． 例2．当x 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 解：由3x-1≥0，得：x ≥13 当x ≥ 1 3 在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展: 例3．当x +1 1 x +在实数范围内有意义？ 分析11x +0和11 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得230 10 x x +≥??+≠? 由①得：x ≥- 32 由②得：x ≠-1 当x ≥- 32 且x ≠-111x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知，求 x y 的值．(答案:2) (2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案: 25 ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1（a ≥0 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ． B C D ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） 新浙教版八年级下册数学知识点汇编 第一章二次根式 1.像3-b ，s 2，5，4+?a a 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式。 2.二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 3.二次根式的性质1： ()2a =a ()0≥a 二次根式的性质2： 2a =a =)0(≥a a 或a -（a <0） 4.像7，5，14，s 2，a 这样，在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。二次根式的化简结果应为最简二次根式。 5.ab =a ×b （0≥a ， 0≥b ） 6.b a =b a （0≥a ， b>0） 7.a × b =ab （0≥a ，0≥b ） 8. b a =b a （0≥a ，b>0 ） 9.223不能写成22 11 10.二次根式运算的结果，如果能够化简，那么应把它化简为最简二次根式。 11.二次根式的加减法：先把每一个二次根式化简，再把相同的二次根式像合并同类项那样合并。 12.分母有理化分两种情形：对于单个的二次根式，分子分母都乘以这个二次根式。对于含有二次根式的多项式，把它配成平方差式。 第二章一元二次方程 1.两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程。 2.判断一个方程是不是一元二次方程，必须在化简后判断。 3.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）。+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 5.确定一元二次方程的各项及其系数必须在一般形式中进行。 6.解一元二次方程的步骤： ①化为右边为0的方程； ②左边因式分解； ③化为两个一元一次方程； ④得解。 7.用因式分解法求解的一元二次方程形式为：右边为0，左边是一个可以因式分解的整式。 8.利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 9.对于形如x2=a（a≥0）的方程，根据平方根的定义。可得x1=a，x2=-a。这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。 10.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 11.配方法求解一元二次方程的步骤： 第十六章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3（a≥0，b≥0）； a≥0，b>0）a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0） （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0） 苏教版小学数学八年级下册教案（全册） 第七章 教学目标与要求： （1）了解不等式的意义，掌握不等式的基本性质。 （2）会解一元一次不等式（组），能正确用轴表示解集。 （3）能够根据具体问题中的数量关系，用一元一次不等式（组），解决简单的问题。 知识梳理： （1）不等式及基本性质； （2）一元一次不等式（组）及解法与应用； （3）一元一次不等式与一元一次方程与一次函数。 1不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式 2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。 3不等式的性质：○1不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 ○2不等式的两边都乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘（或除以）一个负数，不等号的方向改变。 4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。 但是，在不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式的性质2，特别要注意在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。 5用一元一次不等式解决问题步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量的及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键字“眼”，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义。 （2）设：设出适当的未知数。 （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式。 （4）解：解出所列不等式的解集。 （5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 6一元一次不等式组： 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组解集的过程叫解不等式组。 一元一次不等式组解决实际问题的步骤：与一元一次不等式解决实际问题类似，不同之处在与列出不等式组，并解出不等式组。 7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数 当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围。 义务教育课程标准人教版 数学教案 九年级下册 科任老师 二次根式 16.1 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习引入： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？ 