上海海洋大学高数C答案

上海海洋大学试卷标准答案

姓名： 学号： 专业班名： 一、[/

30103=?'] 选择：将您认为正确的答案代号填入下列表格内。

1、设5)2(,3)2(,1)0(/

===f f f ，则

dx x xf ?

2

//)(的值为（ ）

A ）12

B ）8

C ）7

D ）6 2、设定积分?

=

e

xdx I 1

1ln ，?=e

xdx I 1

22ln ，则（ ）

A ）12I I <

B ）122I I <

C ）122I I >

D ）12I I > 3、定积分

dx e

x

?1

的值为（ ）

A ）e

B ）2

1

C ）21

e D ）2

4、由1,,===-x e y e y x

x

所围成的平面图形的面积是（ ） A ）e e 1+

B ）e e 1-

C ）21-+e e

D ）21+-e

e 5、曲边梯形b y a y

f x ≤≤≤≤≤0),(0绕y 轴旋转所形成的旋转体的体积为（ ） A ）

dy y f

b

a

?)(2

π B ）dy y f b a

?)(π C ）dy y yf b a

?)(π D ）dy y yf b

a

?)(2π

6、函数)1ln(y x z --=的定义域为 （ ）

A ）{}1,1),(<

B ）{}

1

),(≤+y x y x ；

C ）{}

1),(<+y x y x ； D ）在xOy 平面上处处无定义。 7、二元函数 ),(y x f z = 在点),(00y x 处可导与可微的关系为（ ）

A ）可导必可微；

B ）可导一定不可微；

C ）可微必可导；

D ）可微不一定可导 8、

??

=D

dxdy ( ) 其中 2

22:a y x D ≤+ A ）2a B ）π C ）2

a π D ）不能求

9、级数∑∞

=--1

1

)1(n p

n n 当（ ） A ）1>p 时条件收敛 B ）10≤

10、求方程0)(2//=-y yy 的通解时，可令（ ）

A ）p y =/

，则/

//

p y = B ）p y =/

，则dy

dp p

y =//

C ）p y =/

，则dx

dp p

y =//

D ）p y =/，则dy dp p y ///=

二、[8163'=?'] 填空： 1、函数2

2),(y x xy y x f +=

，则=),1(y x f 22xy

x y + ；

2、

=++→→2

2

1)ln(lim

y

x e x y y x ln 2 ；

3、设)23ln(z y x u +-=，则=

du 3232dx dy dz

x y z

-+-+ ；

4、交换积分秩序：

dy y x f dx x

e ),(ln 0

1

?

?=1

(,)y e

e

dy f x y dx ?? ；

5、若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，则

)(1

n n n

u u

+∑∞

=绝对收敛（填绝对收敛、条件收敛或发散）

6、02///=+-y y y 的通解为x

e x C C y )(21+= ；

三、[/

/

4058=?]计算：

1、设v u z ln 2

=，而y x v y x u 23,-==

，求y

z x z ????,； 解：22

221232ln 3ln(32)(32)z z u z v u x x u v x y x u x v x y v y y x y ?????=+=+?=-+?????- （4分） 222232222ln ()(2)ln(32)(32)

z z u z v x u x x u v x y y u y v y y v y y x y ?????=+=-+?-=---?????- （8分） 2、),(2

2

xy

e y x

f z -=,其中f 具有连续二阶偏导数,求 22x

z ??；

解：设22

u x y =-，xy

v e =，(,)z f u v =

122xy z z u z v xf ye f x u x v x

?????''=+=+????? （3分） 因此2122()(2)xy z z xf ye f x x x x

????

''=

=+???? 2121222xy xy f f f x

y e f ye x x

''

??''=+++?? （4分） 而

11111

122xy f f f u v

xf ye f x u x v x

'''?????''''=+=+?????

22221

222xy f f f u v

xf ye f x u x v x

'''?????''''=+=+????? （7分） 所以2212

12222xy xy f f z f x y e f ye x x x

''???''==+++???

2111

122212222(2)(2)xy xy xy xy f x xf ye f y e f ye xf ye f ''''''''''=+++++ 2

222111

12222244xy xy xy f x f xye f y e f y e f ''''''''=++++ （8分） 3、

??

+D

dxdy y x )( ，D 是由2

y x = ，2-=x y 所围成的闭区域；

解：

2

2

2

2

221

12

1()()2y y

D

y x y dxdy dy x y dx x xy dy y

+--+??+=+=+???????

?? （5分）

2

243

131(42)22

y y y y dy -=

++--? 9.45= （8分）

4、

??+D

dxdy y x 2

22)( ，D 是由x y 3

3

= ，x y =，122=+y x 及422=+y x （0,0≥≥y x ）所围成的闭区域；

解：令θθsin ,cos r y r x ==，则积分区域D 可表示为?????<<<

<2

146r πθπ

（2分）

所以，

2

222

44

1

6

()D

x y dxdy d r rdr π

πθ+=???? （6分） 62

1()1

466r ππ

??=-?????

637

728

ππ=

= （8分） 5、求微分方程 y y x '''=+的通解；

解：令,/

p y =则,/

//p y =

原方程化为：x p p +=/

（2分）

因为 )(111?

+??

=---C dx xe e p dx

dx )(1

?

+=-C dx xe e x

x

x

e C x 11+--= （6分）

从而 212

12

)1(C e C x x dx e C x y x x

++--=+--=?，即为所求通解。（8分）

四、[21']讨论下列级数的收敛性,若收敛指出绝对收敛还是条件收敛。

1、∑∞

=-+-11

)

1ln()1(n n n

解：因为

11

1(1)1

ln(1)ln(1)

n n n n n -∞

∞

==-=++∑

∑

而1

ln(1)

1ln(1)lim lim n n n n n n

→∞→∞+==∞+ （1分）

而级数11n n ∞

=∑是发散的，因此1

1

ln(1)n n ∞

=+∑也发散。（3分）

又因为对于交错级数∑∞

=-+-11

)

1ln()1(n n n 来说

满足：

11

ln(1)ln(11)

n n ≥+++，即1n n u u +≥

1

0ln(1)lim n n →∞

=+，即0lim n n u →∞= （5分） 根据莱布尼茨定理，交错级数∑∞

=-+-11)1ln()1(n n n 收敛，因此∑∞

=-+-1

1

)1ln()1(n n n 条件收敛。（6分）

2、2

)11(2

)1(1n n n

n n +-∑∞

= 因为

22

1

1(1)111(1)(1)22

n n n n n n n n n ∞

∞

==-+=+∑

∑，（1分）

而

11(1)122lim n n n e n →∞

→∞=+=> （5分） 因此绝对值级数2

111(1)2

n n n n ∞=+∑发散，又为根值判别法,因此原级数2

)11(2)1(1

n n n

n n +-∑∞

=发散。（6分）