解三角形经典练习题集锦

解三角形经典练习题集锦解三角形

一、选择题

1.在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c-b等于（）

A．1

B．-1

C．2/3

D．-2/3

2.若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）

A．sinA

B．cosA

C．XXX

D．1/tanA

3.在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状

是（）

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形

4.等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60°，则底

边长为（）

A．2

B．3/2

C．3

D．2/3

5.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）

A．30°或60°

B．45°或60°

C．120°或60°

D．30°或150°

6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°

B．120°

C．135°

D．150°

二、填空题

1.在Rt△ABC中，C=90°，则sinAsinB的最大值是

1/2.

2.在△ABC中，若a^2=b^2+bc+c^2，则A=120°。

3.在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=2√3.

4.在△ABC中，若

5.在△ABC中，AB=6-2，C=30°，则AC+BC的最大值是2√7.

三、解答题

1.在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC为等腰三角形。

2.在△ABC中，证明：a/b-cosBcosA/a-c=b/a-c。

3.在锐角△ABC中，证明：XXX>XXX。

4.在△ABC中，设a+c=2b，A-C=π/3，则sinB=1/2.

5．在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则A的度数为（）

A．90B．60C．135D．150

解析：根据余弦定理，有$b^2+c^2-2bc\cos A=a^2$，代入$(a+b+c)(b+c-a)=3bc$中，整理得$\cos A=-\frac{1}{2}$，即$A=120^\circ$，选项B正确。

6．在△ABC中，若a=7,b=8,$\cos C=\frac{13}{14}$，则

最大角的余弦为（）

解析：根据余弦定理，有$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=33$。

根据余弦定理，$\cos A=\frac{b^2+c^2-

a^2}{2bc}=\frac{1}{16}$，$\cos B=\frac{a^2+c^2-

b^2}{2ac}=\frac{3}{8}$。最大角的余弦为$\max\{\cos A,\cos B,\cos C\}=\cos B=\frac{3}{8}$，选项C正确。

7．在△ABC中，若$\tan(\frac{A-B}{2})=\frac{b}{a+b}$，则△ABC的形状是（）

解析：根据$\tan(\frac{A-B}{2})=\frac{\sin(A-

B)}{1+\cos(A-B)}$，有$\frac{\sin A-\sin B}{\cos A+\cos

B}=\frac{2b}{a+b}$。根据正弦定理，$\frac{a}{\sin

A}=\frac{b}{\sin B}$，代入上式得$\cos A-\cos B=\frac{a-

b}{a+b}$。整理得$\frac{\cos A-\cos B}{\sin A-\sin

B}=\frac{a+b}{2b}$。根据余弦定理，$\cos A=\frac{b^2+c^2-

a^2}{2bc}$，$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，代入上式得

$\tan\frac{A+B}{2}=\frac{c}{a+b}$。因此，

$\frac{A+B}{2}=90^\circ$，即$A+B=180^\circ$。如果$A=B$，则$\frac{c}{a+b}=\tan\frac{A-B}{2}=0$，矛盾；如果

$A+B=180^\circ$且$A\neq B$，则$\frac{c}{a+b}=\tan\frac{A-B}{2}\neq 0$，故△ABC为等腰三角形，选项B正确。

二、填空题

1．若在△ABC中，$\angle A=60^\circ,b=1,S_{\triangle ABC}=3$，则$\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=$_______。

解析：根据正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin

B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$为外接圆半径。由海伦公式，$S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-

c)}=\frac{abc}{4R}$，其中$p=\frac{a+b+c}{2}$为半周长。代

入已知条件，解得$a=4$，$R=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，$\sin

A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin B=\sin C=\frac{1}{2}$，$\sin

A+\sin B+\sin C=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。因此，

$\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin

C}=\frac{4+1+c}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$。

2．若A,B是锐角三角形的两内角，则$\tan A\tan

B$_____$1$。

解析：由于锐角三角形的三个内角之和为$180^\circ$，因此$C=180^\circ-A-B$为锐角。由于$\tan C=\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{\sin(180^\circ-A-B)}{\cos(180^\circ-A-

B)}=\frac{\sin(A+B)}{-\cos(A+B)}=-\tan(A+B)$，所以$\tan

A\tan B\tan C=\tan A\tan B(-\tan(A+B))=-\frac{\sin A\sin

B\sin(A+B)}{\cos A\cos B\cos(A+B)}=-\frac{\sin A\sin B(\sin

A\cos B+\cos A\sin B)}{\cos A\cos B(\cos A\cos B-\sin A\sin B)}=-\frac{\tan A+\tan B}{\tan A\tan B-1}$。因为$A,B$都是锐角，所以$\tan A>0$，$\tan B>0$，故$\tan A\tan B-11$。

