解三角形中的五种类型题
解三角形中的五种类型题
类型一:求边问题:根据条件作图分析,注意正弦、余弦定理的选择
例1.在△ABC中,若b=2,B=30°,C=135°,则a=_________
类型二:求角问题:(1)结合余弦定理的特征求角(2)正弦定理的一种变式sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c
例2.(1)在△ABC中,已知三边a、b、c满足(a+b+c)·(a+b-c)=3ab,则∠C=()
(A) 15°(B) 30°(C) 45°(D) 60°
(2)在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=7∶8∶13,则∠C=____________.
类型三:三角形解的个数问题:在使用正弦定理解三角形时,常会碰到多解的情况,判断取舍的依据是(1)三角形内角和定理(2)大边对大角
例3.在△ABC中,∠A=60°, a=, b=4,那么满足条件的△ABC()
(A)有一个解(B) 有两个解(C) 无解(D)不能确定
类型四:判断三角形的形状问题两种思路:(1)运用正弦定理边化角,结合两角和差公式进行变形、化简(2)角化边,将角的余弦直接用公式转化为边再化简
例4.在△ABC中,若aCOSA+bCOSB=cCOSC则△ABC的形状是什么?
类型五:正弦、余弦定理应用问题:实际问题中要注意仰角、俯角,以及方位角,重在作图
例5.为了测量上海东方明珠的高度,某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5°,前进38.5m后,到达B处测得塔尖的仰角为80°.试计算东方明珠塔的高度(精确到1m).
练习:
一、正弦定理的应用:正弦定理在解三角形中,对解的个数判断是难点,最有效的方法:大边对大角。正弦定理能实现边角的转换,因此设置了第二题,可以利用正弦定理求三角形的面积。
1、满足a=4,b=3和A=45°,解三角形。
2、在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,且B=2A,求b/a的取值范围。
3 、△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,求△ABC的面积。
二、余弦定理的应用:要求学生熟练地掌握余弦定理及其推论,会选择恰当的公式解决问题。
1、在△ABC中,(a+b—c)(a+b+c)=ab,角C。
2、在△ABC中,a=2,求b.cosC+c.cosB
三、正余弦定理的综合使用:使学生在解答问题的过程中,能根据题设的结构和设问的要求合理地选择正余弦定理。
1、在△ABC中,C=2A,a+c=10,cosA=3/4,求A。
2、在△ABC中,已知a^2+b^2=2010c^2,求证:
2sinAsinBcosC/sin^2(A+B)为定值。
四、利用正余弦定理判段三角形的形状:根据题设的边角关系,判断三角形的形状。思路一般是边角转换,让学生学会从题设选择恰当的定理解决。
1、在△ABC中,如果有性质acosA=bcosB,试判断三角形的形状。
2、△ABC中,若(a-c.cosB).sinB=(b-c.cosA).sinA,判断△ABC的形状。
五、解三角形在生活中的应用:正、余弦定理在现实生活中有非常广泛的应用,常见题型有测量距离、高度、角度等,解决这类问题要有规范的解题步骤: 1、正确理解题意,分清已知和所求;2、据题意画出示意图; 3、分析与问题有关的三角形; 4、正余弦定理,有序地解相关的三角形; 5、合运用立体几何与平面几何的知识。
1、某观测点C在目标A的南偏西25°方向,从A出发有一条南偏东35°走向的公路,在C处测得与C 相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去,走20km到达D,此时测得CD距离为21km.求此人在D处距A还有多远?
