高中数学排列组合与概率的综合应用题解析与求解
高中数学排列组合与概率的综合应用题解析
与求解
在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和技巧。排列组合主要涉及对对象的选择和排列，而概率则是研究事件发生的可能性。在解决实际问题时，这两个概念常常会结合起来使用。本文将通过具体的题目来说明如何应用排列组合与概率的知识解决综合应用题。
题目一：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，其中至少有1个男生。求这样的小组的可能数。
解析：这是一个典型的排列组合问题，我们需要从10个男生中选出至少1个男生，再从8个女生中选出剩下的2个人。根据排列组合的知识，我们可以得出解题步骤如下：
1. 选出1个男生的可能数：C(10, 1) = 10
2. 从8个女生中选出2个人的可能数：C(8, 2) = 28
3. 将步骤1和步骤2的结果相乘，得到最终的结果：10 * 28 = 280
所以，这样的小组的可能数为280。
通过这个题目，我们可以看到排列组合的应用，以及如何将多个步骤结合起来求解问题。这对于高中学生来说，是一个很好的练习。
题目二：某班有10个男生和8个女生，从中随机选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有1个男生的概率。
解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下：
1. 满足条件的小组数：根据题目一的解析，我们已经知道满足条件的小组数为280。
2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。
3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：280 / 816 ≈ 0.343。
所以，这样的小组中至少有1个男生的概率约为0.343。
通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。这对于高中学生来说，是一个很好的练习。
题目三：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有2个男生的概率。
解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下：
1. 满足条件的小组数：从10个男生中选出2个人的可能数为C(10, 2) = 45，再从8个女生中选出1个人的可能数为C(8, 1) = 8。将这两个结果相乘得到满足条件的小组数：45 * 8 = 360。
2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。
3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：360 / 816 ≈ 0.441。
所以，这样的小组中至少有2个男生的概率约为0.441。
通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。这对于高中学生来说，是一个很好的练习。
综上所述，排列组合与概率在高中数学中是两个重要的概念和技巧。通过具体的题目，我们可以看到它们在解决实际问题时的应用。掌握排列组合与概率的知识
和技巧，对于高中学生来说，是非常重要的。希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这些知识，提高数学解题的能力。
高中数学中的排列组合应用题
高中数学中的排列组合应用题在高中数学学习中，排列组合是一个非常重要的内容。它不仅能够 帮助我们理解数学概念，还可以应用于实际生活中的问题。本文将介 绍一些高中数学中常见的排列组合应用题，以加深我们对这个概念的 理解。 一、购买礼物 假设小明要为他的朋友买生日礼物，商店里有3种不同的礼物供他 选择。如果他打算买2件礼物作为生日礼物，那么他有多少种不同的 选择方式？ 解析：根据排列组合的知识，我们可以用组合的公式来计算小明的 选择方式。因为他要购买的礼物是无序的，所以使用组合公式。根据 组合公式，我们有C(3,2) = 3 种不同的选择方式。 二、选课方案 某高中有10门不同的选修课供学生选择，每个学生必须选择5门。那么学生有多少种不同的选课方案？ 解析：根据排列组合的知识，我们可以用组合的公式来计算学生的 选课方案。因为选修课的顺序对学生来说是无关紧要的，所以使用组 合公式。根据组合公式，我们有C(10,5) = 252 种不同的选课方案。 三、分组问题
某班级有20名学生，他们要分成4个小组参加活动。每个小组的 人数可以不同，但要求每个小组至少有1人。那么有多少种不同的分 组方式？ 解析：根据排列组合的知识，我们可以用组合的公式来计算分组方式。因为每个小组的人数可以不同，所以使用组合公式。根据组合公式，我们有C(19,3) * C(16,3) * C(13,3) = 846720 种不同的分组方式。 四、密码问题 某交易平台的密码由4位数字组成，每位数字可以是0-9的任意一 个数字。那么共有多少种不同的密码组合？ 解析：根据排列组合的知识，我们可以用排列的公式来计算密码组合。因为每位数字可以重复出现，所以使用排列公式。根据排列公式，我们有P(10,4) = 5040 种不同的密码组合。 五、编码问题 某公司对员工的编号规则是3位数字和3位字母的组合，数字和字 母都可以重复使用，且顺序可以任意排列。那么共有多少种不同的员 工编号方式？ 解析：根据排列组合的知识，我们可以用排列的公式来计算员工编 号方式。因为数字和字母都可以重复使用且顺序可以任意排列，所以 使用排列公式。根据排列公式，我们有P(10,3) * P(26,3) = 1501200 种 不同的员工编号方式。
