高三数学复习(理)：第6讲 正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理
[学生用书
P87]
1．正弦定理和余弦定理
定理正弦定理余弦定理
内容
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝
2R
(R为△ABC外接圆半
径)
a2＝b2＋c2－2bc cos_A；
b2＝c2＋a2－2ca cos_B；
c2＝a2＋b2－2ab cos_C
变形形式
a＝2R sin_A，b＝
2R sin_B，
c＝2R sin_C；
sin A＝
a
2R，sin B＝
b
2R，
sin C＝
c
2R；
a∶b∶c＝sin_A∶
sin_B∶sin_C；
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
＝
a
sin A
cos A＝
b2＋c2－a2
2bc；
cos B＝
c2＋a2－b2
2ca；
cos C＝
a2＋b2－c2
2ab
2.三角形解的判断
A为锐角A为钝角或直
角
图形
关系式a＝b sin A b sin A
(1)S＝1
2ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝1
2bc sin A＝
1
2ac sin_B＝
1
2ab sin
C．
(3)S＝1
2r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
1．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin A＋B
2
＝cos C
2
；
(4)cos A＋B
2
＝sin C
2.
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b ⇔sin A>sin B⇔cos A 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( ) (3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错； (2)在△ABC 中角与角的正弦关系弄错； (3)判断三角形形状时弄错． 1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定 解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝c sin C ， 所以sin B ＝b sin C c ＝40×32 20＝3>1. 所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 2．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ，B 的关系为________；若sin A >sin B ，则A ，B 的关系为________． 解析：sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ； sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B . 答案：A ＝B A >B 3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________． 解析：由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π 2， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形 [学生用书P88] 利用正、余弦定理求解三角形(多维探究) 角度一 求角或三角函数值 (1)(2020·高考全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝2 3，AC ＝4，BC ＝3，则 tan B ＝( ) A.5 B ．2 5 C ．4 5 D ．8 5 (2)(2021·福州市适应性考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos A (sin C －cos C )＝cos B ，a ＝2，c ＝2，则角C 的大小为________． 【解析】 (1)方法一：在△ABC 中，cos C ＝23，则sin C ＝53>2 2，所以C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝16＋9－2×4×3×23 ＝9，所以AB ＝3.由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得sin B ＝459，易知B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ 0，π2，所 以cos B ＝19，tan B ＝sin B cos B ＝4 5.故选C. 方法二：在△ABC 中，cos C ＝2 3，AC ＝4，BC ＝3，所以由余弦定理知AB 2 ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝16＋9－2×4×3×2 3＝9，所以AB ＝3，所以△ABC 是等腰三角形．过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则BD ＝ BC 2 －CD 2 ＝ 32 －⎝ ⎛⎭ ⎪⎫422 ＝ 5，tan B 2 ＝2 5 ＝25 5，所以tan B＝ 2tan B 2 1－tan2 B 2 ＝4 5.故选C. (2)因为cos A(sin C－cos C)＝cos B，所以cos A(sin C－cos C)＝－cos(A＋C)，所以cos A sin C＝sin A sin C，所以sin C(cos A－sin A)＝0，因为C∈(0，π)，所 以sin C≠0，cos A＝sin A，则tan A＝1，又A∈(0，π)所以A＝π 4，又 a sin A ＝c sin C， 即2 sin π 4 ＝2 sin C，所以sin C＝ 1 2，因为c π 4，故C＝ π 6. 【答案】(1)C(2)π6 角度二求边长或周长 在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°. (1)求边长a； (2)(一题多解)求AB边上的高CD的长． 【解】(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4， 由余弦定理cos C＝a2＋b2－c2 2ab 得cos 120°＝ a2＋（a＋2）2－（a＋4）2 2a（a＋2） ，即 a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3. (2)方法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 由三角形的面积公式得 1 2ab sin ∠ACB＝1 2c×CD， 所以CD＝ab sin ∠ACB c ＝ 3×5× 3 2 7 ＝153 14， 即AB边上的高CD＝153 14. 方法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 由正弦定理得3 sin A ＝7sin ∠ACB ＝ 7 sin 120° ， 即sin A ＝33 14， 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝153 14， 即AB 边上的高CD ＝153 14. (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素． (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系． (3)涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解． 1．(2021·广东省七校联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝3a sin B ，且c ＝2b ，则a b 等于( ) A.32 B ． 2 C.43 D. 3 解析：选B.