解三角形典型例题综合讲解
解三角形典型例题综合讲解在解三角形的过程中，我们常常会遇到各种典型的例题。这些例题既有基本的求解三角形的方法，也有一些难度较高的解题思路。本文将综合讲解一些典型的解三角形例题，通过详细的分析与解答，帮助读者更好地理解和掌握解三角形的方法。
【例题一】求解一个已知锐角三角形ABC，已知∠A=30°，
AB=10cm，BC=8cm，求AC的长度。
解析：由已知条件可知，已知边和已知角的关系式中，我们可以利用正弦定理来解题。
根据正弦定理，我们可以得到
sinA/AB = sinB/BC = sinC/AC
代入已知条件，得到
sin30°/10 = sinB/8
通过计算，可以得到 sinB 的值为8*sin30° / 10 ≈ 0.6928
我们可以通过查表或计算器工具得知相应的角度为 sin^-1(0.6928) ≈ 43.10°
因为角B为锐角，所以∠B的度数为 43.10°
而∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-43.10° ≈ 106.90°
通过正弦定理可以得到 sinC/AC = sin30°/10
可以解得AC ≈ 10*sin106.90°/sin30° ≈ 18.67 cm
所以，AC的长度约为 18.67 cm。
【例题二】已知一个锐角三角形ABC，已知∠A=60°，AB=6cm，AC=8cm，求解∠B 和∠C 的度数。
解析：由已知条件可知，我们可以利用余弦定理来求解∠B 和∠C 的度数。
根据余弦定理，我们可以得到
c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC
代入已知条件，得到
8^2 = 6^2 + b^2 - 2*6*b*cos60°
通过计算，可以得到 b^2 - 6b + 12 ≈ 0
解这个一元二次方程，可以得到b ≈ 2 或b ≈ 4
因为 b 是边的长度，所以 b 的值为 4，且b ≠ 2
那么∠B 的度数为 cos^-1((6^2 + 4^2 - 8^2) / (2*6*4)) ≈ 75.96°
而∠C = 180°-∠A-∠B = 180°-60°-75.96° ≈ 44.04°
因此，∠B 的度数约为 75.96°，∠C 的度数约为 44.04°。
通过以上两个例题的讲解，我们了解了解三角形的解题思路以及常用的解三角形方法。在解题过程中，我们可以根据已知条件来运用正弦定理、余弦定理等知识点，根据题目的要求来灵活运用。
需要注意的是，解三角形的过程中，我们要严格按照已知条件来列方程，并根据具体情况选择合适的解法。在计算过程中，注意准确地使用计算工具，避免出现运算错误。同时，在结果的表达上，要保留适当的精度，并合理使用近似值，以保证最终计算结果的准确性。
综上所述，解三角形的典型例题需要我们熟练掌握相关的知识点，并能够理解题意，运用适当的解题方法和计算技巧。通过不断的练习和实践，我们可以提高解题能力，更好地应对各种解三角形问题。希望本文的讲解对读者有所帮助，提升解三角形的能力和水平。
解三角形题型总结
解三角形题型分类解析 类型一：正弦定理 1、计算问题： 例:L （2013*北京）在AABC 中，a=3< b二5, sinA」，则sinB二 _________ , 3 =^— 例2、已知△磁中，ZJ = 60°, u =则————二. sin A + sinB + sinC 例3、在锐角AABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB=Va?. 求角A的大小： 2、三角形形状问题 例3、在AABC中，已知“,b,c分別为角A, B, C的对边， 1）2 =沁_试确左AABC形状。 h cosB 2）若匕=竺色，试确左MBC形状。 b cos A ■ 4）在中，已知n2 tanB=/72taiM,试判断三角形的形状。 5）已知在AABC■中,bsinB = csinC,且sin2 A = sin2 i?+sin2 C,试判断三角形的形状。 例4、（2016年上海）已知AABC的三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径等于 类型二：余弦定理 I 1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在△遊中， 若a2+b2=c2,则角C是直角： 若a2+b2
2、求角或者边 例2、（2016年天津高考）在△磁中，若AB=Vn,BC二3, ZC = 120，则AO. 例3.在△川兀中，已知三边长d = 3, b = 4, C = V37 ,求三角形的最大内角. 例4、在△磁中,已知a=7, b=3, c=5,求最大的角和sinC 3、余弦公式直接应用 例5、：在AABC中，若a2=b2+c2+bc,求角凡 例6、：(2013重庆理20)在△磁中，内角儿B, Q的对边分别是a, 6, 6 且a~ + Zf + 5/2 ab—c. ⑴求G 例八设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为—b, c・若(u + b-c)(a + b + c) = ab , 则角c= 例8、(2016 年北京髙考)在AABC 中，a2+c2 =b2+>j2ac (1)求ZB的大小： (2)求>/2 cosA + cosC 的最大值. 类型三：正弦、余弦定理基本应用 例1.(2015高考广东，理11】设AABC的内角A.B.C的对边分别为a , b , c ,若"=J5, sin B = — > C =—,则b =・ 2 6 例2. «m=i,则万等于。 ac 例3・[2015髙考天津，理13】在AABC中，内角A.B.C所对的边分别为a.b.c ,已知 MBC的而积为3皿，b — c = 2.cosA =—丄，则。的值为. 4
解三角形经典例题及解答
