2019年高一数学排列组合经典题型及答案
1．从三个大人和四个孩子中选出四人去看书法展览，要求至少有一个大人带领，则不同的选法的种数为（ ）。
（A ）12 （B ）34
（C ）35 （D ）74
2．某乒乓球队有九名队员，其中两名种子选手，现在选5名队员参赛，种子选手都必须在内，则不同的选法有（ ）。
（A ）126种 （B ）84种
（C ）35种 （D ）74种
3．假设在200件产品中，有3件是次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）。
（A ）319723C C 种 （B ）319723C C +219733
C C 种 （C ）5200C －5197C 种 （
D ）5200C －419713
C C 种 4．有10个白球和6个黑球排成一列，不使任何两个黑球相邻的不同排列方法的种数是（ ）。
（A ）610C （B ）611C
（C ）610P （D ）611P
5．某市举行中学生篮球比赛，分成7组，每组5队，首先每组中各队进行单循环赛，然后各组的冠军进行单循环赛，那么先后进行比赛的场数为（ ）。
（A ）91场 （B ）31场
（C ）183场 （D ）80场
6．已知，m >x >y ,且m , x , y ∈Z ，则x m C 与y m C 的大小关系是（ ）。
（A ）x m C >y m C （B ）x m C =y m C
（C ）x m C 7．已知a ∈{－2,－1, 1}, b ∈{0, 3, 4, 5}, R ∈{1, 2}，则(x －a )2+(y －b )2=R 2所表示的不同的圆有 个。 8．有不同的中文书8本，不同的英文书7本，不同的俄文书4本，从中选出不属于同一种文字的书2本，则不同的选法有 种。 9．将6本不同的书平均分成两组奖给两名同学，奖法的种数有 种。 10．8个相同的足球分给6个班，每班至少1个，有 种分法。 11．若12n C =8n C ，则n C 22= 。 12．圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是 个。 9．C3 10．21 6 11．231 12．32 组合数学2019年7月真题及答案 1. （10分）3个0，2个1和3个7构成的8位数共有多少个？ 答： 如果1作为首位，则7!/3!3! = 140 如果7作为首位，则7!/3!2!2! = 210 根据加法原则，共有140+210= 350个 2. （10分）某网红奶茶店有三种不同的奶茶。小王买了5杯奶茶，问共有多少种不同的奶茶组合？ 答：有C(7，2)=21种不同的组合 3. （10分）设序列a1,a2,…a2019各项都是正整数，证明在这个序列中必存在若干个连续项组成的子序列，其各项之和为2019的倍数。 答：（同2019年1月真题） 序列a1,a2,...a2019中的任意数，除以2019的余数只可能是0，1，2，3， (2018) 余数相加能被2019整除的数相加，一定能整除2019。 所以在此序列中，一定存在若干个连续项，使得每一项除以2019的余数之和为2019，即它们相加一定是2019的整数倍。 4. （10分）求满足递推关系hn=hn-1+9hn-2-9hn-3的hn的表达式，其中初始条件h1=0,h1=1, h2=2. 答： 根据hn=hn-1+9hn-2-9hn-3得：特征方程为q^3=q^2+9q-9，解方程得： q1=1, q2=3, q3=-3 则通解为hn=c1*(1)^n+c2*(3)^n+c3*(-3)^n 将初始条件h1=0,h1=1, h2=2代入得：从c1=-1/4, c2=1/3, c3=-1/12 所以通解为hn=-1/4+1/3*(3)^n-1/12*(-3)^n 5. （10分）证明组合恒等式 证明：（2019年国考真题） C(n+m+1, k+1) = C(n+m, k+1) + C(n+m, k) C(n+m, k+1) = C(n+m-1, k+1) + C(n+m-1, k) C(n+n-1, k+1) = C(n+m-2, k+1) + C(n+m-2, k) ... C(n, k+1) = C(n, k+1) + C(n, k) 排列组合历年高考试题荟萃 排列组合（一） 一、选择题( 本大题共60 题, 共计298 分) 1、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 2、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有………………………………（） （A）（B）3 种（C）（D）种 3、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有………………………（） （A）280种B）240种C）180种D）96种 4、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为……………………………………………………（） A.6 B.12 C.15 D.30 5、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为…（） A.42 B.30 C.20 D.12 6、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种值.不同的种植方法共有…………（） A.24种 B.18种 C.12种 D.6种 7、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有……………………………………………………（） A.210种 B.420种 C.630种 D.840种 8、在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有…………………………………………………（） A.56个 B.57个 C.58个 D.60个 9、直角坐标xOy平面上,平行直线x＝n(n＝0,1,2,…,5)与平行直线y＝n (n＝0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有 ( ) A.25个 B.36个 C.100个 D.225个 10、从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为…………………（） A.56 B.52 C.48 D.40 11直角坐标xOy平面上,平行直线x＝n(n＝0,1,2,…,5)与平行直线y＝n (n＝0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有……………………………( ) A.25个 B.36个 C.100个 D.225个 12、某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为………………… () (A)A C (B) A C (C)A A (D)2A 13、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有………………………………………………………………（） A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 14、在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有…………………………………………………（） A.56个 B.57个 C.58个 D.60个 15、将标号1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为……………………………………………………() (A)120 (B)240 (C)360 (D)720 16、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位.现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 A.234 B.346 C.350 D.363 17、从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为 A.56 B.52 C.48 D.40 18、在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的 不同取法的种数是…………………………………………………（） A.C C B.C C C.C －C D.P －P 19、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有………………………………………………………………（） A.210种 B.420种 C.630种 D.840种 20、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有……………………………………() A.140种 B.120种 C.35种 D.34种 21、从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有A．