高中数学正弦余弦公式大全
正弦定理和余弦定理
一：基础知识理解
1 ．正弦定理
分类内容
定理
＝＝＝2 R ( R 是△ ABC 外接圆的半径 )
变形公式① a ＝ 2 R sin _ A ， b ＝ 2 R sin _ B ， c ＝ 2 R sin _ C ，
② sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝a ∶ b ∶ c ，
③ sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝
解决的问题① 已知两角和任一边，求其他两边和另一角，
② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角
2 ．余弦定理
分类内容
定理在△ ABC 中，有 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos _ A ；
b 2 ＝ a 2 ＋
c 2 －2 ac cos _ B ； c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos _ C 变形
公式cos A ＝；cos B ＝；
cos C ＝
解决的问题① 已知三边，求各角；
② 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
3 ．三角形中常用的面积公式
( 1 ) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高 )；
( 2 ) S ＝ bc sin A ＝ ac sin B ＝ ab sin C ；
( 3 ) S ＝ r ( a ＋ b ＋ c )( r 为三角形的内切圆半径 )．
二：基础知识应用演练
1 ．( 2012·广东高考 ) 在△ ABC 中，若∠ A ＝ 60°，∠ B ＝ 45°， BC ＝ 3 ，则 AC ＝()
A ． 4
B ． 2
2 ．在△ ABC 中， a ＝， b ＝ 1 ， c ＝ 2 ，则 A 等于 ()
A ． 30°
B ． 45°
C ． 60°
D ． 75°
3 ．( 教材习题改编 ) 在△ ABC 中，若 a ＝ 18 ， b ＝ 2
4 ， A ＝ 45°，则此三角
形有 ()
A ．无解
B ．两解
C ．一解
D ．解的个数不确定
4 ．( 2012·陕西高考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c .
若 a ＝ 2 ， B ＝， c ＝ 2 ，则 b ＝ ________.
5 ．△ ABC 中， B ＝ 120°， AC ＝ 7 ， AB ＝ 5 ，则△ ABC 的面积为________ ．
解析：1 选B 由正弦定理得：＝，即＝
，所以 AC ＝ × ＝2 .
2 选C ∵ cos A ＝＝＝，又∵ 0°< A <180°，∴ A ＝60°.
3 选B ∵ ＝，∴ sin B ＝ sin A ＝ sin 45°，∴ sin
B ＝ .又∵ a < b ，∴ B 有两个．
4 由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ＝4＋12－2×2×2 × ＝4，所以 b ＝2.答案：2
5、解析：设 BC ＝ x ，由余弦定理得49＝25＋ x 2 －10 x cos 120°，整理得 x 2
＋5 x －24＝0，即 x ＝3.
因此 S △ ABC ＝ AB × BC ×sin B ＝ ×3×5× ＝ . 答案：
小结： ( 1 ) 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦
值较大的角也较大，即在△ ABC 中，A > B ⇔ a > b ⇔ sin A >sin B .
( 2 ) 在△ ABC 中，已知 a 、 b 和 A 时，解的情况如下：
A 为锐角 A 为钝角
或直角
图形
关系式 a ＝ b sin A b sin A < a < b a ≥ b a > b
解的个数一解两解一解一解
三、典型题型精讲
（1）利用正弦、余弦定理解三角形
[例1] ( 2012·浙江高考 ) 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ，且 b sin A ＝ a cos B .
( 1 ) 求角 B 的大小； ( 2 ) 若 b ＝ 3 ， sin C ＝ 2sin A ，求 a ， c 的值．
解析： ( 1 ) 由 b sin A ＝ a cos B 及正弦定理＝，得sin
B ＝ cos B ，所以tan B ＝，所以 B ＝ .
(2) 由 sin C ＝2sin A 及＝，得 c ＝ 2 a . 由 b ＝3 及余弦定理 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，
得 9＝ a 2 ＋ c 2 － ac . 所以 a ＝， c ＝2 .
思考一下：
在本例 ( 2 ) 的条件下，试求角 A 的大小．
方法小结：
1 ．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．
2 ．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
试题变式演练 1 ．△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， a sin A sin B ＋ b cos 2 A ＝ a .
( 1 ) 求；
( 2 ) 若 c 2 ＝ b 2 ＋ a 2 ，求 B .
解： ( 1 ) 由正弦定理得，
sin 2 A sin B ＋sin B cos 2 A ＝ sin A ，即 sin B ( sin 2 A ＋cos 2 A ) ＝ sin A .
故 sin B ＝ sin A ，所以＝ .
( 2 ) 由余弦定理和 c 2 ＝ b 2 ＋ a 2 ，得 cos B ＝ .
由 (1) 知 b 2 ＝ 2 a 2 ，
故 c 2 ＝(2＋ ) a 2 . 可得 cos 2 B ＝，
又 cos B >0，故 cos B ＝，所以 B ＝45°.
（2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
[例2] 在△ ABC 中 a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边，且2 a sin A ＝( 2 b ＋ c ) sin B ＋( 2 c ＋ b ) sin C .
( 1 ) 求 A 的大小；
( 2 ) 若sin B ＋ sin C ＝ 1 ，试判断△ ABC 的形状．
[ 解析 ] ( 1 ) 由已知，根据正弦定理得 2 a 2 ＝ ( 2 b ＋ c ) · b ＋ ( 2 c ＋ b ) c ，即a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ＋ bc .
