正弦定理余弦定理(解析版)

考点31 正弦定理、余弦定理

【命题解读】

高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等 【基础知识回顾】

1．正弦定理

a sin A ＝

b sin B ＝c

sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．

a 2＝

b 2＋c

2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .

3．三角形的面积公式

(1)S △ABC ＝1

2ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1

2ac sin B ； (3)S ＝1

2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．

1、 在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】：A 【解析】

：设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1或b ＝－4(舍去)，即AC ＝1. 2、 已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )

A ．2 5 B.5 C ．25或 5 D ．均不正确

【答案】：C 【解析】

：∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin 30°＝3

2.∵b >a ，∴B ＝60°或120°. 若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.

3、 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为3

2，则BC 的长为( )

A.32

B.3 C ．2 3 D ．2 【答案】：B 【解析】

：因为S ＝12AB ·AC sin A ＝12×2×32AC ＝3

2，所以AC ＝1， 所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝3.所以BC ＝ 3. 4、 在△ABC 中，cos C 2＝5

5，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于( )

A ．4 2 B.30 C.29 D ．25

【答案】：A 【解析】

：∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2

C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552

－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，

得AB 2

＝AC 2

＋BC 2

－2AC ·BC ·cos C ＝52

＋12

－2×5×1×⎝⎛⎭⎫

－35＝32，

∴AB ＝32＝4 2.故选A.

5、 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

【答案】：B 【解析】

：由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，

即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π

2，∴△ABC 为直角三角形．

6、在△ABC 中，cos 2

B 2＝a ＋c

2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )

A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形或直角三角形

D ．等腰直角三角形 【答案】：B 【解析】

：∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c

2c ，∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ， ∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．

7、 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC

的面积为 ． 【答案】：233 【解析】

：由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，

因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝1

2.

因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc >0， 所以bc ＝83

3，

所以S △ABC ＝12×833×12＝23

3.

8、 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin C

sin A 的值为__________． 【答案】：3 【解析】

：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ，得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin A sin B ， 即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，

又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin C

sin A ＝3．

考向一 运用正余弦定理解三角形

例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若

3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】A 【解析】

余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=

解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.

变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（ ）

A

B

C ．

D ．

【答案】D

ABC

3AC =2BC =3

cos 4

C =

tan A =3

3

【解析】

由余弦定理可以求出，有可判断，进而可以求出. 【解析】

由余弦定理得：， 所以，因为，所以，所以， 故选：D ．

变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________．

【答案】【解析】∵sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，∴由正弦定理可得：a ：b ：c ＝2：3：4，∴不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，

c ＝4t ，则cos C 22222249161

22234

a b c t t t ab t t +-+-===-⨯⨯，∵C ∈(0，π)，∴tan

C ==

答案为

变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若

cos cos sin A B C a b c +=，222

65

b c a bc +-=，则tan B =______． 【答案】4 【解析】

∵

cos cos sin A B C

a b c

+=， ∴由正弦定理得cos cos sin sin sin sin A B C

A B C

+=， ∴

11

1tan tan A B

+=， 又222

65

b c a bc +-=，

∴由余弦定理得62cos 5A =，∴3

cos 5

A =，

∵A 为ABC ∆的内角，∴4

sin 5A =，∴4tan 3

A =，

∴tan 4B =， 故答案为：4．

2AB =AB BC =A C =tan A 2

2

2

2

2

3

2cos 3223244

AB AC BC BC AC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯

=2AB =AB BC =A C =3cos cos 4A C =

=tan 3

A =

变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=． （1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．

【答案】（1）3a =，7b =；（2. 【解析】

（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=， 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，得1cos 2

B =-

， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2

2

2

15252b a a ⎛⎫

=+-⨯⨯⨯-

⎪⎝⎭

， 因为10b a =-，所以222

1(10)5252a a a ⎛⎫

-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭

， 解得3a =，所以7b =.

（2）由1cos 2B =-

，得sin B =

由正弦定理得5sin sin 7214

c C B b =

=⨯=

方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．

考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状

例2、已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是( )

A ．若tan A ＋tan

B ＋tan

C >0，则△ABC 是锐角三角形 B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰三角形 C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 是等腰三角形

D ．若a cos A ＝b cos B ＝c

cos C ，则△ABC 是等边三角形 【答案】：ACD 【解析】

：∵tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C >0， ∴A ，B ，C 均为锐角，∴选项A 正确；

由a cos A ＝b cos B 及正弦定理，可得sin 2A ＝sin 2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π

2，

∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，∴选项B 错； 由b cos C ＋c cos B ＝b 及正弦定理， 可知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ， ∴sin A ＝sin B ，

∴A ＝B ，∴选项C 正确；

由已知和正弦定理，易知tan A ＝tan B ＝tan C ， ∴选项D 正确．

变式1、△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.

