高中数学中的排列与组合问题
高中数学中的排列与组合问题在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和方法。它们在各种
数学问题中都有广泛的应用，涉及到很多领域，如概率、统计、数论等。本文将介绍排列与组合的基本概念、性质和应用，帮助读者更好
地理解和运用这些知识。
一、排列问题
排列是指将一组元素按照一定顺序进行排列的方法。在数学中，排
列的符号通常用P表示。对于n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列，可以得到的排列数目记为P(n, r)。
对于排列，有以下几个基本概念和性质：
1. 阶乘：n的阶乘表示为n!，定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。例如，4的阶乘为4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24。
2. 全排列：对于n个元素，全排列是指所有可能的排列情况。全排
列的总数为n!。
3. 有重复元素的排列：当n个元素中包含重复元素时，排列数目会
受到影响。在这种情况下，排列数目可以通过除以重复元素的阶乘来
计算。
4. 循环排列：循环排列是一种特殊的排列，其中首尾元素是连续的。对于n个元素的循环排列，有(n-1)!种可能。
排列问题的应用非常广泛，特别是在概率和统计中。例如，当需要
计算可能的组合数目时，就需要使用排列的概念和方法。排列还可以
帮助解决问题，如求解问题的总数、计算概率等。
二、组合问题
组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑其排列顺序的方法。在数学中，组合的符号通常用C表示。对于n个元素的集合，从中选
择r个元素进行组合，可以得到的组合数目记为C(n, r)。
对于组合，有以下几个基本概念和性质：
1. 组合数的性质：对于组合数C(n, r)，有以下的性质：
- C(n, r) = C(n, n-r)；
- C(n, r) = C(n-1, r) + C(n-1, r-1)；
- C(n, 0) = C(n, n) = 1。
2. 杨辉三角形：杨辉三角形是一种用于计算组合数的图形。在杨辉
三角形中，每个数等于它上方两个数的和。杨辉三角形可以帮助我们
快速计算组合数。
3. 组合恒等式：组合恒等式是一种用于计算组合数的等式。其中，
最常用的是Vandermonde恒等式和二项式定理。
组合问题的应用也非常广泛。例如，在概率统计中，我们经常使用
组合来进行计数和计算概率。组合还可以用于求解问题的可能性、求
解问题的最优解等。
结语
排列与组合是高中数学中的重要概念和方法，对于理解和解决各种
数学问题都有着重要的作用。通过学习和掌握排列与组合的基本概念、性质和应用，我们可以更好地应对数学问题，提高自己的数学能力。
希望本文对读者有所帮助，并开启大家对排列与组合更深入的探索与
思考。
高中数学搞定排列组合方法,各种问题大全
高考数学定排列组合方法 问题大全 排队问题大全 三男四女排队30问小结 [ 典例 ]：有3名男生和4名女生，若分别满足下列条件， 则各有多少种不同的排法： 1．全体排一排：50407 7=A 2、选5人排一排：==5 75557A A C 2520 ３．甲站在正中间：6!=720 ____________ ４．甲只能站在正中间或两头： ５．甲既不在排头也不在排尾： ６．甲、乙必须在两头： ______________ ７．甲、乙不站排头和排尾： ____________ ８．甲不在排头、乙不在排尾： ９．甲在乙的右边： ________________ １０．甲、乙必须相邻： _____________ １１．甲、乙不能相邻： １２．甲、乙、丙三人都相邻： １３．甲、乙、丙三人都不相邻： １４．７人排成一排，其中甲、乙、丙三人中，有两人相邻，但这三人不同时相邻： １５．男女生各站在一起： １６．男生必排在一起： __( 或女生必排在一起：______________ ) １７．男女各不相邻(即男女相间、4女互不相邻)： １８．男生不排在一起： １９．任何两男生彼此不相邻： ２０．甲、乙两人之间须相隔１人： ２１．甲、乙两人中间恰有3人： ２２．甲、乙、丙3人自左至右顺序不变(即男生顺序一定,只排女生)： ２３．从左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁的顺序不变(即只排男生)： ２４．甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻： ２５．甲、乙相邻且丙不站排头和排尾： ２６．排成前后两排，前3人后4人： ２７．前3后4人且甲、乙在前排，丙排后排： ２８．三名男生身高互不相同，且从左到右按从高到矮顺序排： ２９．若两端都不能排女生： 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13
高中数学排列组合难题十一种方法
