高中数学排列组合13种方法精讲
高中数学排列组合13种方法精讲
排列组合
1、分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N =m +n 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N =m ×n 种不同的方法。
3、排列及排列数：
（1）排列：从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
（2）排列数：从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）个元素的所有排列的个数，叫做从
n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m
n A 表示。（3）排列数公式：()()11+--=m n n n A m
n .
（4）全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，
()()n n n n A n
n =-?-?=12321！
()!
!
m n n A m n -=
，规定0！=1
4、组合及组合数：
（1）组合：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素
中取出m 个元素的一个组合。
（2）组合数：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合个数，叫做从n 个
不同元素取出m 个元素的组合数，用m
n C 表示。
（3）计算公式：()()()()!
!!1111m n m n m m m n n n A A C m m m
n m
n
-=-+--==. 由于0！=1，所以10
=n C .
5、组合数的性质：
（1）m
n n m n C C -=
（2）1
1-++=m n
m n m n C C C （3）n n
n n n n
C C C C 2210=++++ （4）m A m
n =！m n
C
1、捆绑与插空法：
例1．8位同学排成一队，问：
⑴甲乙必须相邻，有多少种排法？
⑵甲乙不相邻，有多少种排法？
⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种排法？
⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，有多少种排法？
⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，有多少种排法？
例2．某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
例3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）
2、定序问题缩倍法：
例1．信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）
例2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有（）
A、24种
B、60种
C、90种
D、120种
例3．从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?
3、标号排位问题分步法：
例1．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（）
A、6种
B、9种
C、11种
D、23种
例2．将标有1, 2,…10的10个小球投入同样标有1, 2,…10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?
4、有序分配问题逐分法：
例1．有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）种
A. 1260
B. 2025
C. 2520
D. 5040
例2．12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分
配方案有（）种
A 、44
48
412
C C C
B 、44484123
C C C C 、33
48412A C C
D 、3
3
44
48412A C C C
例3．有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法？
（1）平均分给甲、乙、丙三人；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本.
5、隔板法：
例1．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？
例2．求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数
例3．将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,
每个盒子里的球的个数都不小于盒子的编号数,则不同的装法共有多少种?
6、多元问题分类法：
例1．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位
数字的共有（） A. 210个 B. 300个 C. 464个 D. 600个
例2．（1）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，
这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
（2）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法
（不计顺序）共有多少种？
7、至少问题间接法：
例1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一
台，则不同的取法共有（）种 A. 140 B. 80 C. 70 D. 35
例2．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长。
现从中选5人主持某种活动，至少有一名队长当选的选法有多少种？
8、匹配问题配对法：
例1、从6双不同型号的鞋中任取4只，其中恰有两只配成一双的取法有多少种？
例2、有111名选手参加乒乓球比赛，比赛采取单淘汰制，需要打多少场比赛才能产生冠军?
9、选排问题先选后排法：
例1、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_________种（用数字作答）
例2、9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
例3、有6名男医生，4名女医生，从中选三名男医生和两名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，共有多少种不同的分派方法？
例4、从1到9的九个数字当中取出三个偶数四个奇数，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）上述七位数当中三个偶数排在一起的有几个？
（3）（1）中的七位数当中，偶数排在一起奇数也排在一起的有几个？
10、多排问题单排法：
例1、6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）
A、36种
B、120种
C、720种
D、1440种
例2、8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
11、交叉问题集合法：
例1、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？
例2、从7名运动员当中选出4人参加4×100米接力，求满足下列条件的安排方法数：（1）甲、乙二人都不跑中间两棒；
（2）甲、乙二人不都跑中间两棒。
12、圆排列：
m!
