高二数学概率综合试题

高二数学概率综合试题

1.先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3

个基本事件的是 ()

A．“至少一枚硬币正面向上”；

B．“只有一枚硬币正面向上”；

C．“两枚硬币都是正面向上”；

D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”.

【答案】A

【解析】先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币的基本事件有{正，正}、{正，反}、{反，正}、{反，反}，故“至少一枚硬币正面向上”的目标事件有{正，正}、{正，反}、{反，正}，故选A.

【考点】做一次试验的基本事件个数.

2.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：

为了检验“喜欢玩电脑游戏与认为作业多”是否有关系，根据表中数据，得到=4.84值，对照临

界值表，有的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业多”之间有相关关系．

【答案】95%

【解析】根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式得到=4.84值，因为4.84＞3.841，∴

喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为95%．

【考点】本题考查了独立性检验的运用

点评：本题是一个基础题，在计算观测值时，数字比较大，需要认真完成，查表即可．

3.为了考察某种中药预防流感效果，抽样调查40人，得到如下数据：服用中药的有20人，其中

患流感的有2人，而未服用中药的20人中，患流感的有8人。

（1）根据以上数据建立列联表；

（2）能否在犯错误不超过0.05的前提下认为该药物有效？

参考

0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

（）

【答案】（1）

（1）列联表

（2）在犯错误不超过0.05的前提下认为该药物有效

【解析】解：（1）列联表

患流感未患流感总计

………6分

（2）根据列联表，计算：

所以在犯错误不超过0.05的前提下认为该药物有效 12分

【考点】独立性检验

点评：主要是考查了独立性检验的思想的运用，属于基础题。

4.有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X表示取出竹签的最大号码，则EX的值为 .

【答案】4.5

【解析】解：从中任取3支共有10种不同的取法，由题意可得：X可能取得数值为：3，4，5，当X=3时表示取出竹签的最大号码为3，其包含的事件有1个，所以P（X=3）=，当X=4时表示取出竹签的最大号码为4，其包含的事件有3个，所以P（X=4）=，当X=5时表示取出竹签的最大号码为5，其包含的事件有6个，所以P（X=5）=，所以EX=3×+4×5×

=4.5．故答案为4.5

【考点】离散型随机变量

点评：本题主要考查离散型随机变量的期望，以及古典概率模型．

5.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为、、，且他们是否破译出密码互不影响，若三人中只有甲破译出密码的概率为．

（1）求的值．

（2）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）

（2）

0123

【解析】(1)记事件=”只有甲破译出密码”

,可解得 3分

(2) 的可能取值为0、1,、2、3；

分

8分

10分

【考点】独立事件的概率

点评：主要是考查了独立事件的概率的公式以及分布列的求解，属于基础题。

6.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其会考的政治成绩（均为整数）分成六段：

，，…，后得到如下频率分布直方图．

（Ⅰ）求图中的值

（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生政治成绩的平均分；

（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含 80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．

【答案】（1）

（2）71（3）

【解析】解：（Ⅰ）分数在内的频率为：

3分

（Ⅱ）平均分为：

7分

（Ⅲ）由题意，分数段的人数为：人

分数段的人数为：人； 9分

∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，

∴分数段抽取5人，分数段抽取1人，设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件，概率为

【考点】直方图和古典概型

点评：主要是分析题意，理解题意，结合直方图和古典概型概率来求解，属于基础题。

7.某学校为调查高二年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取200名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170~175cm的男生人数有48

人．

（Ⅰ）在抽取的学生中，身高不超过165cm的男、女生各有多少人？并估计男生的平均身高。（Ⅱ）在上述200名学生中，从身高在170~175cm之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出7人，从这7人中选派4人当旗手，求4人中至少有一名女生的概率．

【答案】（Ⅰ）120、80，173.75（cm）（Ⅱ）

【解析】解：（1）由图(1)知：身高在170~175cm的男生的频率为，

设男生总人数为m,则，∴(人)，

∴女生总人数为200－120=80（人），

∴身高不超过165cm的男生有（人），

身高不超过165cm的女生有（人），

男生的平均身高为：+++

++=173.75（cm）

(2) 身高在170~175cm之间的学生按男生为（人），

身高在170~175cm之间的学生按女生为（人），

∵，∴抽出7人中，有6个男生，1个女生，

∴这7人中选派4人当旗手的方法数共有(种)，

4人中至少有一名女生的方法数为（种），

∴4人中至少有一名女生的概率为。

【考点】排列分布直方图；概率

点评：此类题目跟实际联系大，是常考知识点，因而我们需要学会看图。

8. .设随机变量—，且当二次方程无实根时，的取值概率为，则

（）

A．1B．0.5C．0D．2

【答案】A

【解析】解：∵x2-2x+ξ=0无实根，

∴得△＜0．（-2）2-4ξ＜0，

∴ξ＞1，

结合正态分布的图象，

它在x＞μ时的概率为，故μ=1．

故选A．

9.（本题满分13分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．

（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；

（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．

【答案】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为，

用表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即

，，，，，，，，

，，，，，，，．

（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，

则．

事件A由4个基本事件组成，故所求概率．

答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．

（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，

则．

事件B由7个基本事件组成，故所求概率．

答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．

【解析】略

10.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

投资成功投资失败

则该公司一年后估计可获收益的期望是__________（元）.