高中数学排列组合与概率的综合应用题解析与求解
高中数学排列组合与概率的综合应用题解析 与求解 在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和技巧。排列组合主要涉及对对象的选择和排列，而概率则是研究事件发生的可能性。在解决实际问题时，这两个概念常常会结合起来使用。本文将通过具体的题目来说明如何应用排列组合与概率的知识解决综合应用题。 题目一：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，其中至少有1个男生。求这样的小组的可能数。 解析：这是一个典型的排列组合问题，我们需要从10个男生中选出至少1个男生，再从8个女生中选出剩下的2个人。根据排列组合的知识，我们可以得出解题步骤如下： 1. 选出1个男生的可能数：C(10, 1) = 10 2. 从8个女生中选出2个人的可能数：C(8, 2) = 28 3. 将步骤1和步骤2的结果相乘，得到最终的结果：10 * 28 = 280 所以，这样的小组的可能数为280。 通过这个题目，我们可以看到排列组合的应用，以及如何将多个步骤结合起来求解问题。这对于高中学生来说，是一个很好的练习。 题目二：某班有10个男生和8个女生，从中随机选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有1个男生的概率。 解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下：
1. 满足条件的小组数：根据题目一的解析，我们已经知道满足条件的小组数为280。 2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。 3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：280 / 816 ≈ 0.343。 所以，这样的小组中至少有1个男生的概率约为0.343。 通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。这对于高中学生来说，是一个很好的练习。 题目三：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有2个男生的概率。 解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下： 1. 满足条件的小组数：从10个男生中选出2个人的可能数为C(10, 2) = 45，再从8个女生中选出1个人的可能数为C(8, 1) = 8。将这两个结果相乘得到满足条件的小组数：45 * 8 = 360。 2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。 3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：360 / 816 ≈ 0.441。 所以，这样的小组中至少有2个男生的概率约为0.441。 通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。这对于高中学生来说，是一个很好的练习。 综上所述，排列组合与概率在高中数学中是两个重要的概念和技巧。通过具体的题目，我们可以看到它们在解决实际问题时的应用。掌握排列组合与概率的知识
排列组合的综合运用(精练)高中数学新同步精讲讲练(选择性必修第三册)(教师版含解析)
6.2.3 排列组合的综合运用(精练) 【题组一全排列】 1．(2020·中山大学附属中学高二期中)一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( ) A．4 B．44C．24 D．48 【答案】C 【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为4 4=432124 A⨯⨯⨯=. 故选：C 2．(2020·全国高二单元测试)3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种. 【答案】64 【解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有4种选择，则3名同学共有34=64种报名方案.故答案为：64. 3．(2020·上海高二专题练习)若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种． 【答案】59 【解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题 五个字母进行全排列共有5 5120 A=种结果， 字母中包含2个l， ∴五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果， 在这60种结果里有一个是正确的， ∴可能出现的错误的种数是60159 -=， 故答案为：59． 4．(2021·浙江衢州市)将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种. 【答案】18 【解析】将9个相同的球分成个数不同的3份，有(1,2,6)，(1,3,5)，(2,3,4)三种情况，再将这3份个数 不同的球放到3个不同的盒子中，有3 36 A=种情况，所以不同的分配方法共有18 6 3= ⨯种.