由余弦定理得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，故 cos A ＝－，∵ 0< A <180°，∴ A ＝120°.
(2) 由 (1) 得 sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ＋sin B sin C ＝又 sin B ＋sin C ＝1，解得 sin B ＝sin C ＝ .
∵ 0°< B <60°，0°< C <60°，故 B ＝ C ，∴△ ABC 是等腰的钝角三角形．
方法小结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
( 1 ) 利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
( 2 ) 利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A ＋ B ＋ C ＝π这个结论．
[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
试题变式演练 ( 2012·安徽名校模拟 ) 已知△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，向量 m ＝( 4 ，－ 1 )， n ＝，且
m · n ＝ .
( 1 ) 求角 A 的大小；
( 2 ) 若 b ＋ c ＝ 2 a ＝ 2 ，试判断△ ABC 的形状．
解：( 1 ) ∵ m ＝ ( 4，－1 ) ， n ＝，
∴ m · n ＝4cos 2 －cos 2 A ＝4·－ ( 2cos 2 A －1 ) ＝－
2cos 2 A ＋2cos A ＋3.又∵ m · n ＝，
∴ －2cos 2 A ＋2cos A ＋3＝，解得 cos A ＝. ∵ 0< A < π ，∴ A ＝ .
(2) 在△ ABC 中， a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，且 a ＝，∴ ( ) 2 ＝
b 2 ＋
c 2 －2 bc ·＝ b 2 ＋ c 2 －bc . ①
又∵ b ＋ c ＝2 ，∴ b ＝2 － c ，代入① 式整理得 c 2 － 2 c ＋3
＝0，解得 c ＝，∴ b ＝，于是 a ＝ b ＝ c ＝，即△ ABC 为等边三角形．
（3）与三角形面积有关的问题
[例3] ( 2012·新课标全国卷 ) 已知 a ， b ， c 分别为△ ABC 三个内角 A ， B ，C 的对边， a cos C ＋ a sin C － b － c ＝ 0.
( 1 ) 求 A ；
( 2 ) 若 a ＝ 2 ，△ ABC 的面积为，求 b ， c .
[ 解 ] ( 1 ) 由 a cos C ＋ a sin C － b － c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋ sin A sin C －sin B －sin C ＝0.
因为 B ＝π－ A － C ，所以 sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.
由于sin C ≠0，所以sin ＝ . 又0＜ A ＜π，故 A ＝ .
( 2 ) △ ABC 的面积 S ＝ bc sin A ＝，故 bc ＝4.
而 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，故 b 2 ＋ c 2 ＝8. 解得 b ＝ c ＝2.
方法小结：
1 ．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．
2 ．在解决三角形问题中，面积公式 S ＝ ab sin C ＝ bc sin A ＝ ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．
试题变式演练 ( 2012·江西重点中学联考 ) 在△ ABC 中， cos 2 A ＝ cos 2 A －cos A .
( 1 ) 求角 A 的大小；
( 2 ) 若 a ＝ 3 ， sin B ＝ 2sin C ，求 S △ ABC .
解： ( 1 ) 由已知得 ( 2cos 2 A －1 ) ＝cos 2 A －cos A ，则cos A ＝ .
因为0< A <π，所以 A ＝ .
( 2 ) 由＝，可得＝＝2，即 b ＝ 2 c .
所以cos A ＝＝＝，解得 c ＝， b ＝2 ，
所以 S △ ABC ＝ bc sin A ＝ ×2 × × ＝ .
课后强化与提高练习（基础篇-必会题）
1 ．在△ ABC 中， a 、 b 分别是角 A 、 B 所对的边，条件“ a < b ”是使“cos
A >cos
B ”成立的 ()
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2 ．( 2012·泉州模拟 ) 在△ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 所对的
边．若 A ＝， b ＝ 1 ，△ ABC 的面积为，则 a 的值为 ()
A ． 1
B ． 2
3 ．( 2013·“江南十校”联考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，
c ，已知 a ＝ 2 ， c ＝ 2 ， 1 ＋＝，则 C ＝()
A ． 30°
B ． 45°
C ． 45°或135°
D ． 60°
4 ．( 2012·陕西高考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c ，若 a 2 ＋ b 2 ＝ 2 c 2 ，则cos C 的最小值为 ()
D ．－
5 ．( 2012·上海高考 ) 在△ ABC 中，若sin 2 A ＋ sin 2 B A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 6 ．在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .若 b ＝ 2 a sin B ， 则角 A 的大小为________ ． 解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵ sin B ≠0， 7 ．在△ ABC 中，若 a ＝ 3 ， b ＝， A ＝，则 C 的大小为________ ． 8 ．( 2012·北京西城期末 ) 在△ ABC 中，三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c .若 b ＝ 2 ， B ＝， sin C ＝，则 c ＝ ________ ； a ＝ ________. 9 ．( 2012·北京高考 ) 在△ ABC 中，若 a ＝ 2 ， b ＋ c ＝ 7 ， cos B ＝－， 则 b ＝ ________. 10 ．△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a sin A ＋ c sin C － a sin C ＝ b sin B . ( 1 ) 求 B ； ( 2 ) 若 A ＝ 75°， b ＝ 2 ，求 a ， c . 11 ．( 2013·北京朝阳统考 ) 在锐角三角形 ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 所对的边，且满足 a － 2 b sin A ＝ 0. ( 1 ) 求角 B 的大小； ( 2 ) 若 a ＋ c ＝ 5 ，且 a > c ， b ＝，求 ·的值． 12 ．( 2012·山东高考 ) 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知sin B ( tan A ＋ tan C )＝ tan A tan C . ( 1 ) 求证： a ， b ， c 成等比数列； ( 2 ) 若 a ＝ 1 ， c ＝ 2 ，求△ ABC 的面积 S . 