由2b sin 2A ＝3a sin B ，及正弦定理可得4sin B ·sin A cos A ＝3sin A sin B ，由于sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝3 4，又c ＝2b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－2b ×2b ×34＝2b 2，所以a b ＝2，故选B. 2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C． (1)求A； (2)若2a＋b＝2c，求sin C． 解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝1 2. 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. (2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即 6 2 ＋3 2cos C＋ 1 2sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－ 2 2. 由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝2 2，故sin C＝sin(C＋60°－60°) ＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60° ＝6＋2 4. 判断三角形的形状(典例迁移) (2020·重庆六校联考)在△ABC中，cos2B 2＝ a＋c 2c(a，b，c分别为角A， B，C的对边)，则△ABC的形状为() A．直角三角形B．等边三角形 C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形 【解析】已知等式变形得cos B＋1＝a c ＋1，即cos B＝a c ①.由余弦定理 得cos B＝a2＋c2－b2 2ac，代入①得 a2＋c2－b2 2ac ＝a c，整理得b 2＋a2＝c2，即C为直角， 则△ABC为直角三角形．【答案】 A 【迁移探究1】(变条件)将“cos2B 2＝ a＋c 2c”改为“c－a cos B＝(2a－b)cos A”，试判断△ABC的形状． 解：因为c－a cos B＝(2a－b)cos A， C＝π－(A＋B)， 所以由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A， 所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以cos A(sin B－sin A)＝0， 所以cos A＝0或sin B＝sin A， 所以A＝π 2 或B＝A或B＝π－A(舍去)， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 【迁移探究2】(变条件)将“cos2B 2＝ a＋c 2c”改为“ sin A sin B＝ a c，(b＋c＋a)(b ＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状． 解：因为sin A sin B ＝a c，所以 a b ＝a c，所以b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝bc 2bc ＝1 2. 因为A∈(0，π)，所以A＝π3， 所以△ABC是等边三角形． (1)判定三角形形状的2种常用途径 (2)判定三角形形状的3个注意点 ①“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系； ②“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系； ③还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别． 在△ABC 中，已知2a cos B ＝c, sin A sin B ·(2－cos C )＝sin 2C 2＋ 1 2，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．锐角非等边三角形 D ．钝角三角形 解析：选B.将已知等式2a cos B ＝c 利用正弦定理化简得2sin A cos B ＝sin C ， 因为sin C ＝sin () A ＋ B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， 因为A 与B 都为△AB C 的内角， 所以A －B ＝0，即A ＝B . 因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12， 所以sin A sin B (2－cos C )＝12(1－cos C )＋12＝1－1 2cos C ， 所以－12⎣⎡⎦⎤cos () A ＋ B －cos （A －B ）(2－cos C )＝1－12 cos C ， 所以－1 2(－cos C－1)(2－cos C)＝1－ 1 2cos C， 即(cos C＋1)(2－cos C)＝ 2－cos C， 整理得cos2C－2cos C＝0，即cos C(cos C－2)＝0，所以cos C＝0或cos C ＝2(舍去)，所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形，故选B. 与三角形面积有关的问题(多维探究) 角度一计算三角形的面积 (一题多解)(2021·昆明市三诊一模)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝120°，sin C＝ 21 7，c＝2，则△ABC的面积等于() A. 3 2B．2 3 C. 3 4 D. 3 【解析】方法一：由正弦定理 b sin B ＝c sin C，得b＝ c sin B sin C ＝ 2× 3 2 21 7 ＝7.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得7＝a2＋4＋2a，解得a＝1或a＝－3(舍去)， 所以S△ABC＝1 2ac sin B＝ 1 2×1×2× 3 2 ＝3 2，故选A. 方法二：由正弦定理 b sin B ＝c sin C，得b＝ c sin B sin C ＝ 2× 3 2 21 7 ＝7.因为sin C＝ 21 7，0° 27 7，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝ 3 2× 27 7 －1 2× 21 7 ＝21 14，所以S△ABC ＝1 2bc sin A＝ 1 2×7×2× 21 14 ＝3 2，故选A. 【答案】 A 求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二已知三角形的面积解三角形 (2021·深圳市统一测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2＋b2－c2＝2S. (1)求cos C； (2)(一题多解)若a cos B＋b sin A＝c，a＝5，求b. 【解】(1)因为S＝1 2ab sin C，a 2＋b2－c2＝2S， 所以a2＋b2－c2＝ab sin C， 在△ABC中，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝ab sin C 2ab ＝sin C 2， 所以sin C＝2cos C， 又sin2C＋cos2C＝1，所以5cos2C＝1，cos C＝±5 5， 又C∈(0，π)，所以sin C>0，所以cos C>0，所以cos C＝5 5. (2)方法一：在△ABC中，由正弦定理得sin A cos B＋sin B sin A＝sin C， 因为sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 所以sin A cos B＋sin B sin A＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin B sin A＝cos A sin B，又A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，sin A＝cos A，得A＝π4. 因为sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， 所以sin B＝sin A cos C＋cos A sin C＝2 2× 5 5 ＋2 2× 25 5 ＝310 10. 在△ABC 中，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝5×310 10 22＝3. 