5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题： 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34，5-，)0(3≥a a ， 12+x 2、计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负 2 )3(________ )(2=a 4 1.1二次根式 目标： 1.理解二次根式的含义，掌握二次根式中根号内字母取值氛围的求法。2.能运用二次根式的概念解决有关问题。3.体会数学知识的不断拓广是为了工作、生活的需要，提高学好数学的自觉性。 教学重点： 二次根式的概念。 教学难点：例1的第（2）（3）题学生不容易理解。 教学过程： （1）4的平方根是 ； （2）0的平方根是 ； （3）-16的平方根是 ； （4）9的算术平方根是 ； （5）面积为5的正方形的边长是 . 答案：（1）2±；（2）0；（3）没有；（4）3； （5）5. 师：（5）面积为5的正方形的边长是多少呢？ 生1：2.5。 生2：2.5的平方等于6.25，生1把2 5.2算成5.25.2?了。 师：生2分析得非常不错，那么哪个正数的平方等于5呢？ 生（部分）：找不到。 师：这就是我们今天要学的§1.1二次根式，象“5”一样找不到一个数的平方为5时，我们就用符号“”来表示。“5”的算术平方根用“5”表示。 设计目的：让学生通过填空，回忆起平方根和算术平方根的概念，（5）的主要设计意图是为符号“ ”的引入埋下伏笔（当一个数的算术平方根无法用学过的数表示时，必须引 进新的知识）。 平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 算术平方根的概念：正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。用)0(≥a a 表示。 合作学习： 根据下图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空： 直角三角形的边长是： ； 正方形的边长是： ； 即课本P 4 的填空：s 2。 师：你认为所得的各代数式的共同特点是什么? 各代数式的共同特点： （b – 3）cm2 ) (2cm s 课 题 16.1二次根式 课 时 第 1 课时 课 型 新授 教 学 目 标 知识 目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 能力 目标 发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。 情感 目标 培养积极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。 教学重点 二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 教学难点 综合运用性质)0(0 ≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 板书 设计 16.1 二次根式 )0(0≥≥a a )0()(2≥=a a a 教学环节 教 学 过 程 设 计 课前预习 小组互助 （1）已知a x =2 ，那么a 是x 的______;x 是a 的______, 记为_____,a 一定是____数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 4 质疑点拨 。 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16 -，34，5-，)0 ( 3 ≥ a a ，1 2+ x 2、当a为正数时a指a的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式a中，字母a必须满足 , a才有意义。 3、根据算术平方根意义计算： (1) 2)4 ((2) （3）2)5.0 (（4）2) 3 1 ( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0 ≥ a, 4、由公式)0 ( ) (2≥ =a a a，我们可以得到公式a=2) (a ,利用此公式可以把任意一个 非负数写成一个数的平方的形式。 如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 例：当x是怎样的实数时，2 - x在实数范围内有意义？ 练习：1、x取何值时，下列各二次根式有意义？ ①4 3- x② 2 2 3 x +③ 2、（1）若33 a a ---有意义，则a的值为___________． （2）若在实数范围内有意义，则x为（）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x + - 1 2 1 中，x的取值范围是____________. (2)已知4 2- x+y x+ 2＝0，则= -y x_____________. (3)已知2 3 3- - + - =x x y,则x y= _____________。 教学反思 ________ ) (2= a 2 )3 ( x - - 2 1 x - 第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P2[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P1的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，及以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100 小时，逆流航行60千米所用 时间 v -2060小时，所以v +20100 = v -2060. 3. 以上的式子 v +20100， v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们及分数有什 么相同点和不同点？ 五、例题讲解 P3例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；1-m m 32 +-m m 112 +-m m 第一章 二次根式 1.二次根式的定义：表示算术平方根的代数式叫做二次根式，形如a (a ≥0). 2.★★★二次根式有意义的条件：被开方数≥0；分式有意义的条件：分母≠0. 例：2－x 有意义的条件是2－x ≥0，即x ≤2； 1 1－x 有意义的条件是1－x ≠0，即x ≠1； 2－x 1－x 有意义的条件是2－x ≥0且1－x ≠0，即x ≤2且x ≠1. x 的范围是______________________． 3.★★求含字母的二次根式的值.例：当x ＝－4时，求二次根式8－2x 的值. 错误解法：（1）8－2x ＝8－2×4＝0；（2）1－2x ＝8－2×(－4)＝16＝± 4. 正确解法：8－2x ＝8－2×(－4)＝16＝4. 注意：代入负数时一定要注意符号！ 4.★★★二次根式的性质： (1)(a )2＝a (a ≥0)；(2)a 2＝| a |＝???a (a ≥0)－a (a ≤0) ； (3)ab ＝a ×b (a ≥0，b ≥0)；(4) a b ＝a b (a ≥0，b ＞0). 注意：性质(2)中，当平方在根号里时，开方后要加上绝对值，再根据去绝对值法则去绝对值.若无法判定绝对值里的数的符号时，应分类讨论. 例：(2－2)2＝|2－2|＝2－2（因为2－2是负数，所以去掉绝对值后等于它的相反数.） 练习：（1）(﹣2)2＝__________；(﹣2)2＝__________． （2）(3.14－π)2＝_______________． 5.★★最简二次根式必须满足两个条件： （1）根号内不含分母；（2）根号内不含开得尽方的因数或因式. 例：下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A ．