河口小学数学竞赛讲义
数学竞赛讲义
一、填空题：
1 计算：11
2
3 4+23+33+……+243= __________________
2、甲、乙、丙三人去看同一部电影，如果用甲带的钱买三张电影票，还差39元；如果用乙带
钱去买三张电影票，还差50元；如果用甲、乙、丙三人带去的钱买三张电影票就多26元, 已知丙带了25元，请问，一张电影票 ________________ 元。
3、已知在乘积1 x2X3……x n的尾部恰好有106个连续的零，自然数n的最大值是
4、黑暗中有红黄黑白4种颜色的筷子分别有1只，3只，5只和7只混合在一起，要保证得到两双颜色不同的筷子，一次应至少摸出_______________。
5、有6个人都是4月11日出生的，并且都属猴，某一年他们岁数的连乘积是17597125,这一年他们的岁数之和是_________ 岁。
6、牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河都有一半的羊掉入河里，每次他们捞上3只，最后清查还剩6只，这群羊在过河前共有________ 只。
贝U abcdefghij = ________ 。
9、一个水池有一根进水管不间断的进水，另有若干根不同的抽水管，若用24根抽水管抽水，6小时即可把池中的水抽完；若用21根抽水管抽水，8小时可将池中的水抽完，若用16根抽水
管，_____________ 小时可将池中的水抽完。
3 4 7 9
10、小花在计算-,-,-,一，这四个分数的平均数时，不小心把其中一个分数的分子，分
4 5 9 11
母颠倒了，这样她所计算出来的平均值与正确的平均值的差最大是___________ 。
11、_________________________________________________ 计算：0.01+0.12 + 0.23
+ ……+0.78+0.89 = ________________________________________
7、762001+252001的未两位数字是__________ .
8十位数abcdefghij，其中不同的字母表示不同的数字，a是1的倍数，两位数ab是2的倍数，三位数abc是3的倍数，四位数abcd是4的倍数 .......... ，十位数abcdefghij是10的倍数，
12、甲乙两数都只含有质因数3和5,它们的最大公约数是45,已知甲数有12个约数，乙
数有10个约数。那么甲乙两数的和是____________ 。
13、从1到400的自然数中，不含数字5的自然数有 ________ 个
二、简答题：
1、用一个三位数除以它的数字和时，可能得到的最大余数是多少?
2、要把含盐20%的盐水34千克变成含盐25%的盐水，需加盐多少千克?
3、请在下面式子里的□中填入1,2,3,……九个数字，数字不能重复使用，，使得这个式子
+
的值等于非0自然数，则它的最大值是多少？
4、袋子里红球与白球数量之比是19:13。放入若干只红球后，红球与白球的数量之比是
5:3;再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:14/。已知放入的红球比白球少80 只, 那么原来袋子里共有多少只球？
5、甲乙两地相距60千米，小王骑车以每小时10千米的速度在上午8点钟从甲地出发到乙地。过一会儿，小李骑车以每小时15千米的速度从甲地去乙地。小李在途中M地追上小王，通知小王立即返回甲地。小李继续骑车去乙地，各自分别到达甲乙两地后都马上返回，两人再次见面时，恰好还在M点。问小李是什么时候出发的？
6、某养鸡场有三间饲养棚，第一件养鸡261只，第二件养鸡的只数占鸡场养鸡总数的 -
5
立身以立学为先，立学以读书为本
第三间养鸡只数的7倍恰好是鸡场养鸡的总数的整数倍，问鸡场共有多少只鸡？
三、详答题：
1、一船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆行水甲港，共用了8小时，已知顺水每小时比逆水多行20千米，又知前4小时多行60千米，那么，甲乙两港相距多少千米？
2、__________________________ 某个七位数1993 亡够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除，那么它的最后的三位数是
多少？
3、在运动会上，小赵、小李、小刘各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。王老师猜测：“小赵得金牌；小李不得金牌；小刘不得铜牌。”结果老师只猜对一个人，冋小赵、小李、小刘各得什么牌?
AB+AC+CD=14，问四边形ABCD面积最大值是多
5、AB两景点相距10千米，一艘观光游船从A景点后立即返回，共用了3小时，已知第一小时比第三小时多行8千米，那么水速为每小时多少千米？
一、填空题1（每题8分，共40分）
1、
0.8+9.8+99.8+999.8+9999.8+99999.8二__________________
2、3.75与1.25的和除它们的差，商是 _____________ 。
3、一根绳子一半一半地剪去，剪了3次，还剩2.5米，这根绳子原来有___________ 米。
4、一个平行四边形的底是12米，它的两条高分别是10米，14米，这个平行四边形的面积
是_____________ 平方米。
5、小马虎在计算两个小数的乘积时，忘了在乘积中点上小数点，结果比正确答案大了
310.86，正确的答案是___________ 。
二、填空题H （每题10分，共50分）
&右图中有 _________ 个三角形，________ 个平行四边形， __________ 个梯形。
7、用1、3、5、7四张数字卡片可以组成24个不同的四位数，它们的平均数是___________ 。
8、今年某地举行一位名人的一百多年诞辰纪念。这位名人的诞生年代是四位数，其中有两
个相邻的数相同，这四个数字的和是24。这位名人诞生于___________ 年。
9、11个数排成一列，相邻两个数中左面的一个都比右面的一个小，而且它们的差相等。已
知第1个数和第11个数的和是80,第6个数是_____________ 。
10、下面算式中，每个字代表一个数字，不同的字代表不同的数字。求“走” + “进” + “美”
+ “妙” + “数” + “学” + “花” + “园” + “好”= ___
走进美妙
+数学花园
好好好好
三、填空题皿（每题12分，共60分）
11、乒乓球从高空落下，到达地面后弹起的高度约为落下高度的0.4倍，若乒乓球从25米
高处落下，那么弹起后再落下，弹_________ 次时它的弹起高度不足0.5米。
12、弹簧测力计可以用来称物体质量，悬挂不同质量的物体，弹簧伸长的长度也不同，观察下表，当物体重0.5千克时，弹簧伸长___________ 厘米。如果弹簧伸长 6.3厘米，物体重千克。
物体质量（千克） 1 2 3
弹簧伸长的长度（厘米）
3
6
9
13、 用2张10元和3张50元，一共可以组成 ________ 种不同的钱数。 14、
一根绳子，对折4次后，在三个四等分点上各剪一刀将绳子剪成了若干段小绳子，这
些小绳子有两种长度，其中，较长的有 _______ 条，较短的有 ___________ 条。
15、
20XX 年是虎年，请把1,3,5,…，21这11个奇数不重复地填入虎额上的“王”字中, 使
三行、一列的和都等于35。
填空题。（60%
1
1 1 1 1
1
1 1
X + X X
=
2
33 3 33 6
33
33
2 4
2
2 1 2 9
2(
X - + X
——
5.8 X
—— X 2
X
9
5
9
9
5
20
1
4、一本书有112页，小明从第一页看起，第一天看了它的 7，第二天比第一天少看12.5%，第 三天应从第 _________ 页看起。
5、 小华因有事看电影迟到了，所以只看了整场电影的 90%。这场电影需放映1小时40分钟。 在3点10分结束。王华是 _______ 时 _______ 分进电影院的。
6、 某人在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒钟跑 5米，后一半时间每秒 钟跑4米，则他后一半路程跑了 _________ 秒钟。
5 1
1 7、 一件工程，甲、乙合作 6天能完成5。单独做，甲完成3
与乙完成-所需的时间相等。那
6
3
2 么，甲单独做需 _________ 天，乙单独做需要 _________ 天。
1
8正方形和长方形的周长都是 36厘米，长方形的宽是长的-，这个长方形的面积是正方形面
5
积的 __________ 。
9、两地相距81千米，甲、乙两人同时从两地骑车相向而行，甲每小时行 9.4千米，4.5小时
后两人相遇。甲每小时行的速度比乙快 ___________ %。
3、中心小学六年级女生人数的 -
4
人。
,已知男生比女生多 10人,男生有
10、解答题。（60% 厂、1、已知长方形的宽为4厘米，那么阴影部分的面积是多少?