高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =++ + 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =?? ? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 练习题:7种不同的花种在排成一列的xx,若两种葵花不种在中间，也不种在 两端的xx ，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一 个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 乙 甲丁 丙 练习题1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, ５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内 部共有种排法，由分步计数原理共有种排法. 1524 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
高中数学排列组合
高中数学排列组合 一、基本概念 排列组合是数学中比较重要的一个分支，它是研究对象按照一定的规则，从有限个数中选出若干个数进行排列和组合的方法和样式。 1、排列 排列是由一些元素按照一定顺序排列而成的整体。排列是从n个不同元素中取出m个元素按一定顺序排列的方法数，用符号$A^m_n$表示。 例如：n个不同的元素依次排成m列，第一列有n种取法，第二列有(n-1)种取法，第三列有(n-2)种取法，依此类推，第m列有(n-m+1)种取法，则这n个元素排成m列有式子：$$ A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1) $$ 2、组合 组合是由一些元素按照任意排列组成的新整体。组合是从n个不同元素中取出m个元素的不同组合数，用符号 $C^m_n$表示。 例如：从4个球员中选出3人组成篮球队，有如下四种选法： $$ ABC,ABD,ACD,BCD $$ 将三个球员组成的篮球队作为一个整体，不考虑其顺序，则这4种选法仅算一种，所以这四种球员的组合方式有：$$ C_4^3=4 $$ 二、排列
按顺序选择元素的方式叫做排列。排列的计算方法是： 从n个元素中取m个元素进行排列的方法有： $$ A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1) $$ 特别地，当m=n时，有： $$ A_n^n=n! $$ 其中，n!表示n的阶乘，$n!=n(n-1)(n-2)...1$。 例1：从一组大小为6的数字中，任取4个数进行排列，求排列个数。 设全集为{1,2,3,4,5,6}，任取其中4个元素进行排列。 $$ A_6^4=6\times 5\times 4\times 3=360 $$ 例2：一共有5位弟子，要从其中选出3位去参加武术比赛，求有多少种不同的组合方式。 设全集为{A,B,C,D,E}，要从其中任选3个弟子参加武术比赛。 $$ C_5^3=10 $$ 三、组合 组合是指从一组元素中任选m个元素，并将其看作一个整体。组合的计算方法是： 从n个元素中取m个元素进行组合的方法有： $$ C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m!} $$ 特别地，当m=n时，有： $$ C_n^n=\frac{n!}{n!}=1 $$ 如果m>n，则组合数为0。 例1：从一组大小为5的数字中，任取3个数进行组合，求组合个数。 设全集为{1,2,3,4,5}，任选其中3个元素，相当于从5
高中数学排列组合问题方法总结
高中数学排列组合方法总结 1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分； ⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则： ①若干个不同的元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1. 分组（堆）问题 例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？ 解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴将四项工程分为三“堆”，有种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法. ∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决. ♀♀♀♀♀♀♀ ↑↑↑↑↑↑例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)： 几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔. 3.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列. 例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解：（1）分两步进行： ♀♀♀♀♀♀ 甲乙 第一步，把甲乙排列(捆绑)： 第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： 几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列. 4.消序法(留空法) 几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？ 解法1：将5个人依次站成一排，有种站法， 然后再消去甲乙之间的顺序数 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 211 421 2 26 C C C A = 5 5 A 有=120种排法 2 6 A 有=30种插入法120303600 ∴? 共有＝种排法 2 2 A 有＝2种捆法 2120240 ∴? 共有＝种排法 5 5 A 有＝120种排法 5 5 A 2 2 A 5 3 5 5 2 2 543 A A A =??=