2、人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若测得塔的最大仰角为30°,求塔高。
解三角形题型总结
解三角形题型分类解析 类型一：正弦定理 1、计算问题： 例:L （2013*北京）在AABC 中，a=3< b二5, sinA」，则sinB二 _________ , 3 =^— 例2、已知△磁中，ZJ = 60°, u =则————二. sin A + sinB + sinC 例3、在锐角AABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB=Va?. 求角A的大小： 2、三角形形状问题 例3、在AABC中，已知“,b,c分別为角A, B, C的对边， 1）2 =沁_试确左AABC形状。 h cosB 2）若匕=竺色，试确左MBC形状。 b cos A ■ 4）在中，已知n2 tanB=/72taiM,试判断三角形的形状。 5）已知在AABC■中,bsinB = csinC,且sin2 A = sin2 i?+sin2 C,试判断三角形的形状。 例4、（2016年上海）已知AABC的三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径等于 类型二：余弦定理 I 1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在△遊中， 若a2+b2=c2,则角C是直角： 若a2+b2
2、求角或者边 例2、（2016年天津高考）在△磁中，若AB=Vn,BC二3, ZC = 120，则AO. 例3.在△川兀中，已知三边长d = 3, b = 4, C = V37 ,求三角形的最大内角. 例4、在△磁中,已知a=7, b=3, c=5,求最大的角和sinC 3、余弦公式直接应用 例5、：在AABC中，若a2=b2+c2+bc,求角凡 例6、：(2013重庆理20)在△磁中，内角儿B, Q的对边分别是a, 6, 6 且a~ + Zf + 5/2 ab—c. ⑴求G 例八设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为—b, c・若(u + b-c)(a + b + c) = ab , 则角c= 例8、(2016 年北京髙考)在AABC 中，a2+c2 =b2+>j2ac (1)求ZB的大小： (2)求>/2 cosA + cosC 的最大值. 类型三：正弦、余弦定理基本应用 例1.(2015高考广东，理11】设AABC的内角A.B.C的对边分别为a , b , c ,若"=J5, sin B = — > C =—,则b =・ 2 6 例2. «m=i,则万等于。 ac 例3・[2015髙考天津，理13】在AABC中，内角A.B.C所对的边分别为a.b.c ,已知 MBC的而积为3皿，b — c = 2.cosA =—丄，则。的值为. 4
必修五解三角形题型归纳
必修五解三角形题型归纳 一. 构成三角形个数问题 1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A. 2 x 2 2 B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k 的取值范围是 3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81； B = = 60°+J C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b - 20, "4亍二. 求边长问题 4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4 则c() A. 5 B .6 C . V39D7 5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b = 三. 求夹角冋题 6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( ) v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5 7
.在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=( 4 B . 60° C . 45° D . 30° 四. 求面积问题 &已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为 a,b,c .若 a ZbcosAB -， c 1 ，则 △ ABC 的面积等于 ( ) g 6 4 2 9.锐角 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、 1 c ,已知 cos2C - 4 ([)求 sinC 的值； (□)当 a 2, 2si nA si nC 时，求 b 的长及 ABC 的面积. 10?如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120
解三角形题型分类讲解
解三角形知识点总结及题型分类讲解 一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == （）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4) ,,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边 （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况: 如果B A sin sin ≥，则B 有唯一解；如果1sin sin <B ，则B 无解. 3、余弦定理及其推论 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-= +-= 4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?21 ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21===?（两边夹一角）. 6、三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边）. （3）在△ABC 中，π=++C B A ，所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+.
