解三角形经典例题

解三角形

1。1正弦定理和余弦定理

1。1。1正弦定理

【典型题剖析】

考察点1：利用正弦定理解三角形例1

在ABC 中,已知A ：B ：C=1:2：3，求a ：b :c.

【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a ：b :c=sinA ： sinB ： sinC 求解.

解：

::1:2:3,A .,,,

1::sin :sin :sin sin

:sin

::1 2.63222A B C B C A B C a b A B C ππ

=++=∴=

∴===

=而

【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用.

例2在ABC 中,已知

°，求a+b 的取值范围。

【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解.

解：∵C=30°

∴由正弦定理得：sin sin sin a b c A B C ===

∴ a=2

sinA ，b=2

sinB=2

sin （150°-A)。 ∴

［sinA+sin （150°—A ）］

·2sin75°·cos(75°

-A)=

cos （75°—A)

① 当75°-A=0°，即A=75°时,a+b

取得最大值2

② ∵A=180°—(C+B ）=150°-B ，∴A ＜150°,∴0°＜A ＜150°, ∴—75°＜75°—A ＜75°，∴cos75°＜cos （75°—A)≤1,

∴＞

cos75°

×4

综合①②可得a+b 的取值范围为

考察点2：利用正弦定理判断三角形形状

例3

在△ABC 中,2

a ·tanB=2

b ·tanA,判断三角形ABC 的形状。

【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA ，b=2RsinB 得：

()

()2

sin sin 2R sin 2R sin cos cos B A A B B A •

=•，

sin cos sin cos ,A A B B ∴=

即sin 2sin 2A B =，2222A B A B π∴=+=或，

2A B A B π

∴=+=

或。

∴ABC 为等腰三角形或直角三角形。

【解题策略】“在△ABC 中，由sin 2sin 2A B =得∠A=∠B ”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B 或∠

A+∠B=2π

"的导出过程。

例4

在△ABC

中，如果lg lg lg sin lg a c B -==-，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC 的形状.

解

lg sin sin 2B B =-∴=

。

又∵B 为锐角，∴B=45°。

由

lg lg c a c a -=-=得

由正弦定理，得sin sin 2A C

， ∵18045,A C =︒-︒-代入上式得：

()

2sin 135C C =︒-

()

2sin135cos cos135sin C C =︒-︒

,C C =+

cos 0,90,45.C C A ∴=∴=︒∴=︒ ABC ∴为等腰直角三角形。

考察点3:利用正弦定理证明三角恒等式

例5

在△ABC 中，求证222222

cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A ---++=+++。

【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将222a b c ，，转化为

222sin ,sin ,sin A B C 。证明：由正弦定理的变式a 2sin ,2sin R A b R B ==得：

2222224sin 4sin =

cos cos cos cos a b R A R B

A B A B --++ 2224[cos cos ]cos cos R A B =

+（1-A ）-(1-B)

222(cos cos )

4(cos cos )

cos cos B A R B A A B -==-+

同理22

222

24(cos cos ),

cos cos 4(cos cos ).

cos cos b c R C B B C c a R A C C A -=-+-=-+

2=4(cos cos cos cos cos cos )0R B A C B A C ∴-+-+-==∴左边右边等式成立。

【解题策略】在三角形中,解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决,要注意体会其中的转化与化归思想的应用。例6

在△ABC 中，a,b ，c 分别是角A ，B,C 的对边，C=2B ，求证22

c b ab -=.

【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用。证明：

180,180.A B C B C A ++=︒∴+=︒-

2,.C B C B B =∴-=又

sin()sin(180)sin ,B C A A +=︒-=

2222222224(sin sin )4(sin sin )(sin sin )

42sin cos 2cos sin 2222

4sin()sin()4sin sin .c b R C B R C B C B B C C B B C C B

R R C B C B R A B ab ∴-=-=+-+-+-=••••=+-===∴右边等式成立.

【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。

,,,2222

222.

A B C

A B C A B C A B C ππππ+++=+=-=-+=-（1）

(2)sin()sin ,cos()cos ,tan()

tan .A B C A B C A B C +=+=-+=-

(3)sin cos ,cos sin ,tan 22222

cot .2

A B C A B C A B

+++===

(4)sin(22)sin 2,cos(22)cos 2,tan(22)tan 2.A B C A B C A B C +=-+=+=-

考察点4：求三角形的面积例7

在△ABC 中，a,b ，c 分别是三个内角A ，B,C 的对边,

若2,,cos

25B a C π

=,求△ABC 的面积S.

【点拨】先利用三角公式求出sinB ，sinA 及边c,再求面积。

解：由题意

cos

2B =，得23

cos 2cos 1,25B B =-=

∴B

为锐角，

43sin ,sin sin()sin()54B A B C B ππ∴==--=-= 由正弦定理得

10,7c =

111048sin 2.22757S ac B ∴=

=•••=

【解题策略】在△ABC 中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到,要记准、记熟，并能灵活应用，

,sin()sin ,cos()cos ;sin 2A B

A B C A B C A B C π+++=+=+=-=

cos

,cos sin .222C A B C +=

例8

已知△ABC 中a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12,且3C π

，求△ABC 的面积S 的

最大值。

【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用.

解：

sin 2sin 2sin sin 22ABC

ab C R A R B C =

sin sin [cos()cos()]2A B R A B A B ==

--+

[cos()].22R A B =

cos()1,A B A B -==当即时，

2max ()14444ABC S

R =

【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合,通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。

考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9

已知△ABC 的内角A,B 极其对边a,b 满足cot cot ,a b a A b B +=+求内角C

【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识,考察运算能力、分析能力和转化能力。解法1：

cot cot ,2sin sin a b

a b a A b B R A B +=+==且

（R 为△ABC 的外接圆半径)，

sin cos cos sin ,1sin 21cos 2.A A B B A B ∴-=-∴-=-

cos2cos20A B ∴-=

sin 2sin 22cos()sin().

cos()sin()0,cos()0sin()0.