方法二：因为a cos B ＋b sin A ＝c ， a cos B ＋b cos A ＝c ， 所以a cos B ＋b sin A ＝a cos B ＋b cos A ， 即sin A ＝cos A ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π 4. 在△ABC 中，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝5×255 22＝2 2. 因为b ＝c cos A ＋a cos C ， 所以b ＝22×22＋5×5 5＝3. 方法三：求A 同方法一或方法二． 在△ABC 中，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝5×255 22 ＝22， 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2－2b －3＝0，解得b ＝－1(舍去)或b ＝3. 所以b ＝3. (或由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2－4b ＋3＝0，解得b ＝1或b ＝3.因为当b ＝1时，a 2＋b 2－c 2＝－2<0，不满足cos C >0或a 2＋b 2－c 2＝－2≠2S ，所以应舍去，故b ＝3) 已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用． 1．在△ABC 中，cos B ＝14 ，b ＝2，sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面积等于( ) A.14 B ．12 C.32 D.154 解析：选D.在△ABC 中，cos B ＝1 4，b ＝2，sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ；由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋4a 2－2a ·2a ·14＝4a 2 ＝4，解得a ＝1，可得c ＝2，所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝1 2×1×2×1－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫142 ＝154. 故选D. 2．(2020·成都市诊断性检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b 2 ＋c 2 －a 2 ＝423bc . (1)求sin A 的值； (2)若△ABC 的面积为2，且2sin B ＝3sin C ，求△ABC 的周长． 解：(1)因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以2bc cos A ＝42 3bc ， 所以cos A ＝22 3， 所以在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝1 3. (2)因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝1 6bc ＝2， 所以bc ＝6 2. 因为2sin B ＝3sin C ，所以由正弦定理得 2 b ＝3c ， 所以b ＝32，c ＝2， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6，所以a ＝ 6. 所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6. [学生用书P91] 高考新声音3 解三角形中的结构不良型开放性问题 (2020·新高考卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中 任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π 6，________________？ 【解题思路】 结合已知条件，根据正弦定理及余弦定理可得a ＝ 3 b ，b ＝c ，选择①ac ＝3，可由a ＝ 3 b ，b ＝c ，求得a ，b ，c 的值，得到结论；选择②c sin A ＝3，可由b ＝c 得到A ，B ，进而求得a ，b ，c 的值，得到结论；选择③c ＝ 3 b ，与b ＝c 矛盾，得到结论． 【解】 方案一：选条件①. 由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32. 由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝ 32，由此可得b ＝c . 由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1. 方案二：选条件②. 由C＝π 6 和余弦定理得 a2＋b2－c2 2ab ＝3 2. 由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b. 于是3b2＋b2－c2 23b2 ＝3 2，由此可得b＝c，B＝C＝ π 6，A＝ 2π 3. 由②c sin A＝3，所以c＝b＝23，a＝6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.方案三：选条件③. 由C＝π 6 和余弦定理得 a2＋b2－c2 2ab ＝3 2. 由sin A＝3sin B及正弦定理得a＝3b. 于是3b2＋b2－c2 23b2 ＝3 2，由此可得b＝c. 由③c＝3b，与b＝c矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 本题以解三角形为背景命制，给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能随之确定)，在此基础上让学生在另外给出的几个条件中自主选择，在所选条件下，若问题中的三角形存在，求解三角形；若问题中的三角形不存在，说明理由．(2020·高考北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件 ②这两个条件中选择一个作为已知，求； (1)a的值； (2)sin C和△ABC的面积． 条件①：c＝7，cos A＝－1 7； 条件②：cos A＝1 8，cos B＝ 9 16. 解：选① (1)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b ＝11－a ，c ＝7， 得a 2 ＝(11－a )2 ＋49－2(11－a )×7×⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －17， 所以a ＝8. (2)因为cos A ＝－17，A ∈(0， π)，所以sin A ＝43 7. 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝7×437 8＝3 2， 由(1)知b ＝11－a ＝3， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3×3 2＝6 3. 选② (1)因为cos A ＝18，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ 0，π2，sin A ＝378. 因为cos B ＝916，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ 0，π2，sin B ＝5716. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得 a 378 ＝11－a 5716 ，所以a ＝6. (2)sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝7 4. 因为a ＋b ＝11，a ＝6， 所以b ＝ 5. 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×5×74＝157 4. [学生用书P301(单独成册)] [A 级 基础练] 1．(2020·六校联盟第二次联考)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则A ＝( ) A ．60° B ．30°或90° C ．60°或120° D ．90° 解析：选B.由正弦定理AC sin B ＝AB sin C 得 1sin 30° ＝3sin C ，所以sin C ＝3 2，因为AB >AC ，所以C ＝60°或120°，当C ＝60°，B ＝30°时，A ＝90°；当C ＝120°，B ＝30°时，A ＝30°. 