高中数学中的排列组合应用题
高中数学中的排列组合应用题在高中数学学习中，排列组合是一个非常重要的内容。它不仅能够
帮助我们理解数学概念，还可以应用于实际生活中的问题。本文将介
绍一些高中数学中常见的排列组合应用题，以加深我们对这个概念的
理解。
一、购买礼物
假设小明要为他的朋友买生日礼物，商店里有3种不同的礼物供他
选择。如果他打算买2件礼物作为生日礼物，那么他有多少种不同的
选择方式？
解析：根据排列组合的知识，我们可以用组合的公式来计算小明的
选择方式。因为他要购买的礼物是无序的，所以使用组合公式。根据
组合公式，我们有C(3,2) = 3 种不同的选择方式。
二、选课方案
某高中有10门不同的选修课供学生选择，每个学生必须选择5门。那么学生有多少种不同的选课方案？
解析：根据排列组合的知识，我们可以用组合的公式来计算学生的
选课方案。因为选修课的顺序对学生来说是无关紧要的，所以使用组
合公式。根据组合公式，我们有C(10,5) = 252 种不同的选课方案。
三、分组问题
某班级有20名学生，他们要分成4个小组参加活动。每个小组的
人数可以不同，但要求每个小组至少有1人。那么有多少种不同的分
组方式？
解析：根据排列组合的知识，我们可以用组合的公式来计算分组方式。因为每个小组的人数可以不同，所以使用组合公式。根据组合公式，我们有C(19,3) * C(16,3) * C(13,3) = 846720 种不同的分组方式。
四、密码问题
某交易平台的密码由4位数字组成，每位数字可以是0-9的任意一
个数字。那么共有多少种不同的密码组合？
解析：根据排列组合的知识，我们可以用排列的公式来计算密码组合。因为每位数字可以重复出现，所以使用排列公式。根据排列公式，我们有P(10,4) = 5040 种不同的密码组合。
五、编码问题
某公司对员工的编号规则是3位数字和3位字母的组合，数字和字
母都可以重复使用，且顺序可以任意排列。那么共有多少种不同的员
工编号方式？
解析：根据排列组合的知识，我们可以用排列的公式来计算员工编
号方式。因为数字和字母都可以重复使用且顺序可以任意排列，所以
使用排列公式。根据排列公式，我们有P(10,3) * P(26,3) = 1501200 种
不同的员工编号方式。
通过以上几个排列组合应用题的解析，我们可以看到排列组合在高
中数学中的广泛应用。它不仅能够帮助我们解决生活中的实际问题，
还能够培养我们的逻辑思维和数学推理能力。因此，在学习数学的过
程中，我们要重视排列组合的学习，加强实际应用能力的培养。这样，我们才能更好地理解和应用排列组合的知识。
高中数学培优班排列组合训练题
高中数学培优班排列组合训练题 解排列组合应用题的21种策略 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1. ,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排 法种数有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 解析：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4 4 24 A= 种， 答案：D. 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为 5 5 A 种，再用甲乙去插6个空位有 2 6 A 种，不同的排法种 数是 52 56 3600 A A= 种，选B. 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3. ,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么 不同的排法种数 是（） A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数 的一半，即 5 5 1 60 2 A= 种，选B. 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9 种填法，选B. 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
排列组合的21种例题---答案版
高考数学复习 解排列组合应用题的21种策略 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4 424A =种， 答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2 6A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列 数的一半，即5 5 1602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务， 第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有211 10872520C C C =种，选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有
高中数学中的排列组合应用题
高中数学中的排列组合应用题在高中数学学习中，排列组合是一个非常重要的内容。它不仅能够 帮助我们理解数学概念，还可以应用于实际生活中的问题。本文将介 绍一些高中数学中常见的排列组合应用题，以加深我们对这个概念的 理解。 一、购买礼物 假设小明要为他的朋友买生日礼物，商店里有3种不同的礼物供他 选择。如果他打算买2件礼物作为生日礼物，那么他有多少种不同的 选择方式？ 解析：根据排列组合的知识，我们可以用组合的公式来计算小明的 选择方式。因为他要购买的礼物是无序的，所以使用组合公式。根据 组合公式，我们有C(3,2) = 3 种不同的选择方式。 二、选课方案 某高中有10门不同的选修课供学生选择，每个学生必须选择5门。那么学生有多少种不同的选课方案？ 解析：根据排列组合的知识，我们可以用组合的公式来计算学生的 选课方案。因为选修课的顺序对学生来说是无关紧要的，所以使用组 合公式。根据组合公式，我们有C(10,5) = 252 种不同的选课方案。 三、分组问题
某班级有20名学生，他们要分成4个小组参加活动。每个小组的 人数可以不同，但要求每个小组至少有1人。那么有多少种不同的分 组方式？ 解析：根据排列组合的知识，我们可以用组合的公式来计算分组方式。因为每个小组的人数可以不同，所以使用组合公式。根据组合公式，我们有C(19,3) * C(16,3) * C(13,3) = 846720 种不同的分组方式。 四、密码问题 某交易平台的密码由4位数字组成，每位数字可以是0-9的任意一 个数字。那么共有多少种不同的密码组合？ 解析：根据排列组合的知识，我们可以用排列的公式来计算密码组合。因为每位数字可以重复出现，所以使用排列公式。根据排列公式，我们有P(10,4) = 5040 种不同的密码组合。 五、编码问题 某公司对员工的编号规则是3位数字和3位字母的组合，数字和字 母都可以重复使用，且顺序可以任意排列。那么共有多少种不同的员 工编号方式？ 解析：根据排列组合的知识，我们可以用排列的公式来计算员工编 号方式。因为数字和字母都可以重复使用且顺序可以任意排列，所以 使用排列公式。根据排列公式，我们有P(10,3) * P(26,3) = 1501200 种 不同的员工编号方式。