(1)求A 的大小；

(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得：2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得：a 2＝b 2

＋c 2

－2bc cos A ，故cos A ＝－1

2，A ＝120°.

(2)由(1)得：sin 2

A ＝sin 2

B ＋sin 2

C ＋sin B sin C ，∵A ＝120°，∴3

4＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，与sin B ＋sin C

＝1联立方程组解得：sin B ＝sin C ＝1

2，∵0°＜B ＜60°，0°＜C ＜60°，故B ＝C ＝30°，∴△ABC 是等腰钝角三角形．

变式2、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形

状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a

c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )

A ．直角三角形

B ．等腰非等边三角形

C ．等边三角形

D ．钝角三角形

【答案】 (1)B (2)C 【解析】

(1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .

又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π

2，因此△ABC 是直角三角形．

法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 2

2a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π

2，因此△ABC 是直角三角形．

(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝a

c ，所以b ＝c . 又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，

所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝1

2. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π

3， 所以△ABC 是等边三角形．

方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想． 考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积

考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积

例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ． (1) 求角A 的大小；

(2) 若AB →·AC →

＝3，求△ABC 的面积． 【解析】

：(1) (解法1)在△ABC 中，由正弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ， 得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos A ， 即sin A ＝2sin A cos A ．

因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0， 所以cos A ＝12，所以A ＝π

3．

(解法2)在△ABC 中，由余弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ， 得b a 2＋b 2－c 22ab ＋c a 2＋c 2－b 22ac ＝2a b 2＋c 2－a 22bc ， 所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1

2． 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π

3．

(2) 由AB →·AC →

＝cb cos A ＝3，得bc ＝23，

所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×23×sin60°＝3

2

变式1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos

A －3sin

B cos B ． (1) 求角

C 的大小；

(2) 若sin A ＝4

5，求△ABC 的面积． 【解析】

：(1) 由题意得 1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin 2A －3

2sin 2B ， 即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛

⎭⎫2B －π6．

由a ≠b ，得A ≠B ．又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π

3． (2) 由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝8

5． 由a

5，

故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋33

10， 所以，△ABC 的面积为S ＝1

2ac sin B ＝83＋1825．

变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若

3

2sin sin sin ,cos 5

B A

C B =+=

，且6ABC S ∆=，则b =__________． 【答案】4

【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，

3

cos ,5

B =∴可得

4sin 5B ==，114

sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，

2

2

2

2cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=2

3421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭

，∴可解得4b =，

故答案为4.

变式3、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =，

2

2

2

sin sin 3sin A B C -=，1

cos 3

A =-

，则ABC ∆的面积是______．

【解析】

3b =，222sin sin 3sin A B C -=，∴由正弦定理可得2222339a c b c =+=+，又1cos 3

A =-，

∴由余弦定理可得22222cos 92a b c bc A c c =+-=++，223992c c c ∴+=++，解得1c =，又

sin A ==

，11sin 3122ABC S bc A ∆∴==⨯⨯．

方法总结：1．求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．

(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

2．已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

考向三 结构不良题型

例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②

sin cos()6

a B

b A π

=+，③sin sin 2

B C

b a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.

在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积. 【解析】 若选①：

由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-， 即222b c a bc +-=，

所以2221

cos 222

b c a bc A bc bc +-===，

因为(0,)A π∈，所以3

A π

=

.

又2

2

2

2

()3a b c bc b c bc =+-=+-，

a =6

b

c +=，所以4bc =，

所以11sin 4sin 223

ABC S bc A π

∆==⨯⨯= 若选②：

由正弦定理得sin sin sin cos()6

A B B A π

=+

.

因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6

A A π

=+

，

化简得1

sin sin 2

A A A =

-，

即tan 3

A =

，因为0A π<<，所以6A π=.

又因为2

2

2

2cos

6

a b c bc π

=+-，

所以2222

bc =24bc =-

所以111

sin (246222

ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：

由正弦定理得sin sin

sin sin 2

B C

B A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，

所以sin

sin 2B C

A +=，又因为

B

C A +=π-， 所以cos 2sin cos 222

A A A

=，

因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02

A

≠，

1sin 22A ∴=，26A π

=，所以3

A π=.

又2

2

2

2

()3a b c bc b c bc =+-=+-，

a =6

b

c +=，所以4bc =，

所以11sin 4sin 223

ABC S bc A π

∆=

=⨯⨯= 变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆

同时满足下列四个条件中的三个：①

b a

c -=

②2cos 22cos 12A A +=；③a =④b =

（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？

（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【解析】

（1）由①

()

33b a c c a b -+=+得，()222

3a c b +-=-，

所以222cos 2a c b B ac +-== 由②2

cos 22cos 12

A

A +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =

或cos 1A =-（舍），所以3

A π=，

因为1

cos 32

B =-

<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.

