（完整版）解三角形经典练习题集锦（附答案）
（完整版）解三角形经典练习题集锦（附答案）
解三角形一、选择题1．在△ABC中，若0030,6,90BaC，则bc 等于（） A．1 B．1 C．32 D．32 2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．Asin B．Acos C．Atan D．Atan1 3．在△ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（） A．2 B．23 C．3 D．32 5．在△ABC中，若Babsin2，则A等于（） A．006030或 B．006045或 C．0060120或 D．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．090 B．0120 C．0135 D．0150 二、填空题 1．在Rt△ABC中，090C，则BAsinsin的最大值是_______________。 2．在△ABC中，若Acbcba 则,222_________。 3．在△ABC中，若aCBb则,135,30,200_________。4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。5．在△ABC中，,26AB030C，则ACBC的最大值是________。三、解答题1.在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是什么？2．在△ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba 3．在锐角△ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin。4．在△ABC中，设,3,2CAbca求Bsin的值。解三角形一、选择题1．在△ABC中，::1:2:3ABC，则::abc等于（） A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D．2:3:1 2．在△ABC 中，若角B为钝角，则sinsinBA的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定3．在△ABC中，若BA2，则a等于（）A．Absin2 B．Abcos2 C．Bbsin2 D．Bbcos2 4．在△ABC中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形5．在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A ( ) A．090 B．060 C．0135 D．0150 6．在△ABC中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是（） A．51 B．61 C．71 D．81 7．在△ABC中，若tan2ABabab，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或
直角三角形二、填空题
1．若在△ABC中，060,1,3,ABCAbS则CBAcbasinsinsin=_______。2．若,AB是锐角三角形的两内角，则BAtantan_____1（填>或<）。3．在△ABC中，若CBCBAtantan,coscos2sin则_________。4．在△ABC中，若,12,10,9cba则△ABC的形状是_________。 5．在△ABC中，若Acba则226,2,3_________。6．在锐角△ABC中，若2,3ab，则边长c的取值范围是_________。三、解答题1．在△ABC中，0120,,21,3ABCAcbaSV，求cb,。2．在锐角△ABC中，求证：1tantantanCBA。 3.在△ABC中，求证：2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA。4.在△ABC中，若0120BA，则求证：1cabcba。 5．在△ABC
中，若223coscos222CAbac，则求证：2acb （数学5必修）第一章：解三角形一、选择题 1．A为△ABC的内角，则AAcossin的取值范围是（） A．)2,2( B．)2,2( C．]2,1( D．]2,2[ 2．在△ABC中，若,900C则三边的比cba等于（）A．2cos2BA B．2cos2BA C．2sin2BA D．2sin2BA 3．在△ABC中，若8,3,7cba，则其面积等于（） A．12 B．221 C．28 D．36 4．在△ABC中，090C，00450A，则下列各式中正确的是（）A．sincosAA B．sincosBA C．sincosAB D．sincosBB 5．在△ABC中，若)())((cbbcaca，则A（）A．090 B．060 C．0120 D．0150 6．在△ABC中，若22tantanbaBA，则△ABC的形状是（） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形二、填空题1．在△ABC中，若,sinsinBA则A一定大于B，对吗？填_________（对或错）2．在△ABC中，若,1coscoscos222CBA则△ABC的形状是______________。3．在△ABC中，∠C是钝角，设,coscos,sinsin,sinBAzBAyCx 则zyx,,的大小关系是___________________________。4．在△ABC中，若bca2，则CACACAsinsin31coscoscoscos______。5．在△ABC中，若,tanlgtanlgtanlg2CAB则B的取值范围是_______________。6．在△ABC中，若acb2，则BBCA2coscos)cos(的值是_________。三、解答题 1．在△ABC中，若)sin()()sin()(2222BAbaBAba，请
判断三角形的形状。1．如果△ABC内接于半径为R的圆，且,sin)2()sin(sin222BbaCAR 求△AB C的面积的最大值。 3.已知△ABC 的三边cba且2,2CAbca，求::abc 4．在△ABC中，若()()3abcabcac，且tantan33AC，AB边上的高为43，求角,,ABC的大小与边,,abc的长[基础训练A组] 一、选择题1.C 00tan30,tan3023,244,23bbacbcba 2.A 0,sin0AA 3.C cossin()sin,,22AABAB都是锐角，则,,222ABABC 4.D 作出图形 5.D 012sin,sin2sinsin,sin,302baBBABAA或0150 6.B 设中间角为，则22200005871cos,60,180601202582为所求二、填空题 1.12 11sinsinsincossin222ABAAA 2.0120 22201cos,12022bcaAAbc 3.26 00sin6215,,4sin4sin154sinsinsin4abbAAaAABB 4. 0120 a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，令7,8,13akbkck 22201cos,12022abcCCab 5.