高中数学排列组合习题及解析
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。 1。排列的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2.组合的定义：从n个不同元素中，任取m个元素,并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合. 3.排列数公式： 4。组合数公式: 5.排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题。 例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法？ 分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。所涉及问题是排列问题。 解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档，共有种选法。根据乘法原理，共有的不同坐法为种。 结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。 例2 、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法? 分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此,女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。 解因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列,有种排法，其中女生内部也有种排法,根据乘法原理，共有种不同的排法。 结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。 例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？ 分析此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。但如果我们将其转换为等价的其他问题，就会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解。 解此题可以转化为：将12个相同的白球分成8份，有多少种不同的分法问题，因此须把这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球，每个空档最多放一个，即可将白球分成8份，显然有种不同的放法，所以名额分配方案有种。 结论3 转化法：对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解. 例4 袋中有5分硬币23个，1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法？ 分析此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来。但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题。 解把所有的硬币全部取出来，将得到0。05×23+0.10×10=2.15元，所以比2元多0。15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角，所以共有种取法。 结论4 剩余法：在组合问题中，有多少取法,就有多少种剩法，他们是一一对应的，因此,当求取法困难时，可转化为求剩法。 例5 期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序? 分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况,能够得到全体，那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性。 解不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。 结论5 对等法：在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体，就可以得到所求。 例6 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？ 分析此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，这样解题的话，容易造成各种情况遗漏或者重复的情况。而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解，而且在计算中也是非常的简便。这样就可以简化计算过程. 解43人中任抽5人的方法有种，正副班长，团支部书记都不在内的抽法有种，所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种。 结论6 排异法：有些问题,正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中排除. 练习1 某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种？ 