高二数学排列组合综合应用试题
高二数学排列组合综合应用试题 1.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同 的方法．（用数字作答） 【答案】1260 【解析】9个求排成一列，相当于排队，从9个位置选2个排红球，共有种，从剩余7个 选3个排黄球，共有，剩余4个位置排白球，因此共有. 【考点】排列问题 2.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数： （1）甲必须在排头； （2）甲、乙相邻； （3）甲不在排头，并且乙不在排尾； （4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻． 【答案】(1)24;(2)48;(3)78;(4)36 【解析】（1）特殊元素(位置)法:首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种共有24种;(2)捆绑法:把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种;(3)对立法:甲在排头和乙在排尾的各种,其中甲在排头且乙在排尾的有种,五个 人站成一排的不同排法数是种,所以甲不在排头，并且乙不在排尾的有种;(4)插 空法:先将其余3个全排列种，再将甲、乙插入4个空位种，所以，一共有种不同排法. 试题解析：（1）特殊元素是甲,特殊位置是排头;首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种,所 以共有：种 把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种； （3）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：种；先将其余3个全排列,再将甲、乙插入4个空位，所以，一共有种不同排法. 【考点】排列组合 3.设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． （1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ （2）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？ 【答案】（1）70种；（2）59种． 【解析】（1）由题意可分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水 彩画有7种，根据分步计数原理，问题得以解决． （2）由题意可分三类，第一类，选国画和油画，第二类，选国画和水彩画，第三类，选油画和 水彩画，根据分类计数原理，问题得以解决． 试题解析：（1）分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水彩画有7种，根据分步计数原理得，共有5×2×7=70种． （2）分三类，第一类，选国画和油画共有5×2=10种，第二类，选国画和水彩画共有5×7=35种，第三类，选油画和水彩画共有2×7=14种， 根据分类计数原理共有10+25+14=59种． 【考点】分类和分步计数原理． 4.有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？ (1)甲得4本，乙得3本，丙得2本； (2)一人得4本，一人得3本，一人得2本； (3)甲、乙、丙各得3本． 【答案】（1）1260（2）7560（3）1680 【解析】（1）分步：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本；（2）分两步完成：先分组，再分
高中数学排列组合习题及解析
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。 1。排列的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2.组合的定义：从n个不同元素中，任取m个元素,并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合. 3.排列数公式： 4。组合数公式: 5.排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题。 例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法？ 分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。所涉及问题是排列问题。 解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档，共有种选法。根据乘法原理，共有的不同坐法为种。 结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。 例2 、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法? 分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此,女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。 解因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列,有种排法，其中女生内部也有种排法,根据乘法原理，共有种不同的排法。 结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。 例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？ 分析此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。但如果我们将其转换为等价的其他问题，就会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解。 解此题可以转化为：将12个相同的白球分成8份，有多少种不同的分法问题，因此须把这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球，每个空档最多放一个，即可将白球分成8份，显然有种不同的放法，所以名额分配方案有种。 结论3 转化法：对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解. 例4 袋中有5分硬币23个，1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法？ 分析此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来。