所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，

因为2222cos b a c ac B =+-，所以28623

c c =++⨯

，即2420c c +-=.

解得2c =.

所以ABC ∆的面积1

sin 2

S ac B =

=

若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B

==sin 1B =，

所以c =

ABC ∆的面积1

sin 2

S bc A =

=

变式2、（2020cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；

③sin sin

2

A C

b A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.

【解析】

cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，

得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠.

所以sin B B =.

又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），

所以tan B = 又0B π<<，得23

B π

=

.

由余弦定理及b =

得222

22cos

3

a c ac π=+-， 即2

12()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.

所以1sin 2ABC S ac B =

△1422

=⨯⨯= 在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得

2sin sin 2sin cos A C B C ++=.

又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以有2cos sin sin 0B C C +=. 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1

cos 2

B =-.又(0,)B π∈， 所以23

B π=

由余弦定理及b =

得2

2

2

22cos

3

a c ac π=+-

即2

12()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.

所以11sin 4222

ABC

S

ac B =

=⨯⨯=

在横线上填写“sin sin

2

A C

b A +=”

解：由正弦定理，得sin sin sin 2

B

B A A π-=.

由0A π<<，得sin A θ≠，

所以sin 2

B B =

由二倍角公式，得2sin

cos 222

B B B =.

由022B π<

<，得cos 02B ≠，所以sin 22

B =. 所以

23

B π=，即23B π=.

由余弦定理及b =

得222

22cos

3

a c ac π

=+-. 即2

12()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.

所以1sin 2ABC S ac B =

△142=⨯=

1、【2020年高考全国III 卷理数】在△ABC 中，cos C =2

3

，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19

B ．13

C ．

12

D ．23

【答案】A 【解析】

在ABC 中，2

cos 3

C =

，4AC =，3BC =，

根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，

2224322

433

AB =+-⨯⨯⨯，

可得29AB = ，即3AB =， 由

22299161

cos

22339

AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，

故1cos 9

B =

. 故选：A ．

2、【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos

25

C =

，1BC =，5AC =，则AB =

A ． B

C

D ．【答案】A

【解析】因为2

23cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭

所以222

32cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则 A.

3、【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，

的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为222

4a b c +-，则C =

A ．π2

B ．

π3 C ．π4

D ．π6

【答案】C

【解析】由题可知222

1sin 24

ABC

a b c S ab C +-==

△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π

4

C =，故选C.

4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===

，则ABC △的面积为_________．

【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2

2

21

(2)2262

c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，

解得c c ==-，

所以2a c ==，11sin 222

ABC S ac B =

=⨯=△ 5、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若

45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．

【答案】

5，

10

【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：

sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π

4,4

AB ADB =∠=，

5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠=

=∠==，所以BD =

ππcos cos()cos cos sin sin 4410

ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=

.

6、【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则

sin B =___________，c =___________．

【答案】

7

，3

【解析】由正弦定理得

sin

sin a A b B =，所以πsin sin 3B ==

由余弦定理得2222

2cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.

7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知

()2cos cos 0a c B b A ++=.

（I ）求B ；

（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积. 【解析】 （Ⅱ）

()2cos cos 0a c B b A ++=,

()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ∴++=，

()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,

()sin 2cos sin 0A B B C ++=， ()sin sin A B C +=.

1cos 2B ∴=-,

2

0,3

B B ππ<<∴=.

(Ⅱ)由余弦定理得2

2

1922a c ac ⎛⎫

=+-⨯-

⎪⎝⎭

， ()2229,9a c ac a c ac ++=∴+-=，

33,a b c b a c ++=+=∴+= 3ac ∴=，

11sin 322ABC

S

ac B ∴=

=⨯=

. 8、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，

C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．

（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值． 【解析】

（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=， 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，得1cos 2

B =-

， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2

2

2

15252b a a ⎛⎫

=+-⨯⨯⨯-

⎪⎝⎭

， 因为10b a =-，所以222

1(10)5252a a a ⎛⎫

-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭

， 解得3a =，所以7b =.

（2）由1cos 2B =-

，得sin 2B =

由正弦定理得5sin sin 7c C B b =

==

9、【2020年新高考全国Ⅱ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面

问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6

C π

=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】方案一：选条件①．

由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=

．

由sin A B =及正弦定理得a ．

222

=

b c =．

由①ac =1a b c ==．

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．

由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=

．

由sin A B =及正弦定理得a ．

222

=

b c =，6B C π==，23

A π

=．

由②sin 3c A =，所以6c b a ===．

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c = 方案三：选条件③．

由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=

．

由sin A B =及正弦定理得a ．

222

=

b c =．

由③c =，与b c =矛盾．

因此，选条件③时问题中的三角形不存在．