课后强化与提高练习（提高篇-选做题） 1 ．( 2012·湖北高考 ) 设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .若 三边的长为连续的三个正整数，且 A > B > C ， 3 b ＝ 20 a cos A ，则sin A ∶ sin B ∶ sin C 为 () A ．4 ∶ 3 ∶ 2 B ．5 ∶ 6 ∶ 7 C ．5 ∶ 4 ∶ 3 D ．6 ∶ 5 ∶ 4 2 ．( 2012·长春调研 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已 知4sin 2 － cos 2 C ＝，且 a ＋ b ＝ 5 ， c ＝，则△ ABC 的面积为________ ． 3 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足 ( 2 b － c ) cos A － a cos C ＝ 0. ( 1 ) 求角 A 的大小； ( 2 ) 若 a ＝， S △ ABC ＝，试判断△ ABC 的形状，并说明理由． 选做题 1 ．已知 a ， b ， c 分别是△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边．若 a ＝ 1 ， b ＝， A ＋ C ＝ 2 B ，则sin C ＝ ________. 2 ．在△ ABC 中， a ＝ 2 b cos C ，则这个三角形一定是 () A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 3 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 cos 2 C ＝－ . ( 1 ) 求sin C 的值； ( 2 ) 当 a ＝ 2 , 2sin A ＝ sin C 时，求 b 及 c 的长． 4 ．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ， 且cos B ＝， b ＝ 2. ( 1 ) 当 A ＝ 30°时，求 a 的值； ( 2 ) 当△ ABC 的面积为3时，求 a ＋ c 的值． 课后强化与提高练习（基础篇-必会题）解析 1 解析：选C a < b ⇔ A < B ⇔ cos A >cos B . 2 解析：选D 由已知得 bc sin A ＝ ×1× c ×sin ＝，解得 c ＝ 2 ，则由余弦定理可得 a 2 ＝ 4 ＋ 1 － 2×2×1×cos ＝ 3 ⇒ a ＝ . 3 解析：选B 由1 ＋＝和正弦定理得 cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即 sin C ＝2sin C cos A ，所以 cos A ＝，则 A ＝60°. 由正弦定理得 ＝， 则 sin C ＝，又 c < a ，则 C <60°，故 C ＝45°. 4 解析：选 C 由余弦定理得 a 2 ＋ b 2 － c 2 ＝2 ab cos C ，又 c 2 ＝ ( a 2 ＋ b 2 )，得 2 ab cos C ＝ ( a 2 ＋ b 2 )，即 cos C ＝ ≥ ＝ . 6 解析：选 C 由正弦定理得 a 2 ＋ b 2 < c 2 ，所以 cos C ＝ <0，所以 C 是钝角，故△ ABC 是钝角三角形．∴ sin A ＝，∴ A ＝30°或 A ＝150°. 答案：30°或 150° 7 解析：由正弦定理可知 sin B ＝＝＝，所以 B ＝ 或 ( 舍去 )，所以 C ＝π － A － B ＝π －－＝ . 答案： 8 解析：根据正弦定理得＝，则 c ＝＝2 ，再由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，即 a 2 － 4 a －12＝0，( a ＋2)( a －6)＝0，解得 a ＝6 或 a ＝－2( 舍去 )．答案：2 6 9 解析：根据余弦定理代入 b 2 ＝4＋(7－ b ) 2 －2×2×(7－ b )× ，解得 b ＝4. 答案：4 10 解：(1) 由正弦定理得 a 2 ＋ c 2 － ac ＝ b 2 . 由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B . 故cos B ＝，因此 B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ . 故 a ＝ b × ＝＝1＋， c ＝ b × ＝2× ＝ . 1 1 解：(1) 因为 a － 2 b sin A ＝0， 所以 sin A －2sin B sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以 sin B ＝ . 又 B 为锐角，所以 B ＝ . ( 2 ) 由 ( 1 ) 可知， B ＝ .因为 b ＝ . 根据余弦定理，得7＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos ，整理，得 ( a ＋ c ) 2 － 3 ac ＝7. 由已知 a ＋ c ＝5，得 ac ＝6.又 a > c ，故 a ＝3， c ＝2. 于是cos A ＝＝＝， 所以 ·＝| |·| |cos A ＝ cb cos A ＝2× × ＝1. 12 解： ( 1 ) 证明：在△ ABC 中，由于sin B ( tan A ＋tan C ) ＝ tan A tan C ， 所以sin B ＝ ·， 因此sin B ( sin A cos C ＋cos A sin C ) ＝sin A sin C ， 所以 sin B sin( A ＋ C )＝sin A sin C . 又 A ＋ B ＋ C ＝π ， 所以 sin( A ＋ C )＝sin B ， 因此 sin 2 B ＝sin A sin C . 由正弦定理得 b 2 ＝ ac ， 即 a ， b ， c 成等比数列． ( 2 ) 因为 a ＝1， c ＝2，所以 b ＝， 由余弦定理得cos B ＝＝＝， 因为0< B <π，所以sin B ＝＝， 故△ ABC 的面积 S ＝ ac sin B ＝ ×1×2× ＝ . 课后强化与提高练习（提高篇-选做题）解析 1 解析：选D 由题意可得 a > b > c ，且为连续正整数，设 c ＝ n ， b ＝ n ＋1， a ＝ n ＋2 ( n >1，且n ∈ N * ) ，则由余弦定理可得3 ( n ＋1 ) ＝20 ( n ＋ 2 ) ·，化简得7 n 2 －1 3 n －60＝0，n ∈ N * ，解得 n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝a ∶ b ∶ c ＝6 ∶ 5 ∶ 4. 2 解析：因为4sin 2 －cos 2 C ＝，所以2[1－cos( A ＋ B )]－ 2cos 2 C ＋1＝， 2＋2cos C －2cos 2 C ＋1＝，cos 2 C －cos C ＋＝0，解得 cos C ＝ .根据余弦定理有cos C ＝＝， ab ＝ a 2 ＋ b 2 －7 , 3 ab ＝ a 2 ＋ b 2 ＋2 ab －7＝ ( a ＋ b ) 2 －7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ ABC 的面积 S △ ABC ＝ ab sin C ＝ ×6× ＝ .答案： 3 解： ( 1 ) 法一：由 ( 2 b － c ) cos A － a cos C ＝0及正弦定理，得 (2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴ 2sin B cos A －sin( A ＋ C )＝0， sin B (2cos A －1)＝0. ∵ 0< B < π ，∴ sin B ≠0，∴ cos A ＝. ∵ 0< A < π ，∴ A ＝ . 