余弦定理公式大全-高中余弦定理公式大全

余弦定理公式大全

正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识结构 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 22sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA

余弦定理公式大全

余弦定理公式大全 余弦定理是三角形中一个重要的几何定理，它可以通过三个边的长度来计算出三个角的大小。余弦定理的公式包含了三个版本，根据给定的已知条件来选择相应的公式。 第一个版本的余弦定理是用于计算三角形的边长的。假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a，b和c，对应的顶点角度为A，B和C。那么可以使用以下公式计算出任意边长： c² = a² + b² - 2ab cos(C) a² = b² + c² - 2bc cos(A) b² = a² + c² - 2ac cos(B) 这些公式可以根据已知的两个边长和它们之间的夹角来计算第三个边长。 第二个版本的余弦定理是用于计算三角形的角度的。假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a，b和c，对应的顶点角度为A，B和C。那么可以使用以下公式计算出任意角度的值： cos(A) = (b² + c² - a²) / 2bc cos(B) = (a² + c² - b²) / 2ac cos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab 这些公式可以根据已知的三个边长来计算出相应的角度。 第三个版本的余弦定理是用于计算三角形的面积的。假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a，b和c，对应的顶点角度

为A，B和C。那么可以使用以下公式计算出三角形的面积： Area = (1/2)ab sin(C) Area = (1/2)bc sin(A) Area = (1/2)ac sin(B) 这些公式可以根据已知的两个边长和它们之间的夹角来计算三角形的面积。 余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具，可以计算未知长度、未知角度以及三角形的面积。这些公式的推导过程可以使用几何或者代数方法来完成，可以在几何相关的书籍、教材以及网上的数学资源中找到相关的推导过程。 需要注意的是，余弦定理是基于三角形的平面几何性质而推导出来的，因此它仅适用于平面内的三角形。在空间几何中，由于存在更多的维度和复杂的几何关系，余弦定理的形式可能会有所改变。

余弦定理公式大全

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识结构 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA

高中数学三角形余弦定理及公式

高中数学三角形余弦定理及公式 知识就是力量，下面由小编为你精心准备了“高中数学三角形余弦定理及公式＂，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ 高中数学三角形余弦定理及公式 一、什么是三角形余弦定理 三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。 二、三角形余弦定理的公式 对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有： a²=b²+c²-bc·cosA b²=a²+c²-ac·cosB c²=a²+b²-ab·cosC 也可表示为： cosC=（a²+b²-c²）/ab cosB=（a²+c²-b²）/ac cosA=（c²+b²-a²）/bc 这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。 如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况。 三、三角形余弦定理的证明 平面向量证法（觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理）∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小） ∴c·c=（a+b）·（a+b） ∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos（π-θ）

（以上粗体字符表示向量） 又∵Cos（π-θ）=-Cosθ ∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 再拆开，得c²=a²+b²-2abcosC 即cosC=（a2+b2-c2）/2*a*b 同理可证其他，而下面的cosC=（c2-b2-a2）/2ab就是将cosC 移到左边表示一下。 平面几何证法 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC²=AD²+DC² b²=（sinBc）²+（a-cosBc）² b²=（sinB*c）²+a²-2accosB+（cosB）²c² b²=（sinB2+cosB2）c²-2accosB+a² b²=c²+a²-2accosB cosB=（c²+a²-b²）/2ac

余弦定理公式大全

余弦定理公式大全 余弦定理是解决三角形问题时经常使用的重要公式，可以通过它计算 三角形的边长或角度。它的表达式是： c² = a² + b² - 2ab*cos(C) 其中，a、b、c分别代表三角形的边长，C代表夹在边a和边b之间 的角度。 1.角度公式： 根据余弦定理公式，我们可以解出夹在边a和边b之间的角度C的值：cos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab 通过这个公式，如果我们已知三角形的三个边长a、b、c，就可以计 算出夹在边a和边b之间的角度C的大小。 2.边长公式： 根据余弦定理公式，我们可以解出边c的值： c = √(a² + b² - 2ab*cos(C)) 通过这个公式，如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和 边b之间的角度C，就可以计算出边c的长度。 3.面积公式： 根据余弦定理公式，我们可以推导出三角形的面积公式： S = 1/2 * a * b * sin(C)

