高中数学——正余弦定理

解三角形

9.1 正弦定理与余弦定理

9.1.1 正弦定理

学 习 目 标

核 心 素 养

1.掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点)

2．理解正弦定理及其变形的结构形式，并能用正弦定理解

决三角形度量和边角转化问题，会判三角形的形状．(难点) 3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点) 1.借助正弦定理的推导，提升数学抽象、逻辑推理的素养．

2．通过正弦定理的应用的学习，培养数学运算、直观想象的素养.

关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法(940～998)提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁­图西(1201～1274)给出的．我国清代数学家梅文鼎(1633～1721)在他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式．

思考：三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？

1．三角形的面积公式

(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝1

2c ·h c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．

(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1

2ac sin B .

(3)S ＝1

2(a ＋b ＋c )·r (r 为内切圆半径)．

2．正弦定理

3．解三角形

(1)一般地，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素．

(2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形． 思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？ [提示] 需要两角和一边或两边和其中一边的对角． [拓展]

1．正弦定理的常用变形式

在△ABC 中，若内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，其外接圆半径为R .则 (1)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A ； (2)sin A ∶si n B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；

(3)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C

＝2R ；(证明见类型4[探究问题]) (4)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(可以实现边到角的转化) (5)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R .(可以实现角到边的转化)

2．三角形中边角的不等关系

(1)若A ＞B ＞C ，可得a ＞b ＞c ，则sin A ＞sin B ＞sin C ； (2)若sin A ＞sin B ＞sin C ，可得a ＞b ＞c ，则A ＞B ＞C .

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于钝角三角形．

( ) (2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立． ( )

[提示] (1)×.正弦定理适用于任意三角形． (2)√.由正弦定理知

a sin A ＝b

sin B

，即b sin A ＝a sin B .

[答案] (1)× (2)√

2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形

D ．钝角三角形

B [因为A ，

C 是△ABC 的内角，所以A ＋C ＜π，又因为sin A ＝sin C ，所以A ＝C ，即△ABC 为等腰三角形．]

3．在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，sin A ＝1

3，则sin B ＝( )

A.15 B ．59 C.5

3

D ．1 B [由正弦定理a sin A ＝b sin B 可得，sin B ＝b sin A

a ＝5×

1

33＝59

，故选B.]

4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B

b

，则B 的大小为___________．

π4 [由正弦定理知sin A sin A ＝cos B sin B

， ∴sin B ＝cos B ，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4

.]

已知两角及一边解三角形

【例1】 (1)在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值； (2)在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b . [解] (1)根据三角形内角和定理，得

A ＝180°－(

B ＋

C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.

根据正弦定理，得b ＝

a sin B sin A ＝18sin 60°

sin 45°

＝9 6. (2)法一：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°. 由

a

sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°

sin 30°

＝10 2. ∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝

c sin B sin C ＝20×2＋6

4

＝52＋5 6. 法二：设△ABC 外接圆的直径为2R ，

则2R ＝c sin C ＝10sin 30°

＝20.

易知B ＝180°－(A ＋C )＝105°， ∴a ＝2R sin A ＝20×sin 45°＝102，

b ＝2R sin B ＝20×sin 105°

＝20×

2＋6

4

＝52＋5 6.

已知三角形的两角和任一边解三角形的方法

(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．

(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理

提醒：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差)，再根据上述思路求解．

[跟进训练]

1．在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c . [解] 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°， 所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理a sin A ＝c

sin C

，

得c ＝a ·sin C sin A ＝5×sin 105°sin 30°＝5×sin 60°＋45°

sin 30°

＝5×sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°

sin 30°

＝5

2

(6＋2)． 已知两边及其中一边的对角解三角形

【例2】 在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形： (1)a ＝1，b ＝3，A ＝30°； (2)a ＝1，b ＝3，B ＝120°. [解] (1)根据正弦定理，sin B ＝

b sin A a ＝3sin 30°1＝3

2

. ∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°.