但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题。 解把所有的硬币全部取出来，将得到0。05×23+0.10×10=2.15元，所以比2元多0。15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角，所以共有种取法。 结论4 剩余法：在组合问题中，有多少取法,就有多少种剩法，他们是一一对应的，因此,当求取法困难时，可转化为求剩法。 例5 期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序? 分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况,能够得到全体，那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性。 解不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。 结论5 对等法：在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体，就可以得到所求。 例6 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？ 分析此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，这样解题的话，容易造成各种情况遗漏或者重复的情况。而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解，而且在计算中也是非常的简便。这样就可以简化计算过程. 解43人中任抽5人的方法有种，正副班长，团支部书记都不在内的抽法有种，所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种。 结论6 排异法：有些问题,正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中排除. 练习1 某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种？ 练习2 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？ 练习3 马路上有编号为1，2,3，……10的十只路灯，为节约电而不影响照明，可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉马路两端的灯,问满足条件的关灯方法有多少种？ 练习4 A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边，那么不同的站法有多少种? 练习5 某电路有5个串联的电子元件,求发生故障的不同情形数目？ 小结： 解决排列组合应用题的一些解题技巧，具体有插入法，捆绑法，转化法，剩余法，对等法，排异法;对于不同的题目,根据它们的条件，我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比
高中数学概率与统计的常见题型及解题思路
高中数学概率与统计的常见题型及解题思路 概率与统计是高中数学中的重要内容，也是学生们普遍感到困惑的一部分。在 考试中，概率与统计题型常常出现，因此掌握解题思路和技巧对于学生们来说非常重要。本文将介绍一些常见的概率与统计题型，并给出相应的解题思路和方法。一、排列组合类题型 排列组合类题型是概率与统计中的基础题型，也是其他题型的基础。例如： 例1：从1、2、3、4、5这5个数字中选取3个数字，组成一个无重复的三位数，求所能组成的三位数的个数。 解析：这是一个典型的排列问题。我们可以先确定百位上的数字，有5种选择；然后确定十位上的数字，有4种选择；最后确定个位上的数字，有3种选择。根据乘法原理，所能组成的三位数的个数为5×4×3=60个。 类似的题型还有从n个数字中选取m个数字，求所能组成的m位数的个数等。 二、事件的概率类题型 事件的概率类题型是概率与统计中的重点和难点。例如： 例2：一枚硬币抛掷3次，求抛掷结果中至少出现两次正面的概率。 解析：这是一个典型的事件的概率问题。我们可以列出所有可能的结果：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反。其中，至少出现两次正面的结果有6种，所以所求的概率为6/8=3/4。 类似的题型还有从一副扑克牌中抽取一张牌，求抽到红桃的概率等。 三、频率与统计量类题型 频率与统计量类题型是概率与统计中的实际应用题型。例如：
例3：某班级有60名学生，其中30名男生、30名女生。从中随机抽取5名学生，求抽到女生人数的概率。 解析：这是一个典型的频率与统计量问题。我们可以使用组合数的知识来解决。从30名女生中选取0名女生的组合数为C(30, 0)，从30名男生中选取5名男生的 组合数为C(30, 5)。所以所求的概率为C(30, 0) / C(60, 5)。 类似的题型还有某城市每天的降雨量数据，求降雨量超过某个值的概率等。 总结起来，掌握排列组合的基本原理、事件的概率计算方法以及频率与统计量 的计算方法是解决概率与统计题型的关键。在解题过程中，要注意理清思路，将问题转化为已知的数学模型，然后运用相应的公式和方法进行计算。同时，要善于举一反三，将解题思路和方法应用到其他类似的题目中，提高解题的灵活性和准确性。 希望本文对高中学生和家长们在概率与统计的学习中有所帮助，能够更好地掌 握解题思路和技巧，提高解题能力和应试能力。通过不断的练习和思考，相信大家一定能够在概率与统计中取得好成绩！
高中数学排列组合与概率分布解题技巧
高中数学排列组合与概率分布解题技巧 在高中数学中，排列组合与概率分布是一个重要的考点，也是学生们普遍认为较为困难的部分。本文将介绍一些解题技巧，帮助学生更好地理解和应用排列组合与概率分布的知识。 一、排列组合的基础知识 排列和组合是排列组合学中的两个基本概念。排列指的是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列，而组合则是从一组元素中选取若干个元素，不考虑顺序。在解题时，我们需要根据题目要求确定使用排列还是组合的方法。 例如，有5个人，从中选取3个人组成一支篮球队，问有多少种不同的组合方式？ 解题思路：由于篮球队员的顺序不影响最终结果，所以这是一个组合问题。根据组合的定义，我们可以使用组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)来计算。代入题目中的数据，即C(5,3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10种不同的组合方式。 二、排列组合的应用 排列组合在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在概率问题中。下面我们通过一个例题来说明排列组合在概率分布中的应用。 例题：有5个红球和7个蓝球，从中任意取出3个球，问其中至少有2个红球的概率是多少？ 解题思路：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的事件发生的概率。根据题目要求，我们可以将问题分解为两个部分：至少有2个红球和3个红球。然后分别计算这两个事件发生的概率，最后将两个概率相加即可得到答案。