解三角形经典练习题集锦
解三角形经典练习题集锦解三角形 一、选择题 1.在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c-b等于（） A．1 B．-1 C．2/3 D．-2/3 2.若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A．sinA B．cosA C．XXX D．1/tanA
3.在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状 是（） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4.等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60°，则底 边长为（） A．2 B．3/2 C．3 D．2/3 5.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（） A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60°
D．30°或150° 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90° B．120° C．135° D．150° 二、填空题 1.在Rt△ABC中，C=90°，则sinAsinB的最大值是 1/2. 2.在△ABC中，若a^2=b^2+bc+c^2，则A=120°。 3.在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=2√3. 4.在△ABC中，若
5.在△ABC中，AB=6-2，C=30°，则AC+BC的最大值是2√7. 三、解答题 1.在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC为等腰三角形。 2.在△ABC中，证明：a/b-cosBcosA/a-c=b/a-c。 3.在锐角△ABC中，证明：XXX>XXX。 4.在△ABC中，设a+c=2b，A-C=π/3，则sinB=1/2. 5．在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则A的度数为（） A．90B．60C．135D．150 解析：根据余弦定理，有$b^2+c^2-2bc\cos A=a^2$，代入$(a+b+c)(b+c-a)=3bc$中，整理得$\cos A=-\frac{1}{2}$，即$A=120^\circ$，选项B正确。
解三角形常见题型归纳
解三角形常见题型归纳 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?= ( ) A ．23- B ．32- C ．32 D ．2 3 【答案】D 2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ??+π B B ．36sin 34+??? ? ? +πB C ．33sin 6+??? ? ? + πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6 6 cos ,364== B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3 6221== AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ?-+=， x x 6636223852??++ =，解得1=x ，3 7 -=x （舍去） 故BC =2，从而3 28 cos 2222= ?-+=B BC AB BC AB AC ，即321=AC 又630sin =B ，
解三角形常见题型及技巧
解三角形常见题型及技巧 1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。 变式1：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。 变式2：sin 2a A R = ，sin 2b B R =，sin 2c C R = 变式3：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。 变式4： R C B A c b a C A c a C B c b B A b a A a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin =++++=++=++=++= 2．余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 （边换角后）sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。 变式1：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab 。 变式2：a 2＝（b ＋c ）2－2b c （1+cos A ）（题目已知b ＋c ，bc 或可求时常用） 3．解三角形（知道三个元素，且含有边） (1)已知三边a ，b ，c 或两边a ，b 及夹角C 都用余弦定理 (2)已知两边a ，b 及一边对角A,一般先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin A a 。 (3)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。 4．三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h (2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径) 5.在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。 2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ； sin A ＋ B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C 2 。 4.大边对大角，大角对大边（若A 不是最大角，则A 一定是锐角） 5.中线定理、角平分线定理 1)中线定理：指的是三角形一条中线两侧所对的边平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的两倍的和。 2)角平分线定理一：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 角平分线定理二：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 【解题技巧】
解三角形中的五种类型题