练习2 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？ 练习3 马路上有编号为1，2,3，……10的十只路灯，为节约电而不影响照明，可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉马路两端的灯,问满足条件的关灯方法有多少种？ 练习4 A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边，那么不同的站法有多少种? 练习5 某电路有5个串联的电子元件,求发生故障的不同情形数目？ 小结： 解决排列组合应用题的一些解题技巧，具体有插入法，捆绑法，转化法，剩余法，对等法，排异法;对于不同的题目,根据它们的条件，我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比
高中数学中的排列与组合问题解析与技巧
高中数学中的排列与组合问题解析与技巧 导言： 在高中数学中，排列与组合是一个重要的数学概念和工具。它们不 仅在数学中具有重要的地位，还在现实生活中有广泛的应用。本文将 对排列与组合的基本概念进行解析，并介绍一些解题技巧和实际应用。 一、排列与组合的基本概念 1. 排列： 排列是指从n个不同的元素中，取出r个元素进行排序的方法总数，用P(n, r)表示。其中，n表示元素的总数，r表示要取出的元素个数。 排列问题中，元素的顺序是重要的。 2. 组合： 组合是指从n个不同的元素中，取出r个元素的组合方式的总数， 用C(n, r)表示。与排列不同的是，组合问题中，元素的顺序并不重要。 二、排列与组合的关系和计算公式 排列与组合之间有以下关系： P(n, r) = n! / (n - r)! C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!) 其中，"!"表示阶乘运算，即某个正整数n的阶乘为1*2*3*...*n。 三、排列与组合的应用举例
1. 从一组人中选出一个委员会： 假设有10个人，从中选出一个由3人组成的委员会。这是一个组合问题，可以使用组合公式C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!)进行计算。结果为C(10, 3) = 120种不同的选委员会方式。 2. 买彩票中奖的概率计算： 假设彩票中有50个号码，要中3个号码的一等奖。这是一个排列问题，可以使用排列公式P(50, 3) = 50! / (50 - 3)!进行计算。结果为 P(50, 3) = 19,600种不同的中奖号码排列方式。 四、排列与组合问题的解题技巧 1. 理解题意： 在解决排列与组合问题时，首先要准确理解题意。明确元素的总数和要取出的个数，确定问题的类型是排列还是组合。 2. 熟练运用计算公式： 排列与组合的计算公式是解决问题的基础，需要熟练掌握。在计算过程中，可以利用阶乘的定义，将问题化简为简单的数学运算。 3. 注意特殊情况： 有些排列与组合问题中存在特殊情况，需要注意。例如，当元素的总数和要取出的个数相等时，排列和组合的计算值都为1。 4. 利用组合问题解决实际应用：
高中数学中的组合与排列
高中数学中的组合与排列 组合与排列是高中数学中重要的概念和技巧，也是数学问题求解中 常用的方法之一。在概率论、统计学、数论等领域中，组合与排列的 应用广泛，为解决实际问题提供了有效的工具。本文将介绍组合与排 列的概念、性质和应用，并结合例子说明其在高中数学中的重要性。 一、组合与排列的概念 组合与排列是数学中描述对象排列方式的方法，可以看作是选择与 安排的过程。组合指从n个对象中选择r个对象的方式数，排列指从n 个对象中按照一定顺序选取r个对象的方式数。 对于给定的n个对象中选取r个对象，组合的方式数用C(n,r)表示，计算公式为C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中，n!表示n的阶乘。 对于给定的n个对象中按照一定顺序选取r个对象，排列的方式数 用P(n,r)表示，计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!。 二、组合与排列的性质 1. 对于给定的n个对象，C(n,0) = C(n,n) = 1，表示选择0个对象或 选择全部对象都只有1种方式。 2. 组合数满足C(n,r) = C(n,n-r)，即从n个对象中选取r个对象的方 式数和选取剩下的n-r个对象的方式数相等。 3. 排列数满足P(n,n) = n!，表示从n个对象中按顺序选取n个对象 的方式只有n!种。
4. 组合数满足性质C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1)，即从n个对象中选 取r个对象的方式数等于从n-1个对象中选取r个对象的方式数加上从 n-1个对象中选取r-1个对象的方式数。 5. 排列数满足性质P(n,r) = n * P(n-1,r-1)，即从n个对象中按顺序选 取r个对象的方式数等于n乘以从n-1个对象中按顺序选取r-1个对象 的方式数。 三、组合与排列的应用 1. 概率论中的组合与排列：在计算事件发生概率时，需要计算某个 事件发生的有利结果数目。这时可以利用组合与排列的方法，求出有 利结果的个数，再除以总的可能结果数目，即可得到事件发生的概率。 2. 统计学中的组合与排列：在样本调查和统计分析中，常常需要计 算不同样本的组合和排列方式数，以确定不同方法的有效性和可行性。 3. 数论中的组合与排列：在数论证明和问题求解中，组合与排列是 常用的技巧和方法，能够帮助求解数字之间的特定关系或满足特定条 件的数字序列。 4. 逻辑思维中的组合与排列：在解决逻辑问题和思考策略时，组合 与排列可以帮助我们穷举所有可能的情况，以找到最优解或最合适的 解决方案。 综上所述，组合与排列在高中数学中具有重要的地位和意义。它们 不仅是解决实际问题的方法之一，也是培养学生逻辑思维和数学推理 能力的重要途径。通过深入理解组合与排列的概念和性质，并灵活运