知识回顾: 4、理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 a ksinA ， ________________ ， c ksinC ； （2）」 b J 等价于 ______________________ sin A sin B sin C (3) 正弦定理的基本作用为: 正弦、余弦定理 1、直角三角形中，角与边的等式关系：在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AG=b , AB=c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 -sin A ，- sin B ，又sinC 1 -，从而在直角三 c c c 角形ABC 中，-?- sin A b sin B c si nC 2、当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义, 有 CD=asinB bsinA ，则 一- b ，同理可得一 sin A sin B sin C b sin B 从而」- sin A b sin B c sin C 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 ____ 的比相等，即旦 sin A b sin B c sin C c b a c sin C sin B ' sin A sin C
① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsinA ； b sin B ② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如 sin A a sin B ； sinC . b (4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作 解三角形? 5、知识拓展 6、 勾股定理： ___________________________________ 7、 余弦定理：三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 _____________ ______________ 的两倍，即a 2 b 2 8、余弦定理的推论: cosC ____________________________ 。 9、在 ABC 中，若a 2 b 2 c 2,则 ______________________ ，反之成立; 典型例题: a b sin A sin B c si nC 2R ，其中2R 为外接圆直径. c 2 cosA cosB
解三角形经典例题及解答
正弦、余弦定理 知识回忆： 1、直角三角形中，角与边的等式关系：在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C == ． 2、当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B = ， 从而 sin sin a b A B = sin c C =． 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 4、理解定理 〔1〕正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； 〔2〕 sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B = ，sin a A =sin c C ． 〔3〕正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B = ；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． 〔4〕一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 5、知识拓展 sin sin a b A B =2sin c R C ==，其中2R 为外接圆直径. 6、勾股定理： 7、余弦定理：三角形中 平方等于 减去 的两倍，即=2 a ； =2b ；=2c 。 8、余弦定理的推论： =A cos ；=B cos ； =C cos 。 9、在，反之成立；则 中，若,222c b a ABC +<∆ ，反之成立； 则 中，若,222c b a ABC +=∆
全等三角形经典例题详解
【例题精选】： 例1：已知：如图，过?ABC的顶点A，作AF⊥AB且AF=AB，作AH⊥AC，使AH=AC，连结BH、CF，且BH与CF交于D点。 求证：（1）BH=CF（2）BH⊥CF 例2：已知，如图：BD、CE是?ABC的高，分别在高上取点P与Q，使BP=AC，CQ=AB。求证： AQ=AP 例4：已知：如图，AD∥BC，AE、BE分别平分∠DAB和∠CBA，DC过点E。求证：AB=AD+BC
例5：已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD 、CE ⊥AB 于E ，且 ∠B+∠D =180?。 求证：AE=AD+BE 例：已知：如图，在?ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 分别在AC 、AB 边上，∠EDF=90?。 求证：BF CE EF +> 例1分析：从图中可观察分析，若证BH=CF ，显然，若能证出?ABH ≌?AFC ，问题就能解决。从已知看，已经知道AF=AB ，AC=AH 。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，∠BAF 和∠HAC 都是直角。而图中的∠BAC 显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。 证明： （1）∵AF ⊥AB ，AH ⊥AC ∴∠BAF=∠HAC=90? ∴∠BAF +∠BAC=∠HAC +∠BAC ∴即∠F AC=∠BAH 在?ABH 和?AFC 中 ()()() AB AF BAH FAC AH AC =∠=∠=???? ???已知已证已知
