解三角形经典例题及解答
正弦、余弦定理
知识回忆：
1、直角三角形中，角与边的等式关系：在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c
==，从而在直角三角形ABC 中，
sin sin sin a b c
A B C
==
． 2、当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b
C B
=
， 从而
sin sin a b
A B =
sin c C
=． 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
sin sin a b
A B =
sin c C
=． 4、理解定理
〔1〕正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； 〔2〕
sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b
C B
=
，sin a A =sin c C ． 〔3〕正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A
a B
=
；b = ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b
=；sin C = ．
〔4〕一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 5、知识拓展
sin sin a b A B =2sin c
R C
==，其中2R 为外接圆直径. 6、勾股定理：
7、余弦定理：三角形中 平方等于 减去 的两倍，即=2
a ；
=2b ；=2c 。
8、余弦定理的推论：
=A cos ；=B cos ； =C cos 。 9、在，反之成立；则
中，若,222c b a ABC +<∆ ，反之成立；
则
中，若,222c b a ABC +=∆
，反之成立；
则
中，若,222c b a ABC +>∆ 典型例题：
例1、在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．
例2、〔1〕在△ABC 中，已知1 求cosB.
〔2〕在△ABC 中，已知a=、B=1500
求b.
〔3〕在△ABC 中，已知a=8, b=B=300
求c.
例3、在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆
解：∵21
3
60sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b
00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角， ∴222=+=c b a
例4、C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆
解：2
3
245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a A c C C c A a
0012060,sin 或=∴< 1360sin 75sin 6sin sin ,75600 +=====∴C B c b B C 时，当， 1360 sin 15sin 6sin sin ,151200 -=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b 例5、 在△ABC 中，求证： )cos cos (a A b B c a b b a -=- 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴ )cos cos (a A b B c a b b a -=- 例6、 在锐角△AB C 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2 A B π +> 即 02 2 A B π π >> -> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 例7、 在△ABC 中，求证：2 cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++。 证明：∵sin sin sin 2sin cos sin()22 A B A B A B C A B +-++=++ 2sin cos 2sin cos 2222A B A B A B A B +-++=+ 2sin (cos cos )222A B A B A B +-+=+ 2cos 2cos cos 222C A B =⋅ 4cos cos cos 222 A B C = ∴2 cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++ 例8、 在△ABC 中，假设0120=+B A ，则求证： 1=+++c a b c b a 。 证明：要证 1=+++c a b c b a ，只要证222 1a ac b bc ab bc ac c +++=+++， 即222a b c ab +-= 而∵0120,A B +=∴060C = 2222220cos ,2cos602a b c C a b c ab ab ab +-=+-== ∴原式成立。 例9、在△ABC 中，假设2 23cos cos 222 C A b a c +=，则求证：2a c b += 证明：∵223cos cos 222 C A b a c += ∴1cos 1cos 3sin sin sin 222 C A B A C ++⋅+⋅= 即sin sin cos sin sin cos 3sin A A C C C A B +++= ∴sin sin sin()3sin A C A C B +++= 即sin sin 2sin A C B +=，∴2a c b += 例10、在△ABC 中，假设)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，请判断三角形的形状。 解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++=== -- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 例11、中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边， 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ 〔Ⅰ〕求A 的大小； 〔Ⅱ〕假设sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状. 解：〔Ⅰ〕由已知，根据正弦定理得c b c b c b a )2()2(22+++= 即bc c b a ++=222 由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+= 故︒=-=120,2 1 cos A A 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得.sin sin sin sin sin 222C B C B A ++= 又1sin sin =+C B ，得2 1sin sin ==C B 因为︒<<︒︒<<︒900,900C B ， 故B C = 所以ABC ∆是等腰的钝角三角形。 例12、 在ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin (sin 222B b a C A R -=- 求△ABC 的面积的最大值。 