2、妈妈拿来半瓶牛奶和一瓶水(瓶子大小相同)。她先把水瓶中的水倒满奶瓶，调匀；再把奶
瓶里调匀的奶和水倒满水瓶调匀后，用它去做菜。那么，在这个瓶中，水是牛奶的百分之几？
4、某厂第一车间工人比第二车间多1/2,如果从第一车间调18个工人到第二车间，那么第一车间人
数比第二车间人数多1/4。求各车间原有工人数。
5、甲、乙两个运输队要向地震灾区运输一批救灾物资，甲队每天能运送64.4吨，比乙队每天多运75%;如果甲、乙两队同时运送，当甲队运了全部救灾物资的二分之一时，就比乙队多运了
138吨。这批救灾物资一共有多少吨？
11 •有甲、乙、丙三个书架，共有图书450本，如果从甲架拿出60本放入乙架，再从乙架拿出
120本放入丙架，最后再从丙架拿出50本放入甲架，则三个书架图书本数一样多。原来三个书架各有图书多少本？
12.某人领得奖金240元，有2元、5元、10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多，那么2元、5元、10元各有多少张？
)爸爸和爷爷1994年的年龄加在一起是127岁，十年前爷爷比爸爸大37岁，爷爷是()年出生的。
(4)有一个停车场上，现有24辆车，其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86 个轮子。其中摩托车有()辆。
(5)参加少年宫科技小组的同学，今年比去年的3倍少35人，去年比今年少41人，今年参
加科技小组的同学有()人。
一个植树小组植树，如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组有()人，一共要栽()棵树。
某招待所开会，每个房间住3人，则36人没床位；每个房间住4人，贝U还有13人没床位，如果每个房间住5人，那么情况又怎么样？
4 .小明读一本书，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第
五天读的页数比这五天中平均读的页数要多 3.2页。小明第五天读了多少页?
5 •在桥上测量桥高，把绳子对折后垂到水面时绳子还剩下8米；把绳子三折后，垂到水面
时绳子还剩下2米，求桥高和绳长各是多少米。
6. 44名学生去划船，一共乘坐10只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。大船和小船各有多少只？
7. 实验小学四年级举行数学竞赛，一共出了10道题，答对一题得10分，答错一题倒扣5 分。张华把10道题全部做完，结果得了70分。他答对了几道题？
8 .买4支铅笔和5块橡皮，共付6元；买同样的6支铅笔和2块橡皮，共付4.60元。每支铅笔和每块橡皮各多少钱？
师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，因事外出，由徒弟来接着做3天，共完成任务的7/10。如果每人单独做这批零件各需几天？
一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？
商店采购了一批玻璃鱼缸，共用去630元。运输途中损坏了3只鱼缸，为了不亏本，每只鱼缸的价钱增加1元。原来每只鱼缸售价是多少元？
12、两袋什锦糖，甲袋由8千克奶糖和12千克水果糖混合而成，袋由15千克奶糖和5千克水果糖混合而成。如果要使混合成21千克的什锦糖中，奶糖与水果糖各占一半，需从甲、两袋里分别取出多少千克什锦糖？
某人从甲地到乙地，先骑车走完全程的一半，每一小时行12千米；剩下的路程步行，每小
时行4千米。求他走完全程的平均速度。
&一个三位数，它的各位数字之和是15,百位上的数字比个位上的数字小5。如果把个位
与百位上的数字对调，得到的数比原数的3倍少39。原来的三位数是多少?
17.某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有报名
参加运动会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同•
一辆汽车把货物从城市运往山区，往返共用了20小时，去时所用时间是回来的1.5倍，去
时每小时比回来时慢12公里.这辆汽车往返共行驶了________ 公里.
一、填空。（第5题得4分，其余各得3分，共37分）
1、在下面（）里填上适当的分数。
5drn=（）m 2125cmn=（）dm2
1时=（）分2500mL=（儿
2、一根绳子长5米，平均分成7段，每段长（）米，每段占全长的（），
3段占全长的（）。
3、某数的小数点向右移一位，贝U小数值比原来大25.65，原数是（
）。
4、设A=201201201…201,则被7除的余数是（）。
2001 '个201 '
5、一个生产小组要加工一批零件，原计划15天完成任务，实际每天比原来多做50个，结果比计划提前3天完成任务。实际每天完成（）个。
6、小军坐在教室的第3列第4行，用（3，4）表示，小红坐在第1列第6行，用（，）来表示，用（5，2）表示的同学坐在第（）列第（）行。
7、小红的邮票的丄是4张，小红有邮票（）张，小明的邮票的-也是4张，小明有邮票
3 5
（）张。
&□ 53是3的倍数，□中最大的数是（），54□是2, 3, 5的倍数，□中填（）。
9、用天平找24盒牛奶的哪一盒少了时，能保证找到这盒，需要称的次数最少是（）次。
10、一个正方体的表面积是96平方米，这个正方体的体积是（）立方米。
11、一个分数的分子、分母之和是80,约分后为9。这个分数是（）。
12、在1〜200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有（）个。
二、简便计算：（每题4分，共20分）
333
7.68-3.56 + 2.32 —5.44 2012 X
2222X 17+3333X 4 + 6666X 9 四、操作与求积（每题5分，共10分）。
1、先写出三角形ABC 各个顶点的位置，再画出三角形ABC 向下平移4个单位后的图形厶A'B'C', 然后写出所得图形顶点的位置。
匚（
\
/
A (
3i 6)
0 12 3 4 5 6 7 8
A （
, ） B '（ ， ） C '（， ）
2、
如右图，在直角梯形 ABCD 中, AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分面积为15平方厘米, 梯
形ABCD5积为多少平方厘米？
2 2
1、一块山地，用总面积的 5种桃树，7种梨树，其余的种苹果树。种苹果树的面积占总面积
12.5 X 32 X 0.25 — 8.88 X 1.25
五、应用题：（每题7分,
第6题得8分，共43 分）
的几分之几?