法二：由 (2 b － c )cos A － a cos C ＝0， 及余弦定理，得 (2 b － c )·－ a ·＝0， 整理，得 b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ bc ，∴ cos A ＝＝，∵ 0< A < π ，∴ A ＝ . (2) ∵ S △ ABC ＝ bc sin A ＝， 即 bc sin ＝，∴ bc ＝3，①∵ a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ， a ＝， A ＝， ∴ b 2 ＋ c 2 ＝6，② 由①② 得 b ＝ c ＝，∴△ ABC 为等边三角形． 选择题解析 1 解析：在△ ABC 中， A ＋ C ＝ 2 B ，∴ B ＝60°. 又∵ sin A ＝＝，∴ A ＝30°或 150°( 舍 )，∴ C ＝90°，∴ sin C ＝1. 答案：1 2 解析：选A 法一： ( 化边为角 ) 由正弦定理知： sin A ＝2sin B cos C ，又 A ＝π －( B ＋ C )， ∴ sin A ＝sin( B ＋ C )＝2sin B cos C . ∴ sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴ sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴ sin ( B － C ) ＝0. 又∵ B 、 C 为三角形内角，∴ B ＝ C . 法二： ( 化角为边 ) 由余弦定理知cos C ＝， ∴ a ＝2 b ·＝， ∴ a 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － c 2 ，∴ b 2 ＝ c 2 ，∴ b ＝ c . 3 解： ( 1 ) 因为cos 2 C ＝1－2sin 2 C ＝－，且0< C <π， 所以sin C ＝ . ( 2 ) 当 a ＝2 , 2sin A ＝sin C 时，由正弦定理＝，得 c ＝4.由cos 2 C ＝2cos 2 C －1＝－，及0< C <π得cos C ＝± . 由余弦定理 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos C ，得 b 2 ± b －12＝0，解得 b ＝或2 ， 所以或 4 解： ( 1 ) 因为cos B ＝，所以sin B ＝ . 由正弦定理＝，可得＝，所以 a ＝ . ( 2 ) 因为△ ABC 的面积 S ＝ ac ·sin B ，sin B ＝，所以 ac ＝3， ac ＝10. 由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，得4＝ a 2 ＋ c 2 － ac ＝ a 2 ＋ c 2 －16，即 a 2 ＋ c 2 ＝20. 所以 ( a ＋ c ) 2 － 2 ac ＝20， ( a ＋ c ) 2 ＝40.所以 a ＋ c ＝2 . 三角形正弦余弦公式大全 高中数学的三角形正弦与余弦的公式同学们还记得吗?如果没有总结过，没记住的话，请往下看。下面是由小编为大家整理的“三角形正弦余弦公式大全”，仅供参考，欢迎大家阅读。 三角形正弦余弦公式大全 Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB Tan(A+B)=(TanA+T anB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 拓展阅读：求三角形边长公式 三角形边长公式：1、根据余弦定理，有公式：a^2=b^2+c^2-2bc×cosA。2、根据正弦定理，有公式：a=b*sinA/sinB。3、根据勾股定理，有公式：a^2+b^2=c^2。 三角形边长的计算方法 对于任意一个三角形，已知两角一对边，可以根据正弦定理计算:a=b*sinA/sinB。正弦定理的公式为a/sinA = b/sinB =c/sinC，根据正弦定理的公式可以解三角形。 对于任意一个三角形，已知两条边与夹角，可以根据余弦定理求出第三条边，有公式：c^2=a^2+b^2-2abcosC、a^2=b^2+c^2-2bccosA、b^2=a^2+c^2-2accosB。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。对于直角三角形，可以根据勾股定理求变成，有公式：a^2+b^2=c^2。 如何计算三角形的斜边 正弦定理和余弦定理的所有公式 正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中，正弦定理和余弦 定理的应用是很频繁的，正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角 形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有 公式，供参考。 数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分 的技巧如何判断函数的对称性与周期性 1正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2) sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦 定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角 和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解.(2)正弦定 理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替.2.余弦定理在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2- 2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2- b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便 正弦定理和余弦定理 一：基础知识理解 1 ．正弦定理 分类内容 定理 ＝＝＝2 R ( R 是△ ABC 外接圆的半径 ) 变形公式① a ＝ 2 R sin _ A ， b ＝ 2 R sin _ B ， c ＝ 2 R sin _ C ， ② sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝a ∶ b ∶ c ， ③ sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝ 解决的问题① 已知两角和任一边，求其他两边和另一角， ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 2 ．余弦定理 分类内容 定理在△ ABC 中，有 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos _ A ； b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos _ B ； c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos _ C 变形 公式cos A ＝；cos B ＝； cos C ＝ 解决的问题① 已知三边，求各角； ② 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 3 ．三角形中常用的面积公式 ( 1 ) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高 )； ( 2 ) S ＝ bc sin A ＝ ac sin B ＝ ab sin C ； ( 3 ) S ＝ r ( a ＋ b ＋ c )( r 为三角形的内切圆半径 )． 二：基础知识应用演练 1 ．( 2012·广东高考 ) 在△ ABC 中，若∠ A ＝ 60°，∠ B ＝ 45°， BC ＝ 3 ，则 AC ＝() A ． 4 B ． 2 2 ．