解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ⋅-⋅=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=- 222 2 2 2 ,cos 452a b c a b c C C ab +-+-==== 2222,2sin ,2,sin c R c R C a b R C ===+-= 2 2 2 2 22, R a b ab ab +=+≥≤ 21sin 244S ab C ab ==≤2 max 2 12R S += 例13、 ABC 的三边c b a >>且2 ,2π =-=+C A b c a ，求::a b c 解：sin sin 2sin ,2sin cos 4sin cos 2222 A C A C A C A C A C B +-+++== 1sin cos 2sin cos 222222B A C B B B B -===== 3,,,2 4242 B B A C A C B A C π πππ-= +=-= -=- 333sin sin( )sin cos cos sin 444A B B B πππ=-=-= sin sin()sin cos cos sin 444 C B B B πππ =-=-= ::sin :sin :sin a b c A B C ==)77(:7:)77(-+ 例14、C 中，BC=a , AC=b , a, b 是方程02322=+-x x 的两个根，且 2cos(A+B)=1 求〔1〕角C 的度数 〔2〕AB 的长度 〔3〕△ABC 的面积 解：〔1〕cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-2 1 ∴C=120︒ 〔2〕由题设：⎩⎨⎧=-=+2 3 2b a b a ∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC •BC •osC 120cos 222ab b a -+= ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a 即AB=10 〔3〕S △ABC =2 3 23221120sin 21sin 21= ⋅⋅== ab C ab 课后小结： 1. 正弦定理： sin sin a b A B = sin c C = 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边； ②已知两边和其中一边的对角． 课后练习： 一、选择题 1．在△ABC 中，假设0030,6,90===B a C ，则b c -等于〔 〕 A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．假设A 为△ABC 的内角，则以下函数中一定取正值的是〔 〕 A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是〔 〕 A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060， 则底边长为〔 〕 A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，假设B a b sin 2=，则A 等于〔 〕 A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是〔 〕 A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，假设=++=A c bc b a 则,222_________。 3．在△ABC 中，假设====a C B b 则,135,30,200_________。 4．在△ABC 中，假设sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 15．在△ABC 中，已知b =，c =1，45B =︒，求a ，A ，C ． 16．在△ABC 中，a +b =1，A=600，B=450，求a ，b 17.在△ABC 中，ABC S =，48ac =，2a c -=，求b . 18.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC=600，AC=7，AD=6， S △ADC =2 3 15，求AB 的长. 19、BC 中，AB ＝5，AC ＝3，D 为B C 中点，且AD ＝4，求B C 边长 解：设BC 边为ｘ，则由D 为BC 中点，可得BD ＝DC ＝2x ， 在△ADB 中，cos ADB ＝,2425)2(42222 2 22x x BD AD AB BD AD ⨯ ⨯-+=⋅⋅-+ 在△ADC 中，cos ADC ＝.2 423)2(422222 22x x DC AD AC DC AD ⨯ ⨯-+=⋅⋅-+ 又∠ADB ＋∠ADC ＝180° ∴cos ADB ＝cos 〔180°－∠ADC 〕＝－cos ADC ∴2 423)2(42425)2(42 22222x x x x ⨯ ⨯-+- =⨯⨯-+ 解得，ｘ＝2, 所以，BC 边长为2 一、选择题 1.C 00tan 30,tan 3023,244,23b b a c b c b a =====-= 600 2 1 D C B A 2.A 0,sin 0A A π<<> 3.C cos sin()sin ,,22 A A B A B ππ =->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<> 4.D 作出图形 5.D 01 2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302 b a B B A B A A ====或0150 6.B 设中间角为θ，则22200005871 cos ,60,180601202582 θθ+-= ==-=⨯⨯为所求 二、填空题 1.12 11sin sin sin cos sin 222 A B A A A ==≤ 2.0 120 22201 cos ,12022 b c a A A bc +-= =-= 3.26- 00sin 15, ,4sin 4sin154sin sin sin a b b A A a A A B B ====== 4. 0120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13， 令7,8,13a k b k c k === 22201 cos ,12022 a b c C C ab +-= =-= 5. 4 ,,sin sin sin sin sin sin AC BC AB AC BC AB B A C B A C +===+AC BC + sin )cos 22 A B A B A B +-=+= max 4cos 4,()42 A B AC BC -=≤+= 第二讲 正弦、余弦定理的应用 例1、在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高。 解法一：〔用正弦定理求解〕由已知可得在∆ACD 中， AC=BC=30， AD=DC=103， ∠ADC =180︒-4θ， ∴θ 2sin 310= ) 4180sin(30 θ-︒ 。 因为 sin4θ=2sin2θcos2θ ∴ c os2θ=2 3 ,得 2θ=30︒ ∴ θ=15︒， ∴在Rt ∆ADE 中，AE=ADsin60︒=15 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m 解法二：〔设方程来求解〕设DE= x ，AE=h 在 Rt ∆ACE 中,(103+ x)2 + h 2=302 在 Rt ∆ADE 中,x 2+h 2=(103)2 两式相减，得x=53,h=15 ∴在 Rt ∆ACE 中,tan2θ= x h +310=3 3 ∴2θ=30︒,θ=15︒ 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m 解法三：〔用倍角公式求解〕设建筑物高为AE=8，由题意，得 ∠BAC=θ， ∠CAD=2θ， AC = BC =30m , AD = CD =103m 在Rt ∆ACE 中，sin2θ= 30x 在Rt ∆ADE 中，sin4θ= 3104, ②÷① 得 cos2θ=2 3,2θ=30︒,θ=15︒，AE=ADsin60︒=15 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m 例2、某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9, ∠ACB=︒75+︒45=︒120 ∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2⨯9⨯10xcos ︒120 ∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=23,或x=-169(舍去) 所以BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为sin ∠BAC =AB BC ︒120sin =21 15⨯23=1435 ∴∠BAC =3831'︒,或∠BAC =14174'︒〔钝角不合题意，舍去〕 ， ∴3831'︒+︒45=8331'︒ 答：巡逻艇应该沿北偏东8331'︒方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船. 