高中数学排列组合与概率的综合应用题解析与求解
高中数学排列组合与概率的综合应用题解析 与求解 在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和技巧。排列组合主要涉及对对象的选择和排列，而概率则是研究事件发生的可能性。在解决实际问题时，这两个概念常常会结合起来使用。本文将通过具体的题目来说明如何应用排列组合与概率的知识解决综合应用题。 题目一：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，其中至少有1个男生。求这样的小组的可能数。 解析：这是一个典型的排列组合问题，我们需要从10个男生中选出至少1个男生，再从8个女生中选出剩下的2个人。根据排列组合的知识，我们可以得出解题步骤如下： 1. 选出1个男生的可能数：C(10, 1) = 10 2. 从8个女生中选出2个人的可能数：C(8, 2) = 28 3. 将步骤1和步骤2的结果相乘，得到最终的结果：10 * 28 = 280 所以，这样的小组的可能数为280。 通过这个题目，我们可以看到排列组合的应用，以及如何将多个步骤结合起来求解问题。这对于高中学生来说，是一个很好的练习。 题目二：某班有10个男生和8个女生，从中随机选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有1个男生的概率。 解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下：
1. 满足条件的小组数：根据题目一的解析，我们已经知道满足条件的小组数为280。 2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。 3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：280 / 816 ≈ 0.343。 所以，这样的小组中至少有1个男生的概率约为0.343。 通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。这对于高中学生来说，是一个很好的练习。 题目三：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有2个男生的概率。 解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下： 1. 满足条件的小组数：从10个男生中选出2个人的可能数为C(10, 2) = 45，再从8个女生中选出1个人的可能数为C(8, 1) = 8。将这两个结果相乘得到满足条件的小组数：45 * 8 = 360。 2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。 3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：360 / 816 ≈ 0.441。 所以，这样的小组中至少有2个男生的概率约为0.441。 通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。这对于高中学生来说，是一个很好的练习。 综上所述，排列组合与概率在高中数学中是两个重要的概念和技巧。通过具体的题目，我们可以看到它们在解决实际问题时的应用。掌握排列组合与概率的知识
高中数学排列组合题(附解答)
高中数学_排列组合100题 一、填充题 1. (1)设{}3,8A =﹐{}8,36B x =+﹐若A B =﹐则x =____________﹒ (2)设{} 2|320A x x x =-+=﹐{}1,B a =﹐若A B =﹐则a =____________﹒ 2. (1)8 22x x ? ?- ?? ?展开式中10x 项的系数为____________﹒ (2)52123x x ? ?- ???展开式中3x 项的系数为____________﹒ (3)53212x x ? ?+ ?? ?展开式中常数项为____________﹒ 3. (1)()8 2x y z +-展开式中332x y z 项的系数为____________﹒ (2)()5 32x y z -+展开式中﹐2.3x y 项的系数为____________﹒ 4. 四对夫妇围一圆桌而坐﹐夫妇相对而坐的方法有___________种﹒ 5. {}{}1,21,2,3,4,5,A ??且A 有4个元素﹐则这种集合A 有____________个﹒ 6. 从2000到3000的所有自然数中﹐为3的倍数或5的倍数者共有____________个﹒ 7. 从1至10的十个正整数中任取3个相异数﹐其中均不相邻的整数取法有____________种﹒ 8. 某女生有上衣5件﹑裙子4件﹑外套2件﹐请问她外出时共有____________种上衣﹑裙子﹑外套的搭配法﹒（注 意：外套可穿也可不穿﹒） 9. 已知数列n a 定义为11 3 2n n a a a n +=??=+?﹐n 为正整数﹐求100a =____________﹒ 10. 设A ﹑B ﹑T 均为集合﹐{},,,A a b c d =﹐{},,,,=B c d e f g ﹐则满足T A ?或T B ?的集合T 共有 ____________个﹒ 11. 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌聊天﹐试求下列各情形之排列数： (1)男女间隔而坐且夫妇相邻____________﹒ (2)每对夫妇相对而坐____________﹒ 12. 体育课后﹐阿珍将4个相同排球﹐5个相同篮球装入三个不同的箱子﹐每箱至少有1颗球﹐则方法有 ____________种﹒ 13. 如图﹐由A 沿棱到G 取快捷方式（最短路径）﹐则有____________种不同走法﹒ 14. 0﹑1﹑1﹑2﹑2﹑2﹑2七个数字全取排成七位数﹐有____________种方法﹒ 10 1??
高中数学 排列组合真题(解析版)
高中数学 专题14 排列组合真题汇编 1．将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数(首位不为0)，则产生的不同的8位数的个数为. 【答案】498 【解析】所有首位非0的8位数：6!-5！ 2、0相邻的不同8位数：. 1、9相邻的不同8位数：. 2、0与1、9均相邻的不同8位数： 故所求的8位数个数为：. 2．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为______(用数字作答). 【答案】15000 【解析】 由题意知满足条件的方案有两种情形： 1.有一个项目有3人参加，共有种方案； 2.有两个项目各有2人参加，共有种方案. 故所求的方案数为. 故答案为：15000 3．将3333的方格表中毎个格染三种颜色之一,使得每种颜色的格的个数相等.若相邻两格的颜色不同,则称其公共边为“分隔边".试求分隔边条数的最小值。 【答案】56 【解析】 记分隔边的条数为L。首先,将方格表按图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边。