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A .又sin(B ＋C )＝sin A 且sin A ≠0，所以sin A ＝1，所以A ＝π 2，所以△ABC 为直角三角形，故选B. 3．(2021·长沙市四校模拟考试)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知2b －a cos C ＝0，sin A ＝3sin(A ＋C )，则bc a 2＝( ) A.74 B ．149 C.23 D.69 解析：选D.因为2b －a cos C ＝0，所以由余弦定理得2b －a ×a 2＋b 2－c 2 2ab ＝0，整理得3b 2＋c 2＝a 2 ①.因为sin A ＝3sin(A ＋C )＝3sin B ，所以由正弦定理可得a ＝3b ②，由①②可得c ＝6b ，则bc a 2＝b ×6b 9b 2＝6 9.故选D. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( ) A. 2 B ． 3 C.32 D ．2 解析：选C.因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2或c ＝－1(舍去)，所以由正弦定理得S △ABC ＝1 2ac sin B ＝3 2，故选C. 5．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝33 2 且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( ) A ．5＋7 B ．12 C ．10＋7 D ．5＋27 解析：选A.在△ABC 中，∠A ＝60°.因为2sin B ＝3sin C ，故由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝1 2bc ·sin A ，可得bc ＝6，所以b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7，所以a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A. 6．(2020·福州市适应性考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝2ac ，则a ＝________． 解析：由题设及正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2a sin C ，所以sin(A ＋B )＝2a sin C ．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2a sin C ，又sin C ≠0，所以a ＝1 2. 答案：1 2 7．(2020·湖北八校第一次联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B －sin A (sin C ＋cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则角C ＝________． 解析：因为A＋C＝π－B，所以sin B＝sin(A＋C)＝sin A·cos C＋cos A sin C，因为sin B－sin A(sin C＋cos C)＝0，所以cos A sin C－sin A sin C＝0，因为C∈(0， π)，所以sin C>0，所以cos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以A＝π 4，由正弦定理 得a sin π 4 ＝c sin C，又a＝2，c＝2，所以sin C＝ 1 2，因为a>c，所以C＝ π 6. 答案：π6 8．(2020·福州市质量检测)已知钝角三角形ABC的内角A，B，C的对边分 别为a，b，c，且c＝7，b＝1，若△ABC的面积为 6 2，则a的长为________． 解析：因为△ABC的面积S＝1 2bc sin A，所以 6 2 ＝1 2×1×7sin A，所以sin A ＝6 7，所以cos A＝± 7 7，当cos A＝ 7 7 时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝6， 此时△ABC为直角三角形(舍去)； 当cos A＝－7 7 时，由a2＝b2＋c2－2bc cos A得a＝10，经检验，a＝10符合题意． 综上，a＝10. 答案：10 9．(2020·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°. (1)若a＝3c，b＝27，求△ABC的面积； (2)若sin A＋3sin C＝ 2 2，求C. 解：(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×3c2×cos 150°.解得c＝－2(舍去)，c＝2，从而a＝2 3. △ABC的面积为1 2×23×2×sin 150°＝ 3. (2)在△ABC 中，A ＝180°－B －C ＝30°－C ，所以 sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C ＝sin(30°＋C )． 故sin(30°＋C )＝2 2. 而0° 10．(2020·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ π2＋A ＋cos A ＝54. (1)求A ； (2)若b －c ＝3 3a ，证明：△ABC 是直角三角形． 解：(1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝5 4， 即cos 2A －cos A ＋1 4＝0. 所以⎝ ⎛ ⎭⎪⎫cos A －122＝0, cos A ＝12. 由于0 (2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B －sin C ＝3 3sin A ． 由(1)知B ＋C ＝2π 3， 所以sin B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝33sin π 3. 即12sin B －32cos B ＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝1 2. 由于0 2.从而△ABC 是直角三角形． [B 级 综合练] 11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( ) 第6讲正弦定理和余弦定理 [学生用书 P87] 1．正弦定理和余弦定理 定理正弦定理余弦定理 内容 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝ 2R (R为△ABC外接圆半 径) a2＝b2＋c2－2bc cos_A； b2＝c2＋a2－2ca cos_B； c2＝a2＋b2－2ab cos_C 变形形式 a＝2R sin_A，b＝ 2R sin_B， c＝2R sin_C； sin A＝ a 2R，sin B＝ b 2R， sin C＝ c 2R； a∶b∶c＝sin_A∶ sin_B∶sin_C； a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C ＝ a sin A cos A＝ b2＋c2－a2 2bc； cos B＝ c2＋a2－b2 2ca； cos C＝ a2＋b2－c2 2ab 2.三角形解的判断 A为锐角A为钝角或直 角 图形 关系式a＝b sin A b sin A [基础题组练] 1．(2020·湖北武汉调研测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π 2，则角C ＝( ) A.π 12 B ．π6 C.π4 D ．π3 解析：选B.因为在△ABC 中，A －B ＝π2，所以A ＝B ＋π 2，所以sin A ＝sin ????B ＋π2＝cos B ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ，所以cos B ＝3sin B ，所以tan B ＝33 ，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π 6 ，所以C ＝π－????π6＋π2－π6＝π6，故选B. 2．