其中，S代表三角形的面积。通过这个公式，如果我们已知三角形的 两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C，就可以计算出三角形的 面积。 4.费马定理公式： 根据余弦定理公式，我们可以推导出费马点定理公式： AF² + BF² + CF² = 4S² / sqrt(3) 其中，AF、BF、CF分别代表三角形的三个顶点到费马点的距离，S代 表三角形的面积。通过这个公式，如果我们已知三角形的面积S，就可以 计算出费马点到三个顶点的距离。 总结： 余弦定理提供了一种解决三角形问题的强大工具。通过余弦定理公式，我们可以计算三角形的边长、角度和面积等相关参数。这些公式的应用范 围非常广泛，是解决三角形问题时的基础知识之一、掌握了余弦定理公式，我们就可以快速准确地解决三角形相关的数学问题。

余弦定理公式大全

余弦定理公式大全 余弦定理是数学中的一种定理，用来计算三角形中的角度或边长。它是三角形中的重要定理之一，有助于培养学生的空间想象力和解决实际问题的能力。以下是余弦定理的公式及相关参考内容： 余弦定理的公式： 在三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则余弦定理可以表示为： c² = a² + b² - 2ab cosC b² = a² + c² - 2ac cosB a² = b² + c² - 2bc cosA 在这些公式中，cosA、cosB和cosC是三角形的三个内角的余弦值，可以使用三角函数表或计算器来计算。 应用例子之一： 假设一个三角形的两边分别为7cm和9cm，夹角为60°，我们可以使用余弦定理来计算第三边的长度。根据公式c² = a² + b²- 2ab cosC，代入a=7、b=9和C=60°，可以得到： c² = 7² + 9² - 2×7×9×cos60° c² = 49 + 81 - 126cos60° c² = 130 - 126cos60° c² = 130 - 126×0.5 c² = 130 - 63 c² = 67 所以，第三边的长度c≈√67≈8.185cm。

余弦定理的相关参考内容： 1. 角度三角函数表：这是一个常见的参考资料，其中包含了各种角度的正弦、余弦和正切值。通过查找这个表格，我们可以轻松地找到对应角度的余弦值，从而应用余弦定理计算三角形的边长。 2. 三角函数计算器：现代科技提供了各种电子设备和手机应用程序，可以在数秒内计算出任意角度的三角函数值。只需输入角度，它们将立即返回角度的正弦、余弦和正切值。这些计算器能够快速解决各种三角形问题，包括余弦定理的应用。 3. 教材和课堂教学：余弦定理是数学课本中普遍存在的知识点。教师可以通过示例问题和解决方案，向学生解释如何使用余弦定理，并提供练习题供学生练习。 4. 在线教育资源：许多网站、学习平台和视频分享网站上都有关于余弦定理的教学视频和解题方法介绍。学生可以通过在线搜索来找到这些资源，并随时随地学习。 5. 计算软件和程序：数学软件和编程语言（如MATLAB、Python）可以通过编写代码来计算三角形的边长和角度。这些 工具可以自动化计算过程，并提供更复杂的解决方案。 总结： 余弦定理是解决三角形问题的重要工具。通过公式和相关参考内容的学习，我们可以了解如何计算三角形的边长和角度。同

余弦定理公式大全

余弦定理公式大全 余弦定理是三角形中一个非常重要的定理，可以用来求解不等边 三角形的边长或角度。以下是余弦定理公式大全： 1. 第一种情况：已知三边，求一个角度的余弦值 余弦定理公式为：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc) 或cosB=(a²+c²- b²)/(2ac) 或cosC=(a²+b²-c²)/(2ab) 例如，如果已知一个三角形的三边分别为5、7、8，则可以利用余弦定理计算出该三角形的任意角度的余弦值（cosA、cosB、cosC）。 2. 第二种情况：已知两边和它们之间的夹角，求第三边的长度 余弦定理公式为：c²=a²+b²-2ab*cosC 或b²=a²+c²-2ac*cosB 或 a²=b²+c²-2bc*cosA 例如，如果已知一个三角形的两边长度为6和8并且夹角为60度，则可以利用余弦定理计算出第三边的长度。 3. 第三种情况：已知一个角度和它所对的边，求另外两条边的长 度 余弦定理公式为：b²=c²+a²-2ac*cosB 或a²=c²+b²-2bc*cosA 例如，如果已知一个三角形的一个角度为45度并且它所对的边长 为10，则可以利用余弦定理计算出另外两条边的长度。

不同的余弦定理公式可以互相转化使用。在实际applications中，根据已知条件选择适合的余弦定理公式来推导问题更加方便快捷。通 过余弦定理，我们可以解决许多有实际意义的问题，比如测量不等边 三角形的面积、求解机械设计问题、求解三维几何问题等等。在学习 数学、物理、工程学等领域时，余弦定理是非常重要的基础知识，掌 握好余弦定理可以使我们更加深入的理解三角形的性质和应用。