解三角形中的五种类型题 类型一:求边问题:根据条件作图分析,注意正弦、余弦定理的选择 例1.在△ABC中,若b=2,B=30°,C=135°,则a=_________ 类型二:求角问题:(1)结合余弦定理的特征求角(2)正弦定理的一种变式sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c 例2.(1)在△ABC中,已知三边a、b、c满足(a+b+c)·(a+b-c)=3ab,则∠C=() (A) 15°(B) 30°(C) 45°(D) 60° (2)在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=7∶8∶13,则∠C=____________. 类型三:三角形解的个数问题:在使用正弦定理解三角形时,常会碰到多解的情况,判断取舍的依据是(1)三角形内角和定理(2)大边对大角 例3.在△ABC中,∠A=60°, a=, b=4,那么满足条件的△ABC() (A)有一个解(B) 有两个解(C) 无解(D)不能确定 类型四:判断三角形的形状问题两种思路:(1)运用正弦定理边化角,结合两角和差公式进行变形、化简(2)角化边,将角的余弦直接用公式转化为边再化简 例4.在△ABC中,若aCOSA+bCOSB=cCOSC则△ABC的形状是什么? 类型五:正弦、余弦定理应用问题:实际问题中要注意仰角、俯角,以及方位角,重在作图 例5.为了测量上海东方明珠的高度,某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5°,前进38.5m后,到达B处测得塔尖的仰角为80°.试计算东方明珠塔的高度(精确到1m). 练习: 一、正弦定理的应用:正弦定理在解三角形中,对解的个数判断是难点,最有效的方法:大边对大角。正弦定理能实现边角的转换,因此设置了第二题,可以利用正弦定理求三角形的面积。 1、满足a=4,b=3和A=45°,解三角形。 2、在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,且B=2A,求b/a的取值范围。 3 、△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,求△ABC的面积。 二、余弦定理的应用:要求学生熟练地掌握余弦定理及其推论,会选择恰当的公式解决问题。 1、在△ABC中,(a+b—c)(a+b+c)=ab,角C。 2、在△ABC中,a=2,求b.cosC+c.cosB 三、正余弦定理的综合使用:使学生在解答问题的过程中,能根据题设的结构和设问的要求合理地选择正余弦定理。 1、在△ABC中,C=2A,a+c=10,cosA=3/4,求A。 2、在△ABC中,已知a^2+b^2=2010c^2,求证: 2sinAsinBcosC/sin^2(A+B)为定值。 四、利用正余弦定理判段三角形的形状:根据题设的边角关系,判断三角形的形状。思路一般是边角转换,让学生学会从题设选择恰当的定理解决。 1、在△ABC中,如果有性质acosA=bcosB,试判断三角形的形状。 2、△ABC中,若(a-c.cosB).sinB=(b-c.cosA).sinA,判断△ABC的形状。 五、解三角形在生活中的应用:正、余弦定理在现实生活中有非常广泛的应用,常见题型有测量距离、高度、角度等,解决这类问题要有规范的解题步骤: 1、正确理解题意,分清已知和所求;2、据题意画出示意图; 3、分析与问题有关的三角形; 4、正余弦定理,有序地解相关的三角形; 5、合运用立体几何与平面几何的知识。 1、某观测点C在目标A的南偏西25°方向,从A出发有一条南偏东35°走向的公路,在C处测得与C 相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去,走20km到达D,此时测得CD距离为21km.求此人在D处距A还有多远?
解直角三角形的五种类型
解直角三角形的五种类型 在直角三角形的6个元素中，除直角外，共有5个元素，即3条边，2个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 在这5个元素中，如果只知道一个元素，是不能解这个直角三角形的。比如在Rt △ABC 中，已知∠A=42°解这个直角三角形。这个三角形最多可以求出∠B=48°直角边和斜边是解不出来的。 再比如在Rt △ABC 中，已知AB=4厘米，解这个直角三角形。这个三角形除了已知元素外，其余的任何一个元素是求不出来的。所以解直角三角形时，已知的元素最少有两个，并且这两个元素中必须有一个条件是边，或者两个条件都是边。下面就根据已知条件，将解直角三角形进行分类。 第一类：已知直角三角形中的一个锐角和这个锐角对边，解这类的直角三角形。 例1.如图，在Rt △ABC 中， ∠C ＝90° ∠B ＝35°，b=20，解这个直角三角形。 分析：首先根据直角三角形两锐角互余可以求得另一个直角，∠A ＝90°-∠B=55°，再由已知锐角的正弦求得斜边，最后由已知锐角的正切求得另一直角边。 A B C a b c 20 35° 图1
解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90° ∠B ＝35°，b=20。 所以∠A ＝90°-∠B ＝90°-35°=55° 由sinB= b c 得，c=0 20sin sin 35b B = 由tanB=b a 得 a=020tan tan 35b B = 即已知一锐角和这个锐角的所对的直角边时，充分利用已知条件，采用锐角的正弦函数与正切函数较好。当然也可以采用另一直角的余弦求得斜边，由于所求的斜边有可能是一个近似数，所以不用勾股定理求另一直角边。 第二类：已知直角三角形的一锐角和这个锐角的邻边，解这个直角三角形。 例2. 如图2，在Rt △ABC 中， ∠C ＝90° ∠A ＝55°，b=20， 解这个直角三角形 分析：首先根据直角三角形两锐角互余可以求得另一个直角，∠B ＝90°-∠A =55°，再由已知锐角的余弦求得斜边，最后由已知锐角的正切求得另一直角边。 解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90° ∠B ＝35°，b=20。 所以∠B ＝90°-∠A =55°； cosA=b c 得0 20 cos cos55b c A == 或由sinB= b c 得，c=0 20sin sin 35b B =。 再由tanA=a b 得a=btanA=20tan55° 或由tanB= b a 得 a=020tan tan 35b B = 第三类：已知一直角三角形的一个锐角和斜边，解这个直角三角 b A B C a c 20 55° 图2
三角函数和解三角形典型题及常见题汇总
解三角形 1. 与角平分线有关的解三角形 1. 在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______（面积法） 2.（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求 C B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，DC =2 2 求BD 和AC 的长.（相关角列方程） 3. △ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求 sin sin B C ∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=,求B ∠. 重点结论：角平分线性质： （1）平分角 （2）到角两边距离相等 （3）线段成比例 2．解三角形范围问题 例1、在锐角ABC ∆中，BC=1，B=2A ，则的值等于______,AC 的取值范围为________. 例2、在ABC ∆中，∠A 60=︒，BC=3，则ABC ∆的两边AC+AB 的取值范围是____________. 例3、在ABC ∆中，∠B 60=︒，AC= ，，则AB+2BC 的最大值____________. 注：正弦定理，内角和180；余弦定理，任意两边之和大于第三边