此时,共有56条分隔边，即L=56。 其次证明:L≥56。 将方格表的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为。行中方格出现的颜色数记为,列中方格出现的颜色个数记为。三种颜色分别记为，对于一种颜色为含有色方格的行数与列数之和。 定义 类似地定义. 所以 由于染色的格有个,设含有色方格的行有a个、列有b个,则色的方格一定在这a行和b 列的交叉方格中。 从而, 所以① 由于在行中有种颜色的方格，于是,至少有条分隔边。 类似地,在列中,至少有条分隔边。 则② ③ 下面分两种情形讨论。 1.有一行或一列所有方格同色。 不妨设有一行均为色则方格表的33列中均含有色的方格，又色方格有363个，故至少有11行含有色
高中排列组合基础题 (含答案)
排列、组合问题基本题型及解法 同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法. 一、相邻问题“捆绑法” 将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？ 分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A ＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有22A ＝2种，所以共有6×2＝12种排法. 二、不相邻问题“插空法” 该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）. 例2 7个同学并排站成一排，其中只有A 、B 是女同学，如果要求A 、B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？. 分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是55A ＝120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有24A ＝2 种方法.则共有52 54A A ＝440种排法. 三、定位问题“优先法” 指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素. 例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种. 分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有14A 种排法.然后将其余5个 排在余下的5个位置上，有55A 种方法.则共15 45A A ＝480种排法.还可以优先排两端 （位置优先）. 四、同元问题“隔板法” 例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： ×× × ××× ×××× 一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法. 五、先分组后排列 对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和. 例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） （A ）210个 （B ）300个 （C ）464个 （D ）600个 分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、13 33A A 个，合计300个，所以选B 例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个? 【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555C C A 种， 其中0居首位的有314 544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314 555544C C A C C A ＝11040个. 【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的. ①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325 545C C A 个； ②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A 种排法， 再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有3141 5444C C A A 种排法. 综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A ＋3141 5444C C A A ＝11040个. 例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3
高中排列组合经典例题
运用两个基本原理 例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（） （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种 解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。 其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。 例1．用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。 A．24个 B.30个 C.40个 D.60个 30。 例2．(1995年上海) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（）种． 72 例3．（2000年全国）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（）种. A33· A72＝252 例4．从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？ 例5．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？ 特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 练习1（89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个（用数字作答）。 36 三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法． 例7．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表示)
数字的排列组合应用题