4 ,,sinsinsinsinsinsinACBCABACBCABBACBACACBC 2(62)(sinsin)4(62)sincos22ABABAB max4cos4,()42ABACBC 三、解答题 1. 解：coscoscos,sincossincossincosaAbBcCAABBCC sin2sin2sin2,2sin()cos()2sincosABCABABCC
cos()cos(),2coscos0ABABAB cos0A或cos0B，得2A或2B 所以△ABC是直角三角形。 2. 证明：将acbcaB2cos222，bcacbA2cos222代入右边得右边2222222222()222acbbcaabcabcabcab 22abababba左边，∴)coscos(aAbBcabba 3．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴,2AB即022AB ∴sinsin()2AB，即sincosAB；同理sincosBC；sincosCA ∴CBACBAcoscoscossinsinsin 4.解：∵2,acb∴sinsin2sinACB，即2sincos4sincos2222ACACBB，∴13sincos2224BAC，而0,22B∴13cos24B，∴313sin2sincos22244BBB839 [综合训练B组] 一、选择题 1.C 132,,,::sin:sin:sin::1:3:2632222ABCabcABC 2.A ,ABAB，且,AB都是锐角，sinsin()sinABB 3.D sinsin22sincos,2cosABBBabB 4.D sinsinlglg2,2,sin2cossincossincossinAAABCBCBC
sin()2cossin,sincoscossin0,BCBCBCBC sin()0,BCBC，等腰三角形5.B 22()()3,()3,abcbcabcbcabc 222222013,cos,6022bcabcabcAAbc 6.C 2222cos9,3cababCc，B 为最大角，1cos7B 7.D 2cossinsinsin22tan2sinsin2sincos22ABABABabABABABabAB，tan2tan,tan022tan2ABABABAB，或tan12AB 所以AB或2AB 二、填空题 1.3392 2113sin3,4,13,13222ABCSbcAccaa 13239sinsinsinsin332abcaABCA 2. ,22ABAB，即sin()2tantan()2cos()2BABB cos1sintanBBB，1tan,tantan1tanAABB 3. 2 sinsintantancoscosBCBCBC sincoscossinsin()2sin1coscossinsin2BCBCBCABCAA 4. 锐角三角形C为最大角，cos0,CC为锐角 5. 060 222843233114cos226222(31)222bcaAbc 6．(5,13) 222222222222213,49,513,51394abccacbccccbac 三、解答题1.解：1sin3,4,2ABCSbcAbc 2222cos,5abcbcAbc，而cb 所以4,1cb 2. 证明：∵△ABC是锐角三角形，∴,2AB即022AB ∴sinsin()2AB，即sincosAB；同理sincosBC；sincosCA ∴sinsinsinsinsinsincoscoscos,1coscoscosABCABCABCABC
∴1tantantanCBA 3. 证明：∵sinsi nsin2sincossin()22ABABABCAB 2sincos2sincos2222ABABABAB 2sin(coscos)222ABABAB 2cos2coscos222CAB 4coscoscos222ABC ∴2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA
4．证明：要证1cabcba，只要证2221aacbbcabbcacc，即222abcab 而∵0120,AB∴060C 2222220cos,2cos602abcCabcababab ∴原式成立。5．证明：∵223coscos222CAbac ∴1cos1cos3sinsinsin222CABAC 即sinsincossinsincos3sinAACCCAB ∴sinsinsin()3sinACACB 即sinsin2sinACB，∴2acb [提高训练C组] 一、选择题 1.C sincos2sin(),4AAA 而520,sin()144424AAA 2.B sinsinsinsinsinabABABcC 2sincos2cos222ABABAB 3.D
011cos,60,sin6322ABCAASbcAV 4.D 090AB则sincos,sincosABBA，00045,A sincosAA，004590,sincosBBB 5.C 22222201,,cos,1202acbbcbcabcAA 6.B 22sincossincossin,,sincossincoscossinsincossinABABAAABBABBA B sin2sin2,2222ABABAB或二、填空题 1. 对,sinsinBA则22ababABRR 2. 直角三角形21(1cos21cos2)cos()1,2ABAB 21(cos2cos2)cos()0,2ABAB 2cos()cos()cos()0ABABAB coscoscos0ABC 3. zyx ,,sincos,sincos,22ABABABBAyz ,sinsinsin,,cabCABxyxyz 4．1 sinsin2sin,2sincos4sincos2222ACACACACACB
cos2cos,coscos3sinsin222222ACACACAC 则221sinsin4sinsin322ACAC 1coscoscoscossinsin3ACACAC 22(1cos)(1cos)14sinsin22ACAC 22222sin2sin4sinsin112222ACAC 5. )2,3[ 2tantantantantan,tantan()tantan1ACBACBACAC 2tantantantan()tan1ACBACB
3tantantantan2tantan2tanBBACACB 3tan3tan,tan0tan33BBBBB 6． 1 22,sinsinsin,bacBACBBCA2coscos)cos( 2coscossinsincos12sinAC ACBB coscossinsincos12sinsinACACBAC coscossinsincos1ACACB cos()cos11ACB 三、解答题 1. 解：22222222sin()sincossin,sin()cossinsinabABaABAabABbABB cossin,sin2sin2,222cossinBAABABABAB或2 ∴等腰或直角三角形 2. 解：2sinsi
n2sinsin(2)sin,RAARCCabB 222sinsin(2)sin,2,aAcCabBacabb 222222022,cos,4522abcabcabCCab
2222,2sin2,22,sincRcRCRabRabC 22222222,22RRabababab 21222sin,24422RSabCab2max212RS 另法：122sin2sin2sin244SabCabRARB
222sin2sin2sinsin4RARBRAB 212[cos()cos()]2RABAB 22122[cos()]2222(1)22RABR 2max212SR 此时AB取得等号 3. 解：
sinsin2sin,2sincos4sincos2222ACACACACACB
12147sincos,cos,sin2sincos222424224BACBBBB