例3、〔07宁夏，海南〕〕如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ． 解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得 sin sin BC CD BDC CBD =∠∠． 所以sin sin sin sin() CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·． 在 ABC △ 中tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠= +·． 例4、〔08湖南〕在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测 得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ=2626，090θ<<)且与点A 相距1013海里的位置C . 〔I 〕求该船的行驶速度〔单位：海里/小时〕; 〔II 〕假设该船不改变航行方向继续行驶.判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解: 〔I 〕如图，AB =402，AC=1013， 26,sin .26BAC θθ∠== 由于090θ<<,所以cos θ=2265261().2626 -= 由余弦定理得BC=222cos 10 5.AB AC AB AC θ+-= 所以船的行驶速度为1051552 3 =〔海里/小时〕. 〔II 〕解法一 如下图，以A 为原点建立平面直角坐标 系， 设点B 、C 的坐标分别是B 〔x 1，y 2〕, C 〔x 1，y 2〕, BC 与x 轴的交点为D. 由题设有，x 1=y 1= 22 AB=40, x 2=AC cos 1013cos(45)30CAD θ∠=-=, y 2=AC sin 1013sin(45)20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =20210 =,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E 〔0，-55〕到直线l 的距离d =|05540|357.14 +-=<+ 所以船会进入警戒水域. 解法二: 如下图，设直线AE 与BC 的延长线相交于点 Q . 在△ABC 中，由余弦定理得， 222 cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅ =22240210510132402105 ⨯+⨯-⨯⨯⨯=31010. 从而2910sin 1cos 1.1010 ABC ABC ∠=-∠=- = 在ABQ ∆中，由正弦定理得， AQ=10 402sin 1040.sin(45)2210210AB ABC ABC ⨯∠==-∠⨯ 由于AE =55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE-AQ =15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离. 在Rt QPE ∆中，PE =QE ·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=⋅∠=⋅-∠ =515357.5 ⨯ =< 所以船会进入警戒水域. 课后练习： 1、〔07山东〕如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 2A 处时,乙船航行到甲船的 北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距102海里, 问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结12A B ，22102A B =，122030210260 A A =⨯=， 122A A B ∆是等边三角形，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒， 在121A B B ∆中，由余弦定理得 222121112111222 2cos 45220(102)2201022002B B A B A B A B A B =+-⋅︒ =+-⨯⨯⨯=， 1210 2.B B = 因此乙船的速度的大小为1026030 2.20 ⨯= 答：乙船每小时航行302海里. 2、某一时刻，一架飞机在海面上空C 点处观测到一人在海岸A 点处钓鱼。从C 点处测得A 的俯角为45o ；同一时刻，从A 点处测得飞机在水中影子的俯角为60o 。已知海岸的高度为4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离〔结果保留整数〕。 3、人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问〔1〕需要几小时才能追上？〔点B 为追上时的位置〕〔2〕确定巡逻艇的追赶方向〔精确到01.︒〕 〔如图4〕 解：在中，R t A B C B C A B ∆=︒ t a n 45 在中，R t A B G B G A B ∆=︒t a n 60 A B A B t a n t a n 60458 ︒-︒= ∴=+A B 443 ∴=+A C4246 图4 参考数据： sin ..cos ..sin ..cos ..sin ..cos ..sin ..cos ..6680919166803939674092316740384668409298684036817060943270603322︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，， 分析：〔1〕由图可知∆A B O 是直角三角形，于是由勾股定理可求。 〔2〕利用三角函数的概念即求。 解：设需要t 小时才能追上。 则A B t O B t ==2426， 〔1〕在R t A O B ∆中， O B O A A B 222=+，∴=+()()261024222t t 则t =1 〔负值舍去〕故需要1小时才能追上。 〔2〕在R t A O B ∆中 s i n .∠==≈A O B A B O B t t 242609231 ∴∠=︒A O B 674. 即巡逻艇沿北偏东674.︒方向追赶。 知识回顾: 4、理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 a ksinA ， ________________ ， c ksinC ； （2）」 b J 等价于 ______________________ sin A sin B sin C (3) 正弦定理的基本作用为: 正弦、余弦定理 1、直角三角形中，角与边的等式关系：在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AG=b , AB=c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 -sin A ，- sin B ，又sinC 1 -，从而在直角三 c c c 角形ABC 中，-?