(2020·江西上饶一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 的值是( ) A.4 3 B ．34 C ．－43 D ．－34 解析：选C.因为S ＝1 2ab sin C ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 所以由2S ＝(a ＋b )2－c 2， 可得ab sin C ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2－2ab ·cos C )， 整理得sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4， 所以（sin C －2cos C ）2sin 2C ＋cos 2C ＝4，sin 2C ＋4cos 2C －4sin C cos C sin 2C ＋cos 2 C ＝4，化简得3tan 2C ＋4tan C ＝0， 因为C ∈(0，π)， 所以tan C ＝－4 3 ，故选C. 3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A .又sin(B ＋C )＝sin A 且sin A ≠0，所以sin A ＝1，所以A ＝π 2 ， 第6讲 正弦定理和余弦定理 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆的半径，则 2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况 3.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1 2 ah (h 表示边a 上的高)． (2)S ＝12bc sin A ＝□0112ac sin B ＝□0212ab sin C . (3)S ＝1 2 r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 1.概念辨析 (1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( ) (3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2 ＋c 2 －a 2 >0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2 3，则b ＝( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 答案 D 解析 由余弦定理得5＝b 2 ＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D. (2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝b a ＝2，则该三 角形的形状是( ) A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形 答案 A 解析 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由b a ＝2，可知 a ≠ b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°， 于是△ABC 是直角三角形． (3)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1 3，则△ABC 的面积为________． 答案 4 3 解析 ∵cos C ＝13，0 第6讲 正弦定理和余弦定理 1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【复习指导】 1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法． 2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择． 基础梳理 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab . 3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则 A 为锐角 A 为钝角或 直角 图形 关系 式 a ＜b sin A a ＝ b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ?a ＞b ?sin A ＞sin B . 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063 D ．5 6 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ， 即 1032＝c 22 .∴c ＝1063. 答案 C 第6讲正弦定理和余弦定理 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则 2.在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况 3.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1 2ah (h 表示边a 上的高)． (2)S ＝12bc sin A ＝□0112ac sin B ＝□0212ab sin C . (3)S ＝1 2 r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 1.概念辨析 (1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( ) (3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2 ＋c 2 －a 2 >0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2 3，则b ＝( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 答案 D 解析 由余弦定理得5＝b 2 ＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D. (2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝b a ＝2，则该三 角形的形状是( ) A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形 答案 A 解析 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由b a ＝2，可知 a ≠ b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°， 于是△ABC 是直角三角形． (3)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1 3，则△ABC 的面积为________． 答案 4 3 解析 ∵cos C ＝13，0 三角函数中的正弦定理与余弦定理三角函数是数学中常用的一种函数，在几何学中也起着重要的作用。本文将探讨三角函数中的两个关键定理：正弦定理和余弦定理。这两 个定理在解决各种三角形问题时非常有用，通过它们可以计算出未知 的边长和角度。 一、正弦定理 正弦定理是一个关于三角形边长和角度之间关系的定理，它适用于 所有的三角形。正弦定理表达的是三角形中一个角的正弦值与其对边 的比例关系。 设三角形的三边分别为a、b、c，相应的角为A、B、C，那么正弦 定理可以表示为： a/sinA = b/sinB = c/sinC 这个定理的一种形式是： a/sinA = 2R 其中，R是三角形外接圆的半径。 正弦定理的应用非常广泛，例如可以通过已知两边和一个角度，求 解未知边长或者角度。同时，它也常用于解决三角形的面积问题。 二、余弦定理 余弦定理是另一个与三角形边长和角度之间关系的定理，与正弦定 理相比，余弦定理更加灵活，适用于各种类型的三角形。余弦定理表 达的是三角形中一个角的余弦值与其对边的平方和其他两边的乘积之间的关系。 设三角形的三边分别为a、b、c，相应的角为A、B、C，那么余弦定理可以表示为： a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosB c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC 余弦定理的应用非常广泛，可以通过已知三边求解未知角度或者通过已知两边和一个夹角求解未知边长。 