小学数学奥数方法讲义40讲(四)
第三十一讲分解质因数法
通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分
解质因数法。
分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。
例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度）
解：把1331分解质因数：
1331=11×11×11
答：这块正方体木块的棱长是11厘米。
例2 一个数的平方等于324，求这个数。（适于六年级程度）
解：把324分解质因数：
324= 2×2×3×3×3×3
=（2×3×3）×（2×3×3）
=18×18
答：这个数是18。
例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。（适于六年级程度）
解：把462分解质因数：
462=2×3×7×11
=（3×7）×（2×11）
=21×22
答：这两个数是21和22。
*例4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC 是一个三位数。求ABC代表什么数？（适于六年级程度）
解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。
1673=239×7
答：ABC代表239。
例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程度）
解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。
2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3
=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）
=48×48
正方形的边长是48米。
这块田地的周长是：
48×4=192（米）
答略。
*例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度）
解：3250-10=3240（个）
把3240分解质因数：
3240=23×34×5
接近40的数有36、37、38、39
这些数中36=22×32，所以只有36是3240的约数。
23×34×5÷（22×32）
=2×32×5
=90
答：这个幼儿园有90名小朋友。
*例7 105的约数共有几个？（适于六年级程度）
解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。
因为，105=3×5×7，
所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；
含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个；
含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。
所以，105的约数共有4+3+1=8个。
答略。
*例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度）
解：将这九个数分别分解质因数：
15=3×5
22=2×11
30=2×3×5
35=5×7
39=3×13
44=2×2×11
52=2×2×13
77=7×11
91=7×13
观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。
由以上观察分析可得这三组数分别是：
15、52和77；
22、30和91；
35、39和44。
答略。
*例9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度）
解：把5040分解质因数：
5040=2×2×2×2×3×3×5×7
由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是：
7，2×2×2，3×3，2×5
即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。
答略。
*例10 在等式35×（）×81×27=7×18×（）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度）
解：将已知等式的两边分解质因数，得：
5×37×7×（）=22×36×7×（）
把上面的等式化简，得：
15×（）=4×（）
所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。
15×（4）=4×（15）
答略。
*例11 把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度）
解：把84分解质因数：
84=2×2×3×7
除了1和84外，84的约数有：
2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根据不同的约数进行分组。84÷2=42（组），84÷3=28（组），84÷4=21（组），84÷6=14（组），84÷7=12（组），84÷12=7（组），84÷14=6（组），84÷21=4（组），84÷28=3（组），84÷42=2（组）。
因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组。一共有10种分法。
答略。
*例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。（适于六年级程度）
解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。
14=2×7143=11×13
30=2×3×5169=13×13
33=3×114445=5×7×127
75=3×5×54953=3×13×127
在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。
在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个。
按这个要求每一组四个数的积应是：
2×7×11×127×3×3×5×5×13×13
因为，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组的四个数是：30、33、169、4445。
答略。
*例13 一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。（适于五年级程度）
解：设长方形的宽为x厘米，则长为（x+6）厘米。根据题意列方程，得：
x（x+6）= 315
x（x+6）=3×3×5×7
=（3×5）×（3×7）
x（x+6）=15×21
x（x+6）=15×（15+6）
x=15
x+6=21
答：这个长方形的长是21厘米，宽是15厘米。
*例14 已知三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？（适于五年级程度）
解：设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：
（x-1）×x×（x+1）
=210
=21×10
=3×7×2×5
=5×6×7
比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。
答：这三个连续自然数分别是5、6、7。
*例15 将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度）
解：把1440分解质因数：
1440= 12×12×10
=2×2×3×2×2×3×2×5
=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）
=8×9×20
如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则：
8×9=72，
20×3+12=72
正符合题中条件。
答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。
*例16 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？（适于六年级程度）
解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：
33×1000+32×10=27090
把27090分解质因数：
27090=43×7×5×32×2
根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：
43×14×9×5
这个质因式中14就是9与5之和。