ABC的面积． 1 =-； 1 ,cos 8B ==
4.（2020•全国1卷）设函数()cos π ()6 f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ） A. 10π 9 B. 7π6 C. 4π3 D. 3π2 5.（2020•全国1卷）已知 π()0,α∈ ，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） A. 5 3 B. 23 C. 13 D. 59 6.（2020•全国2卷）若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 7.（2020•全国2卷）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ； （2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.
解三角形的知识总结和题型归纳
解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）∆S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面
解三角形专项题型及高考题
解三角形专项题型及高考题 第一篇：解三角形专项题型及高考题 题型1：利用正余弦定理判断三角形形状 两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 例1.在中，a,b,c 分别表示三个内角A,B,C的对边，如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断三角形的形状． 例2.在△ABC中，已知atanB=btanA，试判断此三角形的形状。 【同类型强化】1.在∆ABC中,若acosA=bcosB,试判断∆ABC的形状 2BC【同类型强化】2.（2010上海文数）若∆ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则∆A （） A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【同类型强化】3．△ABC中，2sinAcosB=sinC，则此三角形的形状是（） (A)等腰△(B)等腰或者直角△(C)等腰直角△(D)直角△ 题型2：利用正余弦定理求三角形的面积 三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边a，b及夹角C，可以将a，b，c或a，b，C作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中． 例3．在∆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足 (1)
专题训练(八)解直角三角形常见的七种方法
专题训练(八) 解直角三角形常见的七种方法►方法一已知两边解直角三角形 1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形． (1)b＝6，c＝2 2；(2)a＝4，b＝4 3. 2．如图8－ZT－1，已知AD为△BAC的角平分线，且AD＝2，AC＝3，∠C＝90°，求BC的长及AB的长． 图8－ZT－1
►方法二已知一边和一个锐角解直角三角形 3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形． (1)∠A＝60°，a＝6； (2)∠A＝30°，b＝10 3.
4．已知：如图8－ZT －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长．(结果保留根号) 图8－ZT －2 ► 方法三 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形 5．2018·自贡改编如图8－ZT －3，在△ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，BC ＝12，tan A ＝3 4， ∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．
图8－ZT －3 6．如图8－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝4 5，BC ＝8，D 是AB 的中点， 过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E . (1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值． 图8－ZT －4
►方法四“化斜为直法”解三角形 7．如图8－ZT－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3.求AB的长． 图8－ZT－5 8．如图8－ZT－6，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝ 2 2，tan A ＝1 2，AC＝3 5. (1)求∠B的度数及AB的长； (2)求tan∠CDB的值．
(完整版)高中数学-解三角形知识点归纳和分类习题测试,推荐文档
必修五：解三角形 知识点一：正弦定理和余弦定理 1.正弦定理 a b c :si nA sin B si nC J' 或变形： a: b:c s ir i A:sin B:sin C cosA b 2 2 c 2 a 2bc 2 2 2 2 a 2 2 b c 2bccos A cosB a c b 2ac b 2 2 2 a c 2accos B cosC b 2 2 a 2 c 2 c 2 2 b a 2 •余弦定理： 2ba cosC 或 2ab 3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 2 、已知两角和其中一边的对角，求其他边角 （2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角• 2 、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角 4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 运算 女口. sin(A B) sinC,cos(A B) A B C AB C AB C sin cos ,cos sin ,ta n cot — 2 2 2 2 2 2 5 •解题中利用 ABC 中A B C ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的 cosC, tan(A B) tanC,