∴?ABH ≌?AFC （边角边） ∴BH=FC （全等三角形对应边相等） （2）设AC 与BH 交于点P 在?APH 中 ∵∠HAP=90? ∴∠2+∠3=90?（直角三角形中两个锐角互余） ∵∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3=90? 在?PDC 中 ∵∠1+∠4=90? ∴∠HDC=90? ∴BH ⊥CF 例2分析：从要证的结论AQ=AP ，只有在?ABP 和?QCA 中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC 、CQ=AB ，也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出∠1=∠2？再分析已知条件，不难看出，既然BD 、CE 都是高，就有∠BDA=∠CEA=90?，这样就可看出∠1和∠2都是∠BAC 的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2，这样问题就可以迎刃而解了。 证明： ∵BD ⊥AC 于D CE ⊥AB 于E ∴∠BDA=∠CEA=90? ∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90? ∴∠1=∠2 在?ABP 和?PCA 中 ()()() AB CQ BP AC =∠=∠=???? ???已知已证已知12 ∴?ABP ≌?QCA （边角边） ∴AQ=AP （全等三角形对应边相等） 例3分析：从要证明的结论AE=EB 看，我们不难看出，应当在?ADE 和?BCE 中去寻找答案，而要证明?ADE ≌?BCE ，比较明显的有一组对顶角相等，即∠AED=∠BEC ，另外可以通过等式性质得到，OA －OD=OB －OC ，即AD=BC ，那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论AE=BE 上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出∠A=∠B （或∠ADE=∠BCE ），∠A=∠B 除了是?ADE 和?BCE 的对应角外，它们还是?AOC 和?BOD 的对应角，只要?AOC ≌?BOD ，那么就可以推出∠A=∠B ，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下?AOC 和?BOD 全等条件够吗？ 证明： 在?AOC 和?BOD 中
解三角形典型例题综合讲解
解三角形典型例题综合讲解在解三角形的过程中，我们常常会遇到各种典型的例题。这些例题既有基本的求解三角形的方法，也有一些难度较高的解题思路。本文将综合讲解一些典型的解三角形例题，通过详细的分析与解答，帮助读者更好地理解和掌握解三角形的方法。 【例题一】求解一个已知锐角三角形ABC，已知∠A=30°， AB=10cm，BC=8cm，求AC的长度。 解析：由已知条件可知，已知边和已知角的关系式中，我们可以利用正弦定理来解题。 根据正弦定理，我们可以得到 sinA/AB = sinB/BC = sinC/AC 代入已知条件，得到 sin30°/10 = sinB/8 通过计算，可以得到 sinB 的值为8*sin30° / 10 ≈ 0.6928 我们可以通过查表或计算器工具得知相应的角度为 sin^-1(0.6928) ≈ 43.10° 因为角B为锐角，所以∠B的度数为 43.10° 而∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-43.10° ≈ 106.90° 通过正弦定理可以得到 sinC/AC = sin30°/10
可以解得AC ≈ 10*sin106.90°/sin30° ≈ 18.67 cm 所以，AC的长度约为 18.67 cm。 【例题二】已知一个锐角三角形ABC，已知∠A=60°，AB=6cm，AC=8cm，求解∠B 和∠C 的度数。 解析：由已知条件可知，我们可以利用余弦定理来求解∠B 和∠C 的度数。 根据余弦定理，我们可以得到 c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC 代入已知条件，得到 8^2 = 6^2 + b^2 - 2*6*b*cos60° 通过计算，可以得到 b^2 - 6b + 12 ≈ 0 解这个一元二次方程，可以得到b ≈ 2 或b ≈ 4 因为 b 是边的长度，所以 b 的值为 4，且b ≠ 2 那么∠B 的度数为 cos^-1((6^2 + 4^2 - 8^2) / (2*6*4)) ≈ 75.96° 而∠C = 180°-∠A-∠B = 180°-60°-75.96° ≈ 44.04° 因此，∠B 的度数约为 75.96°，∠C 的度数约为 44.04°。 通过以上两个例题的讲解，我们了解了解三角形的解题思路以及常用的解三角形方法。在解题过程中，我们可以根据已知条件来运用正弦定理、余弦定理等知识点，根据题目的要求来灵活运用。
《解三角形》题型归纳
《解三角形》题型归纳【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例 1 ∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin( A +C) = 8sin2B ． 2 (1)求cos B (2)若a +c = 6 ，∆ABC 面积为2，求b ． 【答案】（1）cos B =15 （2）b = 2 ．17 【解析】由题设及A +B +C =π得sin B = 8sin2B ，故sin B = 4(1- cos B) ．2 上式两边平方，整理得17 cos2B - 32 cos B +15 = 0 ，解得cos B = 1 （舍去），cos B = 15 17 . （2）由cos B =15 得sin B = 8 ，故S = 1 ac sin B = 4 ac ． 又S ∆ABC 17 17 = 2 ，则ac = 17 ． 2 ∆ABC 2 17 由余弦定理及a +c = 6 得b2 =a2 +c2 - 2ac cos B = (a +c)2 - 2ac(1+ cos B) = 36 - 2⨯17 ⨯ (1+ 15 ) = 4 ．2 17 所以b = 2 ． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2 △ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c ,若2b cos B =a cos C+c cos A ,则B =. π 【答案】 3 【解析】2 s in B cos B = sin A cos C + sin C cos A = sin( A +C) = sin B ⇒ cos B =1 ⇒B = π . 2 3