所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。
43-9=34（岁）
答：母亲在34岁时生下第二个儿子。
第三十二讲最大公约数法
通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。
例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？（适于六年级程度）
解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：
2×3=6
42和48的最大公约数是6。
答：每个小组最多能有6名学生。
例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？（适于六年级程度）
解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。
求出150和60的最大公约数：
2×3×5=30
150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。
看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。
所以，这个长方形能分割成正方形：
5×2=10（个）
答：能分割成10个正方形。
例3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？（适于六年级程度）
解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。
5×5=25
325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。
因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。
可以截成棱长是25厘米的小木块：
3×7×13=273（块）
答：小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成这样大的正方体273块。
例4 有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？（适于六年级程度）
解：此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。
3×5=15
45、60和75的最大公约数是15，即每一小段绳子最长15米。
因为短除式中最后的商是3、4、5，所以在把绳子截成15米这么长时，45米长的绳子可以截成3段，60米长的绳子可以截成4段，75米长的绳子可以截成5段。所以有：
3+4+5=12（段）
答：每段最长15米，一共可以截成12段。
例5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少组？（适于六年级程度）
解：因为男、女生各剩3人，所以进入各组的男、女生的人数分别是：
234-3=231（人）…………………男
146-3=143（人）…………………女
要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是231
人和143人的最大公约数。
231、143的最大公约数是11，即每一组是11人。
因为231、143除以11时，商是21和13，所以男生可以分为21组，女生可以分为13组。
21+13=34（组）
答：每一组应是11人，能分成34组。
例6 把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？（适于六年级程度）
解：求一共可以装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。要将红、绿分别装在盒子中，且每个盒子里球的个数相同，装的最多，则每盒球的个数必定是330和360的最大公约数。
2×3×5=30
330和360的最大公约数是30，即每盒装30个球。
330÷30=11（盒）……………红球装11盒
360÷30=12（盒）……………绿球装12盒
11+12=23（盒）……………共装23盒
答略。
例7 一个数除40不足2，除68也不足2。这个数最大是多少？（适于六年级程度）
解：“一个数除40不足2，除68也不足2”的意思是：40被这个数除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被这个数整除；68被这个数除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被这个数整除。
看来，能被这个数整除的数是：40+2=42，68+2=70。这个数是42和70的公约数，而且是最大的公约数。
2×7=14
答：这个数最大是14。
例8 李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了1.04元，第二筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。问三筐白菜各是多少千克，李明一共卖了多少千克白菜？（适于六年级程度）
解：三筐白菜的钱数分别是104分、195分、234分，每千克白菜的价钱一定是这三个数的公约数。
把104、195、234分别分解质因数：
104=23×13
195=3×5×13
234=2×32×13
104、195、234最大的公有的质因数是13，所以104、195、234的最大公约数是13，即每千克白菜的价钱是0.13元。
1.04÷0.13=8（千克）………第一筐
1.95÷0.13=15（千克）………第二筐
2.34÷0.13=18（千克）………第三筐
8+15+18=41（千克）
答：第一、二、三筐白菜的重量分别是8千克、15千克、18千克，李明一共卖了41千克白菜。
例9 一个两位数除472，余数是17。这个两位数是多少？（适于六年级程度）
解：因为这个“两位数除472，余数是17”，所以，472-17=455，455一定能被这个两位数整除。
455的约数有1、5、7、13、35、65、91和455，这些约数中35、65和91大于17，并且是两位数，所以这个两位数可以是35或65，也可以是91。
答略。
例10 把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点？（单位：厘米）（适于六年级程度）
解：要求焊点最少，焊点间距就要最大；要求每个角有一个焊点，焊点间距离相等，焊点间距离就应是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公约数。
2×3=6
它们的最大公约数是6，即焊点间距离为6厘米。焊点数为：
7+4+3+6=20（个）
按这个算法每个角上的焊点是两个，因为要求每一个角上要有一个焊点，所以，要从20个焊点中减4个焊点。
20-4=16（个）
答略。
第三十三讲最小公倍数法
通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。
例1 用长36厘米，宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？（适于六年级程度）
解：因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少，所以正方形的边长应是36、24的最小公倍数。
2×2×3×3×2=72
36、24的最小公倍数是72，即正方形的边长是72厘米。
72÷36=2
72÷24=3
2×3=6（块）
答：最少需要6块瓷砖。
*例2 王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？（适于六年级程度）
解：此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是6、4和3的最小公倍数。
2×3×2=12
6、4和3的最小公倍数是12，即正方体模型的棱长是12厘米。
正方体模型的体积为：
12×12×12=1728（立方厘米）
长方体木块的块数是：
1728÷（6×4×3）
=1728÷72
=24（块）
答略。例3 有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人。这个班级有多少人？（适于六年级程度）
解：这个班的学生每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人，这说明这个班的人数比12与16的公倍数（50以内）多1人。所以先求12与16的最小公倍数。
2×2×3×4=48
12与16的最小公倍数是48。
48+1=49（人）
49<50，正好符合题中全班不足50人的要求。
答：这个班有49人。
例4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔8分钟发一次车；第二条线路每隔10分钟发一次车；第三条线路每隔12分钟发一次车。三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？（适于六年级程度）