一般地，有m个元素作圆排列，其计算公式为（m—1）！=
m
例1、有五个小朋友，手拉手排成一个圆做游戏，求不同的排法数？
例2、有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同战法？
13、排除法：
例1．从集合｛0，1，2，3，5，7，11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_______条？
例2．三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形？
例3．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体？
例4．四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）
A、150种
B、147种
C、144种
D、141种
排列组合课堂训练
1、(2013四川, 8,5分) 从1, 3, 5, 7, 9这五个数中, 每次取出两个不同的数分别记为a, b, 共可
得到lga-lgb的不同值的个数是( )
A. 9
B. 10
C. 18
D. 20
2、(2012北京, 6,5分) 从0, 2中选一个数字, 从1, 3, 5中选两个数字, 组成无重复数字的三位
数, 其中奇数的个数为( )
A. 24
B. 18
C. 12
D. 6
3、(2012浙江, 6,5分) 若从1, 2, 3, …, 9这9个整数中同时取4个不同的数, 其和为偶数, 则
不同的取法共有( )
A. 60种
B. 63种
C. 65种
D. 66种
4、(2012山东, 11,5分) 现有16张不同的卡片, 其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张. 从
中任取3张, 要求这3张卡片不能是同一种颜色, 且红色卡片至多1张, 不同取法的种数为( )
A. 232
B. 252
C. 472
D. 484
5、(2011全国, 7,5分) 某同学有同样的画册2本, 同样的集邮册3本, 从中取出4本赠送给4
位朋友, 每位朋友1本, 则不同的赠送方法共有()
A. 4种
B. 10种
C. 18种
D. 20种
6、(2010四川, 10) 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶
数的个数是( )
A. 72
B. 96
C. 108
D. 144
7、(2013北京, 12,5分) 将序号分别为1, 2, 3, 4, 5的5张参观券全部分给4人, 每人至少1张.
如果分给同一人的2张参观券连号, 那么不同的分法种数是.
8、(2013浙江, 14,4分) 将A, B, C, D, E, F六个字母排成一排, 且A, B均在C的同侧, 则不同的
排法共有种(用数字作答).
9、(2013重庆, 13,5分) 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救
灾医疗小组, 则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).
10、(2013广东模拟, 9) 从甲、乙等6名同学中挑选3人参加某公益活动, 要求甲、乙至少
有1人参加, 不同的挑选方法共有( )
A. 16种
B. 20种
C. 24种
D. 120种
11、(2013广东韶关二模, 7) 在实验员进行的一项实验中, 先后要实施5个程序, 其中程序
A只能出现在第一步或最后一步, 程序C和D实施时必须相邻, 请问实验顺序的编排方法共有( )
A. 15种
B. 18种
C. 24种
D. 44种
12、(2013广东肇庆二模, 8) 已知集合A={1, 2}, B={6}, C={2, 4, 7}, 从这三个集合中各取一个
元素构成空间直角坐标系中点的坐标, 则确定的不同点的个数为( )
A. 33
B. 34
C. 35
D. 36
13、(2012广东深圳二模, 4) 在学校的一次演讲比赛中, 高一、高
二、高三分别有1名、2
名、3名同学获奖, 将这六名同学排成一排合影, 要求同年级的同学相邻, 那么不同的排法共有( )
A. 6种
B. 36种
C. 72种
D. 120种
14、(2012广东惠州二模, 5) 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍, 每个宿舍至少安排2名学
生, 那么互不相同的安排方法的种数为( )
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
15、(2011广东广州一模, 7) 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要
求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为( )
A. 96
B. 114
C. 128
D. 136
16、(2011广东茂名一模, 5) 现有12件商品摆放在货架上, 摆成上层4件下层8件, 现要
从下层8件中取2件调整到上层, 若其他商品的相对顺序不变, 则不同调整方法的种数是( )
A. 420
B. 560
C. 840
D. 20 160
17、(2013广东华南师大附中, 9) 从0, 1, 2, 3, 4这5个数字中, 任
取3个组成三位数, 其中
奇数的个数是.