三、正弦定理与余弦定理的关系 正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时可以互相补充使用。根据正弦定理，我们可以求解任意一个角的正弦值，通过求解余弦，我们可以得知其他两个角的余弦值。进而，我们可以通过余弦定理求解三角形的边长。 例如，在解决三角形的边长问题时，我们可以首先使用正弦定理求解一个角的正弦值，然后使用余弦定理求解其他两个角的余弦值。通过已知角度的余弦值，我们可以应用余弦定理求解未知边长。 在实际应用中，我们常常需要通过这两个定理来解决与三角形相关的问题。正弦定理和余弦定理在物理、工程、测量等领域得到了广泛的应用。 第6讲正弦定理和余弦定理 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(·盐城模拟)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝3ab，则C＝________. 解析由a2－c2＋b2＝3ab，得cos C＝a2＋b2－c2 2ab＝ 3ab 2ab＝ 3 2，所以C＝30°. 答案30° 2．(·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为 3 2，则BC的长 为________． 解析S＝1 2×AB·AC sin 60°＝ 1 2×2× 3 2AC＝ 3 2，所以AC＝1，所以BC 2＝AB2 ＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝ 3. 答案3 3．(·新课标全国Ⅱ卷改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b ＝2，B＝π 6，C＝π 4，则△ABC的面积为________． 解析由正弦定理 b sin B＝ c sin C及已知条件得c＝22， 又sin A＝sin(B＋C)＝1 2× 2 2＋ 3 2× 2 2＝ 2＋6 4. 从而S △ABC ＝ 1 2bc sin A＝ 1 2×2×22× 2＋6 4＝3＋1. 答案3＋1 4．(·山东卷改编)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝________. 解析由 a sin A＝ b sin B，得 a sin A＝ b sin 2A，所以 1 sin A＝ 3 2sin A cos A，故cos A＝ 3 2， 又A∈(0，π)，所以A＝π 6，B＝ π 3，C＝ π 2，c＝a 2＋b2＝12＋(3)2＝2. 第6讲 正弦定理和余弦定理 分层A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2013·湖州模拟)在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状是 ( )． A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 解析 由正、余弦定理得2·a 2＋c 2－b 2 2ac ·a ＝c ，整理得a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形． 答案 B 2．(2012·金华十校二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2 －b 2 ＝3 bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ ( )． A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析 由a 2 －b 2 ＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2 ＝3bc ＋b 2 ，c b ＝2 3.由余弦定理， 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝3 2 ，所以A ＝30°，故选A. 答案 A 3．(2012·绍兴模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝ ( )． A. 2 B. 3 C.3 2 D ．2 解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 又∵a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝b sin B ， ∴sin A ＝ a sin B b ＝32×13＝1 2 ， ∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝3 2. 答案 C 第6讲 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )． A ．－12 B.12 C ．－1 D ．1 解析 根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 答案 D 2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为 ( )． A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 解析 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴cos C ＝－12 ，∴C ＝120°. 答案 C 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝ ( )． A. 2 B. 3 C.32 D ．2 解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝b sin B ， ∴sin A ＝a sin B b ＝32×13＝12， ∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32. 答案 C 4．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )． 专题4.6 正弦定理和余弦定理 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 . 知识点一 正弦定理和余弦定理 1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2 ＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 常见 变形 (1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ； cos B ＝c 2＋a 2－b 2 2ac ； cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab 2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ， r . 3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A b a ≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 知识点二 三角函数关系和射影定理 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理 第五章第6讲 [A 级 基础达标] 1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若a ＝3b ，A ＝120°，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】A 2．(2019年某某模拟)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B ＝2b sin A ，则a ＝( ) A ．2 B ． 22 C ．1 D ．2 2 【答案】B 3．(2019年某某模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223， b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π 【答案】C 4．