- sin A b sin B c si nC 2、当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义, 有 CD=asinB bsinA ，则 一- b ，同理可得一 sin A sin B sin C b sin B 从而」- sin A b sin B c sin C 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 ____ 的比相等，即旦 sin A b sin B c sin C c b a c sin C sin B ' sin A sin C ① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsinA ； b sin B ② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如 sin A a sin B ； sinC . b (4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作 解三角形? 5、知识拓展 6、 勾股定理： ___________________________________ 7、 余弦定理：三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 _____________ ______________ 的两倍，即a 2 b 2 8、余弦定理的推论: cosC ____________________________ 。 9、在 ABC 中，若a 2 b 2 c 2,则 ______________________ ，反之成立; 典型例题: a b sin A sin B c si nC 2R ，其中2R 为外接圆直径. c 2 cosA cosB 解三角形练习题及答案 1．△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积． 2．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判定△ABC的形状． 3. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地动身由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向连续前进，问此舰有没有角礁的危险？ 4．如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小 时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求现在货轮与灯塔之间的距离． 5. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，通过420s（秒）后又看到山顶的 俯角为450，求山顶的海拔高度（取2＝1.4,3＝1.7）． 图1 图2 A C 6． 在某海边都市邻近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于都市O （如图）的东偏南 )10 2 (cos = θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范畴为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该都市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时刻有多少小时？ O P θ 45° 东 西 北 东 解直角三角形经典题型应用题 1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？ 解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到： $x^2 + 3^2 = 2^2$ 化简得： $x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$ 由于x是高度，因此应该为正数。但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！ 2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？ 解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到： $tan(30) = \frac{h}{50}$ 化简得： $h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 28.87$ 因此，这个高楼的高度约为28.87米。 3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？ 解：设河宽为w，根据三角函数，得到： $tan(45) = \frac{w}{20}$ 化简得： $w = 20\times tan(45) = 20$ 因此，河宽为20米。 4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？ 解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。又根据三角函数，得到： $tan(30) = \frac{3x}{y}$ $tan(60) = \frac{2x}{y}$ 解三角形练习题 一、选择题 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．() 1310- C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．60°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ） A ． 3 π B ． 6π C ．32π D ． 3π或3 2π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8 B ． ()10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是( ) A ．2>x B ．2 正弦、余弦定理 知识回顾： 1、直角三角形中，角与边的等式关系：在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C == ． 2、当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B = ， 从而 sin sin a b A B = sin c C =． 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 4、理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2） sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B = ，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B = ；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 5、知识拓展 sin sin a b A B =2sin c R C ==，其中2R 为外接圆直径. 6、勾股定理： 7、余弦定理：三角形中 平方等于 减去 的两倍，即=2 a ； =2b ；=2c 。 8、余弦定理的推论： =A cos ；=B cos ； =C cos 。 9、在，反之成立；则 中，若,222c b a ABC + 解三角形高考试题及答案 高考数学题中，三角形相关的内容一直以来都是考点之一。解三角 形题目需要运用几何图形的性质和相关定理，是对学生综合运用知识 的考察。下面将通过几个常见的三角形题目，来分析解题的思路和方法。 题目一：已知三角形ABC，∠B=50°，∠C=70°，AB=5 cm，BC=3 cm，求AC的长度。 解题思路：根据三角形的内角和定理，得知∠A=180°-∠B-∠C=60°。通过已知的两边和一个夹角，我们可以运用正弦定理或余弦定理来求解。这里我们选择使用余弦定理。根据余弦定理，有：AC²=AB²+BC²- 2×AB×BC×cos∠A。