当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°， ∴c ＝

b sin C sin B ＝3

sin 60°

＝2； 当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1. (2)根据正弦定理，sin A ＝

a sin B

b ＝sin 120°3

＝1

2. 因为B ＝120°，所以A ＝30°，则C ＝30°，c ＝a ＝1

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法

(1)根据正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求的这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，分别

(2)根据三角形内角和定理求出第三个角． (3)根据正弦定理求出第三条边．

[跟进训练]

2．已知△ABC 分别根据下列条件解三角形： (1)a ＝2，c ＝6，C ＝π

3；

(2)a ＝2，c ＝6，A ＝π

4.

[解] (1)∵a sin A ＝c

sin C ，

∴sin A ＝

a sin C c ＝2

2

. ∵c >a ，∴C >A .∴A ＝π

4

.

∴B ＝5π12，b ＝c sin B

sin C ＝6×sin

5π

12sin

π

3＝3＋1.

(2)∵a sin A ＝c

sin C ，

∴sin C ＝

c sin A a ＝3

2

. 又∵a

3

.

当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B

sin A ＝3＋1.

当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A ＝3－1.

三角形的面积公式及其应用

【例3】 在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． [解] 由正弦定理，得sin C ＝

AB ·sin B AC ＝3

2

， 又AB ·sin B ＜AC ＜AB ，故该三角形有两解：C ＝60°或120°. 当C ＝60°时，A ＝90°，

S △ABC ＝12

AB ·AC ·sin A ＝23；

当C ＝120°时，A ＝30°，

S △ABC ＝12

AB ·AC ·sin A ＝ 3.

所以△ABC 的面积为23或 3.

求三角形面积的公式

求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的地为具备两边及其夹角的条件做准备．

[跟进训练]

3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝5

5

. (1)求角B 的大小；

(2)若c ＝4，求△ABC 的面积． [解] (1)∵cos C ＝

55，∴C ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2，

∴sin C ＝25

5

，tan C ＝2.

又∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C

1－tan A tan C

＝－3＋21－3×2＝1，且0＜B ＜π，∴B ＝π4.

(2)由正弦定理b sin B ＝c

sin C ，得

b ＝

c sin B

sin C ＝4×

2225

5

＝10，

由sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＋C 得sin A ＝310

10

，

∴△ABC 的面积S △ABC ＝1

2bc sin A ＝6.

利用正弦定理判断三角形的形状

[探究问题]

1．已知△ABC 的外接圆O 的直径长为2R ，试借助△ABC 的外接圆推导出正弦定理． [提示] 如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90°，

∠BAC ＝∠BDC ，

在Rt△BCD 中，BC ＝BD ·sin∠BDC ， 所以a ＝2R sin A ， 即

a sin A ＝2R ，同理

b sin B ＝2R ，c

sin C

＝2R ， 所以a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

＝2R . 2．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？ [提示] 利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形； (2)已知两角和一边解三角形．

【例4】 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2

A ＝sin 2

B ＋sin 2

C ，试判断△ABC 的形状．

[思路探究] ①A ＝π－(B ＋C )．

②边角转化，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R （R 为△ABC 外接圆的半径）.

[解] 法一：在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R (R 为△ABC 外接

圆的半径)．

∵sin 2

A ＝sin 2

B ＋sin 2

C ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫

a 2R 2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

b 2R 2

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

c 2R 2

， 即a 2

＝b 2

＋c 2

，

∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°， 由sin A ＝2sin B cos C ，

得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，

∴sin 2

B ＝12

.

∵B 是锐角，∴sin B ＝2

2

， ∴B ＝45°，C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二：在△ABC 中，根据正弦定理，得

sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．

∵sin 2

A ＝sin 2

B ＋sin 2

C ， ∴a 2

＝b 2

＋c 2

，

∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°. ∵A ＝180°－(B ＋C )， sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C . ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.∴B －C ＝0，即B ＝C . ∴△ABC 是等腰直角三角形．

(变条件)若将题设中的“sin A ＝2sin B cos C ”改为“b sin B ＝c sin C ”，其余不变，试解答本题．

[解] 由正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)，得sin A ＝a

2R

，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

. ∵b sin B ＝c sin C ，sin 2

A ＝sin 2

B ＋sin 2

C ， ∴b ·b 2R ＝c ·c

2R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫

a 2R 2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

b 2R 2

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

c 2R 2

， ∴b 2

＝c 2

，a 2

＝b 2

＋c 2

， ∴b ＝c ，A ＝90°.