解：求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车，就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即8、10、12的最小公倍数。
2×2×2×5×3=120
答：至少经过120分钟又在同一时间发车。
例5 有一筐鸡蛋，4个4个地数余2个，5个5个地数余3个，6个6个地数余4个。这筐鸡蛋最少有多少个？（适于六年级程度）
解：从题中的已知条件可以看出.不论是4个4个地数，还是5个5个地数、6个6个地数，筐中的鸡蛋数都是只差2个就正好是能被4、5、6整除的数。因为要求这筐鸡蛋最少是多少个，所以求出4、5、6的最小公倍数后再减去2，就得到鸡蛋的个数。
2×2×5×3=60
4、5、6的最小公倍数是60。
60-2=58（个）
答：这筐鸡蛋最少有58个。
*例6 文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中，平均每15人有3个人得一等奖，每8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。参加这次竞赛的共有94人得奖。求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？（适于六年级程度）
解：15、8和12的最小公倍数是120，参加这次竞赛的人数是120人。
得一等奖的人数是：
3×（120÷15）=24（人）
得二等奖的人数是：
2×（120÷8）=30（人）
得三等奖的人数是：
4×（120÷12）=40（人）
答略。
*例7 有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。中午12点整时，电子钟既响铃又亮灯。求下一次既响铃又亮灯是几点钟？（适于六年级程度）
解：每到整点响一次铃，就是每到60分钟响一次铃。求间隔多长时间后，电子钟既响铃又亮灯，就是求60与9的最小公倍数。
60与9的最小公倍数是180。
180÷60=3（小时）
由于是中午12点时既响铃又亮灯，所以下一次既响铃又亮灯是下午3点钟。
答略。
*例8 一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？（适于六年级程度）
解：这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：
96÷4+1=25（个）
后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。
96÷12+1=9（个）
96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。
答略。
例9 一项工程，甲队单独做需要18天，乙队单独做需要24天。两队合作8天后，余下的工程由甲队单独做，甲队还要做几天？（适于六年级程度）
解：由18、24的最小公倍数是72，可把全工程分为72等份。
72÷18=4（份）…………是甲一天做的份数
72÷24=3（份）…………是乙一天做的份数
（4+3）×8=56份）………两队8天合作的份数
72-56=16（份）…………余下工程的份数
16÷4=4（天）……………甲还要做的天数
答略。
*例10 甲、乙两个码头之间的水路长234千米，某船从甲码头到乙码头需要9小时，从乙码头返回甲码头需要13小时。求此船在静水中的速度？（适于高年级程度）
解：9、13的最小公倍数是117，可以把两码头之间的水路234千米分成117等份。
每一份是：
234÷117=2（千米）
静水中船的速度占总份数的：
（13+9）÷2=11（份）
船在静水中每小时行：
2×11=22（千米）
答略。
*例11 王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。他上山的速度为每小时3千米，下山的速度为每小时5千米。他上、下山的平均速度是每小时多少千米？（适于六年级程度）
解：设山脚到山顶的距离为3与5的最小公倍数。
3×5=15（千米）
上山用：
15÷3=5（小时）
下山用：
15÷5=3（小时）
总距离÷总时间=平均速度
（15×2）÷（5+3）=3.75（千米）
答：他上、下山的平均速度是每小时3.75千米。
*例12 某工厂生产一种零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时做50个；第二道工序每个工人每小时做30个；第三道工序每个工人每小时做25个。在要求均衡生产的条件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？（适于六年级程度）
解：50、30、25三个数的最小公倍数是150。
第一道工序至少应分配：
150÷50=3（人）
第二道工序至少应分配：
150÷30=5（人）
第三道工序至少应分配：
150÷25=6（人）
答略。
小学数学奥数方法讲义40讲(四)
小学数学奥数方法讲义40讲(四) 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度）解：把1331分解质因数：1331=111111答：这块正方体木块的棱长是11厘米。例2 一个数的平方等于324，求这个数。（适于六年级程度）解：把324分解质因数：324=223333=（233）（233）=1818答：这个数是18。例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。（适于六年级程度）解：把462分解质因数：462=23711=（37）（211） =2122答：这两个数是21和22。*例4 ABCD=1673，在这个乘法算式中， A、 B、 C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？（适于六年级程度）解：因为ABCD=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。 1673=2397答：ABC代表239。例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程度）解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。2304=2222222233=（22223）（22223）=4848正方形的边长是48米。这块田地的周
长是：484=192（米）答略。*例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度）解：3250-10=3240（个）把3240分解质因数：3240=23345接近40的数有 36、 37、 38、39这些数中36=2232，所以只有36是3240的约数。23345（2232）=2325=90答：这个幼儿园有90名小朋友。*例7105的约数共有几个？（适于六年级程度）解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。因为，105=357，所以，含有一个质数的约数有 1、3、5、7共4个；含有两个质数的乘积的约数有 35、 37、57共3个；含有三个质数的乘积的约数有357共1个。所以，105的约数共有4+3+1=8个。答略。*例8 把 15、 22、 30、 35、 39、
奥数讲义计数专题：4 包含与排除
华杯赛计数专题：4包含与排除 基础知识： 1.包含与排除的思想，是为了解决计数分类的过程中，出现重复计数的情况. 2.基本的想法：减去重复计算的，多算了几次，就减几次，常用工具文氏图. 3.两个对象及三个对象的容斥原理，利用文氏图帮助理解. 4.容斥原理中的最值问题，可以利用线段图. 引子：从7本不同的数学书和8本不同的语文书中，选出6本书，不能全是同一种的书，那么有多少种不同的选法？ 用前面学的知识能解决吗？ 还有别的方法吗？ 总结：当正面计数比较繁琐、困难时，可以从反面考虑，即从总的数量减去不符合要求的数量. 例1.学生要从八门课中选学三门，如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，那么共有几种选课的方法？ 【答案】50（种） 【解答】所有的选课方法一共有种，数学课和钢琴课都选学的方法有种，其中代表数学课和钢琴课都选学，其中代表从剩余的课程中再选学1门.所以符合题意的选课方法一共有种. 例2.从4台不同型号的TCL电视机和5台不同型号的Haier电视机中任意取出3台,其中至少要有TCL与Haier电视机各1台，不同的取法共有多少种? 【答案】70（种） 【解答】 9台不同的电视，随意选取3台，一共有种方法.其中包括只选取Haier的方 法一共种，还包括只选取TCL的方法一共种.所以符合题意的方法一共有 84-10-4=70种.
例3.7个同学站成一排，要求其中的甲不排头，乙不排尾，有多少种排法? 思考：答案是吗？为什么 【答案】3720（种） 【解答】7个同学随意排列，共有种排法，若甲排在头，则剩下的6个同学全排列，一共有种排法，同理，若乙排在尾，一共有种排法，若同时满足甲在排头、乙 在排尾，共有种排法，根据容斥原理，符合题意的排法共有 种. 例4.板报组有10名同学，每个人至少擅长绘画或写文章中的一种，已知其中7个人擅长绘画，5个人擅长写文章，要从中选出两个人担任组长，要求其中既有擅长绘画的也有擅长写文章的，那么有多少种选组长的方法？ 如果要从中选出两名同学去参赛，分别参加绘画比赛和作文比赛，那么有多少种参赛方法？ 【答案】32（种） 【解答】因为10名同学中7个人擅长绘画，5个人擅长写文章，所以既擅长绘画又擅长写文章的有5＋7－10=2个人，所以只擅长绘画的有5个人，只擅长写文章的有3个人, 选组长可以分为三类： 第一类：先从擅长绘画的人中选1个，再从剩下的人中选1个，共有5×5=25种选法； 第二类：从既擅长绘画又擅长写文章的2个人选1个，再从擅长写文章的3个人中选1个，共有2×3=6种选法； 第三类：选2个既擅长绘画又擅长写文章的，共有1种选法； 综合共有25＋6＋+1=32种. 例5.一次考试共有A、B、C三道题，一共有100个人参加了这次考试.其中，答对A 题的有50人，答对B题的有60人，答对C题的有20人.已知答对C题的人在A、B两道题中至少还答对了一道题，且只答对A题的有24人，只答对A题和B题的有10人，还有10个人A、B均未答对.那么有________个人只答对了B题. 【答案】36（人） 【解答】因为100人中有10人A、B两题均未答对，所以有90人至少答对A，B中的一道. 又因为50人答对A题，60人答对B题，所以至少答对A、B两题的有50＋60－90=20人.即答对AB两题或答对ABC三题的人合起来有20个.而只答对AB两题的人有10个，所以ABC三个题全答对的人有20－10=10个. 由于有24人只答对A题，所以还有50－24=26人答对A题和至少另外一道题.这26人答对的题目只有3种可能：AB、AC和ABC.由上面的结论知只答对AC两题的应该有26－20=6个人.
小学数学奥数方法讲义教学之-列举法-通用版
第三讲列举法 解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。 用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。 例1 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度） 解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 *例2从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度） 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C
第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法。 *例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度） 解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号，也不能同时填“+”、“-”号。 要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号，就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和“-”号了。如果在第一个圆圈内填上“÷”号，14÷2得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 *例4印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度） 解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。 （2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码：
四年级奥数讲义
第一讲和倍问题 知识点：已知两个量的和与这两个量的倍数关系，要我们求这两个量分别是几。 和÷（倍数+1）= 较小数；较小数×倍数= 较大数；和－较小数= 较大数 例1：甲、乙两个仓库共存货物960吨，已知甲仓库所存货物是乙仓库的2倍，问甲、乙两个仓库各存货物多少吨？ 例2：果园里有梨树，苹果树和桃树共1800棵，其中梨树的棵数是苹果树的2倍，桃树的棵数是苹果树的2倍，问三种树各多少棵？ 例3：学校里的足球只数是排球的3倍，篮球的只数是排球的5倍，足球和篮球共72只，问三种球各多少只？ 例4：三块钢板共重207千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍，第三块钢板重多少千克？ 例5：某小学购进红粉笔和白粉笔共244盒，购进的白粉笔比红粉笔的7倍少12盒，问购进红粉笔、白粉笔各多少盒？
例6：两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取15千克放入乙箱，那么乙箱的重量是甲箱的3倍，问两箱原有茶叶各多少千克？ 例7：甲水池有水1500升，乙水池有水1200升，每分钟从甲水池流入乙水池25升水，问多少分钟后乙水池的水是甲水池的2倍？
自我检测： 填空。 小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小红年龄的4倍。妈妈岁，小红岁。 生产队养公鸡、母鸡共404只，其中公鸡是母鸡的3倍。公鸡有只，母鸡有只。 小明买语文本和数学本共25本，其中语文本比数学本的2倍多4本，语文练习本买了本，数学练习本买了本。 师傅和徒弟一共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个。徒弟生产零件个，师傅生产零件个。 A、B两人同时从学校出发相背而行，2小时共行48千米，A的速度是B的2倍，求A的速度是 ，B的速度是。 一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米。这块长方形木板的长是厘米，宽是厘米，面积是平方厘米。 甲、乙两个冷藏库原来共存肉92吨，从甲库运出28吨后，乙库存肉比甲库的4倍少6吨。原来甲库存肉吨，乙库存肉吨。 两个仓库共存粮2200千克，由乙库运出210千克，甲库存粮是乙库的2倍少380千克。甲库原来存粮千克，乙库原来存粮千克。 小红有30支铅笔，小兰有45支铅笔。小兰给小红支以后，小红的铅笔支数是小兰的2倍。 姐姐有320元，弟弟有180元，弟弟给姐姐元后，姐姐的钱比弟弟多3倍。
小学奥数四年级讲义
2012年龙途教育三升四奥数知识点 需要牢背的基本概念 1、加法中的巧算：加法交换律：a+b =a-b 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 减法和加、减混合运算中的巧算： （1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。相反，一个数减去几个数的和，等于 连续减去这几个数。即a-b-c=a-(b+c) a-(b+c) =a-b-c （2）在加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。 如：a-b+c=a+c-b （3）加、减混合运算中去括号（或添括号）时，如果括号前面是“—”号，那么括号里“—” 变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+”号，那么括号里的符号不变。如 a-(b-c)=a-b+c,a+(b-c)=a+b-c 如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千……的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互 补数”。 “基准数加累计差”法：几个相近的数相加，可以选择其中一个数，最好是整十整百的数 为“基准数”，再找出每个加数与“基准数”的差，大于“基准数”的差做加数，小 于“基准数”的差做减数，把这些差累计起来，再加上“基准数”与加数个数的乘积 就可以得到结果。 2、乘法中的巧算：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c、(a-b)×c=a×c-b×c 3、除法中的巧算： （1）除法交换律：a÷b÷c=a÷c÷b （2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。 公式：如果a÷b=c 则 (a×n)÷(b×n)=c (a÷n)÷(b÷n)=c n≠0 （3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。 公式：a÷(b×c)= a÷b÷c （4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数” 公式：a÷(b÷c)= a÷b×c （5）除法分配律：(a + b)÷c = a÷c + b÷c a÷c + b÷c=(a + b)÷c 4、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来： 2×5=10 4×25=100 8×125=1000 16×625=10000 3×37=111 7×11×13=1001 37037×3=10101 5、“头同尾合十”：头×（头+1）×100+尾×尾 “尾同头合十”：（头×头+尾）×100+尾×尾 6、平方差公式： a2-b2=(a+b)×(a-b) 7、配对求和，也就是等差数列求和。实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来 理解。 公式：和= （首项+末项）×项数÷2 项数= （末项-首项）÷公差+1 首项=末项-公差×（项数-1）末项（或者某一项）= 首项+公差×（项数-1） 公差= （末项-首项）÷（项数-1）奇数项的等差数列的和= 中间项×项数 奇数项的等差数列的中间项= 和÷项数 = （首项+末项）÷2 8、1+2+3+…+（n-1）+n+(n-1)+…+3+2+1= n×n
小学四年级奥数讲义
小学四年级奥数讲义 需要牢背的基本概念 1、加法中的巧算：加法交换律: a+b =b+a 加法结合律：a+b+c=a+（b+c) 减法和加、减混合运算中的巧算： （1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和.相反,一个数减去几个数的 和，等于连续减去这几个数.即a-b—c=a-(b+c) a—(b+c) =a-b-c （2）在加、减混合运算中,如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号 “搬家”。 如：a—b+c=a+c—b （3)加、减混合运算中去括号(或添括号）时，如果括号前面是“-”号,那么括号 里“—”变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+"号，那么括号里的符号不变。 如a-(b-c）=a-b+c，a+（b—c)=a+b-c 如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千……的数，那么其中一个数叫做 另一个数的“互补数”。 2、乘法中的巧算：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b）×c=a ×(b×c） 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c、（a-b）×c=a×c—b×c 3、除法中的巧算： （1）除法交换律：a÷b÷c=a÷c÷b （2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变”的规律，进行巧 算。 公式：如果a÷b=c 则 (a×n）÷（b×n）=c （a÷n）÷（b÷n)=c n≠0 (3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律, 进行巧算. 公式:a÷（b×c)= a÷b÷c (4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数 " 公式：a÷（b÷c）= a÷b×c （5）除法分配律：(a + b)÷c = a÷c + b÷c a÷c + b÷c=(a + b)÷c 4、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来: 2×5=10 4×25=100 8× 125=1000 16×625=10000 3×37=111 7×11×13=1001 37037×3=10101 5、“头同尾合十”：头×（头+1）×100+尾×尾 “尾同头合十":（头×头+尾）×100+尾×尾 6、平方差公式： a2-b2=（a+b)×(a—b） 7、配对求和，也就是等差数列求和。实质是变加法（连加）为乘法，这可以从 乘法的意义来理解. 公式:和= (首项+末项)×项数÷2 项数= （末项—首项）÷公差+1 首项=末项-公差×（项数—1）末项(或者某一项)= 首项+公差×（项
小学数学四年级思维奥数讲义-加减乘除变化规律(教师版+学生版)
小学数学四年级思维奥数讲义- 加减乘除变化规律（教师版） 【课前小热身】 仔细思考回答下面问题。 ①两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和发生什么变化？ ②两个数相减，被减数增加8，减数减少8，差发生什么变化？ ③两个数相乘，一个乘数扩大7倍，另一个乘数缩小7倍，积发生什么变化？ ④两个数相除，被除数扩大6倍，除数缩小6倍，商发生什么变化？ 【知识梳理】 一、加减法的变化规律 1、加法变化规律： 一个加数（a）另一个加数（b）和（c） ±m 不变±m 不变±m ±m ±m ∓m 不变 2、减法变化规律： 被减数（a）减数（b）差（c） ±m 不变±m 不变±m m ±m ±m 不变
二、乘除法变化规律 1、乘法变化规律 一个因数（a ） 另外一个因数（b ） 积（c ） ×n 不变 ×n ÷n 不变 ÷n ×n ÷m ×n÷m （n ＝m 时不变） ×n ×m ×n×m 不变 ×n ×n 不变 ÷n ÷n ÷n ×m ÷n×m （n ＝m 时不变） ÷n ÷m ÷n÷m 积不变的性质：在乘法中，一个因数扩大，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（扩大缩小的倍数不能为0）。 积不变的字母公式：()()()()()0≠⨯⨯÷=÷⨯⨯=⨯c c b c a c b c a b a 2、除法变化规律 被除数（a ） 除数（b ） 商（c ） ×n 不变 ×n 不变 ×n ÷n ÷n 不变 ÷n 不变 ÷n ×n ×n ×m ×n÷m （n ＝m 时不变） ÷n ÷m ÷n×m （n ＝m 时不变） ×n ÷m ×n×m ÷n ×m ÷n÷m 商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。 商不变的字母公式：()()()()()0≠÷÷÷=⨯÷⨯=÷c c b c a c b c a b a
四年级数学奥数讲义+练习-第40讲 数学开放题(全国通用版,含答案)