A B A B A B A B A B A B A B -=+-∴+-=∴+=-=又或

又∵A ，B 为三角形的内角，

A B A B π

∴+=

=或

2A B C π

当时，；

当A B =时，由已知得

cot 1,,.

2A A B C π

=∴+=

∴=

综上可知，内角2C π

。

解法2:

由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得，

sin sin =cos cos A B A B ++， sin cos cos sin A A B B -=-，

从而

sin cos

cos sin

sin cos

4A A B B π

-=-

即sin()sin().

44A B ππ

-=-

又∵0＜A+B ＜π，

A B π

∴-

2A B C π

∴+=

∴=

【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法,熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键.

例10

在△ABC 中，A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=10，cos 4

cos 3A b B a ==

，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径。

【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。

解:

cos cos sin ,=,cos cos sin A b A B

B a B A =由

可得

变形为sin cos sin cos ,sin 2sin 2A A B B A B =∴=

又

,22,,

2a b A B A B π

π≠∴=-∴+=

∴△ABC 是直角三角形。

由2221043,a b b a ⎧+=⎪

⎨=⎪⎩解得6,8.a b ==

6810

222a b c ABC +-+-∴==的内切圆半径为r=

【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用.

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『易错疑难辨析』

易错点利用正弦定理解题时,出现漏解或增解

【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有:（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时,出现漏解或增解;(2）在判断三角形的形状时,出现漏解的情况。例1

（1）在△ABC

中，6,30,;a b A B ===︒求（2）在△ABC

中，2,60,;a b A B ===︒求【错解】

（1）

由正弦定理得

sin sin 660A B b B a =⨯

==∴=︒

（2）

由正弦定理得

sin 1

sin 2,301502A B b B a =⨯

==∴=︒︒或

【点拨】（1）漏解,

由

sin B =

（0°＜B ＜180°）可得60120B =︒︒或因为b ＞a ，所以两解都存在。（2）增解。由

sin 2B =

（0°＜B ＜180°)可得30150B =︒︒或，因为b ＜a,根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，所以150B =︒不符

合条件，应舍去。【正解】

（1)

由正弦定理得sin sin 62A B b a =⨯

又∵0°＜B ＜180°

60120B ∴=︒︒或(经检验都符合题意)

）由正弦定理得

sin 1

sin 2.2A B b a =⨯

又∵0°＜B ＜180°30150B ∴=︒︒或 ∵b ＜a ，根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，

150B ∴=︒不符合条件,应舍去，30B ∴=︒。

易错点忽略三角形本身的隐含条件致错

【易错点解析】解题过程中,忽略三角形本身的隐含条件,如内角和为180°等造成的错误。例2

在△ABC 中，若3,C B =求c

b 的取值范围.

【错解】由正弦定理得

sin sin 3sin(2)=sin sin sin c C B B B b B B B +== sin cos 2cos sin 2sin B B B B B +=

22cos 22cos 4cos 1.B B B =+=-

220cos 114cos 13,03c

B B b ≤≤∴-≤-≤∴≤

≤

【点拨】在上述解题过程中，得到了2=4cos 1

B b -后,忽略了三角形的内角和定理及隐含的,,A B

C 均为正角这一条

件。

【正解】

由正弦定理可知

sin sin 3sin(2)=sin sin sin c C B B B b B B B +== sin cos 2cos sin 2sin B B B B B +=

22cos 22cos 4cos 1.B B B =+=-

=180A B C ++︒，

3.C B = ∴0°＜B ＜45°

,2＜cos B ＜1.

∴1＜2

4cos 1B -＜3，故1＜c

b ＜3。

—————--—-----————--——————— 『高考真题评析』

例1

(2010·广东高考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C

所对的边，若1,2,a b A C B ==

+=则

sin _______C =

【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C 的值。【点拨】在△ABC 中,,A B C π++=又2A C B +=,故

3B π

，由正弦定理知

sin 1sin ,

2a B A b =

=又a ＜b,因此

A =从而可知

2C π

，即sin 1C =.故填1。

【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。

例2

(2010·北京高考)如图1—9所示，在△ABC

中，若21,,3b c C π===

则_________.a =

【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题,同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。

【点拨】由正弦定理得

,11

,sin .sin 2sin 3B B =∴=

∵C 为钝角，∴B 必为锐角，

. 1.

B A a b π

∴=

∴==

故填1

【名师点评】

在

()0,π范围内，正弦值等于1

2的角有两个，因为角C 为钝角,所以角B 必为锐角，防止忽略角的范围而出现增解

图1—9

例3

(2010·湖北高考）在△ABC 中，15,10,60,a b A ===︒则cos B 等于（）

.3A -

.3B .3C - 3D 【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角B 的范围。

【点拨】由正弦定理得10151010sin 602,sin sin 60sin 1515B B

︒

=∴==

=︒∵a ＞b ，60A =︒，∴B 为锐角。

cos

∴===

,故选D

【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的范围，从而确定角B的余弦值。

例4

（2010·天津高考)在△ABC中,

cos

AC B

AB C

（1)求证B C

=；

（2）若

cos

A=-

,求

sin4

⎛⎫

⎪

⎝⎭的值。

【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力。

证明：(1）在△ABC中，由正弦定理及已知,得

sin cos

B B

C C

于是

sin cos cos sin0,

B C B C

-=即()

sin0.

B C

因为π-＜B—C＜π，从而B-C=0，所以B=C 。

解:(2）由A B Cπ

++=和（1）得2

A B

=-，故

()1

cos2cos2cos

B B A

=--=-=

又0＜2B＜π

，于是

sin2

B==

从而

sin42sin2cos2

B B B

，

cos4cos2sin2

B B B

=-=-

所以

sin4sin4cos

3318

B B

ππ

⎛⎫

+==

⎪

⎝⎭

【名师点评】(1）证角相等，故由正弦定理化边为角。(2）在（1）的基础上找角A与角B的函数关系,在求2B的正弦值时要先判断2B的取值范围.