三角形余弦定理公式大全

三角形余弦定理公式大全 高中数学是一个非常让人头痛的学科，但是还有有许多同学摆正态度积极学习，为了更好的帮助他们提高成绩。下面是由小编为大家整理的“三角形余弦定理公式大全”，仅供参考，欢迎大家阅读。 三角形余弦定理公式大全 余弦定理(第二余弦定理) 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 编辑本段 余弦定理性质 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质-- a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b) cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c) cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c) (物理力学方面的平行四边形定则中也会用到) 第一余弦定理(任意三角形射影定理) 设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A。 编辑本段 余弦定理证明

平面向量证法 ∵如图，有a+b=c (平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) (以上粗体字符表示向量) 又∵cos(π-θ)=-Cosθ ∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意:这里用到了三角函数公式) 再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC 即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b 同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。 平面几何证法 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得: AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 编辑本段 作用 (1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角 (2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。 (3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。) 判定定理一(两根判别法):

余弦定理公式6个

余弦定理公式6个 余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要工具。它可以帮助我们计算未知的边长或角度，从而更好地理解和分析三角形。 1. 第一个余弦定理公式是用于计算三角形边长的公式。若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：c = a + b - 2abcos(C)。这个公式可以帮助我们计算未知边长，只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。 2. 第二个余弦定理公式是用于计算三角形内角的公式。若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：cos(C) = (a + b - c) / 2ab。这个公式可以帮助我们计算未知角度，只需要已知三个边长即可。 3. 第三个余弦定理公式是用于计算三角形面积的公式。若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：Area = 0.5 * ab * sin(C)。这个公式可以帮助我们计算未知面积，只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。 4. 第四个余弦定理公式是用于判断三角形形状的公式。若三角形的边长分别为a、b和c，则余弦定理可以表达为：c < a + b，如果等号成立，则表示三角形是直角三角形；如果等号不成立，则表示三角

形是锐角三角形；如果等号反向成立，则表示三角形是钝角三角形。 5. 第五个余弦定理公式是用于计算三角形的高度的公式。若三角形 的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可 以表达为：h = b * sin(A)，其中h表示三角形的高度。这个公式可以帮助我们计算未知高度，只需要已知一个边长和它对应的角度即可。 6. 第六个余弦定理公式是用于计算三角形的周长的公式。若三角形 的边长分别为a、b和c，则余弦定理可以表达为：Perimeter = a + b + c。这个公式可以帮助我们计算未知周长，只需要已知三个边长 即可。 综上所述，余弦定理提供了多种公式和方法来解决三角形中的边长和角度之间的关系。通过运用这些公式，我们可以更好地理解和分析三角形的性质和特点。

高中余弦定理公式大全

高中余弦定理公式大全 高中余弦定理公式是三角学中的重要定理之一，用于求解三角形的边长或角度。它是基于三角形的三条边之间的关系而得出的。 余弦定理公式可以表示为： c = a + b - 2ab cos(C) 其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边的长度，C 表示夹在 a 和 b 之间的角的大小。 在使用余弦定理时，需要注意以下几点： 1. 余弦定理适用于任意三角形，不仅仅是直角三角形。 2. 当 C 是直角时，余弦定理可以简化为勾股定理：c = a + b。 3. 当 C 是锐角时，cos(C) 大于 0；当 C 是钝角时，cos(C) 小于 0；当 C 是180度时，cos(C) 等于 -1。这个性质可以用来判断三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形。 4. 余弦定理也可以用来求解三角形的角度，当已知三边长度 a、b、 c 时，可以通过余弦定理反解出角度 C 的大小。 除了上述提到的余弦定理公式，高中三角学中还有一些类似的公式，如正弦定理和正切定理。这些公式在解决不同类型的三角形问题时都

有其特定的应用。 正弦定理公式可以表示为： a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) 其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C 分别表示与对应边相对的角的大小。 正切定理公式可以表示为： tan(A) = a/b, tan(B) = b/a 其中，a、b 分别表示三角形的两条边的长度，A、B 分别表示与对应边相对的角的大小。 这些定理的掌握和运用可以帮助我们更好地理解和解决三角形相关 的数学问题，例如求解三角形的边长、角度或者判断三角形的形状。

余弦定理公式大全

4。6 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识结构 1．三角形基本公式: (1）内角和定理:A+B+C=180°，sin （A+B ）=sinC ， cos （A+B)= —cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3)射影定理:a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得:2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明:如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时,类似可证.正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理,可以解决以下两类问题：（1)已知两角和任一边，求其他两边和一角; （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA