高二数学概率综合试题

高二数学概率综合试题

1.设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则（）

A．n＝5，p＝0.32B．n＝4，p＝0.4

C．n＝8，p＝0.2D．n＝7，p＝0.45

【答案】C

【解析】因为随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，所以

.

【考点】随机变量的期望方差.

2.为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从三个区中抽取6个工厂进行调查.已知区中分别有27,18，9个工厂.

（Ⅰ）求从区中应分别抽取的工厂个数；

（Ⅱ）若从抽得的6个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自区的概率.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由分层抽样的含义即可得总共有54个工厂，所以抽取的6个工厂占总数的，所

以每个区域的工厂的个数即可求出.

（Ⅱ）因为6个被抽到的工厂中，A区有3个工厂，B区有2个，C区有1个.从中抽取两个工厂共有15种情况，一一列举出来.通过数2个工厂中都没来自区的共有3种情况，所以符合2个工厂中至少有1个来自区的共有12种，即可求得结论.

试题解析：解：（Ⅰ）由题可知，每个个体被抽取到得概率为；

设三个区被抽到的工厂个数为，则

所以，故三个区被抽到的工厂个数分别为

（Ⅱ）设区抽到的工厂为，区抽到的工厂为，区抽到的工厂为

则从6间工厂抽取2个工厂，基本事件有：，，，

，，，，，，，

，，，共15种情况；

2个都没来自区的基本事件有，，共3种情况

设事件“至少一个工厂来自区”为事件，则事件为“2个都没来自区”

所以

所以，至少有一个工厂来自区的概率为

【考点】1.分层抽样的思想.2.概率的计算中含至少通常考虑从对立面出发.

3.甲乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为，两人同时参加测试，其中有且只有一人

通过的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】依题意求其中有且只有一人通过的概率分为两种情况①甲通过乙没通过的概率为

.②甲没通过乙通过的概率为.故有且只有一人通过的概率为.故选C.

计算概率把握两个基本定理.

【考点】1.概率的含义.2.分类的思想.

4.某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖

中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.

(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,求的概率;

(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?

【答案】（1）

（2）选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大

【解析】解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,

记“这2人的累计得分”的事件为A,则A事件的对立事件为“”,

,

这两人的累计得分的概率为. 6分

(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为,都选择方案乙抽奖中奖的次数为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为

由已知:,

,

,

他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大. 12分

【考点】独立事件的概率以及期望

点评：主要是考查了独立事件的概率以及期望值的运用，属于中档题。

5.我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表：

（1）求出表中、、、的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；

（2）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在分以上的人数；（3）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分

的概率．

【答案】（1）, ，，

．

直方图

5分

（2）全区90分以上学生估计为人．

（3）．

【解析】（1）由频率分布表得, 1分

所以， 2分

，

． 3分

直方图

5分

（2）由题意知，全区90分以上学生估计为人． 7分

（3）设考试成绩在内的3人分别为A、B、C；

考试成绩在内的3人分别为a、b、c，

从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：

(A，B)，(A，C)，(A ，a)，(A，b)，(A，c)，

(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，

(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)共有15个. 10分

设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D．

则事件D含有3个结果： (A，B)，(A，C) ，(B，C) 11分

∴． 12分

【考点】本题主要考查频率分布表，频率分布直方图，频率的概念及计算，古典概型概率的计算。点评：中档题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。古典概型概率的计算问题，关键是明确基本事件数，往往借助于“树图法”，做到不重不漏。

频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率÷组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等

于这一组的频率，则组距等于频率除以高。

6.（本题12分）现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得分，没有命中得分.该射手

每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（1）求该射手恰好命中一次的概率；（2）求该射手的总得分的分布列及数学期望.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望。

【解析】（1）记“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手射击甲靶命中”为事件，“该射手第一

次射击乙靶命中”为事件，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件.由题意知，

.

由于，

所以 6分

（Ⅱ）根据题意，的所有可能取值为 7分

,

10分 所以的分布列为

12分

【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；随机变量的分布列和数学期望。

点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及分布列和事件的对立性和互斥性，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题。在计算分布列时，要注意考虑周全，不要遗漏情况。

7. 一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为这名学生在途中遇到的红灯次数，D

的值是

__ _ ．

【答案】

【解析】解：由于学生路过交通岗的遇到红灯的概率为1/3，则在6个交通岗遇到红灯的次数符合二项分布，则利用方差公式可以为6*1/3*2/3=

8. （本小题12分）

有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用

表示结果，其中表示投掷第1颗正四面体玩具落在底面的数字，表示投掷第2颗

正四面体玩具落在底面的数字。 （1）写出试验的基本事件；

（2）求事件“落在底面的数字之和大于3”的概率； （3）求事件“落在底面的数字相等”的概率。

【答案】解：（1）这个试验的基本事件列表如下：

由表知共有16个基本事件。……………………………………………………………………4分（2）事件“落在底面的数字之和大于3”包含以下13个基本事件；（1,3,）（1,4）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）所求概率

………………8分

（3）事件“落在底数字相等”包含以下4个基本事件：（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）所求的概率……………………………………………………………………………………12分

【解析】略

9.已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A、B两组，每组4个．求

（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两个弱队的概率；

（Ⅱ）A组中至少有两个弱队的概率．

【答案】（I）解：有一组恰有两支弱队的概率

（II）解：A组中至少有两支弱队的概率

【解析】略

10.（本小题满分12分）在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。

（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；

（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率.