数字的排列组合应用题 在数学中，排列组合是一种常见且基础的数学概念，它涉及到数字 的排列和组合方法。排列指的是将一组数字按照特定的顺序进行排列，而组合则是选择一部分数字，不考虑顺序的组合方式。在实际生活和 问题求解中，我们经常会遇到一些需要使用排列组合的应用题，下面 将介绍几个常见的应用例子。 1. 生日问题 假设有一群人，每个人的生日都在同一年。现在我们想知道，至少 需要多少人，才能保证至少两人生日在同一天？ 解答：这个问题可以转化为排列组合的应用。首先考虑没有重复生 日的情况，第一个人可以选择任意一天作为生日，第二个人只能选择 除去第一个人生日那天以外的364天作为生日，第三个人只能选择除 去前两个人生日那两天以外的363天作为生日，以此类推。所以，如 果没有重复生日，需要至少365个人才能保证每个人的生日都不一样。 但是，题目中要求至少两人生日在同一天，所以我们需要计算至少 两人生日在同一天的概率。假设有n个人，每个人的生日都是365天 中的任意一天，那么至少两人生日在同一天的概率可以表示为1 - 不同 生日的概率。不同生日的概率为： P(不同生日) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * ((365 - n + 1)/365)
当概率小于0.5时，即至少两人生日在同一天的概率超过了50%，我们可以得出结论至少需要的人数。 2. 幸运号码 某个抽奖游戏中，参与者需要选择5个不同的数字作为幸运号码，每个数字的取值范围是1-30。现在我们想知道，一共有多少种不同的幸运号码组合？ 解答：这个问题可以看作是一个排列问题。由于选取的数字不能重复，所以我们需要计算的是从30个数字中选取5个数字的排列数。根据排列的计算公式： P(n, r) = n! / (n - r)! 其中，n代表总数字个数，r代表需要选择的数字个数。“！”表示阶乘运算。根据上述公式，我们可以计算得出一共有多少种不同的幸运号码组合。 3. 公司组织架构 某公司有4个职位，分别是总经理、经理、职员和实习生。现在有10个人申请加入公司，要求每个人只能担任一个职位。我们想知道，一共有多少种不同的人员安排方式？ 解答：这个问题可以看作是一个组合问题。由于每个人只能选择一个职位，所以我们需要计算的是从10个人中选择4个人的组合数。根据组合的计算公式： C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)
高中数学 排列组合的常见题型及其解法解题思路大全
排列组合的常见题型及其解法 排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。 一. 特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55 种站法，故站法共有：A A 4155⋅＝480（种） 解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两 人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44种， 故站法共有：A A 5244480⋅=（种） 二. 相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再进 行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320⋅=（种） 。 三. 相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？ 解：先将其余4人排成一排，有A 44 种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440⋅=（种） 四. 定序问题用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n 个元素进行全排列有A n n 种，m m n ()≤个元素的全排列有A m m 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元
高中数学排列组合题型总结
排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一． 直接法 1． 特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择 25A ，其余 2位有四个可供选择 2 4 A ，由乘法原理：25A 2 4 A =240 2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有3 5A =60，1不在千位时，千位有1 4A 种选法，个位有1 4 A 种，余下的有 24 A ，共有14A 14A 2 4A =192所以总共有192+60=252 二． 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法 2 4 35462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因 而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数3 3 33 5 2A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯2 2 A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 3 3 3352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个） 三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插 入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有1 10 19A A ⨯=100中插入方法。 四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)! (1)! (1)!(1)! !(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10=n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ① ；②；③；④ 11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意： 分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计 数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空 法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全) 一、基本原理 1.加法原理：如果做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理：如果做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：当做一件事时，元素或位置允许重复使用时，常用基本原理求解。 二、排列 从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A n