(2020年某某月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋C 2 ＝b sin A ，则角B ＝( ) A ．π6或5π6 B ．π3或2π3 C ．π6 D ．π3 【答案】D 5．a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，若a 2＋b 2＝2 021c 2，则2tan A tan B tan C (tan A ＋tan B ) ＝( ) A ．1 010 B ．2 019 C ．2 020 D ．2 021 【答案】C 【解析】由a 2＋b 2＝2 021c 2，得a 2＋b 2－c 2＝2 020c 2，即2 020c 2＝2ab cos C ， 得cos C ＝1 010c 2ab .所以2tan A tan B tan C (tan A ＋tan B )＝2sin A sin B cos A cos B sin C cos C ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋ sin B cos B ＝2sin A sin B cos A cos B sin C cos C ·sin (A ＋B ) cos A cos B ＝ 2sin A sin B cos C sin 2C ＝2ab cos C c 2＝2ab · 1 010c 2 ab c 2 ＝2 020. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 【答案】30° 【解析】将sin C ＝23sin B 利用正弦定理化简得c ＝23b ，代入a 2－b 2 ＝3bc ，可得 a 2＝7 b 2，所以由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2 ＝3 2.因为A 为三角形的内角，所以A ＝30°. 7．(2019年某某期中)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，且∠CAB ＝π 6.若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积取最大值时，sin D ＝________. 【答案】27 7【解析】因为a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，所以由正弦定理可得sin A cos C ＋ cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ＝sin 2B ，sin B ＝1，B ＝π2.又因为∠CAB ＝π6，所以BC ＝1 2AC ，AB ＝3 2AC ．由余弦定理可得cos D ＝22＋32－AC 22×2×3，可得AC 2＝13－12cos D ，S 四边形ABCD ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12×2×3×sin D ＋12×12AC ×32AC ＝3sin D ＋38(13－12cos D )＝1383＋3sin D － 33 2 cos D ＝9＋274sin(D ＋φ)＋1383，其中tan φ＝－32.当φ＋D ＝π2 时，S 四边形ABCD 最大， 此时tan D ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝1tan φ＝－233，可得sin D ＝277 . 8．(2019年新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π 3 ，则△ABC 的面积为________． 【答案】63【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．又因为b ＝6，a ＝2c ，B 【2019最新】精选高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6讲正弦 定理和余弦定理学案 板块一知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 正弦定理 a ＝＝＝2R， sinA 其中2R为△ABC外接圆的直径． 变式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC. 考点2 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB； c2＝a2＋b2－2abcosC. 变式：cosA＝；cosB＝； cosC＝. sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA. 考点3 在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况 1．S＝ah(h表示边a上的高)． 2．S＝bcsinA＝acsinB＝absinC. 3．S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． [必会结论] 在△ABC中，常有以下结论 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos ＝sin. (5)tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC. (6)∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA 第2课时 正、余弦定理的综合问题 与三角形面积有关的问题(多维探究) 角度一 计算三角形的面积 (1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π 3 ，则△ABC 的面积为． (2)(2020·某某五校第二次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 a 2＋ b 2－ c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则△ABC 的面积为． 【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2 －2ac cos B ， 得62＝(2c )2＋c 2 －2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12 ac sin B ＝12×43×23×sin π3 ＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2 －2ac cos B ，得62＝(2c )2 ＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2 ，所以A ＝π2，所以△ABC 的面积S ＝1 2 ×23×6＝6 3. (2)因为a 2 ＋b 2 －c 2 ＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝3 2 ，又0＜ C ＜π，所以C ＝π6 .因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以 ab ＝2 3.故S △ABC ＝1 2 ab sin C ＝12 ×23sin π6 ＝ 32 . 【答案】 (1)6 3 (2) 32 求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积； 第6节正弦定理与余弦定理 一、教材概念·结论·性质重现 1．正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．正弦定理的变形公式： (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C. (2)sin A＝ a 2R，sin B＝ b 2R，sin C＝ c 2R. (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．2．余弦定理 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．即 a2＝b2＋c2－2bc cos A， b2＝a2＋c2－2ac cos B， c2＝a2＋b2－2ab cos C. 余弦定理的推论： cos A＝b2＋c2－a2 2bc，cos B＝ a2＋c2－b2 2ac， cos C＝a2＋b2－c2 2ab. 3．