1. 至少有2个红球的概率：可以分解为有2个红球和有3个红球两种情况。对 于有2个红球的情况，我们可以从5个红球中选取2个，然后从7个蓝球中选取1个，所以概率为C(5,2) * C(7,1) / C(12,3)。同理，对于有3个红球的情况，概率为 C(5,3) * C(7,0) / C(12,3)。 2. 将两个概率相加，即可得到最终结果。 通过以上计算，我们可以得到至少有2个红球的概率。 三、举一反三 除了以上的例题，排列组合与概率分布还可以应用于更多的问题中。在解题时，我们需要根据具体情况选择合适的方法。 例如，有10个人参加一场考试，其中5个人是男生，5个人是女生。从中选取 3个人组成一个小组，问其中至少有2个男生的概率是多少？ 解题思路：这是一个与之前例题类似的问题，我们可以使用排列组合的方法来 解决。根据题目要求，我们可以将问题分解为两个部分：至少有2个男生和3个男生。然后分别计算这两个事件发生的概率，最后将两个概率相加即可得到答案。 通过以上例题和类似问题的解答，我们可以更好地理解和应用排列组合与概率 分布的知识，提高解题的能力。 总结： 排列组合与概率分布是高中数学中重要的考点，也是学生们普遍认为较为困难 的部分。通过理解基础知识，并掌握解题技巧，我们可以更好地应用排列组合与概率分布的知识，解决实际问题。希望本文对高中学生及其家长有所帮助，提高解题能力，取得更好的成绩。
高中数学排列组合与概率的实际问题综合解析
高中数学排列组合与概率的实际问题综合解 析 在高中数学中，排列组合与概率是一个重要的章节，它涉及到很多实际问题的 解决。通过掌握排列组合与概率的知识，我们可以解决很多实际生活中的问题，比如抽奖、选课、组队等等。本文将通过几个具体的例子，来说明排列组合与概率的实际应用。 首先，我们来看一个与抽奖有关的问题。假设有一个抽奖活动，参与者需要从 1到10中选择3个不重复的数字，中奖的条件是选择的3个数字与主办方事先设 定的3个数字完全一致。那么，我们应该如何计算中奖的概率呢？ 首先，我们需要计算一共有多少种可能的选择方式。根据排列组合的知识，从10个数字中选择3个数字的方式有10*9*8=720种。而中奖的方式只有一种，所以 中奖的概率就是1/720。 接下来，我们来看一个与选课有关的问题。假设某个学校有5个不同的选修课程，学生需要选择其中3门进行学习。那么，我们应该如何计算学生的选课可能性呢？ 根据排列组合的知识，从5门课程中选择3门的方式有5*4*3=60种。但是， 由于选修课程的顺序不重要，所以我们需要除以3!（即3的阶乘）。最终，学生 的选课可能性就是60/6=10种。 最后，我们来看一个与组队有关的问题。假设某个班级有10个学生，需要将 他们分成两个小组，每个小组5个人。那么，我们应该如何计算不同的分组方式呢？ 根据排列组合的知识，从10个学生中选择5个学生的方式有 10*9*8*7*6=30,240种。但是，由于两个小组的顺序不重要，所以我们需要除以2（即2的阶乘）。最终，不同的分组方式就是30,240/2=15,120种。
通过以上几个例子，我们可以看到排列组合与概率在解决实际问题中的重要性。在解决这类问题时，我们需要灵活运用排列组合的知识，确定问题的求解方式，并计算出相应的概率。同时，我们也需要注意问题中的条件，合理地进行排列组合的计算。 总结起来，排列组合与概率是高中数学中的重要章节，它们在解决实际问题中 具有广泛的应用。通过掌握排列组合与概率的知识，我们可以解决各种实际问题，提高问题解决能力。因此，我们应该认真学习排列组合与概率的知识，灵活运用它们解决实际问题。希望本文对高中学生及其父母有所帮助。
高中数学中的排列组合概率解题方法与实例分析
高中数学中的排列组合概率解题方法与实例 分析 在高中数学的学习中，排列组合以及概率是重要的概念和解题方法。本文将探讨排列组合概率的相关概念和解题方法，并通过实例分析来 加深对这些知识的理解与应用。 一、排列组合概率的基本概念 排列与组合是数学中研究对象的不同排列方式和组合方式。在解决 实际问题的过程中，我们经常需要考虑某些事件的排列或组合情况， 而概率则是研究事件发生可能性大小的数学工具。 1. 排列：排列是指从给定元素集合中取出若干元素进行排列的方式。排列可以分为有放回排列和无放回排列两种情况。 - 有放回排列：从n 个元素中选取r 个元素，每个元素取出后放回。根据排列的性质，有放回排列的总数为 n^r。 - 无放回排列：从 n 个元素中选取 r 个元素，每个元素取出后不放回。根据排列的性质，无放回排列的总数为 n!/(n-r)! 2. 组合：组合是指从给定元素集合中取出若干元素进行组合的方式。组合同样可以分为有放回组合和无放回组合两种情况。 - 有放回组合：从n 个元素中选取r 个元素，每个元素取出后放回。根据组合的性质，有放回组合的总数为 (n+r-1)C(r)。
- 无放回组合：从 n 个元素中选取 r 个元素，每个元素取出后不放回。根据组合的性质，无放回组合的总数为 n!/((n-r)!r!) 3. 概率：概率是用来描述一个事件发生的可能性大小的数值。在排列组合中，概率可以通过总数的比例来计算。 - 排列的概率：排列的概率可以通过某个事件的排列数与总排列数的比例来计算。 - 组合的概率：组合的概率可以通过某个事件的组合数与总组合数的比例来计算。 二、排列组合概率的解题方法 在高中数学中，我们经常遇到需要用到排列组合概率的解题情况。以下将介绍几种常见的解题方法。 1. 利用排列与组合的性质：根据排列与组合的性质进行计算，求解事件的排列数或组合数，从而计算概率。 2. 利用二项式定理：二项式定理可以用来展开两个数之和的幂。在计算排列组合与概率时，可以利用二项式定理简化计算过程。 3. 利用条件概率和乘法原理：有些问题需要考虑多个事件同时发生的概率。在这种情况下，可以利用条件概率和乘法原理进行计算。 三、实例分析 下面通过几个实例来进一步理解和应用排列组合概率的解题方法。 实例一：
排列组合应用题的七大策略和解法技巧