将已知数值带入公式计算，得到AC≈5.98 cm。 题目二：已知三角形ABC，∠B=45°，AB=12 cm，BC=8 cm，求 ∠A和AC的长度。 解题思路：我们先通过已知条件来求∠A。根据三角形的内角和定理，有∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+45°+∠C=180°，从而可以得出 ∠A=135°。然后，根据余弦定理，可以得到AC²=AB²+BC²- 2×AB×BC×cos∠A。代入已知数值，计算得到AC≈12.24 cm。 题目三：已知三角形ABC，AB=3 cm，BC=4 cm，AC=5 cm，求 ∠A、∠B和∠C的大小。 解题思路：根据余弦定理，我们可以得到cos∠A=（BC²+AC²-AB²）/（2×BC×AC），cos∠B=（AC²+AB²-BC²）/（2×AC×AB），cos∠C= （AB²+BC²-AC²）/（2×AB×BC）。将已知数据带入公式，计算得到 cos∠A=1/2，cos∠B=1，cos∠C=1/2。从而可以得到∠A=60°，∠B=0°，∠C=60°。 综上所述，解三角形的题目需要掌握三角形的基本性质和相关定理。根据已知条件运用相应的公式进行计算，最终得到所求的结果。在解 题过程中，需要认真分析，严谨计算，确保每一步的推导准确无误。 同时，通过练习更多的题目，可以提升对三角形知识的理解和运用能力，为高考数学考试做好充分准备。 最后，提醒广大考生，在考场上解三角形的题目时，一定要注意绘 制准确的图形，标明已知条件和所求部分的字母，以便于更好地理清 思路和计算过程。并且，需要注意单位的转换和小数点的保留，精确 到合适的位数，以免答案产生误差。 希望以上解三角形高考试题及答案的论述能够对广大考生在备考阶 段有所帮助，相信只要掌握好基础知识，熟练运用相关定理，并进行 多练习，就能够在考试中取得优异的成绩。祝愿所有考生都能够顺利 完成高考，实现人生的理想目标！ 一、选择题 1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝b，则角A等于() A． B． C． D． 2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为() A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 二、填空题 3.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且 (2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)·sin C，则△ABC面积的最大值为________． 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos 2C＝，且 a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为________． 5.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________． 6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝ sin A cos A－sin B cos B. (1)求角C的大小； (2)若sin A＝，求△ABC的面积． 7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sin A sin B＝2＋. (1)求角C的大小； (2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值． 8.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c＝－3bcosA，tanC＝. (1) 求tanB的值； (2) 若c＝2，求△ABC的面积． 9.在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a cos C＋c＝b. (1) 求角A的大小；(2) 若a＝，b＝4，求边c的大小． 10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝． （1）求角的值； （2）若角，边上的中线=，求的面积． 11.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1. (1)求角A的大小； (2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin B sin C的值． 12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C. (1)求tan C的值； (2)若a＝，求△ABC的面积． 13.如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝. (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长． 思维点拨：巧解三角形典型例题 【例1】如图，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和. 【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，∠A+∠C=∠CED+∠EDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 解：连结DE，由以上结论可知：∠A+∠C=∠CED+∠EDA， 又因为在三角形BED中，∠B+∠BEC+∠BDA+∠CED+∠EDA=180°， 所以∠B+∠BEC+∠BDA+∠A+∠C=180°. 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°. 【例2】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和. 【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF 所构成的图形中，∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，这样就把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5同时放到了三角形BDC中，即可求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和. 解：连结CD，则∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA， 又因为在三角形BDC中，∠1+∠5＋∠2+∠EDC+∠DCA=180°， 所以∠1+∠5＋∠2+∠3+∠4=180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180°. 【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法. 【例3】如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）. 【思考与解】因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC， 所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－1 2 BAC 在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3）， 所以∠1＝90°－1 2 ［180°－（∠2＋∠3）］= 1 2 （∠3+∠2）. 又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G. 所以∠G＝∠1－∠2＝1 2 （∠3+∠2）－∠2＝ 1 2 （∠3－∠2）. 所以应选C. 【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝25°，∠A＝35°.