2、在绿化祖国采集树种的活动中，某校四年级5个班级，每班采集树种20千克，五年级3个
班共采集60千克，平均每班采集树种多少千克？
3、体育室里的足球个数是排球的3倍，体育活动课上，每班借6个足球，5个排球，排球借完时，还有足球72个，体育室里原有足球和排球共多少个？（列方程解题）
4、参加美术小组同学，每个人分得相同支数的色笔，如果小组有10人，色笔多余25支；如果小组有12人，色笔多余5支；求每人分得多少支？共有色笔多少支？
6、甲、乙两辆车同时从A B两地相向而行，第一次相遇在离A地40米的地方，两车仍以原来的速度前进，各自到达终点后立即返回，在途中第二次相遇，这时，相遇点距A地20千米，那么第一次相遇时离B地多少千米？
一、判断（10分）
⑴任意10个连续自然数的和一定是偶数（）。
⑵把4幅画钉在墙上，如果允许把几个角重叠在一起，所需图钉最少是7个（）。
⑶左图中圆的面积与长方形的面积相等，长方形的长是12厘米，圆的周长是24厘米。
（）
⑷张阿姨的服装店卖给一顾客两套服装，结果一套赚了20%另一套赔了20%两套衣服都卖了
120元。小刚说张阿姨这笔生意正好不赔不赚。（）
⑸20XX年江苏高考的科目有语文、数学、英语、物理、化学、生物、历史、地理、政治。其
中语文、数学、英语三科必考，其余六科中只要选考两科，小强的哥哥参加高考，他共有15种不同的选择。（）
二、填空（36分）
⑴在数3.14，3.14%, 3.14，3.14，n，22/7中，最大数是（），最小数是（）。
⑵一个长方体模型，棱长之和是72分米，长、宽、高的比是4:3:2，这个模型的体积是（）立方分米。
从甲地开往乙地，每小时行25千米，15小时到达。返回时速度提高了20%返回时用了（）小时
⑸钟面上6:10，时针与分针的最小夹角是（）度。
⑹甲数除乙数的商是1.2，乙数是甲数的（）％，甲数是乙数的（一）。
⑺用20以内的四个合数组成一个比例，且比值都等于2/3，比例式是（）。
⑻算“ 24点”如果4张扑克牌，是“ 1”“ 4”“ 5”“ 6”，算式是（）
⑼两个数相除的商是21，余数是3,如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225、被除数是（），除数是（）。
⑽某车间三个组共有工人161名，已知第一组和第二组人数的比是4:3，第二组与第三组人数的比是2:3，第一组有（）人，第二组有（）人，第三组有（）人
（11）一本书30面，其中一面的页码看不清，剩下的页码之和是450，看不清的页码是第（）
张。
（12）如右图，一个直角三角形的周长是60厘米，三条边长度的比3:4:5阴影部分的面积是（）平方厘米。
四、应用题（38分前3题每题8分，后2题每题7分）
⑵正方形的一组对边，一条边增加16厘米，另一条边减少8厘米，变成一个梯形，下底的长度是上底的3倍，求梯形的面积？
⑶希望小学要买60个足球，现在有甲、乙、丙三个商店可选择。三个商店足球的价格都是25元，但各个商店的优惠办法不同？
甲店：满十送二，即买10个足球赠送2个，不足10个不赠送。
乙店：每个足球降价20%B售。
丙店：购物满200元，返还现金30元。
到这三个商店买足球分别需要多少钱？为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买？
⑷用细铁丝把若干个小球串起来。做成一个正方体框架，每个顶点上有一个小球，如下图每条棱上小
⑸快、中、慢三车同时从 A 地出发，追赶一辆正在均速行驶的自行车，三车的速度分别是每小 &海关大楼共有十二层，李苹的爸爸在十楼办公，有一天，李苹去找爸爸，她用 40秒从一楼 走到五楼，照此速度，她至少还要再走（
）秒才能到达她爸爸办公室。
9、 小巍带着一条猎犬骑车离家到 26千米远的招宝山郊游，他骑车速度是每小时 18千米，猎犬 奔跑速度是骑车速度的2倍。当猎犬跑到招宝山脚下后，如小巍还未到，则马上返回迎着小巍 跑去，遇到小巍后再跑向招宝山，……这样来回跑一直到小巍到招宝山为止。这时，这只猎犬 一共跑了（）千米路。 10、
黑板上写着1, 2, 3、……99，100共100个数，每次任意擦去2个数，再写上这两个数
的和减1,经过若干次后，黑板上只剩下1个数，这个数是（
）。
三、选择题。（把正确答案的序号填入括号内）10分 1、由 0.87 到 0.087 是（
）。
A 缩小10倍
B 扩大10倍
C 缩小100倍 2、将小数50.040化简后是（
）。
A 50.4
B 5.4
C 50.04
3、 一个合数至少有（）个因数
A 1
B 2
C 3
4、 下面说法错误的是（）o
时24千米、20千米，19千米。快车追上自行车用 追上自行车用多少小时？ 二、填空。
1、 比0.5大而又比0.7小的一位小数有（ 数有（
）个。
2、 三个连续偶数的和是42,这三个偶数分别是（
3、 两个质数和为18，积是65，这两个质数是（
4、
质数a 有（ ）和
（ ）两个因数。 5、
最小的质数和最小的合数的积是（
）。
6、 如果a 是偶数，那么与它相邻的两个数是（
6小时，中车追上自行车用了 10小时，慢车 ）个；比0.25大而又比0.26小的小
）、（）和（）。 ）和（
）。
）和（ ）。
），2.97改写成千分之一作单位的小数是
A 一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的
B正方形边长是质数，它的面积一定是合数。
C个位上是3、6、9的数都是3的倍数。
5、下面说法正确的是（）。
A两个奇数的和一定是2的倍数。
B所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。
C 一个数的因数一定比这个数的倍数小。
6、下面是奇数又同时是3、5的倍数的数是（）。
A 95
B 90
C 75
7、已知a、b、c是三个不同的非零自然数，且a = b x c ,那么下面说法错误的是（）
A a 一定是b的倍数
B a 一定是合数
C a 一定是偶数
8甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的（）
A倍数B 因数C 无法确定
9、如果用a表示非零自然数，那么偶数可以表示为（）。
A a+2
B 2a
C a-1
D 2a-1
10、相邻两个自然数的积一定是（）。
A质数B合数C奇数D偶数
四、递等式计算（能简算的要简算）。24%
(4) 1.56 X 72+2.8 X 15.6
(3) 6.56+13.8+3.44+5.2
(6) 76X 98+ 76X 3—76
(5) 9.9 X 99 + 9.9
（1）625—（25- 30）+ 370 （2）57.85- （7.85+6.4 ）
小学数学奥数讲义完整版
第一讲观察法 在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。 观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。 观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。 *例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学 第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。 解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。 从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。
从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。 从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。 从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。 又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。 图1-5是填完数字后的幻方。 例2看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度） 6、16、26、____、____、____、____。 9、18、27、____、____、____、____。 80、73、66、____、____、____、____。 解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。 观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。 观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。 这样可得到本题的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。 9、18、27、36、45、54、63。