在△ ABC 中， a ＝， b ＝ 1 ， c ＝ 2 ，则 A 等于 () A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 75° 3 ．( 教材习题改编 ) 在△ ABC 中，若 a ＝ 18 ， b ＝ 2 4 ， A ＝ 45°，则此三角 形有 () A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定 4 ．( 2012·陕西高考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c . 若 a ＝ 2 ， B ＝， c ＝ 2 ，则 b ＝ ________. 5 ．△ ABC 中， B ＝ 120°， AC ＝ 7 ， AB ＝ 5 ，则△ ABC 的面积为________ ． 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)?sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-1/2* [cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2* [sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)=1/2* [sin(a+b)-sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式 2sin2(a/2)=1-cos(a) 2cos2(a/2)=1+cos(a) tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)] tan2(a/2)= [1-cos(a)]/[1+cos(a)] 7.万能公式 sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)] cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)] tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)] 8.其它公式(推导出来的) a*sin(a)+b*cos(a)=sin(a+c) 其中tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)=cos(a-c) 其中tan(c)=a/b 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：2 2y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r = αsec 余割：y r = αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系：1csc sin =?αα，1sec cos =?αα，1cot tan =?αα。 商数关系：α ααcos sin tan = ，α ααsin cos cot = 。 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵ α π +2、 α π -2 、 α π+2 3、 α π-2 3的三角函数值，等于α的异名函数值， 前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 α ααcos sin 22sin = ααααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2 tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） α α2 cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2 )cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） α αα2 tan 1tan 22sin += ，α αα2 2 tan 1tan 12cos +-= ，α αα2 tan 1tan 22tan -= 。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 七、和差化积公式 2 cos 2 sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ …⑴ 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y = αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =αsec 余割：y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系：1csc sin =?αα，1sec cos =?αα，1cot tan =?αα。 商数关系：αααcos sin tan =，α ααsin cos cot =。 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- 四、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2tan 1tan 22tan -= αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 五、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α αα2tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 六、和差化积公式 2cos 2sin 2sin sin βαβ αβα-+=+ …⑴ 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- …⑵ 2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ …⑶ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- …⑷ 2sin 2cos 2cos 2sin 22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=?? ? ??-++= 2sin 2cos 2cos 2sin 22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=?? ? ??--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。 2cos 2cos 2cos 2cos 22cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=?? ? ??-++= 2cos 2cos 2cos 2cos 22 cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=??? ??--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。 七、积化和差公式 正弦余弦公式总结 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-1/2* [cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2* [sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)=1/2* [sin(a+b)-sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式 2sin2(a/2)=1-cos(a) 2cos2(a/2)=1+cos(a) tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)] tan2(a/2)= [1-cos(a)]/[1+cos(a)] 7.