7 B ． 1 2 C ．20 D ．0.01 解析：B 和D 的根号内是分数，不是最简二次根式， 1 2 ＝ 1×2 2×2 ＝2 2 ，0.01＝ 1 100 ＝1 10 ； C 的被开方数20含有开得尽方的因数4，也不是最简二次根式，20＝4×5＝25.故选A . 八年级（下册） 1. 二次根式 1.1. 二次根式 像3,4a 2++b 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 1.2. 二次根式的性质 ()()0a 2≥=a a ()()???<-≥==00a 2a a a a a ()0,0a ab ≥≥?=b a b ()0,0a >≥=b a b a b 像57，这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。 1.3. 二次根式的运算 ()0,0ab a ≥≥=?b a b ()0,0a >≥=b a b b a 2. 一元二次方程 2.1. 一元二次方程 像方程x 2 +3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2+bx+c=0的形式。 ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a,b 分别称为二次项系数和一次项系数。 2.2. 一元二次方程的解法 利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x 1=a ，x 2=-a ，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况由代数式b 2-4ac 的值来决定，因此b 2 -4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是： ()()()没有实数根；有两个相等的实数根； ； 有两个不相等的实数根0004b 0004b 0004b 222222≠=++?<-≠=++?=-≠=++?>-a c bx ax ac a c bx ax ac a c bx ax ac 2.3. 一元二次方程的应用 2.4. 一元二次方程根与系数的关系（选学） 一元两次方程的根与系数有如下关系：（韦达定理） 如果x 1,x 2是ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)的两个根，那 a c x x a b x =?-=+2121;x 3. 数据分析初步 3.1. 平均数 有n 个数x 1、x 2、x 3 ...... x n ，我们把()n x x x x ++++.......n 1321叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记做x （读作“x 拔”） 像n n n a a a a x a x a x +++?++?+?= ............x 212211这种形式的平均数叫做加权平均数，其中分母a 1、a 2......a n 表示各相同数据的个数，称为权。权越大，对平均数的影响就越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。 3.2. 中位数和众数 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数。 平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度，但也存在各自的局限。如平均数容易受极端值得影响；众数、中位数不能充分利用全部数据信息。 3.3. 方差和标准差 在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。 各数据与平均数的差的平方的平均数()()()[]222......1s 212x x x x x x n n -++-+-=叫做这组数据的方差。 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 一组数据的方差的算术平方根()()()[]2 22......1s 21x x x x x x n n -++-+-=称为这组数据的标准差。 第1章 二次根式 1.1 二次根式 【教学目标】 知识与技能 1．理解二次根式的概念。 2．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。 过程与方法 1．经历探究二次根式意义的过程，并能观察思考得出二次根式的特点。 2．通过探究，进一步发展观察、归纳、概括等能力。 3．培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及语言表达能力。 情感态度与价值观 1．通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2．通过探究,鼓励学生敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，从交流中获益。 3．通过对二次根式特点的归纳，提高学生的逻辑思维能力。 教学重难点 重点：二次根式的概念和二次根式有意义的条件。 难点：确定较复杂的二次根式中字母的取值范围。 【教学过程】 知识回顾 求一求：（1）3的平方根是_____； （2）3的算术平方根是_____； （3 呢？ 归纳：①一个正数有____个平方根，负数_____________； ②一个非负数a 的算术平方根可以表示为 。 情景导入 根据图1.1-1的直角三角形、正方形和圆的条件，完成以下填空： 2 cm a cm 图1.1-1 直角三角形的斜边长是_____；正方形的边长是______；圆的半径是________。 学生写出表示算术平方根的式子。问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 学生通过观察，感知二次根式的特征，从而引出课题。 探究新知 1.二次根式的概念 引导学生概括二次根式的概念：像 这样表示算术平方根的代 数式叫做二次根式。 2.深化二次根式的概念： ① 提问：9-1呢？ ② 表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开 方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a 需满足什么条件？为什么？ 经学生讨论后，让学生回答，并让其他学生点评。③ 教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于0。 ④ 巩固练习一： 下列式子，哪些是二次根式？ 3.讲解例题 例1 求下列二次根式中字母a 的取值范围： （1）1+a ； （2）a 43-； （3）x - . 教师提问，学生回答，教师板书解题过程。 ① 被开方数需满足什么? ② 由此可得怎样的不等式？ 例2 求下列代数式中字母x 的取值范围： 可以转化为解怎样的不等式？ 交流归纳，总结：二次根式中字母的取值范围的基本依据是——被开方数不小于0，当分母中有字母时，要保证分母不为0。 巩固练习二： 求下列二次根式中字母x 的取值范围。 π s b a ,3,42 -+1,211 , 1),()3(,1,14,3,5222 ---+-+-x a x y x xy a a x ，为同号;211 ) 1(x -.21 ) 3(x x --;322 ) 2(x --22)1(,21,3,1 , 4,1-----x x x x x x新浙教版八年级下册数学教学计划
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