300种 B．240种 C．144种 D．96种 22、把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（） A.168 B.96 C.72 D.144 23、(5分) 将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（） A.70 B.140 C.280 D.840 24、五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有 （A）种（B）种（C）种（D）种 +扣 1-0-4-9-9-3-1-4-3-5 此文档面飞送 需要更多资料+学习方法的也可以+ 2019排列组合习题(学生版) 1.现要从甲、乙、丙、丁、戊五人中选出三人担任班长、副班长、团支书三种不同的职务，且上届任职的甲、乙、丙都不再连任原职务的方法种数为（）A．48B．30 C．36 D．32 2.一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 1.将3封信投入3个信箱，可能的投放方法共有种 A.1 B．6 C．9 D．27 2.现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) A．81B．64C．48D．24 3. 今4本不同的书放入2个不同的大抽屉中，共有不同的放法为（） A．6种；B．8种；C．16种；D．20种； 4.若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有A．A43B．C43 C．34 D． 43 5. 4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）A．34B．43C．24D．12 6.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种. A． A34B．C3 4C．3 4 D． 43 7.将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（） A．81B．64C．12D．14 8.有5位同学想参加语文、数学、外语三种课外兴趣小组,每人只能报一项,则有( ) 种不同的报名方式. A．8种B．15种C．35 种D．53 种 9. 6名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有种。 10.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ （2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？ 11. 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为：A．35 B．53 C．A53D．C53 12. 5名同学去听同时进行的3个名师讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个 讲座，则不同的选择种数是 A．53B．35 C．5×4×3 D．5×4 13.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3) 每项限报一人，但每人参加项目不限． 14.同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则 四张贺卡的不同的分配方式有____种． 15. 学校举行运动会,有四位同学参加三项不同的比赛 (1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果? (2)每项比赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果? 1.已知复数a+bi，其中a,b为0，1，2，…，9这10个数字中的两个不同的数，则不 同的虚数的个数为（） A．36 B．72 C．81 D．90 排列组合经典题型及解析 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4 424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为5 5A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种， 选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. ` 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 5 51602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选 1人承担丙项任务，不同的选法共有211 10872520C C C =种， … 选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、 4441284 C C C 种 B 、444 1284 3C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、4441284 33C C C A 种 答案：A . 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种 解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有3 3A 种，故共有234336C A =种方法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 ， 排列组合常见题型及解题策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34（3）34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、3 8 B 、83 C 、38A D 、38C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有3 8种 不同的结果。所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全 排列，4424A 种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻 的排法有，22223242C A A A =432，其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条 件的排法故共有288 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位臵要求的 第十、十一单元排列组合二项式定理及概率等 一、考纲要求 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理，理解排列、组合的定义及计算公式，排列和组合的知识解决一些简单问题，组合性质，二项式定理。 随机现象与概率的统计定义，必然事件和不可能事件，随机事件和样本空间。古典概率的定义、应用。N次独立重复试验中恰好发生k次的概率及简单应用。总体和样本的概念以及抽样方法，计算样本平均数和样本方差。离散随机变量及分布。 数制的概念，进行简单的转换。逻辑代数的基本概念与基本运算。数据表格的概念，数组运算及数据表格的应用。 二、知识点清单 10.1分类计数法和分步计数法 分类计数法(加法法则)：完成一件事有两类办法，第一类办法由m 种方法，第二类办法有n 种方法，无论用哪一类办法中的哪种方法，都能完成这件事，则完成这件事总共有m+n 种方法。 分步计数法(乘法法则)：完成一件事有两个步骤，第一个步骤有m 种方法，第二个步骤有n 种方法，连续完成这两个步骤这件事才完成，那么完成这件事总共有m ×n 种方法。 