3．在△ABC中，若$\sin A=2\cos B\cos C$，则$\tan

B+\tan C=$_________。

解析：根据正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$。因此，$\sin A=2\cos B\cos C$等价于$\frac{a}{2R}=2\frac{b}{2R}\cos B\cdot 2\frac{c}{2R}\cos C$，即$a\cos B\cos C=R^2$。由余弦定理，$b^2=a^2+c^2-

2ac\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，代入$a\cos B\cos

C=R^2$中，整理得$\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}=a\cot A$。根据正切的和差公式，$\tan(B+C)=\frac{\tan B+\tan C}{1-\tan

B\tan C}$，即$\tan B+\tan

C=\frac{\tan(B+C)}{1+\tan(B+C)}=\frac{\frac{a^2}{S}\tan

A}{1+\frac{a^2}{S}\tan A}=\frac{a^2\tan A}{S+a^2\tan A}$。

由海伦公式，$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{p(p-a)\frac{b+c-a}{2}\frac{a+b+c}{2}-bcp}=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-

b+c)(-a+b+c)}=\frac{1}{4}\sqrt{(21+2b)(21-2b)(23+2c)(23-2c)}$。代入已知条件，整理得$\tan B+\tan C=\frac{147}{46}$。

4．在△ABC中，若$a=9,b=10,c=12$，则△ABC的形状

是_________。

解析：由三边长求角度，根据余弦定理，$\cos

A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{11}{24}$，$\cos

B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{7}{12}$，$\cos

C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{5}{8}$。因为$\cos^2

A+\cos^2 B+\cos^2 C+2\cos A\cos B\cos C=1$，代入已知条件

得$\cos A\cos B\cos C=-\frac{1}{8}$。因为$0<\cos A,\cos

B,\cos C<1$，所以$\cos A,\cos B,\cos C$中恰有一个小于

$\frac{1}{2}$。因此，$\angle C=90^\circ$，且$\cos

C=\frac{5}{8}<\frac{1}{2}$，故$\angle A,\angle B$中恰有一个

大于$90^\circ$。因为$a^2+b^2=c^2$，所以$\angle C=90^\circ$，$a,b$分别为直角边，故△ABC为直角三角形，选项A正确。

5．在△ABC中，若$a=3,b=2,c=\sqrt{6+2\sqrt{2}}$，则$\angle A=$_________。

解析：由余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，代入已知

条件得$\cos C=\frac{1}{\sqrt{2}}$。因为$0<\cos C<1$，所以$\angle C=45^\circ$。由正弦定理，$\frac{a}{\sin

A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$为外接圆

半径。因为$\angle C=45^\circ$，所以$\sin C=\cos

C=\frac{1}{\sqrt{2}}$，故$c=2R\sin C=\frac{1}{\sqrt{2}}R$。

又因为$a=3,b=2$，所以$R=\frac{c}{2\sin

C}=\frac{1}{\sqrt{2}}c=\sqrt{3}+1$。因此，$\sin

A=\frac{a}{2R}=\frac{3}{2(\sqrt{3}+1)}=\frac{3(\sqrt{3}-

1)}{2}$，$\angle A=\arcsin\frac{3(\sqrt{3}-1)}{2}\approx

75.5^\circ$。

6．在锐角△ABC中，若$a=2,b=3$，则边长$c$的取值范围是_________。

解析：由余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=13-12\cos C$。因为$0<\cos C<1$，所以$1

$1

在△ABC中，若cos2A+cos2B+cos2C=1，则△ABC的形状是______（锐角三角形）。

3．在△ABC中，∠C是钝角，设

x=sinC,y=sinA+sinB,z=cosA+cosB，则x,y,z的大小关系是

______（x>y>z）。

4．在△ABC中，若a+c=2b，则cosA+cosC-cosAcosC+1/3sinAsinC=______（2/3）。

5．在△ABC中，若2logtanB=logtanA+logtanC，则B的取值范围是______（(0,π/2)）。

6．在△ABC中，若b2=ac，则cos(A-C)+cosB+cos2B的值是______（1）。

三、解答题

1．在△ABC中，若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，请

判断三角形的形状。

解：将式子化简得a2-b2=(a2+b2)cosAcosB，即a2/b2-

1=cosAcosB，因为a2/b2-10，所以A、B同为锐角或同为钝角。综上，三角形为一锐一钝或三个锐角的三角形。

2．如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sin2A-

sin2C)=(2a-b)sinB，求△ABC的面积的最大值。

解：根据正弦定理，2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB可以化为sinA/c=sinB/b=sinC/a，即a=bsinC/cosB，b=XXX。代入海龙