知能提升训练学以致用

1、在△ABC中，下列关系式中一定成立的是（）

A．a＞sin

b A B。a=sin

b A

C。a＜sin

b A D。a≥sin

b A

2、（2011·山东模拟）△ABC中,角A,B，C的对边分别为a,b，c

，

A a b

===

，则c等于( ）

A.1 B。

3、（2011·广东模拟)在△ABC中，

15,10,60

a b A

===︒，则sin B等于（ )

． B

。

。3

D.3±

4、在△ABC 中，若cos cos cos a b c

A B C ==

，则△ABC 是（）

A ．直角三角形

B 。等边直角三角形

C ．钝角三角形

D 。等腰直角三角形

5、在锐角△ABC 中,若C=2B ，则c

b 的范围是（）

A ．()0,2

B.)2

。 D

。

(

6、在△ABC 中

,,,45a b A λ==

=︒，则,满足此条件的三角形有（）

A ．0个

B 。1个 C.2个 D.无数个

7、在△ABC 中,若A ：B ：C=3：4:5，则a ：b ：c 等于( ) A ．3：4:5 B 。2

C 。 1

8、（2011·浙江模拟）在△ABC 中，135,15,5,B C a =︒=︒=则此三角形的最大边长为( ) A

． B

。

。9、在△ABC

中75,45,A B c =︒=︒=则________b =.

10、（2011·山东模拟）在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b,c,

若2,sin cos a b B B ==+=，则角A 的

大小为_______。

11、在△ABC 中已知a x =cm,2b =cm ，45B =︒,如果利用正弦定理解三角形有两解,那么x 的取值范围是

______________.

12、如图1-10所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒BD 交AC 于E ，AB=2。（1）求cos CBE ∠的值；（2)求AE 的长。

图1—10

13、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c,求证

()222sin sin A B a b c C --=。

14、在△ABC 中

,tan 3,tan 2,c A B ===求,a b 及三角形的面积。

15、已知方程()2cos cos 0x b A x a B -+=的两根之积等于两根之和，且,A B 为△ABC 的内角，,a b 分别为,A B 的对边,判断△ABC 的形状。

16、在△ABC 中,

13tan ,tan .45A B == (1)求角C 的大小

;

(2）若△ABC

,求最小边的长。

1.1.2 余弦定理

『典型题剖析』

考察点1：利用余弦定理解三角形

例1：

已知△ABC

中，3,30,b c B ===︒求A ，C 和a 。

【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长a 的方程，首先求出边长a ，再由再由正弦定理求角A,角C,也可以先由正弦定理求出角C,然后再求其他的边和角。

解法1:

由正弦定理2222cos ,b a c ac B =+-

得(

22232cos30a a =+-⨯︒,

29180,a a ∴-+=解得3a =或6.当3a =时,30,120A C =︒∴=︒

当6a =时，由正弦定理得

16sin 2sin 1,3a B A b ⨯===90,60.A C ∴=︒∴=︒ 解法2:

由b ＜c ，30,B =︒b

＞1sin 302c ︒==，知本题有两解.

由正弦定理得1sin 2sin 32c B C b =

==,

60C ∴=︒或120︒,

当60C =︒时，90A =︒，由勾股定理得：

6a ===

当120C =︒时，30A =︒，∴△ABC 为等腰三角形，3a ∴=。

【解题策略】比较两种解法，从中体会各自的优点，从而探索出适合自己思维的解题规律和方法.三角形中已知两边和一角，有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直接运用正弦定理,先求角再求边。

例2：△ABC

中，已知6a b c ==+=,求A ，B,C

【点拨】解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的值.

解法1:

由余弦定理得：

2222226cos 2

b c a A bc ++-+-==

==。

因为()0,180,

∈︒︒所以30A =︒

. 222

2226cos 2a b

c C ab ++-

+-==2== 因为()0,180,C ∈︒︒所以45C =︒

因为180,A B C ++=︒所以1804530105B =

︒-︒-︒=︒

解法2：

由解法

1知1sin 2A =

，

由正弦定理得,1

sin sin 2c A C a === 因为b ＞c ，所以B ＞C,

所以角C 应该是锐角,因此45C =︒。

又因为180,A B C ++=︒所以1804530105B =︒-︒-︒=︒

【解题策略】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小,防止增解或漏解。

考察点2: 利用余弦定理判断三角形的形状

例3: 在△ABC 中，已知()()3,a b c a b c ab +++-=且2cos sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。

【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状,从问题的已知条出发，找到三角形边角之间的关系，然后判断三角形的形状。

解法1:（角化边）由正弦定理得

sin sin C c B b =，由2cos sin sin A B C =，得sin cos 2sin 2C c A B b ==。又由余弦定理的推论得222

cos 2c b a A bc +-=.

222

,22c c b a b bc +-∴=即

2222,c b c a a b =+-∴=. 又()()3.a b c a b c ab +++-=()2223,a b c b ∴+-=22243,.b c b b c ∴-==

,a b c ABC ∴==∴为等边三角形。

解法2：（边化角)

()180,sin sin .

A B C C A B ++=︒∴=+ 又2cos sin sin A B C =,

2cos sin sin cos cos sin ,A B A B A B ∴=+()sin 0.A B ∴-=

又∵A 与B 均为ABC 的内角，∴A=B 。

又由()()3a b c a b c ab +++-=,得()223a b c ab +-=，

22223a b c ab ab +-+=，即222,a b c ab +-=由余弦定理得

1cos 2C =，而0°＜C ＜180°，60.C ∴=︒

又,A B =∴ABC 为等边三角形。

【解题策略】已知三角形关系中的边角关系式判断三角形的形状，有两条思考路线:一是化边为角，求出三个角之间的关系式;二是化角为边，求出三条边之间的关系式，种转化主要应用正弦定理和余弦定理.

例4:

已知钝角三角形ABC 的三边,2,4,a k b k c k ==+=+求k 的取值范围。

【点拨】由题意知△ABC 为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则，结合a ，b,c 的大小关系,故必有C 角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出k 的取值范围.

解:2222cos ,c a b ab C =+-C ∴当为钝角时，2cos ab C -＞0，22a b ∴+＜2c ,

()222k k ∴++＜()24k +,解得—2＜k ＜6。而k+k+2＞k+4，∴k ＞2.故2＜k ＜6。故k 的取值范围是()2,6.