【答案】（1）；

（2）

【解析】(1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件, “蜜蜂落入第二实验区”为事件.

依题意，……………4分

∴∴蜜蜂落入第二实验区的概率为。……………6分

（2）记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件，则………………7分

∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率. ………………12分

11.（本题满分10分）设和分别是从1，2，3，4这四个数中随机选取的数，用随机变量X 表示方程的实根的个数（重根按一个计）。

（1）求方程有实根的概率；（2）求随机变量X的分布列和数学期望；

（3）若中至少有一个为3，求方程有实根的概率。

【答案】（1）

（2）的数学期望

（3），从而

【解析】解：（1）由题意知：设所有基本事件的集合为Ω，记“方程没有实根”为事件，“方程有且只有一个实根”为事件B,“方程有两个相异实根”为事件，则

，

，

，

。

所以Ω中的基本事件总数为16个，中的基本事件总数为9个，中的基本事件总数为2个，

中的基本事件总数为5个。

又因为是互斥事件，故所求概率。

（2）由题意，的可能值为0，1，2，则

。

故的分布列为

的数学期望。

（3）记“中至少有一个是3”为事件，“方程有实根”为事件，则易知

，从而

12.美国篮球职业联赛（），某赛季的总决赛在洛杉矶湖人队与费城76人队之间角逐，采用七局四胜制，即若有一队胜四场，由此队获胜且比赛结束，因两队实力水平非常接近，在每场比

赛中两队获胜是等可能的，据以往资料统计，每场比赛组织者可获门票收入300万美元，两队决

出胜负后问：

(1)组织者在此次决赛中获门票收入为1200万美元的概率是多少？

(2)组织者在此次决赛中获门票收入不低于1800万美元的概率是多少？

【答案】5/8

【解析】

13.某人投篮一次投进的概率为，现在他连续投篮次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数服从参数为，的二项分布，记为～，计算 ( ) A．B．C．D．

【答案】A

【解析】略

14.中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后

驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量（简称血酒含量，单位是毫克

/100毫升），当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车淮安市公安局交通管理部门于2010年6月的一天对某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有4人，依据上述材料回答下列问题：

（1）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数；

（2）从违法驾车的10人中抽取4人，求抽取到醉酒驾车人数的分布列和期望；

（3）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率

分别是0．2和0．5，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的，依此计算被查处的10名

驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率

【答案】（1）频率为，百分数为；

（2）的分布列为

………

（3）P=0．983616

【解析】（1）违法驾车发生的频率为，醉酒驾车占违法驾车的百分数为；……4分（2）的所有可能取值为：0,1,2,3,4…………………………5分

的分布列为

………………………………12分

（3）至少有一人发生交通事故的概率为

=0．983616…16分

15.（本题满分16分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有

甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数．

（1）求袋中原有白球的个数；

（2）求随机变量的概率分布；

（3）求甲取到白球的概率．

【答案】（1）袋中原有3个白球

（2）的分布列为：

12345

（3）

【解析】（1）设袋中原有个白球,由题意知……………3分

∴得或(舍去)，即袋中原有3个白球．……………… 5分

（2）由题意,的可能取值为

；；

；；

……………………………………………10分

所以的分布列为：

12345………………………………………………………………………………………… 12分

（3）因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则

∵事件两两互斥，

∴……………………………… 16分

16.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即

停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相

互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 .

【答案】0.128

【解析】略

17.( 本小题12分) 某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张

大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案.抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后

放回盒子，下一位参加者继续重复进行．

（I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张

都是“世博会会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；

（Ⅱ）在（I）下，甲乙丙丁四人依次抽奖，至少有两人获奖的概率.

【答案】（I）

（Ⅱ）

【解析】（I）设“世博会会徽”卡有张，由，得，

故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为；

（Ⅱ）至少有两人获奖的概率为：

18.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲

闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率

是 .

【答案】0.98

【解析】略

19.若一个四位数字的数，前两位数字之积等于后面两位数，则称这个数为“吉积数”。如“0900”，“1909”，“9218”等都为“吉积数”。某地汽车牌照某批次的号码前两位是固定的英文字母，后面是四位数字，则这批号码中末位数字不为4的“吉积数”的概率为（）

A．0．88B．0．0088C．0．91D．0．0091

【答案】B

【解析】略

20.在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同但大小相等),依次不放回地摸出2个球,在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球的概率是；

【答案】

【解析】略