万能公式 sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)] 1.诱导公式 sin(-a)=—sin（a） cos(—a)=cos(a) sin（2π-a)=cos（a) cos(2π—a）=sin（a） sin(2π+a）=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin（π-a)=sin(a) cos（π—a）=-cos(a) sin(π+a)=—sin(a） cos（π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2。两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a）cos（b)+cos(α)sin（b) cos(a+b)=cos（a）cos（b)-sin(a)sin(b) sin(a—b）=sin(a)cos(b）—cos（a)sin（b） cos(a—b）=cos（a）cos(b)+sin(a）sin(b) tan(a+b)=［tan(a)+tan（b）]/［1-tan（a）tan(b)] tan（a—b）=［tan(a）—tan（b)]/［1+tan(a)tan（b)] 3.和差化积公式 sin（a）+sin(b)=2sin((a+b）/2)cos(（a—b）/2) sin（a)−sin(b)=2cos(（a+b)/2）sin(（a—b)/2） cos（a)+cos(b)=2cos(（a+b）/2)cos（(a-b）/2) cos(a）—cos(b）=-2sin((a+b）/2)sin(（a—b)/2) 4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了） sin（a）sin（b）=—1/2* ［cos(a+b）—cos（a—b)] cos（a)cos(b）=1/2＊[cos(a+b)+cos(a-b）］ sin(a）cos(b)=1/2* [sin(a+b)+sin(a-b)］ cos（a）sin（b)=1/2＊[sin（a+b)—sin（a-b）］ 5。二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos（a) cos(2a）=cos2（a）—sin2(a)=2cos2(a）-1=1-2sin2（a） 6.半角公式 2sin2(a/2）=1—cos（a） 2cos2(a/2)=1+cos(a） tan（a/2）=[1-cos（a）］/sin（a）=sina/[1+cos(a)] tan2(a/2)= [1-cos(a）］/［1+cos(a）] 7。万能公式 sin（a）=2tan（a/2)/［1+tan2(a/2）］ cos(a)=［1-tan2(a/2）］/[1+tan2(a/2)] tan（a)=2tan(a/2）/［1-tan2（a/2）] 8.其它公式（推导出来的） a＊sin(a)+b＊cos（a)=sin（a+c) 其中tan（c）=b/a a＊sin(a）—b＊cos(a)=cos(a-c）其中tan(c)=a/b 高一数学三角函数公式大全1500字高一数学三角函数公式大全（1500字） 1. 正弦函数（sine function）： - 基本关系：sin A = 对边 / 斜边 - 余割函数（cosec function）：csc A = 1 / sin A - 反正弦函数（arcsine function）：sin^-1 x 或 asin x 2. 余弦函数（cosine function）： - 基本关系：cos A = 邻边 / 斜边 - 余切函数（cot function）：cot A = 1 / tan A - 反余弦函数（arccos function）：cos^-1 x 或 acos x 3. 正切函数（tangent function）： - 基本关系：tan A = 对边 / 邻边 - 反正切函数（arctan function）：tan^-1 x 或 atan x 4. 正割函数（secant function）： - 基本关系：sec A = 1 / cos A 5. 反余切函数（arccot function）：cot^-1 x 或 acot x 6. 双曲正弦函数（hyperbolic sine function）：sinh x = (e^x - e^(-x)) / 2 7. 双曲余弦函数（hyperbolic cosine function）：cosh x = (e^x + e^(-x)) / 2 8. 双曲正切函数（hyperbolic tangent function）：tanh x = sinh x / cosh x 9. 双曲余切函数（hyperbolic cotangent function）：coth x = 1 / tanh x 10. 双曲正割函数（hyperbolic secant function）：sech x = 1 / cosh x 11. 双曲余割函数（hyperbolic cosecant function）：csch x = 1 / sinh x 12. 三角和差化积： - sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B - sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B - cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B - cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B - tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B) - tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B) 13. 二倍角公式： - sin(2A) = 2 sin A cos A - cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A - tan(2A) = 2 tan A / (1 - tan^2 A) 14. 半角公式： - sin(A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2] - cos(A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2] - tan(A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)] 常见三角函数值 sin30° =1/2 cos30° 23/2 tan30° = x/3/3 cot30° =x/3 sin45° =x/2/2 cos45° 22/2 tan45° =1 cot45° =1 sin60° =V3/2 cos60° =1/2 tan60° =V3 cot60° =V3/3 =sin45° cos30° ±cos45° sin30° 得出) 三角函数公式 一、 任意角的三角函数 在角a 的终边上任取一点P(x,y),记：r = yjx 1 + y 2 , 正弦函数：shm = ^ 余弦函数：cosa =- 正切函数: r r 余切函数：cota =- 正割函数：seca =- 余割函数: y % 二、 三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号：(一全二正弦，三切四余弦) 三-同角三角函数的基本关系式 倒数关系:tanx-cotx = 1 0 商数关系：tanx = ^^- sin 15° = (V6-V2) /4 sin75° = (26+\/2) /4 cosl5° = (V6+V2) /4 cos75° = (V6-V2) /4 (这四个可根据sin (45° ±30° ) y tana =— x r csca =— y cosx 平方关系：sin 2 x + cos 2 x = 1 , 1 +tan 2 x = sec 2 x , 1 + cot 2 x = esc 2 x o 四、诱导公式 公式三：任意角a 与— a 的三角函数值之间的关系: sin ( — a) = — sina cos ( — a) =cosa tan ( — a) = — tana cot ( — a) = — cota 公式四：利用公式二和公式三可以得到R-a 与a 的三角函数值之间的关系: sin (K —a) =sina cos (K —a) = — cosa 公式五：彳-a 与Cl 的三角函数值之间的关系： ・/兀 \ sm ( — -a) =cosa 2 tan (——a ) =cota 2 公式六：彳+ a 与Cl 的三角函数值之间的关系： sm (―+ a) =cosci 2 tan (—+ a) = — cota 2 公式七：与a 的三角函数值之间的关系: 公式一：设 Q 为任意角, 终边相同的角的同一三角函数的值相爭 sin (21cr + a) =sina cos (2k7r + a) =cosa tan (2kn + a) =tana cot (2k7t + a) =cota (其中 k € Z) 公式二：设 a 为任意角, 兀 + ci 的三角函数的值与。的三角函数值之间的关系: sin (兀+ ci) = — sina cos (7r + ci) = — cosa tan (兀 + a) =tana cot (jr + a) =cota tan (7i —a) = — tana cot (K —a) = — cota cos (— 一 a ) = sma 2 cot (——a ) =tana 2 cos (—+ a ) = — sina 2 cot ( —+ a) = — tana 2 a ) = — cosa a ) =cota 竺 2?- ( ( s t o O c C a ) = — sina a ) =tana 三角形正弦余弦公式大全 三角形是几何学中的重要概念。在三角形中，正弦和余弦公式是用来 计算三角形的边长和角度的关系的重要公式。下面是关于三角形正弦和余 弦公式的详细解释，包括证明和应用。 ①正弦公式： 在一个三角形ABC中，假设三个角分别为A、B和C，三条边分别为a、b和c。那么，正弦公式用于计算三角形的边长和角度之间的关系。 a/sinA = b/sinB = c/sinC 这个公式通过正弦比来表示三角形的边长与角度之间的关系。正弦比 是通过三角形的一个角的正弦值与它对应的边长之间的比值来定义的。 证明： 根据三角函数的定义，sinA = opposite/hypotenuse，其中 opposite是指与角度A相对的边长，hypotenuse是三角形的最长边。 根据这个定义，我们可以写出： a/sinA = b/sinB = c/sinC 对于给定的一个角，这个公式说明了角度与它对边的比例是相等的。 这就是为什么叫做正弦公式。 应用： 正弦公式可以用于解决各种三角形相关的问题。例如，如果已知两条 边和一个角，可以使用正弦公式来计算缺失的边和角。此外，正弦公式还 可以用于解决三角形的面积问题。 ②余弦公式： 与正弦公式类似，余弦公式也用于计算三角形的边长和角度之间的关系。在一个三角形ABC中，假设三个角分别为A、B和C，三条边分别为a、b和c。那么，余弦公式用于计算三角形的边长和角度之间的关系。 c² = a² + b² - 2abcosC 这个公式通过余弦定理来表示三角形的边长与角度之间的关系。余弦 定理是通过三角形的一个角和它对边的长度来定义的。 证明： 根据余弦定理，c² = a² + b² - 2abcosC 这个定理可以通过将三角形分为两个直角三角形，并使用勾股定理来 证明。 应用： 余弦公式可以用于解决各种三角形相关的问题。例如，如果已知三边 的长度，可以使用余弦公式来计算三个角的大小。此外，余弦公式还可以 用于解决三角形的面积问题。 除了正弦和余弦公式，还有其他与三角形相关的公式，如正切公式、 边角公式等。这些公式可以用于解决各种复杂的三角形问题。 总结： 正弦和余弦公式是用于计算三角形的边长和角度之间的关系的重要公式。它们通过正弦和余弦比来表示三角形的边长与角度之间的关系。这些 公式可以应用于解决各种三角形相关的问题，如计算缺失的边和角，以及 三角函数正余弦定理公式大全 高中数学定理公式非常多，所以一定需要总结归纳。为了让同学们对三角函数有个更深的记忆。下面是由小编为大家整理的“三角函数正余弦定理公式大全”，仅供参考，欢迎大家阅读。 三角函数余弦定理公式大全 余弦定理 对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有： a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·cosA b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cosB c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC 也可表示为： cosC=(a^2 +b^2 -c^2)/ 2ab cosB=(a^2 +c^2 -b^2)/ 2ac cosA=(c^2 +b^2 -a^2)/ 2bc 这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。 如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。 延伸定理：第一余弦定理(任意三角形射影定理) 设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A 三角函数正弦定理公式 正弦定理 对于边长为 a, b和 c而相应角为 A, B和 C的三角形，有： sinA / a = sinB / b = sinC/c 也可表示为： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 其中R是三角形的外接圆半径。 它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a是通过 A, B和 C三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中(1)已知两个角和一个边求未知边和角(2)已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。 上面的推论是三角测量中常见情况，也是很容易就掌握的要领。 高中三角函数公式大全1500字 高中三角函数公式大全1500字 1. 基本关系式： (1) 余弦定理：a² = b² + c² - 2bc * cosA (2) 正弦定理：sinA/a = sinB/b = sinC/c (3) 余弦二倍角公式：cos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A (4) 正弦二倍角公式：sin2A = 2sinA * cosA (5) 余弦和差公式：cos(A ± B) = cosA * cosB ∓ sinA * sinB (6) 正弦和差公式：sin(A ± B) = sinA * cosB ± cosA * sinB 2. 三角恒等式： (1) 三角函数的倒数关系：secA = 1/cosA, cscA = 1/sinA, cotA = 1/tanA (2) 相互倒数关系：tanA = sinA/cosA, cotA = cosA/sinA (3) 正弦与余弦的平方和恒等式：sin²A + cos²A = 1 (4) 正割与割的平方差恒等式：sec²A - tan²A = 1 (5) 余割与割的平方差恒等式：csc²A - cot²A = 1 (6) 正弦和余弦的和差关系：sin(A ± B) = sinA * cosB ± cosA * sinB (7) 三角函数的和差公式的推广：sin(A ± B ± C) = sinA * cosB * cosC ± cosA * sinB * cosC ± cosA * cosB * sinC ± sinA * sinB * sinC (8) 三角函数的和差公式的推广：cos(A ± B ± C) = cosA * cosB * cosC ± sinA * sinB * cosC ± sinA * cosB * sinC ± cosA * sinB * sinC 3. 