你能求出∠BDC的度数吗？ 【思考与解】延长BD，与AC交于E点，因为∠DEC是三角形ABE的外角，所以∠DEC=∠A+∠ABD＝35°+20°=55°. 又因为∠BDC是三角形CDE的外角， 所以∠BDC=∠DEC+∠ACD=55°+25°=80°. 【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题. 解三角形练习题及答案 解三角形练习题及答案 解三角形，是指已知三角形的几个元素求其他元素的过程。一般地，把三角形的.三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。一起看看下面的解三角形练习题及答案吧！ 1．有关正弦定理的叙述： ①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sinAsinBsinC＝abc。 其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 解析①②③不正确，④⑤正确． 答案 B 2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝（） A．43 B．23 C．3 D．32 解析由正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，即AC＝BCsinBsinA＝32×sin45°sin60°＝23。 答案 B 3．在△ABC中，已知b＝2，c＝1，B＝45°，则a等于（） A．6－22 B．6＋22 C．2＋1 D．3－2 解析由正弦定理，得sinC＝csinBb＝sin45°2＝12，又b>c， ∴C＝30°，从而A＝180°－（B＋C）＝105°， ∴a＝bsinAsinB，得a＝6＋22。 答案 B 4．在△ABC中，已知3b＝23asinB，cosB＝cosC，则△ABC的形状是（） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝32，A＝π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形． 答案 B 5．在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B等于（） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 解析∵3a＝2bsinA， ∴3sinA＝2sinBsinA。 ∵sinA≠0，∴sinB＝32， 又0° 专题解三角形大题(含答案) 靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。今天，你，做数学题了吗？ 1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC 的面积。根据正弦定理和余弦定理，可以得到 sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4. 2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2， 求角C的度数和△ABC面积的最大值。同样利用正弦定理和 余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3. 3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是 钝角三角形，求其面积。根据余弦定理，可以得到 cosC=(a2+b2-c2)/2ab。代入已知条件，解得sinC=√3/2，若 △ABC是钝角三角形，面积为0. 4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C 和如果c=2，求△ABC面积的最大值。根据余弦定理，可以 得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。代入已知条件，解得C=π/3， S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得 S△ABC=√3. 5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以 解得S△ACD=8√3和AB=2√7. 6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。代入正弦定理和已知条件，解得 sinB=1/2，周长为3c。 1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。从而，当且仅当$a=b=2$时取等号。所以$\triangle ABC$面积的 最大值为$3$。 高中数学解三角形练习题及答案 解三角形 1.最大角与最小角的和为180°，因此答案为D．150°。 2.根据正弦定理，a/XXX，因此a∶b＝sinA∶sinB，答案 为B． 3.根据正弦定理，a/XXX，因此边长之比为 sin1∶sin2∶sin3，答案为B． 4.根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC，代入已知数值，可得cosC=1/2，因此∠C=60°，c=√(a²+b²-2abcosC)= 5. 5.根据正弦定理，a/sinA=2R，代入已知数值可得R=3， 因此△ABC的形状大小是唯一的。 6.根据余弦定理，若a²+b²-c²<0，则△ABC是锐角三角形。 7.根据正弦定理，a/sinA=2R，代入已知数值可得R=3/√3，因此a=3√3. 8.根据余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，代入已知数值可得cosA=1/4，因此A=75°，B=45°，C=60°，b=2a/√3=2√3. 9.由题意可列方程x+3cos150°=3，解得x=3. 10.由题意可列方程AB/AC=tan45°=1，XXX√3，解得 AB=60米，BC=60√3米，因此电视塔的高度为AB/tan45°=60米。 11.根据正弦定理，b=10sin60°/sin45°=10√3. 12.根据余弦定理，b²=a²+c²-2accosB，代入已知数值可得cosB=1/2，因此B=60°，b=2sinB=2√3-2. 13.根据正弦定理，sinC=3sin60°/10=√3/5，代入反正弦函 数可得∠C=60°。 14.根据正弦定理，sinC=c/2R，代入已知数值可得 R=√(a²+b²-c²)/2sinC=√(20)/√3，因此△ABC的形状大小是唯一的。 15.根据正弦定理，AD=ACsinB=46sin45°/sin60°=23√3. 16.最大角的正弦值为4/9，因此最大角的余弦值为√(1-16/81)=5/9. 17.根据余弦定理，b²=a²+c²-2accosB，代入已知数值可得cosB=1/2，因此B=60°，b=√(c²+a²-2accosB)=√10. 在三角形ABC中，已知b=3，c=1，∠B=60°，求a和 ∠A，∠C。 根据正弦定理，有： XXX/c 代入已知条件，得： 一、选择题 1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（） A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形 2、已知中，，，则角等于 A ． B ． C ． D ． 3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2) C．(2，) D．() 4、，则△ABC的面积等于 A ． B ． C ．或 D ．或 5、在中，，则角C的大小为 A.300 B.450 C.600 D.1200 6、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量 ，，若，则角的大小为（） A ． B ． C ． D ． 7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c 满足，则ab的值为（） A ． B ．C．1 D ． 