奥数已经成为现在孩子学习的加强工具。一种思维方式的训练，一种让孩子学以致用，举一反三的法宝，一种可以扩宽孩子思维的奥秘兵器。老师经常对学生们说，养成好的学习品质，拥有好的学习方法比学习知识自己重要得多，它是学好知识的前提。学习奥数更是如此。奥数题对学生们的要求是非常严格的，你既要注意到思维有广度有深度，在做题时还要加倍小心。有些题往往是一字之差，谬之千里。习惯的养成不是一朝一夕之功。要养成好的学习习惯，首先，需要学生对这个问题有个正确的认识，有些家长往往错误地认为。只要是标题问题理解了，出点小错不妨。这样做的结果，往往助长了学生粗心大意之习气。而在奥数题中，一点小错，往往是致命的。学生做题出错了，我们应把它做为一个好的教育学生的契机，引导学生找出错误原因并不停积累，是知识方面的，要牢记。是习惯方面的，要改正。相信久而久之，好的习惯必能养成。 第40讲数学开放题 专题简析： 数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型。由于客观世界复杂多变，数学问题也必然复杂多变，往往不可能得到唯一答案。 一般而言，数学开放题具有以下三个特征： 1，条件不足或多余； 2，没有确定的结论或结论不唯一； 3，解题的策略、思路多种多样。 解答数学开放题，需要我们从不同角度分析和思考问题，紧密联系实际，具体问题具体分析。我们一般可以从以下几方面考虑： 1，以问题为指向，对现有条件进行筛选、补充和组合，促进问题的顺利解决； 2，根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合，采用不同的方法求解； 3，避免“答案唯一”的僵化思维模式，联系实际考虑可能出现的多种情况，得出不同的答案。 例1：A、B都是自然数，且A＋B=10，那么A×B的积可能是多少？其中最大的值是多少？ 分析与解答：由条件“A、B都是自然数，且A＋B=10”，可知A的取值范围是 0 ~ 10，B的取值范围的10 ~ 0。不妨将符合题意的情形一一列举出来：
小学数学奥数方法讲义-观察法_通用版
小学数学奥数方法讲义-观察法_通用版 ————————————————姚老师数学乐园 广安岳池姚文国 在解答数学题时，第一步是观看。观看是基础，是发觉问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材，专门重视培养观看力，把培养观看力作为开发与培养学生智力的第一步。 观看法，是通过观看题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特点，从而发觉题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。 观看要有次序，要看得认真、看得真切，在观看中要动脑，要想出道理、找出规律。 *例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学第二册，第11页中的一道摸索题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观看、摸索，初步培养他们的观看能力。这时儿童差不多学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判定本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。 解：现在通过观看、摸索，看小方格中应填入什么数字。从横中行10 +6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。 从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。 从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。 从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。 从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。
四年级下册数学讲义-第4讲差倍问题(含答案、奥数板块)全国通用
差倍问题 一、【名师解析】 解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般 问题下，它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量。 解答差倍应用题的基本数量关系是： 差宁（倍数—1）二小数 小数X倍数二大数或：小数+差二大数 二、【例题精讲】 【例1】光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍, 比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？ 练习：城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多 130人。三年级和一年级各有多少人？ 【例2】仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千 克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克？
练习：三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍多2人，已知 做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？ 【例3】育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比 篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和篮球各买了多少只？ 练习：玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000 个，三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。每个月各生产多少个？ 【例4】商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等。商店原有红糖和白糖各多少千克？ 练习：甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍, 从甲仓库运走720千克，从乙仓库运走120千克后，两个仓库所剩的面粉相等。两个 仓库原来各有面粉多少千克？ 【例5】甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本，从乙书架取出60本后，甲书架的本数是乙书架的3倍。原来两个书架各有图书多少本？
小学数学5年级培优奥数讲义 第04讲-长方形、正方形的周长(含解析)
第04讲长方形、正方形的周长 熟悉掌握基本图形周长的求法 熟悉运用分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形周长计算的公式求解。 能够分析图形的特点，提高几何图形的思维能力 一、基本概念及公式 周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长。 长方形周长=(长+宽)×2 正方形周长=边长×4 二、方法技巧 对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积。对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形周长计算的公式求解。 考点一：平移法 例1、有两个形同的长方形，长7厘米，宽5厘米，把他们按下图的样子重叠在一起，这个图形的周长是多少厘米？ 5厘米 7厘米 典例分析 知识梳理 学习目标 7厘米 7 厘 米
例2、下面是一个楼梯的侧面，如果在楼梯上铺地毯，求地毯的长度 例3、下图由1个正方形和2个长方形组成.求这个图形的周长 50 例4、求下面这个图形(每个小正方形的顶点恰好在另一个正方形的中心，且边相互平行)的周长？ 20 9 15
考点二：合并法 例1、如下图所示,长方形长4厘米,宽2厘米.现沿其对角线BD对折得到一几何图形,试求图形阴影部分周长。 例2、用一个长8厘米、宽4厘米的长方形与7个边长为4厘米的正方形，拼成一个大正方形。拼成的大正方形的周长是多少？
考点三：分解法 例1、如图,在长方形ABCD中,EFGH是正方形.如果AF=10厘米,HC=7厘米,那么长方形ABCD 的周长是多少厘米? 例2、下图是由4个一样的长方形和1个边长是4分米的小正方形拼成的一个边长是11分米的大正方形，每个长方形的长与宽各是多少分米？周长是多少分米？ ➢课堂狙击 1、如图一，一个正方形分成甲、乙两部分，比较甲、乙两部分周长的长短，求出乙的周长。 实战演练
小学四年级数学奥数基础教程--30讲全