平面几何中的三角函数公式： 正余弦公式大全 正余弦公式大全： 1.正弦函数： 正弦函数的公式是：y=sinθ，其中θ表示弧度。 2.余弦函数： 余弦函数的公式为：y=cosθ，其中θ表示弧度。 3.正切函数： 正切函数的公式为：y=tgtθ，其中θ表示弧度。 4.反正弦函数： 反正弦函数的公式为：y= sin-1x，其中x表示反正弦函数的自变量。 5.反余弦函数： 反余弦函数的公式为：y=cos-1x，其中x表示反余弦函数的自变量。 6.反正切函数： 反正切函数的公式为：y=tg-1x，其中x表示反正切函数的自变量。 7.正割函数： 正割函数的公式为：y=secθ，其中θ表示弧度。 8.余割函数： 余割函数的公式为：y= cscθ，其中θ表示弧度。 9.余切函数： 余切函数的公式为：y=cotθ，其中θ表示弧度。 10.反正割函数： 反正割函数的公式为：y=sec-1x，其中x表示反正割函数的自变量。 11.反余割函数： 反余割函数的公式为：y=csc-1x，其中x表示反余割函数的自变量。 12.反余切函数： 反余切函数的公式为：y=cot-1x，其中x表示反余切函数的自变量。正余弦公式的应用： 1.三角恒等式： 三角恒等式的公式可以为：sinθ=cosθ，tgtθ=secθ，cotθ=cscθ。 2.三角函数关系式： 三角函数关系式的公式可以为：sin2θ+cos2θ=1，tan2θ+1=sec2θ，cot2θ+1=cscy2θ。 3.振动函数： 振动函数表达式可以为：Y=Asinωt+b，其中A表示振幅，ω表示角频率，t表示正余弦函数的自变量，b表示相位移动量。 4.几何图形： 几何图形的表示式可以为：X=Acos(ωt+θ)，Y= Asin(ωt+θ)，其中A表 示振幅，ω表示角频率，t表示正余弦函数的自变量，θ表示相位移动量。 5.振动和回荡解一元二次方程： 一般形式：at2+bt+c=0，其中a，b，c是常量，而t表示根号式振动解，可以化为：t=(-b±√b2-4ac)/2a,其中“±”代表正负号。 6.简谐函数： 此函数为正弦叠加函数，表达式可以为： Y=A1sinω1t+A2sinω2t+A3sinω3t+… 等，其中Ai，ωi是常数，t表示正 余弦函数的自变量。 7.四象限函数： 此函数可以转换为最后的公式形式：y=A(cosθ+jsinθ)，其中A是常数，θ表示弧度，j=±1。 8.泰勒级数： 1.诱导公式sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin (2 -n)二cos(a) cos(2 n)=sin(a) sin(2 n +a)=cos(a) cos(2 n +a)= in(a) sin( -n)二sin(a) cos( n)=-cos(a) sin( n +a-= n(a) cos( n +a)cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos( a )sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a- b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2si n( (a+b)/2)si n( (a-b)/2) 4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了) sin( a)si n( b)=-1/2* [cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)] sin (a)cos(b)=1/2* [si n( a+b)+si n(a-b)] cos(a)si n(b)=1/2* [si n( a+b)-si n( a-b)] 5•二倍角公式 sin( 2a)=2s in( a)cos(a) cos(2a)=cos 2(a)-sin 2(a)=2cos 2(a)-1=1-2sin 2(a) 6.半角公式 2sin 2(a/2)=1-cos(a) 2cos 2(a/2)=1+cos(a) tan( a/2)=[1-cos(a)]/si n(a)=si na/[1+cos(a)] tan 2(a/2)= [1-cos(a)]/[1+cos(a)] 7•万能公式 sin( a)=2ta n(a/2)/[1+ta n 2(a/2)] cos(a)=[1-ta n 2(a/2)]/[1+ta n 2(a/2)] tan (a)=2ta n( a/2)/[1-ta n 2(a/2)] 8.其它公式(推导出来的) a*sin(a)+b*cos(a)二仏2 + b2sin(a+c) 其中tan(c)=b/a 1+si n( a)=(si n( a/2)+cos(a/2)) 2 1- sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)) 2 三角函数公式（一） 1.正弦定理：A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中) (21 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加 上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±③ βαβ αβαtg tg tg tg tg ⋅±= ± 1)(④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ① θθθθθ212cos sin 22sin tg tg += = ② θθ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2 122tg tg tg -=④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤ 22cos 1cos 2θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由2θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± =②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④ 2cos 12 cos 2 θθ += ⑤ 2sin 2cos 12θθ=-⑥2cos 2cos 12 θ θ=+ ⑦ 2sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧ θθθθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -= +=+-± =tg 8.积化和差公式： [] )sin()sin(2 1 cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(2 1 sin cos βαβαβα--+= 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bc A cos b 2 =a 2 +c 2 -2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(21 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时， 原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ⋅±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ212cos sin 22sin tg tg += =三角形正弦余弦公式大全
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