8、在中,若,且,则是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形,但不是等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则 = A ． B ． C ． D ． 10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是()． A．等边三角形B．直角三角形 C．锐角三角形D．钝角三角形 11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（） A. B. C. D. 12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c 2b2）tanB=ac，则角B=（） A ． B ． C ．或 D ．或 13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（） A ． B ． C ． D ． 14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（） A、1 B、2 C、3 D、0 15、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C 的对边，若，则最大边c的取值范围是 ( ) （ A ． B ． C ． D ． 16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（） A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定. 17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（） A ． B ． C ． D ． 解三角形专题（高考题）练习 1、在ABC ∆中，已知内角3 A π = ，边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ， 记→ → •=BC AB f )(θ， （1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域； 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆ 中，cos A = ，cos B =. （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =， (sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π +B 的值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。 9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知1 1tan ,tan 2 3 A B ==，且最长 Ａ Ｂ Ｃ 120° θ 数学三角形试题答案及解析 1.如图，从5根小棒中任意取出3根，你能摆出几种不同的三角形呢？ 【答案】3种 【解析】三角形三条边的特性：任意两边的长度和大于第三边，任意两边的长度差小于第三边．根据此特性，进行组合． 解：可能的组合是： ①2厘米、2厘米、3厘米； ②3厘米、3厘米、4厘米； ③2厘米、3厘米、4厘米； 可以摆3种不同的三角形． 答：可以摆3种不同三角形． 点评：此题考查三角形三条边的特性：任意两边的长度和大于第三边，任意两边的长度差小于第三边． 2.分别在点子图中画出锐角三角形、等腰直角三角形和钝角三角 形． 【答案】 【解析】根据它们的定义：三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形；有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形；有一个角是钝角的三角形，是钝角三角形；进而画出即可． 点评：此题考查了三角形按角分类的方法，应灵活理解并掌握角的概念． 3.一个三角形的周长是40厘米，三条边长度的比是3：3：2．这个三角形三条边的长各是多少厘米？这个三角形是什么三角形？ 【答案】是15厘米，15厘米，10厘米，这个三角形是等腰三角形． 【解析】根据比与分数的关系知三条边各占周长的，，，三角形的周长是40厘米，求出三条边的长，再根据三角形的分类确定是什么三角形． 解：40×=15（厘米）， 40×=15（厘米）， 40×=10（厘米）， 因有两条边相等，所以这个三角形是等腰三角形． 答：三条边的长度分别是15厘米，15厘米，10厘米，这个三角形是等腰三角形． 点评：本题的关键是根据比与分数的关系求出各条边占周长的几分之几，再根据分数乘法的意义出各条边的长，然后再确定是什么三角形． 解三角形经典练习题集锦（附答案） A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰三角 解三角形 2. _______________________________________________ 在厶ABC 中，若 a 2 b 2 bc c 2 ,则A _____________________________ 。 3. _____________________________________________________ 在厶ABC 中，若b 2,B 30°,C 135°,则a _______________________ 。 4. 在厶 ABC 中，若 si nA : sin B : si nC 7 : 8 : 13，贝U C _____________ 。 ° 5. 在厶ABC 中，AB .、6 2, C 30°，则AC BC 的最大值是 。 三、解答题 一、选择题 1. 在厶 ABC 中，A: B: C 1:2:3，则 a:b:c 等于（） A . 1: 2:3 B . 3:2:1 C . 1: .3:2 D . 2^ 3 :1 2. 在厶ABC 中，若角B 为钝角，则si nB si nA 的值（） A.大于零B.小于零 C.等于零 D .不能确定 3. 在厶ABC 中，若A 2B ，则a 等于（ A . 2b si nA B . 2b cosA C . 2bsi nB D . 2b cosB 4. 在厶 ABC 中，若 Ig si nA Ig cos B Ig sin C Ig 2，则△ ABC 的形状是（） A.直角三角形 B .等边三角形 C .不能确定 D .等腰三角形 A B a b 7.在厶ABC 中，若tan ，则△ ABC 的形状是（） 2 a b 形或直角三角形 二、填空题 解三角形 一、选择题 1.在厶 ABC 中，若 C 900,a 6, B 300 ，则 c b 等于（） 2.在厶ABC 中，求证: ,cos B cos A 、 A. 1 B. 1 C. 2.3 D. 2.3 2. 若A ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） 1 A. sin A B. cosA C . tanA D .- tan A 3. 在厶ABC 中，角A, B 均为锐角，且cos A sinB,则厶ABC 的形状是（） A.直角三角形 B .锐角三角形 C ?钝角三角形 D .等腰三角形 4. 等腰三角形一腰上的高是 3，这条高与底边的夹角为 600，则底边长为（） 解三角形例题及解答 在初中数学中，解三角形是一个重要的内容，它包含了求解三角形 的各个要素，如边长、角度等。本文将通过几个例题来详细解答解三 角形的方法和步骤，帮助读者更好地理解和掌握这个知识点。 一、已知两边和夹角，求第三边 示例题：已知△ABC，∠A=30°，a=5cm，b=7cm，求边c的长度。 解答：根据已知条件，我们可以使用余弦定理来求解。余弦定理给 出了任意一个三角形的两边和夹角之间的关系，即c²=a²+b²-2ab*cosA 。 代入已知数据，可得：c²=5²+7²-2*5*7*cos30°。化简得：c²=25+49- 35*cos30°。 接下来，我们需要求解cos30°的值。根据三角函数表，我们知道 cos30°=√3/2。代入这个值，可得：c²=25+49-35*(√3/2)²。 继续化简，得到c²=25+49-35*3/4。计算后可得：c²=25+49-105/4。 