公式：A n m=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!/(n-m)! 规定：0!=1 性质： 1.n!=n×(n-1)。(n+1)×n!=(n+1)! 2.n×n!=[(n+1)-1]×n!=(n+1)×n!-n!=(n+1)!-n! 3.n(n+1)/2-1=n(n-1)/2 三、组合 从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同的m元素中任取m个元素的组合数，记作C n
m。 公式：C n m=n!/m!(n-m)! 性质： 1.若C n 1=m，则C n m=C n m-1+C n-1 m-1 规定：C n
1=C n n=1 2.C n 0+C n 1+。+C n n=2^n 3.C r r+1+C r r+2+。+C r n=C r+1
n 4.C n C 1 n C n n=2^n 四、处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事（审题）； 2.确定有序还是无序，分步还是分类； 3.解排列、组合题的基本策略：
1）直接法； 2）间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把 不符合条件的所有情况去掉。 3）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类， 再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 3.排列应用题： 一种解法是穷举法，即将所有满足题设条件的排列和组合逐一列举出来。另一种解法是特殊元素和特殊位置优先考虑。对于相邻问题，可以使用捆绑法，将相邻的元素看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。对于全不相邻问题，可以采用插空法，先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 4.组合应用题：
高二数学排列组合综合应用试题
高二数学排列组合综合应用试题 1.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同 的方法．（用数字作答） 【答案】1260 【解析】9个求排成一列，相当于排队，从9个位置选2个排红球，共有种，从剩余7个 选3个排黄球，共有，剩余4个位置排白球，因此共有. 【考点】排列问题 2.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数： （1）甲必须在排头； （2）甲、乙相邻； （3）甲不在排头，并且乙不在排尾； （4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻． 【答案】(1)24;(2)48;(3)78;(4)36 【解析】（1）特殊元素(位置)法:首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种共有24种;(2)捆绑法:把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种;(3)对立法:甲在排头和乙在排尾的各种,其中甲在排头且乙在排尾的有种,五个 人站成一排的不同排法数是种,所以甲不在排头，并且乙不在排尾的有种;(4)插 空法:先将其余3个全排列种，再将甲、乙插入4个空位种，所以，一共有种不同排法. 试题解析：（1）特殊元素是甲,特殊位置是排头;首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种,所 以共有：种 把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种； （3）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：种；先将其余3个全排列,再将甲、乙插入4个空位，所以，一共有种不同排法. 【考点】排列组合 3.设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． （1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ （2）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？ 【答案】（1）70种；（2）59种． 【解析】（1）由题意可分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水 彩画有7种，根据分步计数原理，问题得以解决． （2）由题意可分三类，第一类，选国画和油画，第二类，选国画和水彩画，第三类，选油画和 水彩画，根据分类计数原理，问题得以解决． 试题解析：（1）分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水彩画有7种，根据分步计数原理得，共有5×2×7=70种． （2）分三类，第一类，选国画和油画共有5×2=10种，第二类，选国画和水彩画共有5×7=35种，第三类，选油画和水彩画共有2×7=14种， 根据分类计数原理共有10+25+14=59种． 【考点】分类和分步计数原理． 4.有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？ (1)甲得4本，乙得3本，丙得2本； (2)一人得4本，一人得3本，一人得2本； (3)甲、乙、丙各得3本． 【答案】（1）1260（2）7560（3）1680 【解析】（1）分步：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本；（2）分两步完成：先分组，再分
排列组合的综合运用(精练)高中数学新同步精讲讲练(选择性必修第三册)(教师版含解析)
6.2.3 排列组合的综合运用(精练) 【题组一全排列】 1．(2020·中山大学附属中学高二期中)一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( ) A．4 B．44C．24 D．48 【答案】C 【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为4 4=432124 A⨯⨯⨯=. 故选：C 2．(2020·全国高二单元测试)3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种. 【答案】64 【解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有4种选择，则3名同学共有34=64种报名方案.故答案为：64. 3．(2020·上海高二专题练习)若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种． 【答案】59 【解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题 五个字母进行全排列共有5 5120 A=种结果， 字母中包含2个l， ∴五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果， 在这60种结果里有一个是正确的， ∴可能出现的错误的种数是60159 -=， 故答案为：59． 4．(2021·浙江衢州市)将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种. 【答案】18 【解析】将9个相同的球分成个数不同的3份，有(1,2,6)，(1,3,5)，(2,3,4)三种情况，再将这3份个数 不同的球放到3个不同的盒子中，有3 36 A=种情况，所以不同的分配方法共有18 6 3= ⨯种.