10.2 排列数、组合数公式 排列（有顺序），公式：m n A =)1()1(+--m n n n = ！ ！ )(m n n -； 例：56737??=A 4525?=A 组合（没有顺序），公式：m n C = !)1()1(m m n n n +-- =！ ！！)(m n m n -?； m n C =m n n C - m n C +1-m n C =m n C 1+ 例：35123567!3373 7 =????== A C 3512344567!44 74 7=??????==A C 10.3 组合数的性质 (1)= ;(2) +=.注:规定. 10.4 排列组合问题常见解题方法：(1)两个计数原理(2)特殊位置法(3)捆绑法(4)插空法 10.5 二项式定理 ; 二项展开式的通项公式 . 10.6 区分系数、二项式系数 10.7 二式项式系数的性质 (1).(2). 考点：1.随机现象与概率的统计定义 2.必然事件和不可能事件 3.随机事件和样本空间。 m m n n A m C =?！m n C m n n C -m n C 1 -m n C m n C 1+10 =n C n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =n n n r n n n n C C C C C 22 1 =++++++ 1 4 2 5 3 1 2 -+++=+++n n n n n n n C C C C C C 1．(2019·湖北宜昌一中月考)从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有( ) A ．18种 B ．30种 C ．45种 D ．84种 答案 C 解析 分两步：先从8，9，10这三个数中选取一个数作最大的数有C 31种方法；再从1，2，3，4，5，6这六个数中选取两个比7小的数有C 62种方法，故共有C 31C 62＝45种情况，应选择C. 2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 答案 B 解析 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 53C 22×2＝20(种)，故选B. 3．(2019·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( ) A ．1 260种 B ．2 025种 C ．2 520种 D ．5 040种 答案 C 解析 先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C 102A 82＝2 520种不同的招聘方法． 4．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．16种 C ．18种 D ．36种 答案 C 解析 可先分组再排列，所以有1 2 C 42A 33＝18(种)放法． 5．(2019·西安五校)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( ) A ．80种 B ．90种 C ．120种 D ．150种 答案 D 高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 乙 甲丁 丙 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法8 7 C 1 4 A 3 4 C 1 3 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元 素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 选修2-3第一章第二节和第三节 排列组合 一、排列. 1. 排列定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 2. 排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排 列数，用符号表示. 3. 排列数公式： 注意： 规定0! = 1 规定 二、组合. 2. 组合定义：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 2. 组合数公式： 3. 两个公式：① ② ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素 中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同 元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中， n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选 法有一类是不含红球的选法有） ②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时， 对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C 种，依分类原理有. 三、排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无 顺序关系. 四、几个常用组合数公式 m n A ),,()! (!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ!)!1(!n n n n -+=?111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 10==n n n C C )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ;m n n m n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+1m n 1 11m n C C C -- =?m n C 1- m n m n m n m n m n C C C 11+-=+n n n n n n C C C 2210=+++Λλ 高中数学排列组合练习题及答案 1、小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米? 解： 把路程看成1，得到时间系数 去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30 返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30 两者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相当于 1/2小时 去时时间：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75 路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千米） 2、广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（） A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 根据题意分2种情况讨论， ①若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33=24； ②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32=12， 共有选法12+24=36种， 故选A． 根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，②若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案． 3、4人在同一天的上下午做5个自己的测试ABCDE,每人上下午各做一个测试,且不重复,若上午不测A下午不测B,其余项目上下午各测试一人,则不同的安排方式有几种? 分类：1.首先从四个人中选一个人参加特殊的ab 则为4*2=8 再将剩余的3人安排在cde的上下午 为3*2*1=6 则有6*8=48 分类2.