【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。

考察点3:利用余弦定理证明三角形中的等式问题

例5

在中，a,b ，c 分别是角A ，B,C 的对边，

（1）求证cos cos ;a B b A c +=

（2)求证()2

21cos cos .222C A a a b c +=++

【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与二倍角公式的综合应用。

证明：（1）左边22222222a c b b c a a b ac bc +-+-=+

222222

22a c b b c a ac bc +-+-=+

222c c c ===右边，故原式成立。

（2）左边()()1cos 1cos 22a C c A ++=

222222112222a a b c c b c a ab bc ⎛⎫⎛⎫+-+-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

2222221222a b c b c a a c b b ⎛⎫+-+-=+++ ⎪⎝⎭

()12a b c =++=右边，故原式成立。【解题策略】（1)小题利用余弦定理将角化为边.(2）小题先降幂，然后利用余弦定理将角化为边。

例6 在ABC 中，角A,B ，C 的对边分别是a ，b ，c.

(1）求证()222sin ;sin A B a b c C --=

（2）求证

cos sin cos sin a c B B b c A A -=- 【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用

证明：(1)由2222cos ,a b c bc A =+-得;222222cos 12cos a b c bc A b A c c c --==-⋅⋅.

又∵sin ,sin b B c C =

∴222sin sin 2sin cos 12cos sin sin a b B C B A A c C C --=-⋅⋅=

()sin 2cos sin sin cos cos sin sin sin A B A B A B A B C C +--==

()sin .sin A B C +=

故原式成立。

（2）左边2222222

2222222

222222a c b a a c b a c ac a b c a b b c a b c bc b +---+-⋅==+---+-⋅

222

222sin 2sin 2a c b b B a b c a a A

b -+====-+右边。

故原式成立。

考察点4：正余弦定理的综合应用

例7：

在ABC

中，已知

)1,30,b a C ==︒求,.A B 【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。解：()2223

1,2cos b a c

b a ab C =-∴=+

- ))222

121a a

a ⎡⎤=

+-⎣⎦

(

)

22241a a a =-+ (22

.a = ∵a ＞0，c

＞0，

,c c a ∴=∴=

由正弦定理得sin ,

sin c C a A =

sin 4A

∴=====

75A ∴=︒或105︒.

由)1b a =-知a ＞b,

若75,A =︒则()18075,,

B A

C a b =︒-+=︒=与已知矛盾。

()105,18045.A B A C ∴=︒=︒-+=︒

【解题策略】本题边未知,已知一角，所以考虑使用余弦定理得a ，c 的关系，再结合正弦定理求sin .A 注意特殊角的三

角函数值,

如：

sin 75︒=

︒=

例8：设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c

，已知

222,b c a +=+ (1）求A 的大小;

（2)求()2sin cos sin B C B C --的值。

【点拨】本题考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的综合应用。

解：(1）由余弦定理2222cos ,a b c bc A =+-

得222cos 2b c a A bc +-=== 所以

.6A π=

(2)()2sin cos sin B C B C --

()

2sin cos sin cos cos sin B C B C B C =-- ()

sin cos cos sin sin B C B C B C =+=+ ()1sin sin 2A A π=-==

。

例9：设ABC 得到内角A ，B,C 的对边分别为a,b,c ，且cos 3,sin 4.a B b A ==

(1)求边长a ；

(2）若ABC 的面积S=10,求ABC 的周长l 。

【点拨】本题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同脚三角函数关系式的综合应用.

解：（1)已知cos 3,sin 4.a B b A == 将两式相除，有3cos cos cos cot .4sin sin sin a B a B b B B b A A b B b ==⋅=⋅=

又由cos 3a B =知cos B ＞0，则

34cos ,sin 55B B ==，则 5.a = （2）由1sin 10,2S ac B =

=得 5.c =

由

2223cos ,25a c b B ac +-==

得b =.

故10l =+。

【解题策略】把已知两个关系式相除是本题的难点，也是解决此题的关键，相除之后出现sin a

A ，使用正弦定理使问题得到顺利解决。

『易错疑难解析』

易错点利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况

【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时，需要十分小心，当该因式恒正或恒负时可以约去，一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解.

例1:

在ABC 中，已知cos cos ,a A b B =试判断ABC 的形状。

【错解】由余弦定理得:

222222

,22b c a a c b a b bc ac +-+-⋅=⋅()()22222222,a b c a b a c b ∴+-=+-

2222422224,a b a c a b a b c b ∴+-=+-

()()()2222222,

a b c a b a b ∴-=+- 222.c a b ∴=+

故ABC 为直角三角形。

【点拨】利用余弦定理把已知等式中角的形式转化为边的形式，其思路是正确的,但是在等式变形中约去了可能为零的

因式22a b -，产生了漏解的情况，导致结论错误.

【正解】

由余弦定理得：

222222

,22b c a a c b a b bc ac +-+-⋅=⋅()()22222222,a b c a b a c b ∴+-=+-

()()()2222222,a b c a b a b ∴-=+-()()222220,a b c a b ∴---=

a b ∴=或222c a b =+。

∴ABC 为等腰三角形或直角三角形。

易错点易忽略题中的隐含条件而导致错误

【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件,特别是隐含条件，全面、细致地分析问题，如下列题中的b ＞a 就是一个重要条件。

例2：

在ABC 中,

已知2,15,a b C ===︒求A 。

【错解】由余弦定理，得

2222cos c a b ab C =+

-48228c =+-⨯⨯=-= 由正弦定理，得sin 1sin .2a C A c =

=又0°＜A ＜180°，30A ∴=︒或150︒。

【点拨】注意到已知条件中b =2a =这一隐含条件，则B ＞A ，显然150A =︒是不可能的。

【正解】由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+

-8=

-c = 又由正弦定理，得sin 1sin .2a C A c =

=∵b ＞a,∴B ＞A 。又0°＜A ＜180°，30A ∴=︒

『高考真题评析』

例1：

(2011.山东模拟）在ABC 中，D 为BC 边上一点

，3,135,BC BD AD ADB ==∠=︒

若,AC =则__________.BD =

【命题立意】本题主要考察余弦定理与方程组的应用。

【点拨】如图1—13所示，设,AB k =

则,AC =再设,BD x =则2,DC x =在ABD 中,由余弦定理

得

22222222k x x x x ⎛=+-⋅-=++ ⎝⎭

①.在ADC 中,由余弦定理

得22224222424,2

k x x x x =+-⋅=+-22212k x x ∴=+-②。由①②得2410,x x --=

解得2x =+值舍去）

，故填2+【名师点评】根据题意画出示意图由CD=2BD ，

，设出未知量，在两个三角形中分别利用余弦定理，然后联立方程组求解.