3,,,24242BBACACBAC 33371sinsin()sincoscossin4444ABBB 71sinsin()sincoscossin4444CBBB ::sin:sin:sinabcABC)77(:7:)77( 4. 解：22201()()3,,cos,602abcabcacacbacBB tantan33tan(),3,1tantan1tantanACACACAC tantan23AC，联合tantan33AC 得tan1tan23tan1tan23AACC或，即000075454575AACC或当0075,45AC时，434(326),8(31),8sinbcaA 当0045,75AC时，4346,4(31),8sinbcaA ∴当00075,60,45ABC时，8,4(326),8(31),abc 当00045,60,75ABC时，8,46,4(31)abc。
(完整版)解三角形测试题(附答案)
解三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 为（ ） A ． 3 π B ． 6π C ．32π D ． 3 π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>x B ．2 解三角形专项练习以及答案 一、选择题 1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案D 2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案B 解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC， ∴tanA=tanB=tanC，∴A=B=C. 3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是 A.152，+∞ B.10，+∞ C.0,10 D.0，403 答案D 解析∵csinC=asinA=403，∴c=403sinC. ∴0 4.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 答案A 解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC， ∴sinB+C=2sin Bcos C， ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C， ∴sinB-C=0，∴B=C. 5.在△ABC中，已知b+c∶c+a∶a+b=4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于 A.6∶5∶4 B.7∶5∶3 C.3∶5∶7 D.4∶5∶6 答案B 解析∵b+c∶c+a∶a+b=4∶5∶6， ∴b+c4=c+a5=a+b6. 令b+c4=c+a5=a+b6=k k>0， 则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k. ∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3. 6.已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为 A.1 B.2 C.12 D.4 答案A 解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2=π， 得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，∴abc=1. 二、填空题 7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________. 答案23 解析∵cosC=13，∴sinC=223， ∴12absinC=43，∴b=23. 8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=3，b=1，则c=________. 一、选择题 1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（） A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形 2、已知中，，，则角等于 A ． B ． C ． D ． 3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（） A．(2，＋∞) B．(0，2) C．(2，) D．() 4、，则△ABC的面积等于 A ． B ． C ．或 D ．或 5、在中，，则角C的大小为 A.300 B.450 C.600 D.1200 6、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量 ，，若，则角的大小为 （） A ． B ． C ． D ． 7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c 满足，则ab的值为（） A ． B ． C．1 D ． 8、在中,若,且,则是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形,但不是等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则 = A ． B ． C ． D ． 10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )． A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（） A. B. C. D. 12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c 2b2）tanB=ac，则角B=（） A ． B ． C ．或 D ．或 13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则 （） A ． B ． C ． D ． 14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（） A、1 B、2 C、3 D、0 15、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C 的对边，若，则最大边c的取值范围是 ( ) （ A ． B ． C ． D ． 16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（） A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定. 17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（） A ． B ． C ． D ． 第一章解三角形 一、选择题 1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为（）． A．90°B．120°C．135°D．150° 2．在△ABC中，下列等式正确的是（）． A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin B C．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B 3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A．1∶2∶3 B．1∶3∶2 C．1∶4∶9 D．1∶2∶3 4．在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c等于( ）． A．25B．5C．25或5D．10或5 5．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小 ( ）． A．有一种情形B．有两种情形 C．不可求出D．