小学奥数基础教程（四年级） 第1讲速算与巧算（一） 第2讲速算与巧算（二） 第3讲高斯求和 第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲弃九法 第6讲数的整除性（二） 第7讲找规律（一） 第8讲找规律（二） 第9讲数字谜（一） 第10讲数字谜（二） 第11讲归一问题与归总问题 第12讲年龄问题 第13讲鸡兔同笼问题与假设法 第14讲盈亏问题与比较法（一） 第15讲盈亏问题与比较法（二） 第16讲数阵图（一） 第17讲数阵图（二） 第18讲数阵图（三） 第19将乘法原理 第20讲加法原理（一） 第21讲加法原理（二） 第22讲还原问题（一） 第23讲还原问题（二） 第24讲页码问题 第25讲智取火柴 第26讲逻辑问题（一） 第27讲逻辑问题（二） 第28讲最不利原则 第29讲抽屉原理（一） 第30讲抽屉原理（二）
第1讲速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11- ＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下： 通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。 例1所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。由例1得到： 总和数=基准数×加数的个数+累计差， 平均数=基准数+累计差÷加数的个数。 在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。 例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）： 462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。 解：选基准数为450，则 累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11 ＝50， 平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。 答：平均每块麦田的产量为455千克。 求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法——凑整补零
四年级下册数学讲义 - 第4讲差倍问题(含答案、奥数板块)全国通用
三年下册奥数试题-差倍问题 姓名得分 一、【名师解析】 解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般问题下，它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量。 解答差倍应用题的基本数量关系是： 差÷（倍数－1）=小数 小数×倍数=大数或：小数+差=大数 二、【例题精讲】 【例1】光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？ 练习：城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人。三年级和一年级各有多少人？ 【例2】仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克？ 练习：三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍多2人，已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？
【例3】育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和篮球各买了多少只？ 练习：玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个，三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。每个月各生产多少个？ 【例4】商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等。商店原有红糖和白糖各多少千克？ 练习：甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍，从甲仓库运走720千克，从乙仓库运走120千克后，两个仓库所剩的面粉相等。两个仓库原来各有面粉多少千克？ 【例5】甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本，从乙书架取出60本后，甲书架的本数是乙书架的3倍。原来两个书架各有图书多少本？
奥数题型与解题思路21~40讲
奥数题型与解题思路21~40讲【数字求和】 例1 100个连续自然数的和是8450，取其中第1个，第3个，第5个，………，第99个（所有第奇数个），再把这50个数相加，和是______° （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：第50、51两个数的平均数是8450÷ 100= 84. 5，所以，第50个数是84°则100个连续自然数是： 35，36，37，………，133，134° 上面的一列数分别取第1、3、5、……、99个数得： 35，37，39，……131，133° 则这50个数的和是： 例2 把1至100的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是 _____° （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析；可把1至100这一百个自然数分组，得 （1、2、3、……、9），（10、11、12、……、19），（20、21、22、……29），……，（90、91、92、……99），（100）° 容易发现前面10组中，每组的个位数字之和为45°而第一组十位上是0，第二组十位上是1，第三组十位上是2，……第十组十位上是9，所以全体十位上的数字和是（l+2+3+……+9）×10=450°故所有数码的和是45× 10+450+l=901° 续若干个数字之和是1992，那么a=____° （北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
又，1992÷27=73余21，而21=8+5+7+1，所以 a=6° 例4 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数：86，92，100，106°那么，原来四个数的平均数是 （1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中 原来四个数的平均数为（86+92+100+106）÷2=192° 【最大数与最小数】 例1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是 （全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）° 讲析： 20以内的质数有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19 要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小°且三个真 例2 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组，分别计算各组数的和°已知这三个和互不相等，且最大的和是最小和的2倍°问：最小的和是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析；因为1+2+3+……+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的
姚文国老师数学乐园_小学奥数方法40讲讲义 共4_之2