图1-13 例2：

（2010。天津高考）在ABC 中,内角A,B ，C 的对边分别是a ，b,c

，若

22,sin ,a b C B -==则A 等于（ )

A ．30°

B 。60°

C 。120° D.150°

【命题立意】本题考察正、余弦定理的综合应用，考察分析问题、解决问题的能力。

【点拨】由sin ,C B =

根据正弦定理得,c =

代入22,a b -=得2226,a b b -=即

227,a b =,由余弦定理得

2222222cos 22b c a A bc +-====又0°＜A ＜180°,30.A ∴=︒故选A

【名师点评】应用正弦定理把已知条件中sin ,C B =转化成边b ，c 的关系,再代入已知得a,b 的关系,利用余弦定理变形形式求角的余弦值。

例3:

（2010。北京高考）某班设计了一个八边形的班徽（如图1—14所示),它由腰长为1,顶角为a 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为（ )

A 。2sin 2cos 2a a -+

B.sin 3a a +

。3sin 1a a -+

D 。2sin cos 1a a -+

【命题立意】本题考察了用余弦定理理解三角形以及三角形面积公式和图形的分割求和等知识.

【点拨】三角形的底边长为x ==

214411sin 2

S S S a x ∴=+=⨯⨯⨯⨯+正方形三角形2sin 22cos 2sin 2cos 2a a a a =+-=-+ 故选A 。

【名师点评】此题难度较低,该八边形由4个等腰三角形和一个正方形组合而成，应用余弦定理求正方形的边长是关键。例4：

(2010。安徽高考）设ABC 是锐角三角形，a ，b,c 分别是内角A,B ，C 所对边长，且

22sin sin sin sin 33A B B B ππ⎛⎫⎛⎫=+-+

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

(1)求角A 的值；

（2）若12,AB AC a ⋅==

求b ，c(其中

b ＜

c ）

【命题立意】本题考察两角和的正弦公式，同脚三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，余弦定理，向量的数量积等知识.

解：（1)因为

2211sin sin cos sin sin 2222A B B B B B ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

2223

13cos sin sin ,444B B B =-+=

所以sin A =.又A 为锐角,所以.3A π=

(2）由12,AB AC ⋅=得cos 12.cb A =①由（1）知.3A π=所以cb=24。②

高考解三角形大题(30道)

高考解三角形大题(30道) 1.已知在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $\frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a}=\frac{\cos B b}{\sin C}$。求该三角形的 $\sin A$ 值和面积 $S$，已知 $\cos B=\frac{1}{4}。b=2$。 2.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $\sin C+\cos C=1$。求 $\sin C$ 值和边c的值，已知 $a+b=4(a+b)-8$。 3.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。求 $\sin(A+\frac{C}{2})=\frac{1}{2}\cos A$，并求角A的值；已知 $\cos A=\frac{1}{3}。b=3c$，求 $\sin C$ 值。 4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且有 $BD=\frac{3}{3},\sin B=\frac{5}{3},\cos\angle ADC=- \frac{1}{\sqrt{3}}$。求AD的值。 5.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $a=1,b=2,\cos C=\frac{1}{4}$。求该三角形的周长和 $\cos(A-C)$ 值。 6.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。

已知 $p=\frac{1}{5},b=1$，求 $a,c$ 的值；若角B为锐角，求p的取值范围。 7.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。求角A的值和$\sin B+\sin C$ 的最大值。 8.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $\cos 2C=-\frac{1}{4}$。求 $\sin C$ 的值，已知 $a=2,2\sin A=\sin C$，求 $b,c$ 的长。 9.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且 $\cos A+\cos B+\cos C=1$。求该三角形的面积和 $b+c=6$，求a的值。 10.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且 $\cos(\frac{C}{2}+\frac{A}{2})\cdot AB\cdot AC=3$， $\cos(\frac{C}{2}-\frac{A}{2})=\frac{1}{2}$。求角C的大小和$c=23,\sin A=2\sin B$，求a,b的值，其中 $l$ 为周长的取值范围。 12.在三角形ABC中，对应角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足(2b-c)cosA-acosC=0. 1) 求角A的大小；

解三角形典型例题

1．正弦定理和余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A c; a-b

解三角形经典练习题集锦(附答案)

解三角形一、选择题 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60，则底边长为（） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（） A ． 006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．0 90 B ．0 120 C ．0 135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A s i n s i n 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则A C B C +的最大值是 ________。三、解答题 1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证： )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证： C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。 4．在△ABC 中，设,3 ,2π = -=+C A b c a 求B sin 的值。解三角形一、选择题 1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ． 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 2 4．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．0 90 B ．0 60 C ．0 135 D ．0 150 6．在△ABC 中，若14 13cos ,8,7= ==C b a ，则最大角的余弦是（） A ．51- B ．61- C ．7 1- D ．81- 7．在△ABC 中，若tan 2A B a b a b --=+，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题

解三角形经典例题及解答

知识回顾: 4、理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 a ksinA ， ________________ ， c ksinC ；（2）」 b J 等价于 ______________________ sin A sin B sin C (3) 正弦定理的基本作用为: 正弦、余弦定理 1、直角三角形中，角与边的等式关系：在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AG=b , AB=c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 -sin A ，- sin B ，又sinC 1 -，从而在直角三 c c c 角形ABC 中，-?- sin A b sin B c si nC 2、当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义, 有 CD=asinB bsinA ，则一- b ，同理可得一 sin A sin B sin C b sin B 从而」- sin A b sin B c sin C 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 ____ 的比相等，即旦 sin A b sin B c sin C c b a c sin C sin B ' sin A sin C

① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsinA ； b sin B ② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin A a sin B ； sinC . b (4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形? 5、知识拓展 6、勾股定理： ___________________________________ 7、余弦定理：三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 _____________ ______________ 的两倍，即a 2 b 2 8、余弦定理的推论: cosC ____________________________ 。 9、在 ABC 中，若a 2 b 2 c 2,则 ______________________ ，反之成立; 典型例题: a b sin A sin B c si nC 2R ，其中2R 为外接圆直径. c 2 cosA cosB

解三角形经典例题及解答

正弦、余弦定理知识回忆： 1、直角三角形中，角与边的等式关系：在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C == ． 2、当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B = ，从而 sin sin a b A B = sin c C =． 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 4、理解定理〔1〕正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，，sin c k C =；〔2〕 sin sin a b A B =sin c C =等价于，sin sin c b C B = ，sin a A =sin c C ．〔3〕正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B = ；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =；sin C = ．〔4〕一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 5、知识拓展 sin sin a b A B =2sin c R C ==，其中2R 为外接圆直径. 6、勾股定理： 7、余弦定理：三角形中平方等于减去的两倍，即=2 a ； =2b ；=2c 。 8、余弦定理的推论： =A cos ；=B cos ； =C cos 。 9、在，反之成立；则中，若,222c b a ABC +<∆ ，反之成立；则中，若,222c b a ABC +=∆

解三角形练习题及答案

解三角形练习题及答案 1．△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积． 2．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判定△ABC的形状． 3. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地动身由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向连续前进，问此舰有没有角礁的危险？

4．如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求现在货轮与灯塔之间的距离． 5. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，通过420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取2＝1.4,3＝1.7）．图1 图2 A C

6．在某海边都市邻近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于都市O （如图）的东偏南 )10 2 (cos = θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范畴为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该都市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时刻有多少小时？ O P θ 45° 东西北东

解三角形经典例题

解三角形 1。1正弦定理和余弦定理 1。1。1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC 中,已知A ：B ：C=1:2：3，求a ：b :c. 【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a ：b :c=sinA ： sinB ： sinC 求解. 解： ::1:2:3,A .,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin ::1 2.63222A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用. 例2在ABC 中,已知 °，求a+b 的取值范围。【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解. 解：∵C=30° , ∴由正弦定理得：sin sin sin a b c A B C === ∴ a=2 sinA ，b=2 sinB=2 sin （150°-A)。 ∴ ［sinA+sin （150°—A ）］ ·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos （75°—A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时,a+b 取得最大值2 ② ∵A=180°—(C+B ）=150°-B ，∴A ＜150°,∴0°＜A ＜150°, ∴—75°＜75°—A ＜75°，∴cos75°＜cos （75°—A)≤1, ∴＞ 2 cos75° =2 ×4 综合①②可得a+b 的取值范围为 8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3 在△ABC 中,2 a ·tanB=2 b ·tanA,判断三角形ABC 的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA ，b=2RsinB 得： () ()2 2 sin sin 2R sin 2R sin cos cos B A A B B A • =•，

解直角三角形经典题型应用题

解直角三角形经典题型应用题 1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到： $x^2 + 3^2 = 2^2$ 化简得： $x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$ 由于x是高度，因此应该为正数。但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！ 2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到： $tan(30) = \frac{h}{50}$ 化简得： $h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx

28.87$ 因此，这个高楼的高度约为28.87米。 3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？解：设河宽为w，根据三角函数，得到： $tan(45) = \frac{w}{20}$ 化简得： $w = 20\times tan(45) = 20$ 因此，河宽为20米。 4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。又根据三角函数，得到： $tan(30) = \frac{3x}{y}$ $tan(60) = \frac{2x}{y}$

解三角形经典练习题集锦

解三角形经典练习题集锦解三角形一、选择题 1.在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c-b等于（） A．1 B．-1 C．2/3 D．-2/3 2.若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A．sinA B．cosA C．XXX D．1/tanA

3.在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是（） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4.等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为（） A．2 B．3/2 C．3 D．2/3 5.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（） A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60°

D．30°或150° 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90° B．120° C．135° D．150° 二、填空题 1.在Rt△ABC中，C=90°，则sinAsinB的最大值是 1/2. 2.在△ABC中，若a^2=b^2+bc+c^2，则A=120°。 3.在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=2√3. 4.在△ABC中，若

5.在△ABC中，AB=6-2，C=30°，则AC+BC的最大值是2√7. 三、解答题 1.在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC为等腰三角形。 2.在△ABC中，证明：a/b-cosBcosA/a-c=b/a-c。 3.在锐角△ABC中，证明：XXX>XXX。 4.在△ABC中，设a+c=2b，A-C=π/3，则sinB=1/2. 5．在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则A的度数为（） A．90B．60C．135D．150 解析：根据余弦定理，有$b^2+c^2-2bc\cos A=a^2$，代入$(a+b+c)(b+c-a)=3bc$中，整理得$\cos A=-\frac{1}{2}$，即$A=120^\circ$，选项B正确。

解三角形典型例题综合讲解

解三角形典型例题综合讲解在解三角形的过程中，我们常常会遇到各种典型的例题。这些例题既有基本的求解三角形的方法，也有一些难度较高的解题思路。本文将综合讲解一些典型的解三角形例题，通过详细的分析与解答，帮助读者更好地理解和掌握解三角形的方法。【例题一】求解一个已知锐角三角形ABC，已知∠A=30°， AB=10cm，BC=8cm，求AC的长度。解析：由已知条件可知，已知边和已知角的关系式中，我们可以利用正弦定理来解题。根据正弦定理，我们可以得到 sinA/AB = sinB/BC = sinC/AC 代入已知条件，得到 sin30°/10 = sinB/8 通过计算，可以得到 sinB 的值为8*sin30° / 10 ≈ 0.6928 我们可以通过查表或计算器工具得知相应的角度为 sin^-1(0.6928) ≈ 43.10° 因为角B为锐角，所以∠B的度数为 43.10° 而∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-43.10° ≈ 106.90° 通过正弦定理可以得到 sinC/AC = sin30°/10

