思维点拨：巧解三角形典型例题
思维点拨：巧解三角形典型例题
【例1】如图，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.
【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，∠A+∠C=∠CED+∠EDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
解：连结DE，由以上结论可知：∠A+∠C=∠CED+∠EDA，
又因为在三角形BED中，∠B+∠BEC+∠BDA+∠CED+∠EDA=180°，
所以∠B+∠BEC+∠BDA+∠A+∠C=180°.
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.
【例2】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.
【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF 所构成的图形中，∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，这样就把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5同时放到了三角形BDC中，即可求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.
解：连结CD，则∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，
又因为在三角形BDC中，∠1+∠5＋∠2+∠EDC+∠DCA=180°，
所以∠1+∠5＋∠2+∠3+∠4=180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180°.
【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法.
【例3】如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）.
【思考与解】因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC，
所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－1
2
BAC
在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3），
所以∠1＝90°－1
2
［180°－（∠2＋∠3）］=
1
2
（∠3+∠2）.
又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G.
所以∠G＝∠1－∠2＝1
2
（∠3+∠2）－∠2＝
1
2
（∠3－∠2）.
所以应选C.
【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝25°，∠A＝35°.你能求出∠BDC的度数吗？
【思考与解】延长BD，与AC交于E点，因为∠DEC是三角形ABE的外角，所以∠DEC=∠A+∠ABD＝35°+20°=55°.
又因为∠BDC是三角形CDE的外角，
所以∠BDC=∠DEC+∠ACD=55°+25°=80°.
【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题.
【例5】如图，已知∠B＝10°，∠C＝20°，∠BOC＝110°，能求出∠A的度数吗？
【思考与分析】要求∠A的度数，我们可以设法让∠A成为某个与已知角相关的三角形的内角.我们可延长BO交AC于D，则∠A、∠B即为三角形ABD 的两个内角.根据三角形外角的性质，欲求∠A的度数，可先求∠ODC的度数，由∠BOC＝110°，∠C＝20°即可求出∠ODC的度数.
解：延长BO交AC于D.
因为∠BOC是三角形ODC的外角，
所以∠BOC＝∠ODC+∠C.
因为∠BOC=110°，∠C＝20°，
所以∠ODC＝110°－20°＝90°.
因为∠ODC是三角形ABD的外角，
所以∠ODC＝∠A+∠B.
因为∠B＝10°，
所以∠A＝90°－10°＝80°.
【例6】如图，点D是三角形ABC内一点，连结BD、CD，试说明∠BDC>∠BAC.
【思考与分析】∠BDC和∠BAC在两个不同的三角形内，而且不能直接比较它们的大小，必须做辅助线把这两个角联系起来.我们延长BD交AC于P，或连结AD并延长交BC于Q，都可以利用三角形外角的性质解题.
解：延长BD交AC于P，则∠BDC>∠DPC，∠DPC>∠BAC，所以
∠BDC>∠BAC.
【反思】我们还可以连结AD并延长交BC于Q，如图，请大家试一试，看能不能得到相同的结论.
【例7】已知三角形ABC的一个内角度数为40°，且∠A=∠B，你能求出∠C的外角的度数吗？
【思考与分析】在三角形ABC中，∠A=∠B，因此三角形ABC是一个等腰三角形，我们必须要讨论40°的角是三角形ABC的顶角还是底角，应分两种情况解答.
解：（1）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的顶角时，则∠α的外角等于180°－40°＝140°，而∠C＝∠α，所以∠C的外角的度数为140°.
（2）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的底角时，∠A=∠B＝∠α＝40°，此时∠C的外角＝∠A＋∠B＝80°.
【例8】已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在的直线交于H，你能求出∠BHC的度数吗？
【思考与分析】三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，因此我们应该分两种情况进行讨论.
解：（1）当三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示.
因为BD、CE是三角形ABC的高，∠A=45°，
所以∠ADB=∠BEH=90°，∠ABD=90°－45°＝45°.
所以∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.
（2）当三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示.
因为H是三角形的两条高所在直线的交点，∠A=45°，
所以∠ABD＝90°－45°＝45°.