再算参加ab活动的人不同时 有4*3=12 对于剩下的两人进行讨论 因为参加ab的人必需再选一个 假设他们选的是同一样 的 则可算的有3种 剩余两人只有2种,共有3*2=6 假设参加ab的人选的不一样,则他们选的是3*2=6种,剩余两人只有两种可选,共6*2=12 12+6=18 18*12+48=264 排列组合典型题大全 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重 复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”， 则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策 略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34（3）34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、 3 C 8 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。所以选A 1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？ 2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？ 3、4个同学参加3项不同的比赛 （1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？ 4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？ 5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？ 6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同 排列组合的21种经典题型及解法 1.单选题：单选题要求考生从给定的选项中选出一个最佳答案。解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案。 2.多选题：多选题要求考生从给定的选项中选出多个最佳答案。解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案，并判断是否有多个最佳答案。 3.判断题：判断题要求考生根据题目的问题和给定的信息，判断给出的答案是正确还是错误。解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，判断出正确答案。 4.填空题：填空题要求考生根据题目的问题和给定的信息，填入正确的答案。解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，填入正确的答案。 5.问答题：问答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出详细的答案。解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出详细的答案。 6.排序题：排序题要求考生根据题目的问题和给定的信息，按照要求的顺序进行排列。解法：根据题目的问题和给定的佶息，仔细分析，排除干扰，按照要求的顺序进行排列。 7.计算题：计算题要求考生根据题目的问题和给定的信息，运用数学计算得出答案。解法:根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，运用数学计算得出答案。 8.简答题：简答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出简短的答案。解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出简短的答案。 9.完形填空：完形填空要求考生根据文章的内容，从文中空缺处填入正确的单词或词组。解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，从文中空缺处填入正确的单词或词组。 10.阅读理解：阅读理解要求考生根据文章的内容，回答问题或做出判断。解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，回答问题或做出判断。 11.词汇题：词汇题要求考生根据题目的问题和给定的单词，找出正确的答案。解法：根据题目的问题和给定的单词，仔细分析，排除干扰，找出正确的答案。 12.语法题：语法题要求考生根据题目的问题和给定的句子，选择正确的语法形式。解法:根据题目的问题和给定的句子，仔细分析，排除干扰，选择正确的语法形式。 排列组合 1．（2002北京）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） （A ）480 种 （B ）240种 （C ）120种 （D ）96种 解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2本捆绑 成一本书，有25C 种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有44A 种方法.由乘法原理， 共有⋅25 C 24044=A 种方法，故选B . ２．【2004福建理】某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级 的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ） （A ）2426C A （B ） 24262 1C A （C ）2426A A （D ）262A 答案：B ３．（2004桂、蒙、琼、陕、藏）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 答案：A 4．(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 A ．30种 B ．90种 C ．180种 D ．270种 答案：B 5. （06年）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种 答案：600 6.（重庆卷16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题 （16）图所示的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条 线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）. 答案：216 7. （97全国）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）种 一．可重复的摆列求幂法：重复摆列问题要划分两类元素：一类能够重复，另一类不可以重复，把不 能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则经过“住店法”可顺利解题，在这种问题使 用住店办理的策略中，重点是在正确判断哪个是底数，哪个是指数 【例 1】（ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学比赛，每人限报一科，有多少种不一样的报名 方法 （2）有 4 名学生参加抢夺数学、物理、化学比赛冠军，有多少种不一样的结果 （3）将 3 封不一样的信投入 4 个不一样的邮筒，则有多少种不一样投法 【分析】：（1）（ 2）（ 3） 【例 2】把6名实习生疏派到7 个车间实习共有多少种不一样方法 【分析】：达成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生疏派到车间有7 种不一样方案， 第二步：将第二名实习生疏派到车间也有7 种不一样方案，挨次类推，由分步计数原理知共有种不一样方案 . 【例 3】 8 名同学抢夺 3 项冠军，获取冠军的可能性有（）A、B、C、D、 【分析】：冠军不可以重复，但同一个学生可获取多项冠军，把8 名学生看作8 家“店”， 3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进随意一家“店” ，每个“客”有 8 种可能，所以共有种不 一样的结果。所以选 A 二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，看作一个大元素参加摆列.