排列组合应用题的七大策略和解法技巧 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们认真地审题，采取适当的策略，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面，我们通过例题来说明一些解排列组合应用题的常见的策略和解法技巧。 一、运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理，近几年的高考试题中也着重考查这两个基本原理。 例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 解法1：用分类记数原理，没有人通过，有C0n种结果；1个人通过，有C1n 种结果，… n个人通过，有Cnn种结果，所以一共有C0n+ C1n+…+Cnn=2n种可能的结果。 解法2：用分步记数原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样，所以一共有2n种可能的结果。 例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （） A.6种 B.9种 C.11种 D.23种 解法：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d， 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类： （1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的； （2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都
是唯一的； 根据加法原理和乘法原理，一共有3×（1+2）=9种分配方式。 二、特殊元素（位置）优先 特殊元素、特殊位置优先，是处理排列组合综合问题的一个基本原则。 例3．从0，1，…9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？ 分析：0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。 解法：个位选0，有A49个，个位不选0且万位不能选0，有C14，C18，A38个，所以一共可以得到A49+C14+C18+A38=13775个偶数。 例4．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？ 解法：先排甲，有A14种排法；再排乙，有A15种排法；再排其余的人，又有A66种排法，所以一共有A14+A15+A66=14400种排法。 三、捆绑法和插空法 部分元素的相邻问题常用捆绑法解决，而不相邻问题常用插空法来求。 例5．8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？ 解法：把甲、乙、丙先排好，有A22种排法；再把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有A66种排法，所以一共有A22·A66=1440种 排法。 四、排除法（淘汰法） 排除法实际上就是从总体计数中去除不合乎题意或重复计数的方法数。 例6．求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。 解法：从8个点中取4个点，共有C48种方法，其中取出的4个点共面的有6+6=12种，所以符合条件的四面体的个数为C48-12=58个。
数学排列组合与概率题解题技巧汇总
数学排列组合与概率题解题技巧汇总 数学是一门令人又爱又恨的学科，而其中的排列组合与概率更是让很多人头痛 的难题。然而，只要掌握一些解题技巧，这些难题也能迎刃而解。本文将汇总一些数学排列组合与概率题解题技巧，帮助读者更好地应对这些问题。 1. 排列组合的基本概念 排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到对象的选择、排序和组合。在排 列组合中，有两个基本概念：排列和组合。排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象的方式，而组合则是指从一组对象中选择若干个对象，不考虑顺序。 2. 排列组合的计算方法 在解决排列组合问题时，我们可以利用一些计算方法来简化计算。其中，最常 用的方法有乘法原理和加法原理。乘法原理指的是将多个独立事件的可能性相乘，得到总的可能性。而加法原理则是将多个互斥事件的可能性相加，得到总的可能性。 3. 概率的计算方法 概率是指某个事件发生的可能性，它是一个介于0和1之间的数。在计算概率时，我们可以利用频率和几何概率两种方法。频率概率是指通过实验或观察来确定事件发生的可能性，而几何概率则是指通过几何模型来计算事件发生的可能性。 4. 使用排列组合解决问题 排列组合在解决实际问题时有着广泛的应用。例如，在考试中，我们经常会遇 到选择题和填空题。对于选择题，我们可以利用排列组合的方法来计算正确答案的可能性。而对于填空题，我们可以利用组合的方法来计算填空的可能性。 5. 使用概率解决问题
概率在解决实际问题时也有着广泛的应用。例如，在赌博游戏中，我们可以利用概率来计算赢的可能性。而在保险业中，我们可以利用概率来计算保险索赔的可能性。 6. 注意排列组合与概率的区别 在解决问题时，我们要注意排列组合与概率的区别。排列组合是指从一组对象中选择若干个对象的方式，而概率则是指某个事件发生的可能性。因此，在解决问题时，我们要根据具体情况选择使用排列组合还是概率的方法。 7. 题目分析与解题思路 在解决排列组合与概率问题时，我们首先要对题目进行分析，确定问题的具体要求。然后，我们可以根据题目的要求选择合适的计算方法，并运用相应的技巧解决问题。最后，我们要对解题过程进行检查，确保结果的准确性。 通过以上的排列组合与概率题解题技巧的汇总，相信读者对这些难题会有更好的理解和应对能力。数学虽然有时令人头痛，但只要我们掌握了一些解题技巧，就能轻松应对各种问题。希望本文能对读者在数学学习中有所帮助。
高中数学排列组合与概率结合解题技巧
高中数学排列组合与概率结合解题技巧 在高中数学中，排列组合和概率是两个重要且常见的概念。它们在解题过程中 经常结合使用，能够帮助我们解决各种实际问题。本文将介绍一些排列组合与概率结合解题的技巧，并通过具体题目进行说明和分析，以帮助高中学生提高解题能力。 一、排列组合与概率的基本概念回顾 在开始讨论解题技巧之前，我们先回顾一下排列组合与概率的基本概念。 排列是指从一组元素中选取若干个进行排列，排列的顺序很重要。当从n个元 素中选取r个进行排列时，排列数用符号P表示，计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)! 组合是指从一组元素中选取若干个进行组合，组合的顺序不重要。当从n个元 素中选取r个进行组合时，组合数用符号C表示，计算公式为C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!) 概率是指某一事件发生的可能性。概率的计算公式为P(A) = 事件A发生的次 数 / 总的可能性次数。 二、排列组合与概率结合解题技巧 1. 使用排列组合计算总的可能性次数 在解决概率问题时，有时我们需要计算总的可能性次数。这时，我们可以利用 排列组合的知识来计算。例如，有5个红球和3个蓝球，从中任选3个球，求选出 的3个球中至少有一个红球的概率。 解答：我们可以利用排列组合的知识来计算选出的3个球中至少有一个红球的 总的可能性次数。首先，我们可以计算选出3个球中没有红球的情况，即选出的3 个球都是蓝球的情况。根据组合的计算公式，C(3,3) = 1，表示选出3个球中都是 蓝球的情况只有1种可能。接下来，我们可以计算选出3个球中只有1个红球的情