【精选】小学六年级数学竞赛奥数讲义例题
一、拓展提优试题 1．如图，已知AB＝2，BG＝3，GE＝4，DE＝5，△BCG和△EFG的面积和是24，△AGF和△CDG的面积和是51．那么，△ABC和△DEF的面积和 是． 2．（15分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方法如下： 那么，将二进制数 11111011111 转化为十进制数，是多少？ 3．若质数a，b满足5a+b＝2027，则a+b＝． 4．若A：B＝1：4，C：A＝2：3，则A：B：C用最简整数比表示是． 5．如图，设定E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，线段CE，BF交于点D，若△CDF，△BCD，△BDE的面积分别为3，7，7，则四边形AEDF的面积是． 6．如图，六边形ABCDEF的周长是16厘米，六个角都是120°，若AB＝BC ＝CD＝3厘米，则EF＝厘米．
7．根据图中的信息计算：鸡大婶和鸡大叔买的花束中，玫瑰、康乃馨、百合各 多少枝？ 8．已知三个分数的和是，并且它们的分母相同，分子的比是2：3：4．那么，这三个分数中最大的是． 9．如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是cm2．（π取3.14） 10．如图，圆P的直径OA是圆O的半径，OA⊥BC，OA＝10，则阴影部分的 面积是．（π取3） 11．已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是．12．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．甲、乙的速度比是5：3．两人相遇后继续行进，甲到达B地，乙到达A地后都立即沿原路返回．若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点50千米，则A、B两地相距 千米．
四年级下册数学讲义-竞赛专题：第三讲-加乘原理(一)(含答案解析)全国通用
历届杯赛考试中，对计数问题的考察是必不可少的。这部分的题目有一定的方法，目的是考察大家对各类问题的方法的应用能力。 要做好这些题目，就需要同学们掌握计数问题的各类方法，枚举法是一种很重要的数学思考方法，是大家必须掌握的一种计数方法。加乘原理的方法也是解决计数问题的常用方法，帮助我们提高解决问题的准确率。 名师点题 加乘原理（一） 知识概述 1. 计数问题类型： ① 图形计数：线段、三角形、长方形、正方形计数； ② 应用题类型的计数问题。 2. 解决计数问题常用的方法： ① 分类计数（加法原理）：如果完成一件工作有几类不关联的方式，在每一类方式中又各有几种不同的方法，使用其中任何一种方法都能独立完成这件工作的不同方法总数，就是完成这件工作的各类方法的总数之和； ② 分步计数（乘法原理）：如果完成一件工作有几个相关的步骤，要依次完成这几个步骤，这件工作才能完成，而每一个步骤各有几种不同的方法去完成，那么，完成这件工作的方法总数，就是完成这件工作的各个步骤的方法种数之积。
1，2，3，…，299，300，这300个自然数中，完全不含有3的自然数共有_____个。 【解析】可以先计算出来含有3的自然数的个数，然后用300减去含有3的自然数的个数，就可以得到完全不含有3的自然数的个数。 1-99中，含有数字3的数有：9+10=19（个） 100-199中，含有数字3的数有19个 200-300中，含有数字3的数有19+1=20（个） 含有3的自然数的个数是19+19+20=58（个） 完全不含有3的自然数共有：300-58=242（个） 从A点沿直线走最短的路径到B点，共有多少种不同的走法？ 【解析】标数法解图表类题型 从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？ 【解析】用A1，A2表示从甲地到乙地的2条路，用B1，B2，B3表示从乙地到丙地的3条路，用C1，C2表示从丙地到丁地的2条路（见下页图）。 从甲到丁是分三步走的：第一步甲到乙有2种方法，第二步乙到丙有3种方法，第3步丙到丁有2种方法。 例3 例2 例1
河口小学数学竞赛讲义
数学竞赛讲义 一、填空题： 1 计算：11 2 3 4+23+33+……+243= __________________ 2、甲、乙、丙三人去看同一部电影，如果用甲带的钱买三张电影票，还差39元；如果用乙带 钱去买三张电影票，还差50元；如果用甲、乙、丙三人带去的钱买三张电影票就多26元, 已知丙带了25元，请问，一张电影票 ________________ 元。 3、已知在乘积1 x2X3……x n的尾部恰好有106个连续的零，自然数n的最大值是 4、黑暗中有红黄黑白4种颜色的筷子分别有1只，3只，5只和7只混合在一起，要保证得到两双颜色不同的筷子，一次应至少摸出_______________。 5、有6个人都是4月11日出生的，并且都属猴，某一年他们岁数的连乘积是17597125,这一年他们的岁数之和是_________ 岁。 6、牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河都有一半的羊掉入河里，每次他们捞上3只，最后清查还剩6只，这群羊在过河前共有________ 只。 贝U abcdefghij = ________ 。 9、一个水池有一根进水管不间断的进水，另有若干根不同的抽水管，若用24根抽水管抽水，6小时即可把池中的水抽完；若用21根抽水管抽水，8小时可将池中的水抽完，若用16根抽水 管，_____________ 小时可将池中的水抽完。 3 4 7 9 10、小花在计算-,-,-,一，这四个分数的平均数时，不小心把其中一个分数的分子，分 4 5 9 11 母颠倒了，这样她所计算出来的平均值与正确的平均值的差最大是___________ 。 11、_________________________________________________ 计算：0.01+0.12 + 0.23 + ……+0.78+0.89 = ________________________________________
四年级下册数学讲义-竞赛专题：第八讲-行程问题(一)(含答案解析)人教版
历届各杯赛中，行程问题是最大的难点之一，在填空题及动手动脑题中都会出现， 学习者而言，相对比较难以掌握。在解决行程问题时，要关注几个要素：时间、地点、方向、移动物体的个数和路线，学好行程问题不仅能培养学生分析解决问题的能力，也能提高思维能力。 名师点题 行程问题（一） 知识概述 一、相遇问题： 1. 相遇问题基本量： ① 路程和：我们把同时出发时刻两人（或物体）间的距离称为路程和； ② 相遇时间：从同时出发到两人（物体）相遇所用的时间称为相遇时间。 2. 相遇问题基本数量关系： ① 路程和=速度和×相遇时间 ② 速度和=路程和÷相遇时间 ③ 相遇时间=路程和÷速度和 二、追及问题： 1. 追及问题基本量： ① 路程差：我们把同时移动时刻前后两人（或物体）间的距离称为路程差； ② 追及时间：从开始追的时刻到追上前者所用的时间称为追及时间。 2. 追及问题基本数量关系： ① 路程差=速度差×追及时间 ② 速度差=路程差÷追及时间 ③ 追及时间=路程差÷速度差