所以在直角三角形EBH中，∠BHC=90°－∠ABD＝90°－45°＝45°.
由（1）、（2）可知，∠BHC的度数为135°或45°.
【小结】我们在解题中，经常遇到题目中某些条件交代不清，此时，我们一定要注意分情况考虑，用分类讨论的方法使解完整.
【例9】如图，已知三角形ABC中，∠B=∠C＝2∠A，你能求出∠A的度数吗？
【思考与分析】我们由三角形内角和可知，∠A+∠B+∠C=180°，又因为
∠B=∠C＝2∠A，可得∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，即可求出∠A 的度数.
我们还可以用方程来解这道题，根据三角形内角和定理与∠B=∠C＝2∠A 这两个已知条件求未知量∠A的度数.用方程解决问题，我们必须在弄清题中已知数量和未知数量的关系的基础上，要抓住题中的不变量，建立等量关系.题中的不变量是三角形内角和等于180°，其等量关系是∠A+∠B+∠C=180°，然后我们用数学语言把这个等量关系式转化为方程.
设∠A的度数为x，则可以用2x分别表示∠B、∠C的度数，将这个等式转化为方程x＋2x＋2x＝180°，即可求出∠A的度数.
解法一：因为∠B=∠C＝2∠A，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=∠A ＋2∠A＋2∠A＝180°，即∠A＝36°.
解法二：设∠A的度数为x，则∠B、∠C的度数都为2x，列方程得x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠A＝36°.
【例10】判断适合下列条件的三角形ABC是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形.
（1）∠A=80°，∠B=25°；
（2）∠A－∠B=30°，∠B－∠C=36°；
【思考与分析】根据角判断三角形的形状，我们只需求出三角形中各角的度数就可以了，本题判断三角形是否是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最大角的度数即可.（1）题通过直接计算就可以求出∠C的度数，（2）（3）题不便于直接计算，可以运用方程思想抓住等量关系，列方程进行求解.
解：（1）因为∠A＝80°，∠B=25°，所以∠C=180°-80°-25°=75°，所以三角形ABC是锐角三角形.
（2）设∠B＝x°，则∠A＝（30+x）°，∠C＝（x-36）°，所以x°＋（30+x）°+（x-36）°＝180°，解得x＝62，所以最大角∠A＝92°，所以三角形ABC是钝角三角形.
（3）设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝6x°，则x°＋2x°＋6x°＝180°，解得x ＝20，所以∠C＝120°，所以三角形ABC是钝角三角形.
【小结】利用方程求角度是我们常用的方法之一.在三角形中，给出的条件不能直接求出结果，且各角之间有相互关系，我们可以设其中一个角为未知数，再把其它角用此未知数表示，然后列方程即可求解.
1.利用高线与边垂直的性质求度数
【例11】已知△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC
的度数．
【思考与分析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上.因此，我们需要分情况讨论．
解：（1）当垂足D落在BC边上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.
（2）当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．
所以∠BAC为90°或50°．
【小结】由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏.
2. 利用三角形面积公式求线段的长度
【例12】如图，△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？
【思考与分析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设△ABC的三边长分别为a，b，c，对应边
上的高分别为h a，h b，h c，那么三角形的面积S=1
2
ah a=
1
2
bh b=
1
2
ch c.本题中已知
三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积
S△ABC=1
2
BC·AD=
1
2
AB·CE，解决十分方便.
解：S
△ABC =
1
2
BC·AD=
1
2
AB·CE
1 2×5×3=
1
2
AB·4，解得AB=
15
4
（cm）．
【小结】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用．
【例13】如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为，三角形ABD 与三角形ACD的面积之间的关系为.
【思考与解】
（1）三角形ABD与三角形ACD的周长之差＝（AB+BD+AD）－（AD+CD+AC）
=AB+BD-CD-AC.而BD=CD ，所以上式＝AB-AC=5-3=2（cm ）.
（2）因为S 三角形ABD ＝12BD×AE ，S 三角形ACD ＝12
CD×AE ，而BD=CD ，所以S 三角形ABD ＝S 三角形ACD .