18、(2013广东汕头一模, 8) 给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色(红、黄、绿、蓝), 要
求相邻两个面涂不同的颜色, 则共有涂色方法(涂色后, 任意翻转正方体, 能使正方体各面颜色一致, 我们认为是同一种涂色方法) ( )
A. 6种
B. 12种
C. 24种
D. 48种
19、(2011广东深圳二模, 7) 学校准备从5位报名同学中挑选3人, 分别担任2011年世界
大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者, 已知同学甲不能担任游泳比赛的志愿者, 则不同的安排方案共有( )
A. 24种
B. 36种
C. 48种
D. 60种
20、(2011广东肇庆二模, 6) 从6名学生中选4人分别从事A、
B、C、D四项不同的工作, 若
甲, 乙两人不能从事A工作, 则不同的选派方案总数为( )
A. 280
B. 240
C. 180
D. 96
21、(2011广东湛江二模, 1) 有1 000个形状相同的球, 其中红球500个, 黄球300个, 绿
球200个, 采用按颜色分层抽样的方法随机抽取100个进行分析, 则应抽取红球的个数为( )
A. 20
B. 30
C. 50
D. 100
排列组合强化训练
1、书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插
法？
2、将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C
在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
排列组合方法精讲
高二十班解排列组合复习 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ） D 、24种 解析：把 ,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） B 、3600种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55 A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选 B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602 A =种， 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:（注意是有序）有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C 种 答案： A . 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 33A 种，故共有234336C A =种方法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） B 、240种 答案：B . 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为69 84C =种. 8.限制条件的分配问题分类法:
高中数学：排列组合问题的类型及解答
高中数学：排列组合问题的类型及解答 排列组合问题题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，备考有效的方法是题型与解法归类，识别模式，熟练运用。 一、相邻问题捆绑法 例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）种 A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有种排法。由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选C。 说明：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 二、相离问题插空法
例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算） 解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种；这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。 说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。 三、定序问题缩倍法 例 3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）。解：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10（种）。
说明：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。 四、标号排位问题分步法 例 4 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（） A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种 解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有种填法；第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法，而选B。 说明：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
高考数学必考点：排列组合的13种套路
我们总结一下排列组合概率及统计学，这个在高考中占据17分左右，但是又不是很难的内容。这一块在高考中一般必有一道大题，一般是第19题12分，基础题在选择填空题中一般会考一题5分，不会很难，比较基础。 类型一、特殊元素和特殊位置优先策略 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素；若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置；若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。 这种首先确定排列还是组合的问题，对于首位和末位无须考虑顺序，但是首位末位有优先需求，所以先要排首位和末位，末位必须是奇数，也就是从1，3,5这个里边去挑选一个即可，那首位还不能排0，在排除一个奇数，只剩下4个数可以选择，所以剩下的三位我们直接全排列就可以。 类型二、相邻/相间元素捆绑策略
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。审题时一定要注意关键字眼。 类型三、不相邻问题插空策略 先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。 所以这两个方法的关键字都是相邻，以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定。 类型四、定序问题倍缩空位插入策略]
顺序固定问题用“除法”，对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。当然还可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。 类型五、重排问题求幂策略 分房问题又名：住店法，重排问题求幂策略，解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为mn种。 例：把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
高中数学解排列组合问题的常用技巧
解排列组合问题的常用技巧 排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，事实上，许多概率问题也归结为排列组合问题，这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧。 解答排列组合的问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解，下面介绍几种常用的解题技巧。 一、特殊元素“优先安排法” 对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，在考虑其他元素。 例⒈ 用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） Ａ．２４个 Ｂ．３０个 Ｃ．４０个 Ｄ．６０个 分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为０不能排在首位，故０就是其中的特殊元素，应优先安排．按０排在末尾和０不排在末尾分为两类：①０排在末尾时，有2 4A 个， ②0不排在末尾时，则有131312A A A 个，由分类计数原理，共有偶数3013131224=+A A A A 个，选B ． 例. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 300种 B. 240种 C. 144种 D. 96种 解析：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有 种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有种方法，所以共有方案（种），故选（B ）。 二、总体淘汰法 对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时，应注意既不能多减也不能少减。 例⒉ 100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？ 分析：从100件产品中选3件产品的选法有3100C 种，选好后发现3件产品都是正品的选法不符合题意，因此把这种排法除去，故有142603973100=-C C 种。 例 、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 （ ） A ．120种 B ．96种 C ．78种 D ．72种 分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有78 13133344=+A A A A
高中数学排列组合不同类型典型例子
部分二：排列组合 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场 顺序有多少种？ 四.定序问题空位策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 九.小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间, 这样的五位数有多少个？ 十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 引导： 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =??? 种不同的方法． 巩固习题： 1.:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两
高中数学排列组合二十一种方法
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 434288C C A = 二.相邻元素捆绑策 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一 个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插 入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法, 由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其 他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的 全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7A 种方法，其 余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐 增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定 一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1） ！种排法即7！
高中数学-排列组合13种方法精讲
排列组合 1、分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。 2、分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。 3、排列及排列数： （1）排列：排列数：从n个不同元素中取出m个（m≤n）个元素的所有排列的个数，（2）排列数公式()()1 . n n A m n =m - ??? - 1+ n 全排列： 4、组合及组合数： （1）组合：组合数： （2）\计算公式：. 5、组合数的性质： 1、捆绑与插空法： 例1．8位同学排成一队，问： ⑴甲乙必须相邻，有多少种排法？ ⑵甲乙不相邻，有多少种排法？ ⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种排法？ ⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，有多少种排法？ ⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，有多少种排法？ 例2．某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况? 例3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算） 2、定序问题缩倍法： 例1．信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）
例2．A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A,B 可以不相邻） 那么不同的排法有（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 例3．从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三 位数共有多少个? 3、 标号排位问题分步法： 例1．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡， 则四张贺年卡的分配方式有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 例2．将标有1, 2,… 10的10个小球投入同样标有1, 2,… 10的圆筒中,每个圆筒都不空, 且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种? 4、 有序分配问题逐分法： 例1．有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选 派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）种 A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040 例2．12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分 配方案有（ ）种 A 、44484 12C C C B 、44484 123C C C C 、3348412A C C D 、33 4448412A C C C 例3．有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法？ （1） 平均分给甲、乙、丙三人； （2） 甲得一本，乙得两本，丙得三本. 5、 隔板法： 例1．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？ 例2．求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数 例3．将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完, 每个盒子里的球的个数都不小于盒子的编号数,则不同的装法共有多少种?