况，即选出的3个球中有2个蓝球和1个红球的情况。根据排列的计算公式，P(5,1) = 5，表示选出1个红球的可能性有5种，而P(3,2) = 3，表示选出2个蓝球的可能 性有3种。因此，选出3个球中只有1个红球的情况共有5 * 3 = 15种可能。最后，我们可以计算选出3个球中有2个红球的情况，即选出的3个球中有1个蓝球和2 个红球的情况。根据排列的计算公式，P(5,2) = 20，表示选出2个红球的可能性有 20种，而P(3,1) = 3，表示选出1个蓝球的可能性有3种。因此，选出3个球中有 2个红球的情况共有20 * 3 = 60种可能。综上所述，选出的3个球中至少有一个红 球的总的可能性次数为1 + 15 + 60 = 76。而总的可能性次数为从8个球中选出3个 球的排列数，即P(8,3) = 8! / (8-3)! = 8 * 7 * 6 = 336。因此，选出的3个球中至少有 一个红球的概率为76 / 336 ≈ 0.226。 通过以上例题，我们可以看出，在解决概率问题时，有时需要计算总的可能性 次数。利用排列组合的知识，我们可以快速计算出总的可能性次数，从而解决问题。 2. 利用概率计算事件发生的次数 在解决排列组合问题时，有时我们需要计算某一事件发生的次数。这时，我们 可以利用概率的知识来计算。例如，有6个人参加一次抽奖活动，其中3个人将被抽中，求其中两个人是朋友的概率。 解答：我们可以利用概率的知识来计算其中两个人是朋友的次数。首先，我们 可以计算抽中的3个人中只有两个人是朋友的情况。根据组合的计算公式，C(6,3) = 20，表示抽中3个人的可能性有20种。而其中两个人是朋友的情况共有C(4,2) = 6种。因此，抽中的3个人中只有两个人是朋友的次数为20 * 6 = 120。最后，我们可以计算抽中的3个人中有3个人是朋友的情况，即抽中的3个人正好是朋友。根 据组合的计算公式，C(6,3) = 20，表示抽中3个人的可能性有20种。而其中3个人是朋友的情况只有1种。因此，抽中的3个人中有3个人是朋友的次数为20 * 1 = 20。综上所述，其中两个人是朋友的概率为120 / (120 + 20) = 0.857。
排列组合、概率问题)
（排列组合、概率问题） 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一 列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路： ①直接法： ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。 注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；
(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； 例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公 益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48． 例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？ 解一：间接法：即 解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类. （3）相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总 的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元 素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； 例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少 种排法？ 分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”， 只有1种排法，故共有·1=840种. （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排 列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）数字问题（组成无重复数字的整数）
高中数学排列组合几种常见题型及解法
高中数学排列组合几种常见题型及解法 摘要:排列、组合问题是高中数学的重要知识之一,或单独命题,或与概率内容相结合,一般以较易题出现,但由于解这类问题时方法灵活,切入点多,且抽象性极强,在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现,所以又成为学习的难点之一。故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解,运用化归思想、比较分类思想和模型化思维方法,将问题简单化、常规化。 关键词:分类计数原理、分步计数原理、特殊元素、特殊位置、捆绑法、插空法、隔板法 排列组合的学习虽然注意发散思维、逆向思维能力的培养,但如果能够掌握一些常见题型及其解题策略,则会降低学习这部分知识的难度。本文就排列组合的基本题型、基本思路做以简略介绍: 一、排列组合的基本思路 1、排列、组合的应用问题 (1)无限制条件的简单排列、组合应用问题,可直接用公式求解。 (2)有限制条件的排列组合问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。 2、排列、组合的综合问题 排列组合的综合问题,主要是排列组合的混合题,解题的思路是先解决组合问题,然后再讨论排列问题。 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: (1)限制条件的排列问题常见命题形式:
“在”与“不在”“相邻”与“不相邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法: ①“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排特殊元素或特殊位置。 ②“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”,即可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻问题最常用的方法。 ③“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中。 ④元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。 (2)限制条件的组合问题常见命题形式: “含”与“不含”“至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。 (3)在处理排列组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重复、不遗漏按事件的发生过程分类、分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列组合问题的最基本,也是最重要的思想方法。 3、解题步骤 (1)认真审题:据题意分析属于什么数学问题(看这个问题是否与顺序有关)?题目中的事 件是什么?有无限制条件?怎样才能完成这个事件?用什么计算方