【例14】如图，在三角形ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于E.F 为AB 上的一点，CF ⊥AD 于H.下列判断正确的有（ ）.
（1）AD 是三角形ABE 的角平分线.
（2）BE 是三角形ABD 边AD 上的中线.
（3）CH 为三角形ACD 边AD 上的高.
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
【思考与解】由∠1＝∠2，知AD 平分∠BAE ，但AD 不是三角形ABE 内的线段，所以（1）不正确；同理，BE 虽然经过三角形ABD 边AD 的中点G ，但BE 不是三角形ABD 内的线段，故（2）不正确；由于CH ⊥AD 于H ，故CH 是三角形ACD 边AD 上的高，（3）正确.应选A.
【例15】如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AB ＝13cm ，BC=12cm ，AC=5cm.（1）求三角形ABC 的面积.（2）求CD 的长.
【思考与分析】求直角三角形的面积，有两种方法：①S △=12
ab （a 、b 为两条直角边的长）；②S △=12
ch （c 为直角三角形斜边的长，h 为斜边上的高）.由此可知ab ＝ch ，在a 、b 、c 、h 四个量中，已知其中三个量，就可以求出第四个量.
解：（1）在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC=12cm ，AC=5cm ，
所以S
△ABC ＝
1
2
AC×BC＝30（cm2）.
（2）因为CD是AB边上的高，所以S
△ABC ＝
1
2
AB×CD，即
1
2
×13×CD＝
30.解得CD＝60
13
cm.
【例16】如图1所示，你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数吗？
【思考与解】我们可以连结EF，把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数转化为求四边形BCEF的内角和.如图2所示.
因为∠A+∠D+∠AOD=∠OFE+∠EOF+∠OEF=180°，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠OFE+∠OEF＋∠C+∠B+∠E+∠F＝360°.
【例17】如图3，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？
【思考与分析】要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长.由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图4，如果延长BA，得到的∠PAF=60°，延长EF，得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，∠P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形.同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形.分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形.所以∠P=∠G=∠H=60°.所以三角形GHP也是等边三角形.于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形.于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题.利用等边三角形的三边相
等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长.
解：如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P.
因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，
所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.
所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形.
所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm.
所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，
EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm.
所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm.
【反思】本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题.
方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一.用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决.
方程思想应用非常广泛.我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题.
【例18】已知三角形的第一个内角是第二个内角的1.5倍，第三个内角比这两个内角的和大30°，求这三个内角的度数.
【思考与分析】题中的已知量是“第一个内角是第二个内角的1.5倍，第三个内角比这两个内角的和大30°”，未知量是这三个角的度数.题中没有给出三角形内角的度数.但第一个内角和第三个内角与第二个内角的度数相关联，所以解这道题的关键是求出第二个内角的度数.要想解决这个问题，不妨设第二个内角的度数为x，利用方程思想来解.
根据三角形的内角和为180°，由此我们可以得到这样的等式关系：第一个内角＋第二个内角＋第三个内角＝180°.当我们用数学语言表示第二个内角为x，第一个内角为1.5x，第三个内角为x+1.5x+30°，利用代换法，将上述的等量关系
转化为方程：x+1.5x＋（x+1.5x+30°）＝180°.通过解这个方程就能使问题得到解决.
解：设这个三角形的第二个内角的度数为x，则第一个内角的度数为1.5x，第三个内角的度数为（x＋1.5x＋30°），列方程可得x+1.5x＋（x+1.5x+30°）＝180°，解得x＝30°.
所以三角形的三个内角分别为45°，30°，105°.
【例19】如图，已知在三角形ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC 边上的高，求∠DBC的度数.
【思考与分析】我们欲求∠DBC的度数，因为∠DBC是直角三角形DBC
的一个内角，因此问题转化为求∠C的度数，由已知条件知三角形ABC的三个内角关系为∠C=∠ABC=2∠A，又根据三角形内角和定理有等量关系：
∠A+∠ABC+∠C＝180°，从而我们用一个角的度数来表示另外两个角，代入这个等量关系求三个内角的度数，即用方程的方法解决问题.可设∠A＝x，则
∠C=∠ABC=2x，代入上述等量关系得方程x＋2x＋2x＝180°，可解得x的值，从而可求得∠DBC的度数.