有三种以上情形 6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0,则△ABC是( ）． A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定 7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°,则a＝( )． A．3B．23C．3或23D．2 8．在△ABC中,a,b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列,∠B＝30°，△ABC的面积为 2 3，那么b＝（）． A． 23 1+B．1＋ 3C． 23 2+ D．2＋3 9．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°,然后朝此方向走了3 km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值是( )． A．3B．23C．3或23D．3 10．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°,若AB 解三角形练习题 一、选择题 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．() 1310- C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．60°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ） A ． 3 π B ． 6π C ．32π D ． 3π或3 2π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8 B ． ()10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是( ) A ．2>x B ．2 （完整版）解三角形经典练习题集锦（附答案） 解三角形一、选择题1．在△ABC中，若0030,6,90BaC，则bc 等于（） A．1 B．1 C．32 D．32 2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．Asin B．Acos C．Atan D．Atan1 3．在△ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（） A．2 B．23 C．3 D．32 5．在△ABC中，若Babsin2，则A等于（） A．006030或 B．006045或 C．0060120或 D．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．090 B．0120 C．0135 D．0150 二、填空题 1．在Rt△ABC中，090C，则BAsinsin的最大值是_______________。 2．在△ABC中，若Acbcba 则,222_________。 3．在△ABC中，若aCBb则,135,30,200_________。4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。5．在△ABC中，,26AB030C，则ACBC的最大值是________。三、解答题1.在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是什么？2．在△ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba 3．在锐角△ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin。4．在△ABC中，设,3,2CAbca求Bsin的值。解三角形一、选择题1．在△ABC中，::1:2:3ABC，则::abc等于（） A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D．2:3:1 2．在△ABC 中，若角B为钝角，则sinsinBA的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定3．在△ABC中，若BA2，则a等于（）A．Absin2 B．Abcos2 C．Bbsin2 D．Bbcos2 4．在△ABC中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形5．在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A ( ) A．090 B．060 C．0135 D．0150 6．在△ABC中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是（） A．51 B．61 C．71 D．81 7．在△ABC中，若tan2ABabab，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或 1、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 2、在ABC ?中，5cos 5A =，10cos 10 B =. （Ⅰ）求角 C ； （Ⅱ）设2AB =，求ABC ?的面积. 3、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =， (sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值. 4、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。 5、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23 A B ==，且最长边的边长为l.求： （I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长. 6、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 7、在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、， (2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。 ⑴求角A 的大小； ⑵当22sin sin(2)6 y B B π=++取最大值时，求角B 的大小 解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060， 则底边长为（ ）A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 解三角形专题（高考题）练习【附答案】 1、在ABC ∆中，已知内角3 A π = ，边BC =.设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 13,4==c a ，求△ABC 的面积。 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ， θ=∠BAC ， … 记→ → •=BC AB f )(θ， （1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域； 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，cos A = cos 10 B =. — （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =， Ａ Ｂ Ｃ 120° θ 解三角形专题(高考题)练习【附答案】 1、在b 、c ，向量(2sin ,3m B =-，2cos 2,2cos 12B n B ⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。 (1)解：m ∥n ⇒ 2sinB(2cos2B 2－1)＝－3cos2B ⇒2sinBcosB ＝－3cos2B ⇒ tan2B ＝－ 3 ……4分 ∵0＜2B ＜π,∴2B ＝ 2π3,∴锐角B ＝π 3 ……2分 (2)由tan2B ＝－ 3 ⇒ B ＝π3或5π 6 ①当B ＝π 3时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) ……3分 ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝3 4ac ≤ 3 ∴△ABC 的面积最大值为 3 ……1分 ②当B ＝ 5π 6 时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3) ……1分 ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝1 4ac ≤2－ 3 ∴△ABC 的面积最大值为2－ 3 ……1分 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===， , 0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则 解三角形专题 1、在ABC ∆中，已知内角3 A π = ，边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，cos A = ，cos B =. （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =， (sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π +B 的值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。 9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知1 1tan ,tan 2 3 A B ==，且最长边的边长为l.求： （I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长. 解三角形练习题及答案 解三角形练习题及答案 解三角形，是指已知三角形的几个元素求其他元素的过程。一般地，把三角形的.三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。一起看看下面的解三角形练习题及答案吧！ 1．有关正弦定理的叙述： ①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sinAsinBsinC＝abc。 其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 解析①②③不正确，④⑤正确． 答案 B 2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝（） A．43 B．23 C．3 D．32 解析由正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，即AC＝BCsinBsinA＝32×sin45°sin60°＝23。 答案 B 3．在△ABC中，已知b＝2，c＝1，B＝45°，则a等于（） A．6－22 B．6＋22 C．2＋1 D．3－2 解析由正弦定理，得sinC＝csinBb＝sin45°2＝12，又b>c， ∴C＝30°，从而A＝180°－（B＋C）＝105°， ∴a＝bsinAsinB，得a＝6＋22。 答案 B 4．在△ABC中，已知3b＝23asinB，cosB＝cosC，则△ABC的形状是（） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝32，A＝π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形． 答案 B 5．在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B等于（） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 解析∵3a＝2bsinA， ∴3sinA＝2sinBsinA。 ∵sinA≠0，∴sinB＝32， 又0° 解三角形习题及答案 一、选择题(每题5分，共40分） 1、己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ）． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 2、在△ABC 中，下列等式正确的是（ )． A ．a ∶b ＝∠A ∶∠ B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin B C ．a ∶b ＝sin B ∶sin A D ．a sin A ＝b sin B 3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3 ∶2 C ．1∶4∶9 D ．1∶2∶3 4、在△ABC 中,a ＝5 ，b ＝ 15，∠A ＝30°,则 c 等于( ）． A ．2 5 B ．5 C ．25 或5 D ．10或5 5、已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6,b ＝4,那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( ）． A ．有一种情形 B ．有两种情形 C ．不可求出 D ．有三种以上情形 6、在△ABC 中，若a 2 ＋b 2 －c 2 ＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7、)( 37sin 83sin 37cos 7sin 的值为︒︒-︒︒ A.23- B 。21- C 。2 1 D 。23 8、化简 1tan15 1tan15 +-等于 ( ） A B ． 2 C ．3 D ．1 二、填空题（每题5分,共20分） 9、已知cos α－cos β=2 1,sin α－sin β=3 1，则cos （α－β)=_______． 10、在△ABC 中,∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ． 11、在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 12、在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值等于 ． 班别: 姓名： 序号： 得分： 9、 10、 11、 12、 三、解答题 13、（12分）已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝ 6，解此三角形． 14、（14分)已知21 )tan(=-βα，7 1tan -=β，求)2tan(βα-的值 解直角三角形 命题人:申老师 1、已知:如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°,CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长． 2、我国为了维护队钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP ∥BD ）,当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC =5km ．轮船到达钓鱼岛P 时,测得D 处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）． 