三角形的面积公式 (1)S＝1 2ah(h表示边a上的高)． (2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1 2ab sin C . (3)S ＝1 2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 4．常用结论 在△ABC 中，常用以下结论： (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝ cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C 2. (5)tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . (6)A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A 第六节 正弦定理和余弦定理及解三角形 [A 组 基础对点练] 1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：由正弦定理知，sin A sin A ＝cos B sin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案：B 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＝2. 答案：B 5．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．5 解析：化简23cos 2A ＋cos2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝1 5 .由余弦定理， 知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据，解方程，得b ＝5. 答案：D 6．(2020·广东广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7 ，c ＝4，cos B ＝3 4 ，则△ABC 的面积为( ) A ．37 B ．372 C ．9 D ．92 解析：由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，得7＝16＋a 2－6a ，解得a ＝3，∵cos B ＝3 4 ， ∴sin B ＝ 74 ，∴S △ABC ＝12 ca sin B ＝12 ×4×3×74 ＝372 . 答案：B 7．(2021·河南三市联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ∶sin B ＝1∶3 ，c ＝2cos C ＝3 ，则△ABC 的周长为( ) A ．3＋33 B ．23 C ．3＋23 D ．3＋3 解析：因为sin A ∶sin B ＝1∶3 ，所以b ＝3 a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab ＝ a 2＋（3a ）2－c 22a ·3a ＝3 2 ，又c ＝ 3 ，所以a ＝3 ，b ＝3，所以△ABC 的周长为3＋23 . 答案：C 8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________． 解析：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A ＋C )＝sin B ，所以cos 第七节正弦定理和余弦定理 1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则 (1)S ＝1 2ah (h 表示边a 上的高)； (2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1 2ab sin C ； (3)S ＝1 2 r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． [熟记常用结论] 1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B ＝π3，A ＋C ＝2π 3. 2．在斜△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . 3．在△ABC 中，∠A ＞∠B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B. 4．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B. [小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .( ) (2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (3)在△ABC 中，sin A ＞sin B 的充分不必要条件是A ＞B .( ) (4)在△ABC 中，a 2＋b 2＜c 2是△ABC 为钝角三角形的充分不必要条件．( ) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 二、选填题 1．在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b 等于( ) A ．23 B ．12 C ．27 D ．28 解析：选A 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝4＋16－8＝12，所以b ＝2 3. 2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝1 3，则sin B ＝( ) A.15 B.59 C.53 D ．1 解析：选B 根据a sin A ＝b sin B ，有313 ＝5sin B ，得sin B ＝5 9 .故选B. 3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定 解析：选C 由正弦定理得 b sin B ＝ c sin C ， ∴sin B ＝ b sin C c ＝ 40×32 20＝3＞1. ∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．故选C. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝________. 解析：易知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－(7)22×3×2 ＝1 2， 第6讲 正弦定理和余弦定理 板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R ， 其中2R 为△ABC 外接圆的直径． 变式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . a ∶ b ∶ c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 考点2 余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 变式：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ； cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A . 考点3 在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况 考点4 三角形中常用的面积公式 1．S ＝12ah (h 表示边a 上的高)． 2．S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C . 3．S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． [必会结论] 在△ABC 中，常有以下结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C 2. (5)tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . (6)∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A 高三数学复习(理)：第6讲 正弦定理和余弦定理
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