高中数学中的排列与组合问题
高中数学中的排列与组合问题排列与组合是高中数学中一个重要且具有挑战性的概念，它们在各 个数学领域以及实际生活中都有广泛的应用。本文将介绍排列与组合 的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和应用这些知识。 一、排列的基本概念与计算方法 在数学中，排列是指从一组元素中选取若干元素按照一定顺序进行 排列的方式。排列的计算方法可以通过阶乘的概念来进行理解和求解。例如，对于n个元素的排列问题，总的排列数目为n的阶乘，即n!。 排列问题可以分为两种情况：有放回排列和无放回排列。有放回排 列是指在每次选取元素后将其放回原来的位置，下次仍然可以选择该 元素。无放回排列是指在每次选取元素后不再放回原来的位置，下次 不能再选择该元素。 二、组合的基本概念与计算方法 组合是指从一组元素中选取若干元素不考虑顺序的方式。组合的计 算方法可以通过排列的概念来进行推导和求解。对于n个元素的组合 问题，可以通过先求取这n个元素的所有可能排列数目，再除以元素 自身的排列数目来得到结果。 组合问题也可以分为有放回组合和无放回组合两种情况，与排列问 题类似。 三、排列与组合的性质与应用
1. 互补原理：排列与组合问题中经常运用的一个原则是互补原理。 互补原理指的是如果两个事件A和B互为对立事件，即两个事件不能 同时发生，那么它们的排列与组合数目之和等于总的排列与组合数目。 2. 隔板法：排列与组合问题中的隔板法是一种常见的求解方法。它 可以将一组元素划分成若干部分，每部分之间用隔板分隔，通过确定 隔板的位置来求解排列与组合问题。 排列与组合在实际生活中有广泛的应用。例如在概率统计中，我们 可以使用排列与组合来计算事件发生的可能性。在密码学中，排列与 组合也被用于生成复杂的密码。 总结： 排列与组合是高中数学中重要的概念，它们的基本概念和计算方法 需要掌握。了解排列与组合的性质和应用，可以帮助我们更好地理解 和应用这些知识。希望通过本文的介绍，读者能够对排列与组合有更 深入的认识，并能够运用到实际问题中。
高中数学中的排列组合问题详解
高中数学中的排列组合问题详解在高中数学中，排列组合问题是一种非常常见的数学问题。它们涉及到各种实际问题，比如从一幅扑克牌中抽出几张牌需要考虑排列组合，选择全国各地的学校代表参加一个比赛也需要考虑排列组合的问题。下面，我们来详细地了解一下排列组合问题以及它们的应用。 1. 排列问题 排列问题指的是在一组元素中按照一定的次序选取部分元素的过程。其结果称为排列。 如果我们有n个不同的元素，从中选取r个元素，那么根据不同的次序，可能会有不同的排列，总数为n × (n-1) × (n-2) × ... ×(n-r+1)，通常用P(n,r)表示。例如，从一幅扑克牌中抽出5张牌，那么所有可能的排列数就是P(52,5) = 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311875200。 排列问题的应用非常广泛。比如在选举会长的时候，如果有n 个人参加，我们要选出r个人进行投票，那么所有可能的排列数就
是P(n,r)。在密码学中，如果我们要从n个不同的字符中选取r个 字符作为密码，那么密码的总数就是P(n,r)。 2. 组合问题 与排列问题不同，组合问题不考虑元素的次序，只考虑元素的 选择，其结果称为组合。 如果我们有n个不同的元素，从中选取r个元素，那么组合数 为C(n,r) = P(n,r) / r!，其中r!表示r的阶乘。例如，从一幅扑克牌 中抽出5张牌，不考虑排列，组合数就是C(52,5) = 52 × 51 × 50 ×49 × 48 / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 2598960。 组合问题也有很多应用。比如在选择学生代表参加一个比赛时，如果有n个学校，每个学校只能派出一个代表，那么所有可能的 组合数就是C(n,1)。在密码学中，如果我们要从n个不同的字符中选取r个字符作为密码，不考虑次序，那么密码的总数就是C(n,r)。 3. 基本性质
高中数学排列组合与组合
高中数学排列组合与组合 排列组合和组合是高中数学中重要的概念和方法。在解决实际问题时，排列组合和组合可以帮助我们进行正确的计数和计算。本文将详 细介绍高中数学中的排列组合和组合，包括相关定义、基本原理、计 算方法以及实际应用。 一、排列组合的定义和基本原理 排列指的是从n个元素中按照一定顺序选取r个元素的方式，可以记作P(n,r)。排列的基本原理是乘法原理，即每个元素在选择过程中只能使用一次，因此排列的总数为n乘以n-1乘以n-2...直到乘以n-r+1，即n的阶乘除以(n-r)的阶乘。 组合指的是从n个元素中无序选择r个元素的方式，可以记作C(n,r)或者nCr。组合的基本原理是除法原理，即在计算过程中忽略元素的顺序，因此组合的总数为排列的总数除以r的阶乘。 二、排列组合的计算方法 1. 排列的计算方法： (1) 从n个元素中选取r个元素，且每个元素只能使用一次，计算排列数的公式为P(n,r)=n!/(n-r)! 2. 组合的计算方法： (1) 从n个元素中选取r个元素，且忽略元素的顺序，计算组合数的公式为C(n,r)=P(n,r)/r!