可以解得AC ≈ 10*sin106.90°/sin30° ≈ 18.67 cm 所以，AC的长度约为 18.67 cm。【例题二】已知一个锐角三角形ABC，已知∠A=60°，AB=6cm，AC=8cm，求解∠B 和∠C 的度数。解析：由已知条件可知，我们可以利用余弦定理来求解∠B 和∠C 的度数。根据余弦定理，我们可以得到 c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC 代入已知条件，得到 8^2 = 6^2 + b^2 - 2*6*b*cos60° 通过计算，可以得到 b^2 - 6b + 12 ≈ 0 解这个一元二次方程，可以得到b ≈ 2 或b ≈ 4 因为 b 是边的长度，所以 b 的值为 4，且b ≠ 2 那么∠B 的度数为 cos^-1((6^2 + 4^2 - 8^2) / (2*6*4)) ≈ 75.96° 而∠C = 180°-∠A-∠B = 180°-60°-75.96° ≈ 44.04° 因此，∠B 的度数约为 75.96°，∠C 的度数约为 44.04°。通过以上两个例题的讲解，我们了解了解三角形的解题思路以及常用的解三角形方法。在解题过程中，我们可以根据已知条件来运用正弦定理、余弦定理等知识点，根据题目的要求来灵活运用。

专题解三角形大题(含答案)

专题解三角形大题(含答案) 靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。今天，你，做数学题了吗？ 1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC 的面积。根据正弦定理和余弦定理，可以得到 sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4. 2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，求角C的度数和△ABC面积的最大值。同样利用正弦定理和余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3. 3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是钝角三角形，求其面积。根据余弦定理，可以得到 cosC=(a2+b2-c2)/2ab。代入已知条件，解得sinC=√3/2，若 △ABC是钝角三角形，面积为0.

4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C 和如果c=2，求△ABC面积的最大值。根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。代入已知条件，解得C=π/3， S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得 S△ABC=√3. 5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以解得S△ACD=8√3和AB=2√7. 6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。代入正弦定理和已知条件，解得 sinB=1/2，周长为3c。 1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。从而，当且仅当$a=b=2$时取等号。所以$\triangle ABC$面积的最大值为$3$。

思维点拨：巧解三角形典型例题

思维点拨：巧解三角形典型例题【例1】如图，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和. 【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，∠A+∠C=∠CED+∠EDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 解：连结DE，由以上结论可知：∠A+∠C=∠CED+∠EDA，又因为在三角形BED中，∠B+∠BEC+∠BDA+∠CED+∠EDA=180°，所以∠B+∠BEC+∠BDA+∠A+∠C=180°. 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°. 【例2】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和. 【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF 所构成的图形中，∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，这样就把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5同时放到了三角形BDC中，即可求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和. 解：连结CD，则∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，又因为在三角形BDC中，∠1+∠5＋∠2+∠EDC+∠DCA=180°，所以∠1+∠5＋∠2+∠3+∠4=180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180°. 【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法. 【例3】如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）.

【思考与解】因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC，所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－1 2 BAC 在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3），所以∠1＝90°－1 2 ［180°－（∠2＋∠3）］= 1 2 （∠3+∠2）. 又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G. 所以∠G＝∠1－∠2＝1 2 （∠3+∠2）－∠2＝ 1 2 （∠3－∠2）. 所以应选C. 【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝25°，∠A＝35°.你能求出∠BDC的度数吗？【思考与解】延长BD，与AC交于E点，因为∠DEC是三角形ABE的外角，所以∠DEC=∠A+∠ABD＝35°+20°=55°. 又因为∠BDC是三角形CDE的外角，所以∠BDC=∠DEC+∠ACD=55°+25°=80°. 【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题.

解三角形专题练习【附答案】

解三角形专题（高考题）练习【附答案】 1、在ABC ∆中，已知内角3 A π = ，边BC =.设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 13,4==c a ，求△ABC 的面积。 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ， θ=∠BAC ， … 记→ → •=BC AB f )(θ，（1）求)(θf 关于θ的表达式；（2）（2）求)(θf 的值域； 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值；（2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭，且//m n 。（I ）求锐角B 的大小；（II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值；（II ）若2=⋅，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，cos A = cos 10 B =. — （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，ＡＢＣ 120° θ

解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型类型一判断三角形形状类型二求范围与最值类型三求值专题类型一判断三角形形状例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状．解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形．例２：在△ABC 中，若Ｂ= 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B= 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A - 120)=3,整理得 sin(A+ 30)=1 ∴A+ 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状．解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+⋅ -+⋅ ，整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或即三角形为等腰三角形或直角三角形例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状；（2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状．解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得

高中解三角形大题20道

高中解三角形大题20道解三角形是高中数学中的重要内容之一，也是考试中常常出现的题型。下面是高中解三角形大题的20道题目，希望对同学们复习和提高解题能力有所帮助： 1. 已知一个三角形的两边和夹角，求第三边的长度。 2. 已知一个三角形的两个夹角和一边的长度，求另外两边的长度。 3. 已知一个三角形的两边长度和一个角的余弦值，求第三边的长度。 4. 已知一个三角形的两边长度和一个角的正弦值，求第三边的长度。 5. 已知一个三角形的两边长度和一个角的正切值，求第三边的长度。 6. 已知一个三角形的两边长度和一个角的余切值，求第三边的长度。 7. 已知一个三角形的两个角的正弦值和一个角的余弦值，求第三个角的正弦值。 8. 已知一个三角形的两个角的正切值和一个角的余切值，求第三个角的正切值。 9. 已知一个三角形的两个角的余切值和一个角的正切值，求第三个角的正切值。 10. 已知一个三角形的两个角的正弦值和一个角的余切值，求第三个角的正弦值。 11. 已知一个三角形的两个角的余弦值和一个角的正弦值，求第三个角的余弦值。 12. 已知一个三角形的两个角的余弦值和一个角的正切值，求第三个