进一步计算，得到c²=161-105/4。 最后，我们求解c的值。将c²=161-105/4代入，可得：c=√(161- 105/4)。进而计算得：c≈9.21cm。 因此，边c的长度约为9.21cm。 二、已知两角和一边，求其他两边 示例题：已知△ABC，∠A=30°，∠B=60°，c=8cm，求边a和边b 的长度。 解答：根据已知条件，我们可以应用正弦定理来求解。正弦定理给 出了三角形的两边与其对应的角度之间的关系，即 a/sinA = b/sinB = c/sinC 。 代入已知数据，可得 a/sin30° = b/sin60° = 8/sinC 。 解方程组，可得 a/sin30° = b/sin60°。化简得a/(1/2) = b/(√3/2)。 进而，得到a=2b/√3。将c=8代入正弦定理公式，得到8/sinC = 8/sin(180°-30°-60°)。 计算后可得8/sinC = 8/sin90° = 8/1 = 8。因此，sinC = 1。再通过三 角函数表查得C=90°。 我们已经得知∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。接下来，我们将∠C 代入正弦定理，即 a/sin30° = b/sin60° = 8/sin90°。 继续化简，得到a/(1/2) = b/(√3/2) = 8/1。再进一步化简，可得a=4，b=4√3。 因此，边a的长度为4，边b的长度为4√3。 通过以上两个例题，我们了解了解三角形的基本方法和步骤。在解 题中，我们运用了余弦定理和正弦定理来求解未知的边长或角度。这 些定理是解三角形的重要工具，通过灵活运用它们，我们能够快速准 确地求解出三角形的各个要素。 全等三角形证明题精选 一．解答题（共30小题） 1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO． 2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长． 3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点． （1）求证：△AOD≌△BOC； （2）求证：AD∥BC． 5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC． 7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF． 8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE． 9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE． 10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC． 14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E． 15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC； （2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长． 数学三角形试题答案及解析 1.有两根木棒，它们分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形，应选取下列（）木棒． A．100cm B．20cm C．50cm D．60cm 【答案】B． 【解析】解答此题时应根据三角形三边的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．因20与30的和是50，应选比50cm少的． 解：30+20=50（cm）， 30﹣20=10（cm）， 以上几个选项中比50cm小比10cm大的只有20cm； 答：第三边是20cm． 点评：解答此题时应根据三角形的三边的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据已知条件即可解答此题． 2.下面图形是用木条钉成的支架，最不容易变形的时（） A．B．C．D． 【解析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性；进行解答即可． 解：下面图形是用木条钉成的支架，最不容易变形的带有三角形的那个； B． 点评：本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用． 3.等腰三角形的顶角是70°，它的一个底角是（） A．20°B．30°C．55°D．110° 【答案】C． 【解析】在等腰三角形中，2个底角是相等的，用180°减去70°就是两个底角的和，再除以2就是等腰三角形的底角的度数．据此计算即可． 解：（180°﹣70°）÷2， =110°÷2， =55°． 答：它的底角是55°． 点评：本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的2个底角相等，以及根据内角和为180°可求出底角． 4.在一个三角形中，如果∠1=∠2﹣∠3（∠1，∠2，∠3 为三个内角），那么这个三角形一定是（）三角形． A．锐角B．直角C．钝角D．三个都有可能 【答案】B． 【解析】此三角形的三个内角分别是∠1，∠2，∠3（其中∠2最大），根据题意得∠1=∠2﹣∠3，所以∠1+∠3=∠2；又因为三角形的内角和是180度，即∠1+∠2+∠3=180°，把 ∠1+∠3=∠2，进行等量代换，所以2∠2=180°，进而求出最大角的度数，继而根据三角形的分类，进行判断即可． 解：此三角形的三个内角分别是∠1，∠2，∠3（其中∠2最大），根据题意得： 因为∠1=∠2﹣∠3， 解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60，则底 边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ． 006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．0 90 B ．0120 C ．0135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A s i n s i n 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 0_________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则A C B C +的最大值是 ________。 三、解答题 1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什 么？ 2．在△ABC 中，求证： )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证： C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。 4．在△ABC 中，设,3 ,2π = -=+C A b c a 求B sin 的值。 解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ．2 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 2 4．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．0 90 B ．0 60 C ．0135 D ．0 150 6．在△ABC 中，若14 13cos ,8,7= ==C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．7 1 - D ．81- 7．在△ABC 中，若tan 2A B a b a b --=+，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角 形或直角三角形 二、填空题解三角形经典例题及解答
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