三、排列组合的实际应用 排列组合和组合在实际问题中有广泛的应用，特别是在概率论、组合数学、统计学等领域。 1. 概率计算： (1) 在抽奖、赌博、随机事件中，排列组合可以帮助我们计算不同情况出现的概率，从而更好地进行决策。 2. 空间排列： (1) 在桌面布局、家居摆放等情况下，排列组合可以帮助我们计算不同物体摆放的方式和数量，从而使空间更加美观和合理。 3. 信息编码： (1) 在计算机科学、通信工程等领域，排列组合可以帮助我们计算不同编码形式的总数，从而提高信息传输的效率和安全性。 4. 运输和配送： (1) 在物流、配送等领域，排列组合可以帮助我们计算不同运输方式和路径的总数，从而优化运输方案和节约成本。 四、排列组合的实例分析 为了更好地理解排列组合和组合的应用，下面以实际问题为例进行分析：
高中数学排列组合问题方法总结
高中数学排列组合问题 方法总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高中数学排列组合方法总结 1.分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分； ⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则： ①若干个不同的元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1.分组（堆）问题 例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？ 解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴将四项工程分为三“堆”，有种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法. ∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决. ♀♀♀♀♀♀♀ ↑↑↑↑↑↑ 例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？解：分两步进行： 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)： 几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔. 3.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列. 例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解：（1）分两步进行： ♀♀♀♀♀♀ 甲乙 第一步，把甲乙排列(捆绑)： 第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： 几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列. 4.消序法(留空法) 几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例4.5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？ 解法1：将5个人依次站成一排，有种站法， 然后再消去甲乙之间的顺序数 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 211 421 2 26 C C C A = 5 5 A 有=120种排法 2 6 A 有=30种插入法120303600 ∴⨯ 共有＝种排法 2 2 A 有＝2种捆法 2120240 ∴⨯ 共有＝种排法 5 5 A 有＝120种排法 5 5 A 2 2 A 5 3 5 5 2 2 543 A A A =⨯⨯= 2
高中数学排列组合问题的几种基本方法
高中数学排列组合问题的几种基本方法总结 1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则： ①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1. 分组（堆）问题 例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？ 解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴先将四项工程分为三“堆”，有 种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法. ∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 21142122 6C C C A
2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决. ♀ ♀♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)： 几个元素不能相邻时,先排一般元素， 再让特殊元素插孔. 3.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列. 例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解：（1）分两步进行： ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ 甲 乙 第一步，把甲乙排列(捆绑)： 55A 有=120种排法 26A 有=30种插入法 120303600∴⨯共有＝种排法
高中排列组合题
高中排列组合题 排列组合题是高中数学中常见的考点之一，它考察了学生对于排列组合原理的理解和应用能力。本文将通过解答几个高中排列组合题来帮助读者更好地理解和掌握相关的知识点。 题目一：某班有10名学生，其中5名男生和5名女生，要从中选出3名代表参加学校的数学竞赛，请问有多少种可能的选法？ 解析：这是一个从10个学生中选出3个的排列组合问题。根据排列组合的原理，我们知道选法的种数等于从10个学生中选出3个学生的组合数。组合数记作C(m, n)，表示从m个元素中选取n个元素的组合数。 解题步骤： 1. 使用排列组合公式计算组合数C(10, 3)。 C(10, 3) = 10! / (3! × (10 - 3)!) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120 2. 因此，可能的选法有120种。 题目二：某校学生会选举，共有一届生100名候选人，要从中选出7名代表，请问有多少种可能的选举结果？