1.若ABC 的三个内角满足si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是( ) A. 锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角 形• 2 .在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a 2 b=2 , sinB+cosB= 、 2 , 则角A的大小为( )A - B. _ C - D.— 2 3 46 3 .在厶ABC中， a 7, b 4、.3,c .13 , 则最小角为 A—B、一 C 、— D 、36412 4 .已知 ABC中，AB 4, AC 3, BAC60，则BC () A. 13 B. 13 C.5 D.10 5•在锐角ABC中，若C 2B，则c的范围（） b A. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,2 6.在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a2b2c2-、°ab，则C （） 23 A. 2 B.4 C.3 D.4 7.在厶ABC中，A60o,b16,面积S220 .. 3，则c A 10、6 B、75C、55 D 、4 9 8.在厶ABC中，（a c)(a c) b(b c), 则A A 30o B、60o C、120o D、150o 9.已知ABC中，AB 4,BAC45AC 3.2则 ABC的面积为 cosB b 10.在ABC 中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosC 2a c ,则角B的大小为 11.已知锐角三角形的边长分别是23 x，则x的取值范围是 A、1 X 5 B 、、5 x ^13 C 、0 x .5 D 、13x5
小高奥数几何_三角形五大模型与例题解析
三角形五大模型 [专题知识点概述] 本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识,旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。 重点模型重温 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△； 反之,如果ACD BCD S S =△△, CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等<长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形>； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比． 二、等分点结论〔"鸟头定理" 如图,三角形AED 占三角形ABC 面积的 23×14=16 三、任意四边形中的比例关系 〔"蝴蝶定理" ① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=〔S 1+S 2︰〔S 4+S 3 D C B A b
梯形中比例关系〔"梯形蝴蝶定理" ① S 1︰S 3=a 2︰b 2 ②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为〔a+b 2 模型四：相似三角形性质 如何判断相似 <1>相似的基本概念： 两个三角形对应边城比例,对应角相等。 <2>判断相似的方法： ①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似； ②两个三角形若有两条边对应成比例,且这两组对应边所夹的角相等则两个 三角形相似。 h h H c b a C B A a c b H C B A ① a b c h A B C H === ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2 模型五：燕尾定理
专训1 解直角三角形的五种常见类型
专训1解直角三角形的五种常见类型名师点金： 解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形． .已知两直角边解直角三角形 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝23，b＝6，解这个直角三角形． (第1题) 已知一直角边和斜边解直角三角形 2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC的值和点B到直线MC的距离． (第2题)
已知一直角边和一锐角解直角三角形 3．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝3. (1)求AC 的长； (2)求BC 的长． (第3题) 已知斜边和一锐角解直角三角形 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，c ＝10，解这个直角三角形． (第4题) 已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形 题型1 化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法) 5．如图，在△ABC 中，点D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD ＝1 3，求∠A 的三 角函数值．
(第5题) 题型2化解四边形问题为解直角三角形问题 6．【中考·＝90°，∠CED＝45°，∠ (第 题型3化解方程问题为解直角三角形问题 7．已知a，b ABC中∠A，∠B，∠C a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b. (1)判断△ABC的形状； (2)求sin A＋sin B的值．
中考数学三角形试题归类(含答案)
中考数学三角形试题归类(含答案) 以下是查字典数学网为您推荐的中考数学三角形试题 归类(含答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。 中考数学三角形试题归类(含答案) 选择题 1. (天津3分)sin45的值等于 (A) (B) (C) (D) 1 【答案】B。 【考点】特殊角三角函数。 【分析】利用特殊角三角函数的定义，直接得出结果。 2.(河北省3分)如图，在△ABC 中，C=90，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为 A、 B、2 C、3 D、4 【答案】B。 【考点】翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定和性质。【分析】∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，EDA=EDA=90，AE=AE， △ACB∽△AED。。 又∵A为CE的中点，AE=AE=AC。。ED=2。 故选B。 3.(山西省2分)如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边
AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形.若DE=2cm，则AC的长为 A. cm B.4cm C. cm D. cm 【答案】D。 【考点】等腰三角形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理。 【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理可求出CE= ，即可得出AC=2 。故选D。 4.(内蒙古呼和浩特3分)如果等腰三角形两边长是6cm和 3cm，那么它的周长是 A、9cm B、12cm C、15cm或12cm D、15cm 【答案】D。 【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。 【分析】求等腰三角形的周长，即要确定等腰三角形的腰与底的长，根据三角形三边关系知 当6为腰，3为底时，6﹣36+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15; 当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形。故选D。5.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图，△ACB≌△A1CB1, BCB1=30，则ACA1的度数为 A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
4.2突破训练：三角形的基本性质类型题举例(解析版)-简单数学2021年中考一轮复习宝典(全国通用)
4.2突破训练：三角形的基本性质类型题举例 类型体系（本专题共27题53页） 考点1：三角形的稳定性 典例：（2020·山西吕梁市·八年级期末）下图是跪姿射击的情形．我们可以看到，跪姿射击的动作构成了三个三角形∶一是由右脚尖、右膝、左脚构成的三角形支撑面；二是由左手、左肘、左肩构成的托枪三角形；三是由左手、左肩、右肩所构成的近乎水平的三角形．这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定．其中，蕴含的数学道理是___． 【答案】三角形的稳定性 【详解】 解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故答案为三角形的稳定性． 方法或规律点拨
本题主要考查三角形稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 巩固练习 一、单选题 1．（2021·湖南株洲市·八年级期末）工人师傅砌门时，如图所示，常用木条EF固定矩形木框ABCD，使其不变形，这是利用（）． A．两点之间线段最短B．三角形的稳定性 C．垂线段最短D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】 解：如图所示，通过连接木条形成DEF，而三角形具有稳定性，故不会变形． 故选B． 2．（2020·浙江杭州市·八年级期末）下列图形中具有稳定性的是（） A．四边形B．五边形C．三角形D．六边形 【答案】C 【详解】 解：三角形具有稳定性； 故选：C． 3．（2020·湖北武汉市·八年级期末）下列图形中具有稳定性的是（） A．平行四边形B．三角形C．长方形D．正方形 【答案】B 【详解】解：三角形具有稳定性； 故选：B． 4．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，你认为这样做的道理是（）
专题4-5 解三角形大题归类-(解析版)
专题4-4 解三角形大题归类 目录 一、热点题型归纳 【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型 ................................................................................... 1 【题型二】角平分线的扩展结论 .............................................................................................................. 4 【题型三】中线的处理方法 ...................................................................................................................... 6 【题型四】三角形高的类型 .................................................................................................................... 10 【题型五】三角形内心 ............................................................................................................................ 11 【题型六】外接圆 .................................................................................................................................... 14 【题型七】双三角形 ................................................................................................................................ 16 【题型八】四边形 .................................................................................................................................... 18 【题型九】四边形图形最值 .................................................................................................................... 20 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 22 三、模拟检测 .. (29) 【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型 【典例分析】 （2022·湖北·高三开学考试）在ABC 中，2AB AC =，点D 在BC 边上，AD 平分BAC ∠. (1)若cos ACB ∠=，求cos BAC ∠； (2)若AD AC =，且ABC BC 的长. 【答案】 【分析】（1）在ABC 中，利用正弦定理可得sin ABC ∠=，从而可得cos ABC ∠=，再由 ()cos cos CAB ABC ACB ∠∠∠=-+，展开即可求解； （2）利用三角形的面积公式可得111sin sin sin 2222AC AD AB AD AB AC θθθ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅，从而解得3 cos 4 θ=， 根据三角形的面积求出2 4b =，再由余弦定理即可求解.