∴△ABC 为等腰直角三角形．

利用正弦定理判断三角形形状

(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三

角形或直角三角形”的区别．

(2)在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理转化为角的关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边的关系，再用三角恒等变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不能约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．

利用正弦定理进行边角互化

【例5】 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3b 2

，求证：a ＋c ＝2b .

[思路探究] ①已知等式中有边a ，b ，c ，则要想到边化角的变形公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；（R 为△ABC 外接圆半径）

②cos 2

α＝1＋cos 2α2

.

[证明] 因为a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3b 2

，

所以由正弦定理得sin A cos 2C 2＋sin C cos 2A 2＝3sin B 2，

所以sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝3sin B

2，

即sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋sin C cos A ＝3sin B ， 所以sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， 所以sin A ＋sin C ＝2sin B ， 所以由正弦定理可得a ＋c ＝2b .

1．已知或所求等式中只有边的关系就用边化角的变形公式． 2．已知或所求等式中只有角的正弦的关系就用角化边的变形公式．

3．已知或所求等式中既有边的关系也有角的关系，就尝试使用这两组变形公式．

[跟进训练]

4．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＋2c

b ＝0，则A ＝________.

2π3 [由正弦定理可得1＋tan A tan B ＋2sin C sin B

＝0， 故1＋sin A cos B cos A sin B ＋2sin C sin B ＝0，sin A ＋B cos A sin B ＋2sin C sin B

＝0，

即

sin C cos A sin B ＋2sin C

sin B

＝0.

因为B ，C ∈(0，π)，所以sin C sin B ≠0，所以1

cos A ＋2＝0，

即cos A ＝－1

2

.

因为A ∈(0，π)，所以A ＝

2π3

.]

知识：

1．利用正弦定理解三角形的类型及解法

类型

已知条件

一般解法

已知三角形的两角和任意一边

A ，

B ，a

b ＝a sin B sin A ，C ＝π－(A ＋B )，

c ＝a sin C sin A

A ，

B ，b a ＝b sin A sin B ，

C ＝π－(A ＋B )，c ＝b sin C sin B

A ，

B ，c

C ＝π－(A ＋B )，a ＝c sin A sin C ，b ＝c sin B sin C

已知三角形的两边和其中一边的对角

A ，b ，a

sin B ＝

b sin A a ，C ＝π－(A ＋B )，

c ＝a sin C sin A

(解的个数不一定唯一)

2.利用S ＝2ab sin C ＝2ac sin B ＝2bc sin A 可以计算三角形的面积

方法：

1．利用正弦定理进行边角转化的两条途径

(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系．利用的公式为sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

.

(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到角的关系．利用的公式为a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .

2．判断三角形形状的方法通常有以下两种 (1)边化角．考察角的关系主要有：

两角是否相等；三个角是否相等；是否有直角等． (2)角化边．考察边的关系主要有：

两边是否相等；三边是否相等；是否满足勾股定理等．

- 11 -

1．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ＞B B ．A ＜B C ．A ≥B D ．不能确定

A [由正弦定理得sin A ＞sin

B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，故选A.]

2．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若B ＝30°，b ＝2，则a

sin A 的值是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6 C [由正弦定理可得

a

sin A ＝b sin B ＝2sin 30°

＝4.] 3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，且满足a

cos A ＝b

cos B ＝c

cos C ，

则△ABC 的形状是( )

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

C [由

a

cos A

＝

b

cos B

＝

c

cos C

和正弦定理

a

sin A

＝

b

sin B

＝

c

sin C

，可得

sin A cos A ＝sin B

cos B

＝sin C

cos C

，即tan A ＝tan B ＝tan C ，所以A ＝B ＝C . 故△ABC 为等边三角形．]

4．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.

由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°

sin 45°

＝4 6.

由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°

＝8×

2＋6

422

＝4(3＋1)．