东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米？ 【解析】 从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。 解：（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时） （2）甲车一共行多少千米路程？25×4.5=112.5（千米） （3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米） （4）乙车每小时行多少千米？(105-15)÷3=30（千米） 答：乙车每小时行30千米。 甲、乙两匹马在相距50米的地方同时出发,出发时甲马在前乙马在后.如果甲马每秒跑10米,乙马每秒跑12米,_______秒两马相距70米? 【解析】 相距70米时,乙马在前,甲马在后,追及距离为(50+70)米 因此:(50+70)÷(12-10)=60(秒) 兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？ 【解析】 从图中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米，两人同时出发，相向而行，哥哥每分钟行200米，妹妹每分钟行80米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就容易了。 例3 例2 例1
三年级下册数学讲义-竞赛专题：第三讲-间隔问题(含答案解析)人教版
知识概述 植树问题：植树问题关键在于段数与棵树的相互转换。 段数=总距离÷棵距 一、不封闭路线： （1）在一段距离中,两端都植树, 棵数=段数+1; （2）在一段距离中,两端都不植树, 棵数=段数-1; （3）在一段距离中,一端不植树, 棵数=段数. 二、封闭路线：如环湖栽树、游泳池等在封闭曲线上植树, 棵数=段数=周长÷棵距 爬楼问题：爬楼层数=楼的层数-1（第一层楼不用爬） 锯木头问题：锯木头的段数=锯的次数+1 （锯第一次得两段） 间隔问题主要包括植物问题、锯木头问题、爬楼问题、敲钟问题等，是一类有多种实际背景的问题，问题的关键是一条线（封闭与不封闭）上分点数与点与点之间的间隔之间的关系，有时还涉及到总长度，间隔数及一个间隔的长度的计算。植树问题是典型的间隔问题，掌握了植物问题其它类型也就迎刃而解了。 名 师 点 题 间隔问题
植树节那天，三年级的小朋友打算在30米长的路一边栽树，从一端起，每隔5米栽一棵， (1)两端都要栽。小鸥说：“一共要栽6棵。”小雅说：“一共要栽7棵。”谁说得对呢？ (2)如果两端都不栽树，一共要栽几棵？ (3)如果一端栽树，另一端不栽树，一共要栽几棵？ 【解析】每隔5米栽一棵，那也就是说，30米里有几个5米就是栽了几棵树，所以用3056 ÷=（棵）。看起来，小鸥的想法是对的，但是不符合实际。 我们画一条直线段表示30米长的路，然后在线段上按照要求画上小树苗，如图所示。 5米 5米 5米 5米 5米 5米 可以看到一共栽了7棵树。那也就是说，用305 ÷求到的是有几个间隔，也就是这条路被分成几段，但是因为两端都栽了树，所以棵数应该比间隔数多1。 （1）11 =+=÷+ 棵数段数总距离棵距=30517 ÷+=（棵）。因此小雅说得对，一共要栽树7棵。 （2）两端都不栽树，段数-1=6-1=5棵 （3）一端栽一端不栽，棵树=段数=6棵 600米长的马路一侧装了一排路灯，起点和终点都装了，一共16盏，相邻两盏之间的距离相等，求相邻两盏路灯之间相距多少米？ 【解析】在马路的一侧装了16盏路灯，16盏路灯减去起点处的一盏，就有16115 -=个间距。 60016-16001540 ÷=÷= （）（米）。 【巩固拓展】 1、街心花园一条道路长200米，在路的两侧从头到尾按相等的距离栽种菊花，共栽了82棵。每两棵菊花之间相距多少米？ 【解析】路的两侧共种了82棵，那么每边有41棵菊花，每边的间距为41140 -=（个），那么就可得出间距为200405 ÷=（米）。 例2 例1
苏教版小学三年级数学竞赛奥数讲义-例题图文百度文库
苏教版小学三年级数学竞赛奥数讲义-例题图文百度文库 一、拓展提优试题 1．60名探险队员过一条河，河上只有一条可乘坐6人的橡皮艇（来回算两次），过一次河需要3分钟，全体队员渡到河对岸一共需要分钟．2．古希腊的数学家们将自然数按照以下方式与多边形联系起来， 三边形数：1，3，6，10，15，…… 四边形数：1，4，9，16，25，…… 五边形数：1，5，12，22，35，…… 六边形数：1，6，15，28，45，…… 按照上面的顺序，第8个三边形数为__________． 3．一个数与3的和是7的倍数，与5的差是8的倍数，这个数最小的． 4．有3盒同样重的苹果，如果从每盒中都取出4千克，那么盒子里剩下的苹果的重量正好等于原来1 盒苹果的重量，原来每盒苹果重（）千克． A．4B．6C．8D．12 5．将一个大三角形分割成36 个小三角形，并且将其中一部分小三角形涂成红色，另一部分涂成蓝色，并且使得两个有公共边的三角形的颜色不同，如果红色的三角形比蓝色的多，那么多（）个． A．1B．4C．6D．7 6．这个图形最少是由（）个正方体整齐堆放而成的．
A．12B．13C．14D．15 7．（12分）2个樱桃的价钱与3个苹果价钱一样，但是一个苹果的大小却是一个樱桃的12倍，如果妈妈用买1箱樱桃的钱买同样大小箱子的苹果，能买（）箱． A．4B．6C．18D．27 8．图中一共能数出正方形． 9．一群鸭子对一群狗说：“我们比你们多2只．”狗对鸭子说：“我们比你们多10条腿．”那么鸭子和狗共只． 10．有一个挂钟，每到整点的时候会敲一次，而且几点钟就会敲几下．四点钟时，挂钟用了12秒钟敲完；那么到十二点时，要用秒钟才能敲完．【参考答案】 一、拓展提优试题 1．解：（60﹣6）÷5， ＝54÷5， ≈11次， 3×（11×2+1）， ＝3×23， ＝69（分钟）， 答：全体队员渡到河对岸一共需要69分钟． 故答案为：69． 2．找规律【难度】☆☆☆ 【答案】36 三边形:1、1+2、1+2+3、1+2+3+4、1+2+3+4+5、1+2+3+4+5+6、……、 1+2+3+…+8=36． 3．解：7×8﹣3＝53． 故答案为：53． 4．解：3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（千克） 答：每盒苹果重6千克． 故选：B．
四年级下册数学讲义-竞赛专题：第一讲-整数巧算(含答案解析)人教版
数的巧算中,基本的思路都是先通过观察找出那些数里含有特殊性,并加以利用,而“化零为整”“与借数”凑整的思想是做加减法常用的思路。而乘法巧算中我们要做到熟练掌握乘法交换律与乘法结合律的结合运用,并学会乘法分配律的正向与逆向,灵活运用每个运算定律轻松解题。巧算不仅能提高计算效率、节省计算时间,还可以锻炼记忆力,提高分析、判断能力,促进思维和智力的发展。 名 师点题 整数巧算 知识概述 1、加法 加法交换律： a +b =b +a 加法结合律： (a +b )+c ,=a +(b +c )。 2、减法性质： 性质1： a －(b +c )=a －b －c ) 性质2： a －(b －c )=a －b +c 3、乘法分配律： (a +b )×c = a ×c +b ×c )。 乘法分配律的延伸应用：(a －b )×c = a ×c －b ×c , (a +b )÷c = a ÷c +b ÷c 。 4、商不变性质：如果被除数和除数同时乘以或除以同一个数(0除外),所得的商不变。 性质①：a ÷b ÷c =a ÷(b ×c ))。②a ÷(b ÷c ) =a ÷b ×c )。
加减法巧算： （1）399999+39999+3999+399+39+3 （2）20-19+18-17+...+4-3+2-1 （3）100+99+98-97-96-95+94+93+92-91-90-89+88+…+10+9+8-7-6-5+4+3+2-1 【解析】 (1) 399999+39999+3999+399+39+3 =400000+40000+4000+400+40-1×6 =444444-6 =444438 （2）20-19+18-17+...+4-3+2-1 =-+-++-+-=++++=()()()()2019181743211111101 10 ……个 （3）100+99+98-97-96-95+94+93+92-91-90-89+88+…+10+9+8-7-6-5+4+3+2-1 =-+-+-+-++-+-+-+-++()()()()()()() ()1009799969895949110796854132… =++++++=33333503 2152 …个 乘除法巧算： 计算： （1）37×27×275 （2）444444÷37037×34 【解析】 （1） （2） ()=3739275 =1119275 =999275 =1000-1275 =275000-275 =274725 ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯原式 ()()()()=411111137100134 =4111100137100134 =4111371001100134 =4334 =4334 =408 ⨯÷⨯⨯⨯⨯÷÷⨯⨯÷⨯÷⨯⨯⨯⨯⨯原式 注意：为运算简便起见,请记住3727=999⨯。 例2 例1