解析：这是一个从100名候选人中选出7个的排列组合问题。 解题步骤： 1. 使用排列组合公式计算组合数C(100, 7)。 C(100, 7) = 100! / (7! × (100 - 7)!) = 100! / (7! × 93!) ≈ 1.605 × 10^9 2. 因此，可能的选举结果有约1.605 × 10^9种。 题目三：某班级有9名学生，其中3名男生和6名女生，要从中选出4名代表参加学校的篮球比赛，请问有多少种可能的选法？ 解析：这是一个从9个学生中选出4个的排列组合问题。 解题步骤： 1. 使用排列组合公式计算组合数C(9, 4)。 C(9, 4) = 9! / (4! × (9 - 4)!) = 9! / (4! × 5!) = (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1) = 126 2. 因此，可能的选法有126种。 通过解答以上三个高中排列组合题，我们可以看到排列组合原理的应用范围很广，涉及到各种实际情境中的选择和组合问题。对于这类
高中数学排列组合例题
排列组合 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得113 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内 部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 乙 甲丁 丙 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 5456A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间 的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配 到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并 从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！ H F D C A A B C D E A B E G H G F 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24 A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列 有55A 种,则共有215 445A A A 种 前 排后 排 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间 的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 C 1 4 A 3 4 C 1 3 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆 形排列共有1m n A n 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
高中数学_排列组合100题(附解答)
中学数学_排列组合100题 一、填充题 1. (1)设{}3,8A =﹐{}8,36B x =+﹐若A B =﹐则x =____________﹒ (2)设{}2|320A x x x =-+=﹐{}1,B a =﹐若A B =﹐则a =____________﹒ 2. (1)8 22x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭绽开式中10x 项的系数为____________﹒ (2)52123x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭绽开式中3x 项的系数为____________﹒ (3)53212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭绽开式中常数项为____________﹒ 3. (1)()8 2x y z +-绽开式中332x y z 项的系数为____________﹒ (2)()532x y z -+绽开式中﹐2.3x y 项的系数为____________﹒ 4. 四对夫妇围一圆桌而坐﹐夫妇相对而坐的方法有___________种﹒ 5. {}{}1,21,2,3,4,5,A ⊂⊂且A 有4个元素﹐则这种集合A 有____________个﹒ 6. 从2000到3000的全部自然数中﹐为3的倍数或5的倍数者共有____________个﹒ 7. 从1至10的十个正整数中任取3个相异数﹐其中均不相邻的整数取法有____________种﹒ 8. 某女生有上衣5件﹑裙子4件﹑外套2件﹐请问她外出时共有____________种上衣﹑裙子﹑外套的搭配法﹒（留意：外套可穿也可不穿﹒） 9. 已知数列n a 定义为1132n n a a a n +=⎧⎨=+⎩﹐n 为正整数﹐求100a =____________﹒ 10. 设A ﹑B ﹑T 均为集合﹐{},,,A a b c d =﹐{},,,,=B c d e f g ﹐则满意T A ⊂或T B ⊂的集合T 共有____________个﹒ 11. 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌闲聊﹐试求下列各情形之排列数： (1)男女间隔而坐且夫妇相邻____________﹒ (2)每对夫妇相对而坐____________﹒ 12. 体育课后﹐阿珍将4个相同排球﹐5个相同篮球装入三个不同的箱子﹐每箱至少有1颗球﹐则方法有____________种﹒ 13. 如图﹐由A 沿棱到G 取快捷方式（最短路径）﹐则有____________种不同走法﹒ 14. 0﹑1﹑1﹑2﹑2﹑2﹑2七个数字全取排成七位数﹐有____________种方法﹒ 15. 10 132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 绽开式中﹐各实数项和为____________﹒