【答案】4760

【解析】【考点】离散型随机变量及其分布列．

分析：由题意可以做出本题投资成功的概率，投资失败的概率，也可以做出投资成功的收益是50000×12%，和投资失败的损失是50000×0.5，利用期望公式，得到可获益的期望．

解：∵由题意知本题投资成功的概率是，投资失败的概率是，

投资成功的收益是50000×12%，

投资失败的损失是50000×0.5

该公司一年后估计可获收益的期望是50000×12%×-50000×50%×=4760元．

故答案为：4760

11.我校高二年级举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题连续两次答错的概率

为（已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响）.

（1）求甲选手回答一个问题的正确率；

（2）求选手甲可进入决赛的概率；

（3）设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望.

【答案】

【解析】略

12.（本小题满分14分）2010年上海世博会举办时间为2010年5月1日~10月31日（共184天）．福建馆位于上海世博会中国省区市馆东南区域，以“海西”为参博的核心元素，主题为“潮涌海西，魅力福建” ．此次世博会福建馆招募了60名志愿者，某高校有13人入选，其中5人为中英文讲解员，8人为迎宾礼仪，它们来自该校的5所学院（这5所学院编号为1~5号），人员分布如图所示．

若从这13名入选者中随机抽出3人．

（Ⅰ）求这3人所在学院的编号正好成等比数列的概率；

（Ⅱ）求这3人中中英文讲解员人数的分布列及数学期望．

【答案】（Ⅰ）P（A）=P（A

1）+P（A

2

）+P（A

3

）=

（Ⅱ）【解析】

∴P（A

1）= P（A

2

）=…………………………2分

P（A

3

）==…………………………5分

∴P（A）=P（A

1）+P（A

2

）+P（A

3

）=……………………………… 6分

（Ⅱ）设这3人中中英文讲解员的人数为，则=0，1，2，3

P（=0）=， P（=1）=，………………………8分

P（=2）=，P（=3）=……………………………10分

的分布列为

∴的数学期望

…………………………14分

13.美国篮球职业联赛（），某赛季的总决赛在洛杉矶湖人队与费城76人队之间角逐，采用七局四胜制，即若有一队胜四场，由此队获胜且比赛结束，因两队实力水平非常接近，在每场比赛中两队获胜是等可能的，据以往资料统计，每场比赛组织者可获门票收入300万美元，两队决出胜负后问：

(1)组织者在此次决赛中获门票收入为1200万美元的概率是多少？

(2)组织者在此次决赛中获门票收入不低于1800万美元的概率是多少？

【答案】5/8

【解析】

14.已知事件A发生的概率为0.5，事件B发生的概率为0.3，事件A和事件B同时发生的概率为0.2，则在事件A发生的条件下、事件B发生的概率为 .

【答案】0.4

【解析】略

15.（本题满分16分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有

甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数．

（1）求袋中原有白球的个数；

（2）求随机变量的概率分布；

（3）求甲取到白球的概率．

【答案】（1）袋中原有3个白球

（2）的分布列为：

12345

（3）

【解析】（1）设袋中原有个白球,由题意知……………3分

∴得或(舍去)，即袋中原有3个白球．……………… 5分

（2）由题意,的可能取值为

；；

；；

……………………………………………10分

所以的分布列为：

………………………………………………………………………………………… 12分

（3）因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则

∵事件两两互斥，

∴……………………………… 16分

16.（本小题满分12分）

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，

即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是。…………6分

（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．…………12分

17.抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，则

的值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】略

18.（本小题满分12分）现有分别写有数字1,2,3,4,5的5张白色卡片、5张黄色卡片、5张红色卡片。每次试验抽一张卡片，并定义随机变量如下:若是白色，则；若是黄色，则；若是红色，则；若卡片数字是，则

（1）求概率

（2）求数字期望与数字方差

【答案】（1）

（2）=；

【解析】（1）满足的数对（）有三种（0,3）（1,2）（2,1），而（0,3）表示取到一张写有数字3的白色卡片，此时概率，同理数对（1,2）对应的概率，数对（2,1）对应的概率

=……………………6分

（2）的分布列为

1234567

……………………10分

=……………11分

……………12分

19.随机变量，又，则的值分别为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】略

20.（本题满分10分）某同学练习投篮，已知他每次投篮命中率为，

（1）求在他第三次投篮后，首次把篮球投入篮框内的概率；

（2）若想使他投入篮球的概率达到0.99，则他至少需投多少次？(lg2=0.3)

【答案】,

【解析】解：第三次首次投入则说明第一、二次未投入，所以“第三次首次投中”的概

率

…………………………4分

（2）设至少需投次，即在次投篮中只要投进一个即可，则对立事件为“次投篮中全未投入”，计算式为：…………………7分

…………………8分

…………9分

因为lg2=0.3，所以..............10分