解三角形知识点总结及典型例题
课前复习 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1两角和与差的正弦公式, sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 2两角和与差的余弦公式, cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcos+sinαsinβ 3两角和、差的正切公式 tan(α+β)= ,tan tan 1tan tan β αβ α-+ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+） ； tan(α-β)= .tan tan 1tan tan β αβ α+-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 简单的三角恒等变换 二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2 222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ⇒升幂公式2 sin 2cos 1,2 cos 2cos 12 2 α αα α=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+= ，2 1cos 2sin 2 αα-= ⑶22tan tan 21tan α αα = -
解三角形知识点总结及典型例题 一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = ==（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）sin sin sin (4) ,,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边 （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况: 如果B A sin sin ≥，则B 有唯一解；如果1sin sin <B ，则B 无解. 3、余弦定理及其推论 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-= +-= 4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式 （1）高底⨯⨯=∆21 ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21===∆（两边夹一角）. 6、三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）. （3）在△ABC 中，π=++C B A ，所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+. 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+.
三角形经典题50道附答案
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠ 2 A D B C
证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG B A C D F 2 1 E
解三角形三类经典题型
解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ= 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B= 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A - 120)=3,整理得 sin(A+ 30)=1 ∴A+ 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+⋅ -+⋅ ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得
《解三角形》常见题型详解
《解三角形》常见题型总结 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知 C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒ ∴ （150°-A ）. ∴ ° ·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 综合①②可得a+b 的取值范围为 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得：
专题解三角形大题(含答案)
专题解三角形大题(含答案) 靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。今天，你，做数学题了吗？ 1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC 的面积。根据正弦定理和余弦定理，可以得到 sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4. 2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2， 求角C的度数和△ABC面积的最大值。同样利用正弦定理和 余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3. 3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是 钝角三角形，求其面积。根据余弦定理，可以得到 cosC=(a2+b2-c2)/2ab。代入已知条件，解得sinC=√3/2，若 △ABC是钝角三角形，面积为0.