四年级下册数学讲义-竞赛专题：第二讲-数列与数表(含答案解析)人教版
数列与数表 知识概述1、数列：主要包括 ⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。 ⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，… ⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15… ⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21… 2、等差数列通用公式： 通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差 项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 3、中项定理： 对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。 4、数表规律 给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。具体方法和步骤是： ⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳； ⑵猜想符合规律的一般性结论； ⑶验证或证明结论是否正确。在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。
（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】 （1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。 项数=（201-3）÷3+1=67 （2）求和公式=（首项+末项）×项数÷2 =（3+201）×67÷2 = 102×67 =6834 （3）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1） 末项=3+3⨯（201-1）=603， 第201个数是603 添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律， 确定出A= B = C= ； 【解析】 第一组 （1+2）×3=9 第二组 （2+3）×4=20 第三组 （3+4）×5=35 由分析得：A=35，B=4，C=5. 经过观察与归纳找出数与图的规律。观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是“看不出”。在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律。只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。 同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多。 名师点题 例2 例1 9 1 2 3 20 2 3 4 A 3 B C
三年级下册数学讲义-竞赛专题：第一讲-速算与巧算(含答案解析)人教版
知识概述 1、加法 加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c，=a+(b+c)。 2、减法性质： 性质1：a－(b+c)=a－b－c 性质2：a－(b－c)=a－b+c 3、乘法分配律：(a+b)×c = a×c+b×c)。 乘法分配律的延伸：(a－b)×c = a×c－b×c， (a+b)÷c = a÷c+b÷c。 4、除法性质： ①：a÷b÷c=a÷(b×c))。 ②a÷(b÷c) =a÷b×c)。 ③如果被除数和除数同时乘以或除以同一个数(0除外)，所得的商不变。 数的巧算中，基本的思路都是先通过观察找出那些数含有特殊性，并加以利用，而“化零为整”“拆分与借数”凑整的思想是做加减法常用的思路。乘法巧算中我们要做到熟练掌握乘法交换律与乘法结合律的结合运用，并学会乘法分配律及其延伸运用，做到灵活运用每个运算定律轻松解题。 名 师 点 题 速算与巧算
加法巧算： （1）574+289 ; （2）9+99+999+9 999。 【解析】有些加法看起来并不具备巧算的条件，但是在运算中将某个加数拆成两个或若干个数的和或差，使计算简便。 （1）原式= 563+11+289 = 563 +(11+289) = 563+300 = 863 或原式= 574+300－11 = 300+574－11 = 863 （2）原式= 6+1+1+1+1+99+999+9 999 = 6+(1+99)+(1+999)+(1+9 999) = 11 106 或原式= 9+(100－1)+(1 000－1)+(10 000－1) = 6 +100 +1 000 +10 000 = 11 106 乘法巧算： （1）28 ×35; （2）125×(37 +27)×25。 【解析】类似的在乘法中也有看起来并不具备巧算条件的算式，同样需要在运算中将某个因数拆成两个或若干个数，使计算简便。 （1）原式= 14× 2×35 = 14×(2×35) = 14×70 = 980 （2）原式= 125×64×25 = 125×8×8×25 = (125×8)×(8×25) = 1000×200 = 200 000 【巩固拓展】 计算：（1）19+299+3999+49999 （2）（1350+49+68）+（51+32+1650） 例2 例1
竞赛讲义——整数的整除性
整数的整除性 整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的． 1．整除的基本概念与性质 所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下． 定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作b a． 关于整数的整除，有如下一些基本性质： 性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a． 性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)． 性质3 若c｜a，c b，则c(a±b)． 性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac． 性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c． 性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b． 性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(a n-b n)． 性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(a n-b n)． 性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(a n＋b n)． 2．证明整除的基本方法 证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明． 例1. 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可． 证设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是 (2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)． 所以,12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]． 又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故 24 [(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]． 例2. 若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除． 证设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得 3v-5u=17x．① 所以 17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y． 若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．