解：设∠A=x，∠C=∠ABC＝2x，
在三角形ABC中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，则∠C＝72°.
因为BD是AC边上的高，
所以∠BDC＝90°.
在直角三角形BDC中，
∠DBC＝90°－72°＝18°.
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解三角形典型例题
1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 实用标准 解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边） 例1．（1）在?ABC 中，已知 032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到0 1，边长精确到1cm ）。 解：（1）根据三角形内角和定理， 0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理， 0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0= =≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A （2）根据正弦定理， 0 sin 28sin40sin 0.8999.20 ==≈b A B a 因为0 0＜B ＜0 180，所以0 64≈B ，或0 116.≈B ①当0 64≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ， sin 20sin7630().sin sin40 ==≈a C c cm A ②当0116≈B 时， 180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0 sin 20sin2413().sin sin40= =≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积 例2．在?ABC 中，sin cos A A += 2 2 ，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和?ABC 的面积。 解法一：先解三角方程，求出角A 的值。 一、知识概述 1、仰角、俯角 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图所示． 说明：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角． 2、坡角和坡度 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示． 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示．则．如图所示 说明：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡． (2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形． 3、象限角 象限角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫象限角，如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，北偏西60°，南偏西80°，如：东南方向，指的是南偏东45°角的方向上．如图所示． 二、重点难点疑点突破 1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题 在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了． 一般有以下三个步骤： (1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知； (2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题； (3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形． 其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是： (1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题； (2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决． 正弦、余弦定理 知识回忆： 1、直角三角形中，角与边的等式关系：在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C == ． 2、当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B = ， 从而 sin sin a b A B = sin c C =． 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 4、理解定理 〔1〕正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； 〔2〕 sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B = ，sin a A =sin c C ． 〔3〕正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B = ；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． 〔4〕一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 5、知识拓展 sin sin a b A B =2sin c R C ==，其中2R 为外接圆直径. 6、勾股定理： 7、余弦定理：三角形中 平方等于 减去 的两倍，即=2 a ； =2b ；=2c 。 8、余弦定理的推论： =A cos ；=B cos ； =C cos 。 9、在，反之成立；则 中，若,222c b a ABC +<∆ ，反之成立； 则 中，若,222c b a ABC +=∆ 解三角形 1。1正弦定理和余弦定理 1。1。1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在ABC 中,已知A ：B ：C=1:2：3，求a ：b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a ：b :c=sinA ： sinB ： sinC 求解. 解： ::1:2:3,A .,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin ::1 2.63222A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用. 例2在ABC 中,已知 °，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解. 解：∵C=30° , ∴由正弦定理得：sin sin sin a b c A B C === ∴ a=2 sinA ，b=2 sinB=2 sin （150°-A)。 ∴ ［sinA+sin （150°—A ）］ ·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos （75°—A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时,a+b 取得最大值2 ② ∵A=180°—(C+B ）=150°-B ，∴A ＜150°,∴0°＜A ＜150°, ∴—75°＜75°—A ＜75°，∴cos75°＜cos （75°—A)≤1, ∴＞ 2 cos75° =2 ×4 综合①②可得a+b 的取值范围为 8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3 在△ABC 中,2 a ·tanB=2 b ·tanA,判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA ，b=2RsinB 得： () ()2 2 sin sin 2R sin 2R sin cos cos B A A B B A • =•， 解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 全等三角形 1.在Rt △ ABC 中，90ACB =∠，BC=2cm ，CD ⊥ AB ，在AC 上取一点E ，使EC=BC ，过点E 作EF ⊥ AC 交CD 的延长线于点F ，若EF=5cm ，则AE= cm ． 解析：90ACB =∠， 90ECF BCD +=∴∠∠， CD AB ∵⊥ 90BCD B +=∴∠∠ ECF B =∴∠∠（等角的余角相等）， 在FCE △和ABC △中，， ()ABC FEC ASA ∴△≌△ AC EF =∴， AE AC CE =-∵，2BC cm =，5EF cm =， 523AE cm cm cm =-=∴ 故答案为3 提示:根据直角三角形的两锐角互余的性质求出ECF B =∠∠，然后利用“角边角”证明ABC △和FCE △全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF ，再根据AE AC CE =-，代入数据计算即可得解． 2.如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若1∠：2∠：3∠=28：5：3，则α∠的度数为 度． 解： 232853=∵∠1：∠：∠： ： ∴ 设128x =∠，25x =∠，33x =∠， 由123180++=∠ ∠∠得： 28x+5x+3x=180°， 解得5x =， 故1285140=?=∠ ，25525=?=∠，33515=?=∠， ABE ADC ABC ∵△和△是△分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的， 315DCA E ===∴∠∠∠，225EBA D ===∠∠∠， 4251540EBA E =+=+=∠∠∠， 523251540=+=+=∠∠∠， 故45404080EAC =+=+=∠∠∠， EGF CAF 在△与△中，E DCA DFE CFA ==∠∠，∠∠ EGF CAF ∴△∽△ 80EAC α==∴∠． 故填80°． 提示:本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化． 3.如图，将△OAB 绕点O 按逆时针方面旋转至△0A ′B ′，使点B 恰好落在边A ′B ′上．已知AB=4cm ，BB ′=1cm ，则A ′B 长是 3 cm ． 解三角形 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．已知A 是三角形ABC 的内角，则“ A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边，设向量 (,),m b c c a =--(,)n b c a =+，若m n ⊥，则角A 的大小为（ ） A ． 6π B ．2π C ．3π D ．23π 3．设a,b,c 为三角形ABC 三边，且,,1c b a <≠若 log log 2log log c b c b c b c b a a a a +-+-+=，则三角形ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 4．在ABC ∆中，B c C A a B A cos )cos(2)cos(b =+-+,则=B A ．6π B ．3π C ．2π D ．3 2π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c.若C ＝120°，c a ，则( ) A ．a>b B ．a0)，A ＝ 45°，则满足此条件的三角形个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个 7．在△ABC 中，AB AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 2 B. 4 C. 2 D. 2或4 8．在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶（a+1）∶2a ，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞2 B ．a C ．a ＞0 D ．a ＞1 解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 解三角形的必备知识和典型例题 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 〔1〕三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。〔勾股定理〕 〔2〕锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； 〔3〕边角之间的关系：〔锐角三角函数定义〕：sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 〔1〕三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 〔2〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===〔R 为外接圆半径〕 〔3〕余弦定理：三角形任何一边的平方等于另两边平方的和减去其与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： 〔1〕∆S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c 〔h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高〕； 〔2〕∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1ac sin B =R abc 4=2R 2sinAsinBsinC 4．解三角形：由三角形的六个元素〔即三条边和三个内角〕中的三个元素〔其中至少有一个是边〕求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： 〔1〕两类正弦定理解三角形的问题： 第1、两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、两角和其中一边的对角，求其他边角. 〔2〕两类余弦定理解三角形的问题： 第1、三边求三角. 第2、两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 〔1〕角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； 思维特训(三)巧用三角形的角平分线构造基本图形求解 方法点津· 利用角的两边关于角平分线所在直线对称的特性构造全等三角形解题． 