高中数学排列组合习题及解析
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。 1。排列的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2.组合的定义：从n个不同元素中，任取m个元素,并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合. 3.排列数公式： 4。组合数公式: 5.排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题。 例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法？ 分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。所涉及问题是排列问题。 解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档，共有种选法。根据乘法原理，共有的不同坐法为种。 结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。 例2 、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法? 分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此,女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。 解因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列,有种排法，其中女生内部也有种排法,根据乘法原理，共有种不同的排法。 结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。 例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？ 分析此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。但如果我们将其转换为等价的其他问题，就会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解。 解此题可以转化为：将12个相同的白球分成8份，有多少种不同的分法问题，因此须把这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球，每个空档最多放一个，即可将白球分成8份，显然有种不同的放法，所以名额分配方案有种。 结论3 转化法：对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解. 例4 袋中有5分硬币23个，1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法？ 分析此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来。但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题。 解把所有的硬币全部取出来，将得到0。05×23+0.10×10=2.15元，所以比2元多0。15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角，所以共有种取法。 结论4 剩余法：在组合问题中，有多少取法,就有多少种剩法，他们是一一对应的，因此,当求取法困难时，可转化为求剩法。 例5 期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序? 分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况,能够得到全体，那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性。 解不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。 结论5 对等法：在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体，就可以得到所求。 例6 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？ 分析此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，这样解题的话，容易造成各种情况遗漏或者重复的情况。而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解，而且在计算中也是非常的简便。这样就可以简化计算过程. 解43人中任抽5人的方法有种，正副班长，团支部书记都不在内的抽法有种，所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种。 结论6 排异法：有些问题,正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中排除. 练习1 某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种？ 练习2 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？ 练习3 马路上有编号为1，2,3，……10的十只路灯，为节约电而不影响照明，可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉马路两端的灯,问满足条件的关灯方法有多少种？ 练习4 A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边，那么不同的站法有多少种? 练习5 某电路有5个串联的电子元件,求发生故障的不同情形数目？ 小结： 解决排列组合应用题的一些解题技巧，具体有插入法，捆绑法，转化法，剩余法，对等法，排异法;对于不同的题目,根据它们的条件，我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比