【例 1】 A,B,C,D,E五人并排站成一排，假如A,B 一定相邻且 B 在 A 的右侧，那么不一样的排法种数 有 【分析】：把 A,B 视为一人，且 B 固定在 A 的右侧，则此题相当于 4 人的全摆列，种 【例 2】（ 2009 四川卷理） 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数是（） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【分析】：间接法 6位同学站成一排， 3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，，此中男生甲站两头的有，切合条件的排法故共有288 三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把 规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头. 【例 1】七人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样的排法种数是 【分析】：除甲乙外，其余 5 个摆列数为种，再用甲乙去插 6 个空位有种，不一样的排法数是 【例 2】书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的次序，有种不一样的插法（数字作答） 【分析】： 【例 3】高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不一样排法的种数是 【分析】：不一样排法的种数为 ＝3600 【例 4】某工程队有 6 项工程需要独自达成，此中工程乙一定在工程甲达成后才能进行，工程丙必 须在工程乙达成后才能进行，有工程丁一定在工程丙达成后立刻进行。那么安排这6 项工程的不一 样 排法种数是 【分析】：依题，只要将节余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的 5 个空中，可得有＝ 排列组合 一 、分类、分步原理 （一）分类原理：12n N m m m =++ +. 分类原理题型比较杂乱，须累积现象。几种常见的现象有： 1．开关现象:要根据开启或闭合开关的个数分类. 2．数图形个数:根据图形是由几个单一图形组合而成进行分类求情况数. 3．球赛得分：根据胜或负场次进行分类. （二）分步原理：12n N m m m =⨯⨯ ⨯. 两种典型现象： 1．涂颜色 (1)平面图涂颜色:先涂接触区域最多的一块 (2)立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举. 2．映射 按步骤用A 集合的每一个元素到B 集合里选一个元素，可以重复选. 二 、排列、组合 （一）常规题型求情况数 1.直接法：先排(选)特殊元素，再排(选)一般元素。捆绑法，插空法. 2.间接法：先算总情况数，再排除不符合条件的情况数. （二）七种常考非常规现象 1．小数量事件需要分类列举： 凡不可使用公式且估计情况数较少，要分类一一列举 2．相同元素的排列： 用组合数公式选出位置把相同元素放进去，不用排顺序 3．有序元素的排列: 用组合数公式选出位置把有序元素放进去，不用排顺序 4．剩余元素分配： 有互不相同的剩余元素需要分配时，用隔板法。 5．迈步与网格现象: 要看一共走几步，把特殊的几步选出来，有几种选法就有几种情况. 6．立体几何与解析几何现象：多数用排除法求情况数 7．平均分组现象: 先用分步原理选出每一组的元素，再除以因为平均分组算重复的倍数，平均分n 组，就除以n n A ，有几套平均分组就除几个x x A . （三）排列数，组合数公式运算的考察 1.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！ ！ )(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)． 注:规定1!0=. 2. 组合数公式 m n C = m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 3. 组合数的两个性质 (1)m n C =m n n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 经典题库-排列组合练习题 注：排列数公式m n P 亦可记为m n A 。 一、选择题 1．从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ） A 、24个 B 、36个 C 、48个 D 、54个 【答案】C 【解析】若包括0，则还需要两个奇数，且0不能排在最高位，有C 32A 21A 22＝3×2×2＝12个 若不包括0，则有C 21C 32A 33＝3×2×6＝36个 共计12＋36＝48个 考点：排列组合 2．某学生制定了数学问题解决方案: 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解 决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同 方案共有（ ） A.50种 B.51种 C.140种 D.141种 【答案】D 【解析】 试题分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463141C C C C C C C +++=种 考点：排列组合问题 3．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ） A ．16 B ．24 C ．32 D ．48 【答案】C 【解析】 试题分析：前两次测试的是一件稳定的，一件不稳定的，第三件是不稳定的，共有21122832A C C = 种方法． 考点：排列与组合公式． 4．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码. 则X 所有可能取值的个数是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C 【解析】 试题分析：随机变量X 的可能取值为6,5,4,3取值个数为4. 考点：离散型随机变量的取值. 排列组合 排列组合问题的解题思路和解题方法 解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用解题方法和策略。 一、合理分类与准确分步法(利用计数原理) 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有( ） A．120种B．96种C．78种D．72种 分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A 4 4=24种排 法；2）若甲在第二，三，四位上，则有3*3*3*2*1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。 解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。 二、特殊元素与特殊位置优待法 对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。例2、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（） （A） 280种（B）240种（C）180种（D）96种 分析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作 从剩下的四名志愿者中任选一人有 1 4 C 种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁 三项不同的工作有 3 5 A 种不同的选法，所以不同的选派方案共有 1 4 C35A =240种，选B。 三、插空法、捆绑法 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。 例3、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？ 分析：先将其余四人排好有A 4 4=24种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲组合数学2019年7月真题及答案
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