角的余切值。 13. 已知一个三角形的两个角的正切值和一个角的余弦值，求第三个角的余切值。 14. 已知一个三角形的两个角的余弦值和一个角的正弦值，求第三个角的余切值。 15. 已知一个三角形的两个角的余切值和一个角的正切值，求第三个角的余切值。 16. 已知一个三角形的一个角的正弦值和一个角的余切值，求第三个角的正弦值。 17. 已知一个三角形的一个角的正切值和一个角的余切值，求第三个角的正切值。 18. 已知一个三角形的一个角的正切值和一个角的正弦值，求第三个角的正弦值。 19. 已知一个三角形的一个角的余切值和一个角的正弦值，求第三个角的余切值。 20. 已知一个三角形的一个角的余切值和一个角的余弦值，求第三个角的余切值。这些题目涉及到了三角函数的概念和性质，需要同学们熟练掌握三角函数的定义和运算规律。在解题过程中，可以运用三角函数的关系式和三角恒等式，辅助推导出未知量的值。

解三角形经典例题

解三角形经典例题三角形是平面几何学中最基本的图形之一，解三角形问题是解决三角形相关性质的基础。下面，我们将通过几个经典例题，来讨论解三角形问题的方法。例题1：已知三角形ABC，求解其三个内角的度数。已知边长a=3cm， b=4cm，c=5cm。解析：根据三角形角度和定理，三个角度之和等于180度。那么我们可以设三个角分别为A、B、C，则有A+B+C=180。根据余弦定理，我们可以求得角A的余弦值： cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c) = (4^2 + 5^2 - 3^2) / (2 * 4 * 5) = (16 + 25 - 9) / 40 = 32 / 40 = 0.8 因此，角A的度数为：A = arccos(0.8) ≈ 36.87度。同理，我们可以求得角B和角C的度数： B = arccos((a^2 + c^2 - b^2) / (2 * a * c))

C = arccos((a^2 + b^2 - c^2) / (2 * a * b)) ≈ 90度综上所述，三角形ABC的三个内角的度数分别为A ≈ 36.87度，B ≈ 53.13度，C ≈ 90度。例题2：已知三角形ABC中，边长a=6cm，b=8cm，c=10cm。求解其三个内角的度数。解析：我们可以使用余弦定理来求解三角形ABC的角度。首先，根据余弦定理，我们可以求得角A的余弦值： cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c) = (8^2 + 10^2 - 6^2) / (2 * 8 * 10) = (64 + 100 - 36) / 160 = 128 / 160 = 0.8 因此，角A的度数为：A = arccos(0.8) ≈ 36.87度。同理，我们可以求得角B和角C的度数： B = arccos((a^2 + c^2 - b^2) / (2 * a * c))

解三角形经典例题

1正弦定理：在△ ABC 中，—卫 b C 2R sin A sin B sin C 注：①R 表示△ ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用 2、余弦定理：在△ ABC 中, 3、A ABC 的面积公式，S=^absinC 二丄bcsin A=1acsin B 2 2 2 二、题组训练： 1、在厶ABC 中, a=12，A=600 ，要使三角形有两解，则对应 b 的取值范围为 _______________ 2、判定下列三角形的形状在厶ABC 中，已知a =3,b =4,c —, 38，请判断厶ABC 的形状。在厶ABC 中，已知sin 2 A - sin 2B ::: sin 2 C ，请判断厶ABC 的形状 1 在厶ABC 中，已知cosA 二一,a 2 二be ，请判断厶ABC 的形状 2 在厶ABC 中，已知 b 2 sin 2 C - c 2 sin 2 B = 2bccosB cos C ，请判断厶 ABC 的形状。在厶 ABC 中, (si nA sinB si nC)(si nB sin C 〜s in A) =3si nBs inC,请判断△ ABC 的形状。 3、在厶 ABC 中，已知 a =5,b =4, A =30°，求△ ABC 的面积。知识点梳理: 解三角形 2 2 2 a b c -2bccosA 也可以写成第二种形式: 2 2 2 b a c -2accosB 2 2 2 c a b -2ab cosC b 2 +c 2 _a 2 cos A 二 2bc ，cos B 二 a 2 c 2 -b 2 ，cosC = a 2 b 2 -c 2 2ac 2ab

解三角形基础大题20道

解三角形基础大题20道一、解答题 1．在△ABC 中，3a cos B ＝b sin A ．（1）求∠B ；（2）若b ＝2，c ＝2a ，求△ABC 的面积． 2．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC =23. （1）求内角B 的大小; （2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值. 3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状． 4．ABC 中，角,,A B C 的对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos b C c B a A += （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值. 5．已知()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，1a =，S 是ABC 的面积， 22A f ⎛⎫ = ⎪⎝⎭，比较33b c +163 S 6．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，且满足：2cos cos cos b B C A ac c a =+. （1）求B ；

（2）若ABC 面积为23S =，外接圆直径为4，求ABC 的周长. 7．在ABC ∆中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-. （1）求角A ；（2）若7BC =，·20AB AC =，求||AB AC +. 8．如图，已知△ABC 中，AB ＝ 36 2 ，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°．（1）求AC 的长；（2）若CD ＝5，求AD 的长． 9．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知7a =2b =，60A =︒. （1）求sin B 的值；（2）求c 的值. 10．若ABC 2 ,1,6b c ==A ∠为锐角. (1) 求cos A 的值； (2) 求 sin 2sin A C 的值. 11．ABC 中，角A B C ,,的对边长分别为,,a b c ，满足 222sin sin sin 3sin sin B C A B C +-=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，3 B π = ，求ABC ∆的面积. 12．如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船D 监控河流南岸相距150米的A 、B 两处（A 在B 的正西侧）.监控中心C 在河流北岸，测得45ABC ︒∠=，75BAC ︒∠=，1206m AB =，监控过程中，保证监控船D 观测A 和监控中心C 的视角为120︒.A ，B ，C ，D 视为在同一个平面上，记ADC 的面积为S ，DAC ∠θ=.