典题精练· 类型之一“角平分线＋自垂线”构造全等三角形 1．如图3－TX－1所示，在△ABC中，BM平分∠ABC，AD⊥BM于点D. 求证：∠BAD＝∠DAC＋∠C. 图3－TX－1 类型之二“角平分线＋边垂线”构造全等三角形 2．如图3－TX－2，在四边形ABCD中，BC>BA，AD＝DC，BD平分∠ABC. 求证：∠A＋∠C＝180°. 图3－TX－2 3．如图3－TX－3，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC. (1)求证：AM⊥DM； (2)若BC＝8，求点M到AD的距离． 图3－TX－3 类型之三“以角平分线所在的直线为轴翻折”构造全等三角形 4．如图3－TX－4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD＝AC.求∠B∶∠C的值． 图3－TX－4 详解详析 1．[解析] 由BM 平分∠ABC ，AD ⊥BM ，我们只要延长AD 与BC 交于点E ，△ABE 就是等腰三角形． 证明：延长AD 交BC 于点E . ∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD . ∵AD ⊥BM ，∴∠ADB ＝∠EDB ＝90°. 在△ABD 和△EBD 中， ∵∠ABD ＝∠EBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠EDB ， ∴△ABD ≌△EBD (ASA)， ∴∠BAD ＝∠BED ＝∠DAC ＋∠C ， 即∠BAD ＝∠DAC ＋∠C . 2．证明：如图，过点D 作DE ⊥AB ，交BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F . ∵BD 平分∠ABC ，∴DE ＝DF . 在Rt △EAD 和Rt △FCD 中， ∵AD ＝CD ，DE ＝DF ， ∴Rt △EAD ≌Rt △FCD ， ∴∠EAD ＝∠C . ∵∠BAD ＋∠EAD ＝180°， ∴∠BAD ＋∠C ＝180°. 3．[解析] (1)根据平行线的性质得到∠BAD ＋∠ADC ＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD ＋∠ADM ＝90°，最后依据垂直的定义得证； (2)作MN ⊥AD ，根据角平分线的性质得到BM ＝MN ，MN ＝MC ，等量代换即可得到答案． 解：(1)证明：∵AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC ， ∴∠MAD ＝12∠BAD ，∠ADM ＝1 2∠ADC . ∵AB ∥CD ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°， ∴∠MAD ＋∠ADM ＝1 2(∠BAD ＋∠ADC )＝90°. ∵∠AMD ＋∠MAD ＋∠ADM ＝180°， ∴∠AMD ＝90°，即AM ⊥DM . (2)如图，过点M 作MN ⊥AD 于点N . ∵AB ∥CD ，∠B ＝90°， 思维点拨：巧解三角形典型例题 【例1】如图，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和. 【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，∠A+∠C=∠CED+∠EDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 解：连结DE，由以上结论可知：∠A+∠C=∠CED+∠EDA， 又因为在三角形BED中，∠B+∠BEC+∠BDA+∠CED+∠EDA=180°， 所以∠B+∠BEC+∠BDA+∠A+∠C=180°. 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°. 【例2】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和. 【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF 所构成的图形中，∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，这样就把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5同时放到了三角形BDC中，即可求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和. 解：连结CD，则∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA， 又因为在三角形BDC中，∠1+∠5＋∠2+∠EDC+∠DCA=180°， 所以∠1+∠5＋∠2+∠3+∠4=180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180°. 【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法. 【例3】如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）. 【思考与解】因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC， 所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－1 2 BAC 在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3）， 所以∠1＝90°－1 2 ［180°－（∠2＋∠3）］= 1 2 （∠3+∠2）. 又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G. 所以∠G＝∠1－∠2＝1 2 （∠3+∠2）－∠2＝ 1 2 （∠3－∠2）. 所以应选C. 【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝25°，∠A＝35°.你能求出∠BDC的度数吗？ 【思考与解】延长BD，与AC交于E点，因为∠DEC是三角形ABE的外角，所以∠DEC=∠A+∠ABD＝35°+20°=55°. 又因为∠BDC是三角形CDE的外角， 所以∠BDC=∠DEC+∠ACD=55°+25°=80°. 【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题. 专题05 解三角形（角平分线问题问题） (典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍 角平分线 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 核心技巧1：内角平分线定理： AB AC BD DC =或AB BD AC DC = 核心技巧2：等面积法(使用频率最高） ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒ 111sin sin sin 22222 A A A B A C A AB A D AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 核心技巧3：边与面积的比值： ABD ADC S AB AC S = 核心技巧4：角互补： ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠= 在ADB ∆中有：222 cos 2DA DB AB ADB DA DB +-∠=⨯; 在ADC ∆中有：222 cos 2DA DC AC ADC DA DC +-∠= ⨯ 二、典型例题 例题1．