小学数学奥数方法讲义40讲 第十一讲份数法 ————————————————姚老师数学乐园《小学数学奥数方法讲义40讲》 广安岳池姚文国 把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。 （一）以份数法解和倍应用题 已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。 例1某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。求杨树、槐树各有多少棵？（适于四年级程度） 解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是（3+1）份数。 因此，得： 320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树 80×3=240（棵）…………………杨树 答略。 例2 甲、乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。甲、乙两个煤场各存煤多少吨？（适于四年级程度） 解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数，甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨，（490+10）吨就正好是（1+4）份数。 所以乙场存煤： （490+10）÷（1+4） =500÷5 =100（吨） 甲场存煤： 490-100=390（吨） 答略。 例3 妈妈给了李平10.80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度） 解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下0.60元，这说明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵0.60元。把每瓶香槟酒的价钱看作1份数，则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份数。
小学四年级奥数培训教材(精讲版)
第一讲简单推理 例1：一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量，4袋牛肉干的重量等于一包巧克力的重量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？ 1、一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，一只梨的重量等于几根香蕉的重量？ 2、3包巧克力的重量等于两袋糖的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量？ 3、一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量，一只小猪的重量等于几只鸭的重量？ 例2：一头象的重量等于4头牛的重量，一头牛的重量等于3匹小马的重量，一匹小马的重量等于3头小猪的重量，一头象的重量等于几头小猪的重量？ 1、一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，一个菠萝的重量等于4个苹果的重量，1个苹果的重量等于两个橘子的重量，一只西瓜的重量等于几个橘子的重量？
2、一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等。已知一头牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天一共吃青草多少千克？ 3、一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量，两只鸭的重量等于6条鱼的重量，问两只小猪的重量等于几条鱼的重量？ 例3：根据下面两个算式，求○和□各代表多少？ ○＋○＋○=18 ○＋□=10 1、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？ ○＋○＋○＋○=32 □－○=20 2、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？ ○＋○＋○=15 ○＋○＋□＋□＋□=40 3、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？ □－○=8
例4：根据下面两个算式，求○和□各代表多少？ △－○=2 ○＋○＋△＋△＋△=56 1、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？ □－○=8 ○＋○＋□＋□=20 2、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？ △＋△＋△＋○＋○=78 △＋△＋○＋○＋○=72 3、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？ △＋△＋△－□－□=12 □＋□＋□－△－△=2
小学四年级奥数教程30讲(经典讲解)
小学奥数基础教程（四年级） 第1讲速算及巧算（一） 第2讲速算及巧算（二） 第3讲高斯求和 第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲弃九法 第6讲数的整除性（二） 第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题及归总问题 第12讲年龄问题 第13讲鸡兔同笼问题及假设法 第14讲盈亏问题及比较法（一）第15讲盈亏问题及比 较法（二） 第16讲数阵图（一） 第17讲数阵图（二） 第18讲数阵图（三） 第19将乘法原理 第20讲加法原理（一） 第21讲加法原理 （二） 第22讲还原问题 （一） 第23讲还原问题 （二） 第24讲页码问题 第25讲智取火柴 第26讲逻辑问题 （一） 第27讲逻辑问题 （二） 第28讲最不利原则 第29讲抽屉原理 （一） 第30讲抽屉原理 （二） 第1讲速算及巧算 （一） 计算是数学的基 础，小学生要学好数 学，必须具有过硬的计 算本领。准确、快速的 计算能力既是一种技 巧，也是一种思维训 练，既能提高计算效 率、节省计算时间，更 可以锻炼记忆力，提高 分析、判断能力，促进 思维和智力的发展。 我们在三年级已 经讲过一些四则运算 的速算及巧算的方法， 本讲和下一讲主要介 绍加法的基准数法和 乘法的补同及同补速 算法。 例 1 四年级一班第一 小组有10名同学，某 次数学测验的成绩（分 数）如下：
86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析及解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数及80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到 总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11- ＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数及80的差逐一累加。为了清 楚起见，将这一过程表 示如下： 通过口算，得到差 数累加为9，再加上80 ×10，就可口算出结果 为809。 例1所用的方法叫 做加法的基准数法。这 种方法适用于加数较 多，而且所有的加数相 差不大的情况。作为 “基准”的数（如例1 的80）叫做基准数，各 数及基准数的差的和 叫做累计差。由例1得 到： 总和数=基准数×加数 的个数+累计差， 平均数=基准数+累计 差÷加数的个数。 在使用基准数法 时，应选取及各数的差 较小的数作为基准数， 这样才容易计算累计 差。同时考虑到基准数 及加数个数的乘法能 够方便地计算出来，所 以基准数应尽量选取 整十、整百的数。 例2 某农场有10块麦 田，每块的产量如下 （单位：千克）： 462，480，443，420， 473，429，468，439， 475，461。求平均每块 麦田的产量。 解：选基准数为450， 则 累计差=12＋30－ 7－30＋23－21＋18－ 11＋25＋11 ＝50， 平均每块产量 =450＋50÷10＝455 （千克）。 答：平均每块麦田 的产量为455千克。