公式S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]中，其中s=(a+b+c)/2，得

S=bc√[cosAcosBcosC]。由于S与cosAcosBcosC成正比，所以

要求S的最大值，只需求cosAcosBcosC的最大值。由于

a=bsinC/cosB，b=csinA/cosC，所以cosB=bsinC/a，

cosC=csinA/b，代入cosAcosBcosC中得

cosAcosBcosC=cosA(sinC/a)(sinA/b)(sinB/c)=(sinA/abc)2S2.因

为S是一定的，所以要求cosAcosBcosC的最大值，只需求

sinA/abc的最大值，即a:b:c=1:√2:1时，sinA/abc最大，此时cosAcosBcosC=1/8，所以△ABC的面积的最大值为bc/4.

3．已知△ABC的三边a>b>c且a+c=2b,A-C=π/2，求

a:b:c。

解：由a+c=2b得a=2b-c，代入a2=b2+c2-2bc cosA得(b-c)2=c2-2bc cosA，即(b-c)2=(c-b)2+4b2 sin2A，所以sinA=√[(b-c)2/(4b2+(b-c)2)]。又因为A-C=π/2，所以sinA=cosC，即√[(b-c)2/(4b2+(b-c)2)]=c/a，化简得a2=b2+c2-2bc/√2，所以b2+c2-2bc/√2+c2=2b2，即3c2-4bc/√2+2b2=0，解得b/c=2-√2，

a/c=2√2-2.

4．在△ABC中，若(a+b+c)(a-b+c)=3ac，且

tanA+tanC=3+√3，AB边上的高为h，求角A,B,C的大小与边a,b,c的长。

解：由(a+b+c)(a-b+c)=3ac得a2-b2+2ac=3ac，即a2=2b2-c2.由tanA+tanC=3+√3得sinA/c+sinC/a=(3+√3)cosAcosC/c2，代入a2=2b2-c2得sinA/c+sinC/a=(3+√3)(b2+c2-a2)/2bc，化简得(b-c)(3b+c)=a(3b-c√3)，所以b/c=2-√3，a/c=1+√3.由AB边上的高为h得h=b sinC，代入a2=2b2-c2得a2=5b2/3，所以

a:b:c=√15:2√5:√3.再由余弦定理得cosB=-1/2，所以B=2π/3，A=π/3，C=π/2.

sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=2sin(A+B)cos(A-

B)<=2cos^2(A-B)<=2

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=-1/2.A=120

sinA=a/b。sinB=b/a。a=7k。b=8k。c=13k

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=-1/2.C=120

XXX

AC+BC=2ACBC/(AB)=2(6-2)(sinA+sinB)=4(6-

2)sin(A+B)/2cos(A-B)/2<=4.(AC+BC)max=4

1.解：根据余弦定理，acosA+bcosB=ccosC，代入sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC中得sin2A+sin2B=sin2C，再代

入acosA+bcosB=ccosC中得2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC，

进而得cos(A-B)=-cos(A+B)，又因为cos2x=2cos^2x-1，所以cosA=0或cosB=0，故A=90°或B=90°，因此△ABC是直角三

角形。

2.证明：将cosB代入右边得右边=c(2abc-2abc)/(b2+c2-

a2)=2ab/(a2-b2)，而左边为abcosB/(b-a)，因此左边等于右边，证毕。

3.证明：由于△ABC是锐角三角形，所以A+BB，因此sinA>sin(π/2-B)=cosB，同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，因

此XXX>XXX。

4.解：由余弦定理可得2b^2=a^2+c^2，代入题目中的式子得sin(A+C)/2cos(B/2)^2=3/4，又因为B0，因此sin(A+C)/2>0，

故sin(A+C)/2>=3/4，即sin(A+C)>=3/2，但是-sin(B)=-

sin(B)/cos(B)=tan(-B)。

cosB=1/2，∴sinB=√3/2，tanA>XXX

根据三角函数的定义，sinB/tanB=tanA>1，即sinB>tanB，所以选项为D。

XXX

根据三角函数的定义，sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC，代入式子中得到

2tanB+tanC=sin(B+C)/(XXX)

由于B+C0，因此分子分母同乘以sin(B+C)，得到

2tanB+tanC=sin(B+C)XXX

根据三角恒等式sin2x+cos2x=1，得到

2tanB+tanC=(XXX)/sin(B+C)

根据三角函数的定义，cosBcosC=sinBsinC，代入式子中

得到

2tanB+tanC=(XXX)/sin(B+C)