3、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为︒55,路基高度为5.8米，求路基下底 宽（精确到0.1米). C A D B ︒ 55 5.8m 10m A C D 姓名： 得分： M E N C A 4、为申办2010年冬奥会,须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树A B ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从 C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°. 问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？ 5、如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16 米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度3:1=i 。求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB ．（精确到0.1米) 6。 在一次实践活动中,某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示)： （1） 在测点A 处安置测倾器,测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE ＝α ； （2） 量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN ＝m; （3） 量出测倾器的高度AC ＝h 。 根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN 。 如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2) 1）在图2中，画出你测量小山高度MN 的示意图 2）写出你的设计方案. ︒ 60︒ 30B D C A D C B A 秒题一 1、如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值． 2如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=， sin∠DBC=，求对角线AC的长．答案：AC=21、sinC== 3如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB， 垂足为点E，联结CE，求：（2）∠ECB的余切值． （1）线段BE的长；BE=AB﹣AE=3﹣=2，cot∠ECB==， 4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线， 垂足为点E．（1）求线段CD的长；CD=AB=5 cos∠DBE=== （2）求cos∠ABE的值． 5、如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留 下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的 影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）． （1）求办公楼AB的高度；20m （2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离． （参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）48m 秒题二 1、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与 AD的延长线交于点E． （1）若∠A=60°，求BC的长；BC=BE﹣CE=6﹣8 （2）若sinA=，求AD的长．AD=AE﹣DE=10﹣= 2、如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB与CE相交于点F，∠ACB=∠E=90°， ∠A=30°，∠D=45°，BC=6，求CF的长．CF=18﹣6 3、如图，已知在△ABC中，AB=AC，tan∠B=2，BC=4，D为BC边的中点，点E在BC边 的延长线上，且CE=BC，连接AE，F为线段AE的中点 （1）求线段CF的长；CF=AB= （2）求∠CAE的正弦值． 4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上一点，，且BC=6， AD=4．求cosA的值．cosA= 5、如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B 的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C 在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里． （1）求出此时点A到岛礁C的距离；40海里 （2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）（60﹣20）海里 解三角形专题 1、在 ABC 中，已知内角A —,边BC 2. 3 .设内角B x,面积为y . 3 (1)求函数y f(x)的解析式和定义域； (2)求 y 的最大值. 1 3、在厶ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b , c ,且a 2 c 2 b 2 -ac. 2 (1)求sin 2 A C cos2B 的值； (2)若b=2,求厶ABC 面积的最大值. 2 4、在 ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量m 2 B t —t n cos2B,2cos 1，且 m 〃 n 。 2 (I )求 cosB 的值； (II )若 BA BC 2，且 b 2一2，求 a 和 cb 的值. 2sin B, G , (I )求锐角B 的大小; (II )如果b 2，求 ABC 的面积S ABC 的最大值。 5、在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,且bcosC 3a cos B ccosB. (I )角C 的大小; (II ) △ ABC 最短边的长. (I)求角C ; (U)设AB ,2，求 ABC 的面积. 7、在厶ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为 a b 、c ,已知向量陰(1,2si nA), r ir r n (si nA,1 cos A),满足 m 〃 n,b c 、、3a. ( I )求 A 的大小；(II )求 sin (B 百)的值. 8、A ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，且有 sin2C+. 3 cos (A+B )=0， 当a 4,c J3，求△ ABC 的面积。 1 1 9、在厶ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ,已知tan A -,ta nB -,且最长 2 3 边的边长为l.求： 10、在厶ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5, c = .. 7，且 6 在 ABC 中，cos A cosB 10 10 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠ 2 A D B C 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG B A C D F 2 1 E解三角形专项练习以及答案
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