数学竞赛教案讲义(7)——解三角形
第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2 c b a p ++=为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足) sin(sin a b a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 222-+=⇔，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+=
三年级下册数学讲义-竞赛专题：第六讲-图形的周长(含答案解析)全国通用
历届杯赛中，对图形周长考察是必不可少的。这部分的题目有一定的解法，目的是考察图形观察、操作、分析、计算的能力。 要做好这些题目，就需要同学们掌握图形的平移，切割补等方法，从而锻炼自己的观察分析解决问题的能力。在做题的过程需要合理有效的应用所学方法，帮助我们提高解决问题的准确率。 名 师点题 知 识概述 1、周长：围绕封闭图形一周的长度是它的周长，即是图形边长的和。 周长计算公式： ① 长方形的周长=（长+宽）×2； ② 正方形的周长=4×边长。 2、求不规则的比较复杂的几何图形的周长，常用的思路： 运用平移、割补、的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。 3、利用割补法求周长应注意：将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会增加几个长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个长或宽。 图形的周长
这是一个横竖都是16厘米的十字，求它的周长？ 【解析】利用平移法： 这样把它就变成了一个正方形的周长：16×4=64（厘米）观察一下，下图中甲、乙两部分哪个面积较大？周长呢？ 【解析】周长相等，面积甲大。 例3 例2 例1
下图是一个楼梯的侧面图，求此图形的周长。 3米 2米 【解析】 如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方，把每层台阶的高度向右移到和最下层的台阶长度一致的地方（如下图），这样楼梯侧面图就转化为一个长方形，然后我们利用长方形周长计算公式求出此图形的周长：（2＋3）×2=10米。 3米 2米 【巩固拓展】 1、下图是一个“凹”字形的花园，求花园的周长。（单位：米） 12 12 30 60 【解析】将里面的边往上平移，发现得到一个完整的长方形，不过还有2条边长是12的边长。 因此此花园的周长=长方形周长+2×12 =（60+30）×2+24 =204（米） 2、下图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）。这个图形的周长等于多少米？ 12 12
数学竞赛教案讲义(12)——立体几何
数学竞赛教案讲义(12)——立体几何 第十二章立体几何 一、基础知识 公理1一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在 这个平面内，记作：aa． 公理2两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公 共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。 公理3过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的 三点确定一个平面．推论l直线与直线外一点确定一个平面．推论2两条相交直线确定一个平面． 推论3两条平行直线确定一个平面． 公理4在空间内，平行于同一直线的两条直线平行． 定义1异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面 直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的 角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相 交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长 度叫做两条异面直线之间的距离． 定义2直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线 与平面平行)统称直线在平面外．
定义3直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．定理2两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行． 定理3若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直． 定理4平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离． 定义5一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角． 结论1斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．定理4(三垂线定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平面a内的一条直线，若cb，则ca．逆定理：若ca，则cb．定理5直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行定理6若直线。与平面α平行，平面β经过直线a且与平面a交于直线6，则a//b．结论2若直线。与平面α和平面β都平行，且平面α与平面β相交于b，则a//b． 定理7(等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等．
五年级下册数学讲义-竞赛专题：第8讲-基本行程问题(含答案解析)人教版
知识概述一、相遇问题： 1.相遇问题基本量： ① 路程和：我们把同时出发时刻两人（或物体）间的距离称为路程和； ② 相遇时间：从同时出发到两人（物体）相遇所用的时间称为相遇时间。 2.相遇问题基本数量关系：相遇时间=路程和÷速度和 二、追及问题： 1.追及问题基本量： ① 路程差：我们把同时移动时刻前后两人（或物体）间的距离称为路程差； ② 追及时间：从开始追的时刻到追上前者所用的时间称为追及时间。 2.追及问题基本数量关系：追及时间=路程差÷速度差 三、火车过桥问题： 3.火车通过大桥是指从车头上桥到车尾离桥。即当火车通过桥时,火车实际运动的 路程就是火车的运动总路程,即车长与桥长的和。 四、流水行船问题： 船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,还受到流水的推力或阻力,在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程,称为流水问题。 流水问题还有两个特殊的速度,即 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 这里船速指的是船本身的速度,就是在静水中的速度。水速是指水流的速度。顺水速和逆水速分别指船在顺水航行时和逆水航行时的速度。 基本行程问题