化简得到

2tanB+tanC=2sinBcosC/sin(B+C)

根据三角函数的定义，sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，代

入式子中得到

XXX)

化简得到

XXX

根据三角函数的定义，cosB/sinB=tanB，cosC/sinC=tanC，代入式子中得到

2tanB+tanC=tanB+tanC，即2tanB+tanC=tan(B+C)

根据三角函数的定义，tan(B+C)=tan(π-A)=tanA，代入式

子中得到

2tanB+tanC=XXX

所以选项为B。

XXX(B+C)

根据三角函数的定义，sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)，代

入式子中得到

sin(B+C)/(XXX)=2sinBcosC/sin(B+C)

化简得到

sin(B+C)sin(B+C)=2sinBcosC(XXX)

根据三角恒等式sin2x+cos2x=1，得到

sin(B+C)sin(B+C)=2sinBcosC(XXX)

化简得到

sinB+sinC)sin(B+C)=2sinBcosC(XXX)

根据三角函数的定义，sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，代入式子中得到

sinB+sinC)(sinBcosC+cosBsinC)=2sinBcosC(XXX)

化简得到

XXXcosC=2sinBcosCsinB+2sinBcosCsinC+2sinCcosBcosC +2sinCsinBcosC+2sinCsinB+CsinBcosC+CcosBsinC

化简得到

XXX

化简得到

XXX

根据三角函数的定义，cosBsinC-sinBcosC=sin(B-C)，代入式子中得到

sinB(cosBsinC-sinBcosC)=XXX

化简得到

sinBsin(B-C)=sinBcosC(sinC+C)

根据三角函数的定义，sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC，代入式子中得到

sinB(sinBcosC-cosBsinC)=sinBcosC(sinC+C)

化简得到

XXX=sinBcosC(sinC+C)

化简得到

sinBcosC(2sinBcosC-sinC-C)=0

因为sinBcosC>0，所以2sinBcosC=sinC+C，即sin(B+C)=2sinBcosC

代入式子中得到

2sinBcosC/sin(B+C)=2sinBcosC/2sinBcosC=1

所以选项为C。

锐角三角形为最大角，cosC>0，C为锐角

因为锐角三角形为最大角，所以Aπ/2

根据余弦定理，有

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC

代入式子中得到

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2a2cosB

c2=a2+b2-2abcosC

根据cosA>0，cosB>0，cosC>0，得到

a2

b2

c2

所以a

根据三角形的三边关系，有

a+b>c

a+c>b

b+c>a

代入式子中得到

a+b+c>2c

a+b+c>2b

a+b+c>2a

所以a+b+c>2max(a,b,c)

因为A+B+C=π，所以max(a,b,c)<(a+b+c)/2 所以a+b+c<2(a+b+c)/2=a+b+c，矛盾

因此假设不成立，所以cosC<0，即C为锐角所以选项为D。

a+b+c)(b+c-a)=3bc

根据展开式，有

a+b+c)(b+c-a)=ab+ac+bc-b2-c2+a2+bc-ab-ac+b2-c2+ab+ac-b2-c2+a2+bc-ab-ac-b2+c2+a2+bc-b2-c2+a2+b2+c2-a2 化简得到

a+b+c)(b+c-a)=3bc

所以选项为A。

c2=a2+b2-2abcosC=9，c=3

代入式子中得到

cosC=(a2+b2-c2)/2ab=(a2+b2-9)/6ab

根据cosC>0，得到

a2+b2>9

代入式子中得到

a2+b2-c2>0

所以C为锐角

根据余弦定理，有

cosB=(a2+c2-b2)/2ac=(-a2+9-b2)/6ac

因为B为最大角，所以cosB<0，得到

a2+9-b2<0

即b2-a2>9

代入式子中得到

b2-a2-c2>-9

所以A为锐角

因为B为最大角，所以B>π/3

根据余弦定理，有

cosA=(b2+c2-a2)/2bc=(9-b2-a2)/6bc

cosB=(a2+c2-b2)/2ac=(-a2+9-b2)/6ac

cosC=(a2+b2-c2)/2ab=(a2+b2-9)/6ab

代入式子中得到

XXX=(9-b2-a2)/6bc+(-a2+9-b2)/6ac+(a2+b2-9)/6ab 化简得到

cosA+cosB+cosC=(a2b2+b2c2+c2a2)/(2abc)

根据AM-GM不等式，有

a2b2+b2c2+c2a2>=3abc√(a2b2c2)

代入式子中得到

XXX>=3/2

所以选项为C。

sin(A+B)/sin(A-B)=13/5