如图，已知AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，交BC 边于点D . （1）用正弦定理证明： AB BD AC DC =； （2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求AD 的长. 第（2）问思路点拨：本小题已知，，，求的长.可利用第（1）问结论 解答过程： 根据余弦定理，，即，解得 利用第(1)问结论 由（1）知∴，得，； 在与中，根据余弦定理得，且 解得，即的长为． 例题2．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且πsin sin 3a B b A ⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭. (1)求角A 的大小； (2)若3AB =，1AC =，BAC ∠的内角平分线交BC 于点D ，求AD . 第（2）问思路点拨：由（1）知 ，求角平分线 长，，可优先考虑面积公式 解答过程： 由（1）知 ，由角平分线面积公式 ∴ ， ∴． 代入数据计算 高中数学解三角形专题及例题 课题解三角形专题1 教学目标理解正玄定理、余弦定理的基本内容会应用正玄定理、余弦定理解决有关三角形的问题 重点、难点正玄定理、余弦定理的基本内容及其简单应用 考点及考试 内容本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。 教学内容 一、正弦定理及其证明 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin sin a b c A B C == 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关 （２） 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角. ２．三角形解的个数 一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a, b 和A ），用正弦定理求B 时的各种情况： ⑴若A 为锐角时: sin sin ()sin (, )³ ()a b A a b A b A a b a b <=<<⎧⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩无解 一解直角二解一锐一钝一解锐角，如下图所示： b a b a b a b a a 已知边a, b 和∠A 仅有一个解有两个解 仅有一个解无解 a ≥ b CH=bsinA -- - 解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 〔1〕三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。〔勾股定理〕 〔2〕锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； 〔3〕边角之间的关系：〔锐角三角函数定义〕 sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 〔1〕三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 〔2〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===〔R 为外接圆半径〕 〔3〕余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： 〔1〕∆S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c 〔h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高〕； 〔2〕∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素〔即三条边和三个内角〕中的三个元素〔其中至少有一个是边〕求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： 〔1〕两类正弦定理解三角形的问题： 第1、两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、两角和其中一边的对角，求其他边角. 〔2〕两类余弦定理解三角形的问题： 第1、三边求三角. 专题14 巧用解直角三角形解决实际问题 知识解读 在直角三角形中，由已知元素（至少有一条是边）求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 角之间的关系：两锐角互余；边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；边与角的关系：锐角三角函数。 解直角三角形的应用包括：①求三角形的边长及角度；②解决某些实际问题。 培优学案 典例示范 例1.如图3-14-1是某通道的侧面示意图，已知AB /CD //EF ，AM /BC /DE ，AB =CD =EF ，∠AMF =90°，∠BAM =30°，AB =6m . （1）求FM 的长； （2）连接AF ，若sin ∠F AM =1 3 ，求AM 的长. 【提示】（1）延长BC ，DE 交FM 于点G ，H ，过B ，D 作BJ ⊥AM ，DK ⊥CG ，构造直角三角形可利用三角函数求解； （2）有sin ∠F AM =1 3 可以求AF ，再求AM . 图3-14-1 A B C D E F M 跟踪训练 如图3-14-2，在同一平面内，两条平行的高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速路1l 成30°角，长为20km ；BC 与AB ，CD 段都垂直，长为10km ；CD 段长为30km .求两条高速公路间的距离（结果保留根号）. 【提示】解决本题的关键是将题干中的条件转化到直角三角形中，根据直角三角形中的边角关系解决问题. 【解答】 D C B 30° A 图3-14-1 l 1 l 2 例2.黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，如图 已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF 的长（结果精确到0.12 1.41 ≈3 1.73 ≈） 【提示】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是读懂题意，看懂图形构建合适的方程模型. 【解答】 A C D B F E 图3-14-3 跟踪训练 一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°（如图3-14-4），求树高（结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41 ≈,3 1.73 ≈） 【解答】 图3-14-4A B C D 30°45° 例3.如图3-14-5，海中有两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离.（计算结果用根号表示，不取高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
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