（第四届希望杯一试试题） 甲乙两地相距1500米,有两人分别从甲、乙两地同时相向出发,10分钟后相遇。如果两人各自提速20％, 仍从甲、乙两地同时相向出发,则出发后________秒相遇。 【解析】 原速度和：1500÷10=150（米/分） 相遇时间：1500÷【150×（1+20%）】×60=500（秒） （第五届小机灵杯邀请赛试题） 在同一高速公路上,乙车在甲车前面若干千米同向行驶,如果甲车的速度是65千米/时,它5小时可追上乙车；如果甲车的速度是75千米/时,它3小时可追上乙车。乙车的速度是（ ）千米/时。 【解析】 解：设乙车的速度是x 千米/时,依题意得 5（65-x ）=3（75-x ） 2x=100 x=50 答：乙车的速度是50千米/时。 一列火车通过小明身边用了10秒钟,通过一座长486米的铁桥用了37秒,问这列火车多长？ 【解析】 通过小明身边,可以看成火车通过它自己的身长所用的时间；过桥的时候,可以看成火车通过自己 车长和桥一并所用的时间。 486÷（37-10）=18（米/秒） 18×10=180（米） 答：这列火车长180米。 例3 例2 例1 历届杯赛考试中,行程问题是最大的难点之一,一般情况下每次比赛都会出现多次。行程问题首先考察学生对于题目的理解以及分析能力,其次考察学生转化题意变成数学语言的能力。并且行程问题的形式非常多样化,对于这类题目需要针对不同题型,具体问题具体分析。 名师点题
四年级数学竞赛奥数讲义例题图文百度文库
四年级数学竞赛奥数讲义例题图文百度文库 一、拓展提优试题 1．21个篮子，每个篮子中有48个鸡蛋，现在将这些鸡蛋装到一些盒子中，每个盒子装28个鸡蛋，可以装盒． 2．甲、乙、丙、丁四人参加了一次考试，甲、乙的成绩比丙、丁的成绩和高17分，甲比乙低4分，丙比丁高5分．四人中最高分比最低分高分．3．一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上二位乘客，第三站上三位乘客，依次下去，多少站以后，车上坐满乘客？ 4．如图，小明从A走到B再到C再到D，走了38米，小马从B到C再到D再到A，走了31米，此问长方形ABCD的周长多少米？ 5．六个人传球，每两人之间至多传一次，那么这六个人最多共进行15次传球． 6．豆豆全家有4口人．今年豆豆哥哥比豆豆大3岁，豆豆妈妈比豆豆爸爸小2岁.5年前，全家年龄为59岁，5年后，全家年龄和为97岁，豆豆妈妈今年岁． 7．过元旦时，班委会用730元为全班同学每人买了一份价值17元的纪念品，剩余16元，那么，这个班共有学生名． 8．如图是长方形，将它分成7部分，至少要画条直线． 9．在一个停车场，共有24辆车，其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子，那么三轮摩托车有辆． 10．四年级的两个班共有学生72人，其中有女生35人，四（1）班有学生36人，四（2）班有男生19人，则四（1）班有女生人． 11．如果，那么＝． 12．有白棋子和黑棋子共2014个，按照如图的规律从左到右排成一行，其中黑棋子的个数是． ○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○… 13．（15分）水果店用三种水果搭配果篮，每个果篮里有2个哈密瓜，4个火龙果，10个猕猴桃，店里现有的火龙果的数量比哈密瓜的3倍多10个，猕猴桃的数量是火龙果的2倍，当用完所有的哈密瓜后，还剩130个火龙果．问：
20XX最新小学五年级数学竞赛奥数讲义例题
20XX最新小学五年级数学竞赛奥数讲义例题 一、拓展提优试题 1．（8分）一个大于1的正整数加1能被2整除，加2能被3整除，加3能被4整除，加4能被5整除，这个正整数最小是． 2．（7分）对于a、b，定义运算“@”为：a@b＝（a+5）×b，若x@1.3＝11.05，则x＝． 3．如图，魔术师在一个转盘上的16个位置写下来了1﹣16共16个数，四名观众甲、乙、丙、丁参与魔术表演．魔术师闭上眼，然后甲从转盘中选一个数，乙、丙、丁按照顺时针方向依次选取下一个数，图示是一种可能的选取方式，魔术师睁开眼，说：“选到偶数的观众请举手．”，这时候，只有甲和丁举手，这时候魔术师就大喝一声：“我知道你们选的数了！”．你认为甲和丁选的数的乘积是． 4．某长方体的长、宽、高（长、宽、高均大于1）是三个彼此互质的自然数，若这个长方体的体积是665，则它的表面积是． 5．大于0的自然数n是3的倍数，3n是5的倍数，则n的最小值是．6．从1、2、3、4、5中任取3个组成一个三位数，其中不能被3整除的三位数有个． 7．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是． 8．（15分）甲、乙两船顺流每小时行8千米，逆流每小时行4千米，若甲船顺流而下，然后返回；乙船逆流而上，然后返回，两船同时出发，经过3小时同时回到各自的出发点，在这3小时中有多长时间甲、乙两船同向航行？ 9．某数学竞赛有10道题，规定每答对一题得5分，答错或不答扣2分．A、B 两人各自答题，得分之和是58分，A比B多得14分，则A答对道题．10．如图，魔术师在一个转盘上的16个位置写下来了1﹣16共16个数，四名
观众甲、乙、丙、丁参与魔术表演．魔术师闭上眼，然后甲从转盘中选一个数，乙、丙、丁按照顺时针方向依次选取下一个数，图示是一种可能的选取方式，魔术师睁开眼，说：“选到偶数的观众请举手．”，这时候，只有甲和丁举手，这时候魔术师就大喝一声：“我知道你们选的数了！”．你认为甲和丁选的数的乘积是． 11．如图，在梯形ABCD中，若AB＝8，DC＝10，S△AMD＝10，S△BCM＝15，则梯形ABCD的面积是． 12．定义新运算：θa＝，则（θ3）+（θ5）+（θ7）（+θ9）+（θ11）的计算 结果化成最简真分数后，分子与分母的和是． 13．如图六角星的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点，那么阴影部分面 积是空白部分面积的倍． 14．小明准备和面包饺子，他在1.5千克面粉中加入了5千克的水，发现面和得太稀了，奶奶告诉他，包饺子的面需要按照3份面，2份水和面，于是小明分三次加入相同分量的面粉，终于将面按按要求和好了，那么他每次加入了 千克面粉． 15．（8分）小胖把这个月的工资都用来买了一支股票．第一天该股票价格上涨，第二天下跌，第三天上涨，第四天下跌，此时他的股票价值刚好5000元，那么小胖这个月的工资是元． 16．观察下面数表中的规律，可知x＝．
五年级下册数学讲义-竞赛专题：第5讲-数阵图、数字谜(含答案解析)人教版
知识概述 1.数阵图的一般解题思路： 由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定，从每一个单个数上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数和全部相加进行分析。 2.数字谜： ①数字谜介绍： 数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除4种数字谜，横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜。 ②数字谜常用的分析法介绍 解决数字谜问题最重要的就是找到突破口，突破口你的寻找是需要一定得技巧性，一般来说，首先是观察题目中给出数字的位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，突破的顺序一般是三位分析法（个位分析，高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位，奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）。 数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现，属于各大杯赛的高频考点，因为这类题是正确率很高的题目，所以要想取得好成绩，必须掌握这类题型的解题方法。 名 师 点 题 将1~11填入图中的○内，使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22。
【解析】首先求出数阵图中关键位置的数，在数阵图的中间位置，是：（22×5-66）÷4=11，剩下的数从下到大排列，首尾配对即可：1配10，2配9,，3配8，4配7，5配6。 在下图中填9个数，使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等。那么b处应该填入的数是（）。 【解析】这是一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，我们称这个相等的和是幻和，幻和是中央的数的3倍，幻和=3b=1.9+b+0.9= 2.8+b，进而得到2b=2.8， b=1.4。 在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出： △□□〇 +〇□□△ □□☆☆ 那么：口+○+△+☆=_________。