高中数学排列组合3篇

高中数学排列组合

第一篇：排列组合的基础

排列组合是高中数学中非常重要的一部分，它是研究对象的排列组合方式的数学分支。在实际生活和工作中，常常需要用到排列组合的知识，因此，掌握排列组合的基本概念和问题的解法具有重要的意义。

一、排列

排列是对一组不同的对象进行有序安排的方式。设有n 个不同的对象，从中取出m个不同的对象进行排列。根据排列定义可知，首先有n种选择，选定第一个对象后再从剩下的

n-1个对象中选定第二个对象，接着从剩下的n-2个对象中选定第三个对象，以此类推，直到选定第m个对象，于是，选取m个对象的所有排列数为Pm^n，即Pm^n=n×(n-1)×(n-

2)×…×(n-m+1)。

如果从n个不同的对象中选取n个进行排列，那么所有的排列就是n个对象的全排列，其个数为n!，即n!=n×(n-

1)×(n-2)×…×3×2×1。

二、组合

组合是对一组不同的对象进行无序选择的方式。设有n 个不同的对象，从中取出m个对象进行组合。从 n 个对象中选取 m 个对象进行组合的所有方案数为：Cm^n。

可以用排列数来计算组合数，根据排列数的定义，设

A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，在这些对象中，每个由m个元素组成的排列，可以对应到一个由m个等同元素组成的无序组合，

既有m!个排列与同一组合对应，因此有：

Cm^n=1/m!×n(n-1)(n-2)…(n-m+1),

Cm^n也常用记号表示为nCm，即nCm=1/m!×n(n-1)(n-

2)…(n-m+1)。

三、问题的应用

1．求解排列组合问题可以利用以上公式进行计算，但最重要的是要掌握排列组合的概念及其本质区别，了解问题的实际背景，并进行相应的数学模型构建。在实际生活和工作中，有很多涉及排列组合的问题，如：从一个班级里面选出一些人组成A、B、C三个小组，有多少种选法？从26个字母中取出4个字母，有多少种不同的排列方式？等等。

2. 解决排列组合问题，需要注意以下几点：

(1) 首先要明确题目所求的是排列还是组合，按照相应的排列或组合公式计算.

(2) 仔细分析题目中给出的条件，判断问题的特点，选择适当的方法解题.

(3) 当题目较为复杂时，可以运用等价思想、唯一分解定理、组合意义等思想方法进行分析计算.

(4) 在实际计算中，需要注意排除误算及误差积累，特别是数据较大时的计算技巧和方法.

通过学习排列组合的基础，我们不仅能够解决实际生活和工作中的问题，而且可以激发我们的思维，提高我们的逻辑思考能力和创新能力。

第二篇：排列组合中的常见问题

在排列组合中，有一些常见问题，如全排列问题、变位问题、选位问题、圆排列问题、不定方程问题等。这些问题都

有其特殊的解法，掌握这些解法有助于我们快速解决相应的问题。

一、全排列问题

全排列问题是指由n个元素组成的全体的n!个排列。常

用方法是递归法。对于全排列问题，可以把n个元素分成两部分，第一部分是元素1，第二部分是其余的n-1个元素，我们

可以对其余的n-1个元素进行全排列，然后再依次将每个元素插入到各个位置上形成n个排列。

举例来说，对于元素 {1,2,3,4} 的全排列，我们可以把

它分成两部分，第一部分是元素1，第二部分是元素 {2,3,4}，我们可以对元素 {2,3,4} 进行全排列，得到6个排列 {234, 243, 324, 342, 423, 432}，然后把元素1插入到各个位置上，得到4个排列 {1234, 1243, 1324, 1342}，{2134, 2143, 2314, 2341}，{3214, 3241, 3124, 3142}，{4213, 4231, 4123, 4132}，即为元素 {1,2,3,4} 的所有排列。

二、变位问题

变位问题是 n 个元素的所有排列中，只有在原顺序周围

循环排列的一种排列。假设元素 {1,2,3,4} 的所有排列传统

顺序为 {1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321}，其中的循环

排列为 {1234, 2341, 3412, 4123}，这四个排列的区别仅仅

是起点不同。

我们可以先用递归法求出原顺序的所有排列，然后选择

其中的一些排列，作为循环排列。对于元素 {1,2,3,4}，先求出它的所有排列 {1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214,

3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321}，然后选择其中充当循环排列的排列，把它们复制到所需的位置即可。例如选择 {1234} 作为循环排列，则变位排列为 {1234, 2341, 3412, 4123}。

三、选位问题

选位问题是在一些元素中选择所需元素放在原排列的固

定位置上的排列个数问题。对于元素 {1,2,3,4}，在原排列的1、2、3、4位置上选定一个元素后，再依次从剩下的元素中

选定要放在原排列2、3、4、5位置上的元素，则所有排列数

为4×3×2×1=24。

四、圆排列问题

圆排列是指n个元素按照顺序排列组成的圆形。在圆排

列问题中，除了使用递归法求解全排列和循环排列的方法外，还可以采用镜像对称原理求解。设有n个点按顺时针方向勾勒成一个环，则n个点的圆排列共有(n-1)!种。

五、不定方程问题

不定方程问题是指数值分别为正整数的一些变量之间，

存在若干个数学关系式（比如加减乘除及幂等关系），且需要求出所有符合条件的数值解的问题。对于不定方程问题，我们需要根据实际问题的特点进行分类分析，然后利用序列数和组合数的知识进行计算。

以上就是排列组合中的常见问题及其解法，当然还有很

多其他的问题，需要我们逐一掌握并加以运用。

第三篇：排列组合在实际问题中的应用

排列组合在实际问题中的应用广泛，比如统计学，经济学，计算机科学等领域都有广泛应用。

一、统计学

在统计学中，排列组合的应用非常广泛。例如，在样本

调查中，需要统计从总体中抽取出的n个样本，那么从总体中选取n个样本的所有方案数即为组合数Cn^m。

二、经济学

在经济学中，排列组合的应用也非常广泛。例如，在市

场调查中，需要统计每一种产品的销售量，那么所有这些产品销售量的组合数就是将所有销售量加起来得到的总数，即为组合数。

三、计算机科学

在计算机科学中，排列组合的应用更加广泛。例如，在

密码破解中使用暴力破解方式时，需要枚举所有可能的密码组合，这个过程就是通过排列组合以及递归和回溯等算法实现的。

总之，排列组合在实际问题中有广泛的应用，深入掌握

排列组合的知识和应用，不仅可以解决具体的问题，而且可以培养我们的数学思维，提高我们的创新能力和分析问题的能力。