4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C 和如果c=2，求△ABC面积的最大值。根据余弦定理，可以 得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。代入已知条件，解得C=π/3， S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得 S△ABC=√3. 5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以 解得S△ACD=8√3和AB=2√7. 6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。代入正弦定理和已知条件，解得 sinB=1/2，周长为3c。 1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。从而，当且仅当$a=b=2$时取等号。所以$\triangle ABC$面积的 最大值为$3$。
解三角形的必备知识和典型例题及详解
解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）∆S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换
解三角形知识点汇总和典型例题
解三角形的必备知识和典型例题 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 〔1〕三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。〔勾股定理〕 〔2〕锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； 〔3〕边角之间的关系：〔锐角三角函数定义〕：sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 〔1〕三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 〔2〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===〔R 为外接圆半径〕 〔3〕余弦定理：三角形任何一边的平方等于另两边平方的和减去其与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： 〔1〕∆S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c 〔h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高〕； 〔2〕∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1ac sin B =R abc 4=2R 2sinAsinBsinC 4．解三角形：由三角形的六个元素〔即三条边和三个内角〕中的三个元素〔其中至少有一个是边〕求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： 〔1〕两类正弦定理解三角形的问题： 第1、两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、两角和其中一边的对角，求其他边角. 〔2〕两类余弦定理解三角形的问题： 第1、三边求三角. 第2、两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 〔1〕角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；
全等三角形经典题型50题带问题详解
全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF 全等于三角形DCB ， 所以:∠C=∠F C D B D C B A F E A B A C D F 2 1 E 2021年中考数学第三轮：三角形的综合解答题专题复习 1、已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：2CD2=AD2+DB2． 2、如图，在△ABC中，BC＞AC，点E在BC上，CE=CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB+∠ADE=180°，作CH⊥AB，垂足为H． （1）如图a，当∠ACB=90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F． ①求证：FA=DE； ②请猜想三条线段DE，AD，CH之间的数量关系，直接写出结论； （2）如图b，当∠ACB=120°时，三条线段DE，AD，CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论． 3、如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N． （1）求证：AD=AF； （2）求证：BD=EF； （3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由． 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F． （1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC； （2）若∠DAF=∠DBA， ①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由； ②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF． 5、如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50° ①求证：AD=BE； ②求∠AEB的度数． （2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN． 6、在△ABC中，P为边AB上一点． (1) 如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB； (2) 若M为CP的中点，AC＝2， ①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长； ②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长． 7、小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一段P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小． 解三角形的综合运用一．基本应用 1 △ABC 中，角 A ， B ，C所对的边分别为 a ，b， c ，设 A， sin B 3sin C ． 【例】在 3（Ⅰ）若 a7 ，求b的值； （Ⅱ）求 tanC 的值． 【练习】 1-1 在△ ABC 中，内角A，B， C 所对的边分别为a， b， c．已知b c2a cosB ．（Ⅰ）证明： A=2B； （Ⅱ）若cos B= 2 ，求 cos C 的值． 3 . 1-2 设的内角的对边分别为. （I）证明：； （II）若，且为钝角，求. 二．面积问题 【例 2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c. 已知b2c2a2bc.（Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）如果 cos B 6 2，求△ABC的面积. ， b 3 【练习】 2-1 在△ABC中，b 2 ， cosC 3 ，△ ABC 的面积为7 ．44 （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求 sin 2A 值． 2-2在ABC 中，内角A, B, C的对边分别为a,b,c ，且3cos cosA1B 3sin sin cos2A B C． （Ⅰ）求 C ； （Ⅱ）若ABC 的面积为 5 3， b 5 ，求 sin A ． 2-3 在三角形ABC 中，2sin 2 A cos A sin 3A 3 cos A3 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）已知a, b, c分别是内角A, B,C 的对边，若 a 1 且 sin A sin B C2sin 2C ，求三角形ABC 的面积. 2-4 在ABC 中， a、 b、 c 分别是角 A、B、C 所对的边，且满足a3b cosC . tan C （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若 a 3, tan A 3 ，求ABC 的面积. 解三角形 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．已知A 是三角形ABC 的内角，则“ A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边，设向量 (,),m b c c a =--(,)n b c a =+，若m n ⊥，则角A 的大小为（ ） A ． 6π B ．2π C ．3π D ．23π 3．设a,b,c 为三角形ABC 三边，且,,1c b a <≠若 log log 2log log c b c b c b c b a a a a +-+-+=，则三角形ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 4．在ABC ∆中，B c C A a B A cos )cos(2)cos(b =+-+,则=B A ．6π B ．3π C ．2π D ．3 2π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c.若C ＝120°，c a ，则( ) A ．a>b B ．a0)，A ＝ 45°，则满足此条件的三角形个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个 7．在△ABC 中，AB AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 2 B. 4 C. 2 D. 2或4 8．在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶（a+1）∶2a ，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞2 B ．a C ．a ＞0 D ．a ＞12021年中考数学第三轮：三角形的综合 解答题专题复习(含答案)
解三角形的综合运用
解三角形典型例题综合讲解