高中数学：立体几何中的排列组合概率问题
主要是指以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题。 一、分类讨论共面问题 例1、不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （） A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个 解析：平面α可以分为两类：一类是在平面α的两侧各有两个点；另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点。如图1，设E、F、G、H、M 分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面α满足题意，这样的平面有4个；又过E、F、H、M的平面α也满足题意，这样的平面有3个。故适合题设的平面α共有7个，应选D。 图1 例2、在四棱锥P—ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有（）种。 A. 40 B. 48 C. 56 D. 62
图2 解析：如图2，满足题设的取法可分为三类： （1）在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有（种）不同的取法； （2）在两个对角面上除点P外任取3点，共有（种）不同的取法； （3）过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有（种）不同的取法。 故不同的取法共有（种）。 这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类既不重复，也不遗漏。在例2中，最容易漏掉的是第（3）类，最易重复的也是第（3）类。 二、灵活转化异面问题 例3、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（） A. 18对 B. 24对 C. 30对 D. 36对 解析：大家知道一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成（个）三棱锥，则共有36对异面直线。故选D。 利用熟知的立体图形来灵活转化，是处理异面直线配对问题的常用方法。 例4、四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是安全的。现有编号为①②③④的四个仓库，用来存放这8种化工产品，则安全存放的不同方法总数为（）
【高中数学】排列组合概率(概率)解答题C
C 1.有三种产品， 合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验． (Ⅰ) 求恰有一件不合格的概率； (Ⅱ) 求至少有两件不合格的概率． 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C ． （Ⅰ） P （A ）=0.90，P （B ）= P （C ）=0.95，P （A ）=0.10，P （B ）= P （C ）=0.05。 因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ） = P （A ）·P（B ）·P（C ）+ P （A ）·P（B ）·P（C ）+ P （A ）·P（B ）·P（C ） =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.90×0.95=0.176 答：恰有一件不合格的概率为0.176。 （Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为 P （A ·B ·C ）+ P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ） =0.90×05.02 +2×0.10×0.05×0.95+0.10×05.02 =0.012 答：至少有两件不合格的概率为0.012。 解法二：三件产品都合格的概率为 P （A·B·C）=P （A ）·P（B ）·P（C ）=0.90×05.02 =0.812 由（1）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为 1-[ P （A·B·C）+0.176]=1-（0.812+0.176）=0.012 答：至少有两件不合格的概率为0.012。 2.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是4 33 2和.假设两人射击是否击中目 标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． (Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率； (Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率 是多少? 解：（Ⅰ）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A ，则其对立事件A 为“4次均击中目标”， 由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故()() 4 26511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ ． 答：甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为 81 65 ． （Ⅱ）设“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A 2, “乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B 2，则27832132) (2 42 24 2=⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-C A P ，64 2743143)(3 43 342= ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-C B P ．