高中排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 二、不相临问题——选空插入法 例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 三、复杂问题——总体排除法 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 四、特殊元素——优先考虑法 例4．(上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种． 例5．（全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有----- 种. 五、多元问题——分类讨论法 例6．（北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（） A．42 B．30 C．20 D．12 例7．（全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答） 六、混合问题——先选后排法 例8．（2012年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（） 例9．（2013年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（） A．24种B．18种C．12种D．6种
例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？ 总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。 其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。 例1、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。 A．24个 B.30个 C.40个 D.60个 二．总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五个数字组成三位数的全排列有A53个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要排除，故有A53--3A42+ C21A31=30个偶数。 三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法． 例2、有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表示) 注：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题． 五．不相邻问题用“插空法”：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法． 例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个．(用数字作答) 注：运用“插空法”解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置．
高中数学排列组合经典题型全面总结版(最新最全)
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少 不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法 乙 甲丁 丙 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少 种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总 排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 510 C 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素 一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理
高中排列组合题型及解题方法
高中排列组合题型及解题方法 高中排列组合题型及解题方法 排列和组合是高中数学中比较重要的一部分，也是经常会被考到的题型。排列组合题的解题方法也比较多样，下面我们就来详细讲解一下高中排列组合题型及解题方法。 一、排列 排列是指从一定个数中取出一部分进行排序，其顺序不同，则排列也不同。简单来说，就是“从n个不同元素中取出m个元素进行排列”的问题，排列的计算公式是P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。 下面就来看一个具体的实例： 在有10个人中挑选三个人排队，问有多少种排法？ 解题思路： 从10个人中取出3人进行排列，共有P(10,3)种排列方法，即 P(10,3)=10 * 9 * 8 = 720 种方案。 二、组合
组合是指从一定个数中取出一部分，其顺序不同，则组合相同。简单 来说，就是“从n个不同元素中取出m个元素”的问题，组合的计算公 式是C(n,m)=n!/m!(n-m)!。 下面就来看一个具体的实例： 有8个人排成一行，现需从中选出5个人组成小组，请问有多少种组 合方式？ 解题思路： 从8个人中选出5人组成小组，共有C(8,5)种组合方法，即 C(8,5)=8!/5!3!=56种方案。 三、排列组合计数法 排列组合计数法是指通过组合、排列的计算，求解相关方案数的方法。其中常见的方法有加法原理、乘法原理以及容斥原理。 1. 加法原理 加法原理是指，在计算某个事件发生的总次数时，如果该事件可以被 分解成m个互不相交的子事件，且每个子事件的发生次数分别为 n1,n2,...,nm，则该事件发生的总次数为n1+n2+...+nm。
高中数学解题方法排列组合的常见题型及其解法
排列组合的常见题型及其解法 排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。 一. 特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的 任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55种站法，故站法共有：A A 415 5⋅＝480（种） 解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两 人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44种，故站法共有：A A 5244480⋅=（种） 二. 相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66 种，然后女生内部再进行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320⋅=（种） 。 三. 相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
高考数学排列组合问题解题技巧
高考数学排列组合问题解题技巧 随着时代的发展，高考数学的题型越来越多样化，而排列组合作为其中的一种重要题型，势必会在高考中频繁出现。本文将介绍一些高考数学排列组合问题解题技巧，以供广大考生参考。 一、排列组合的基本概念 排列数是指从n 个不同的元素中取出m 个元素，按顺序排列出所有可能情况的个数。用符号 A m^n 表示。组合数是指从n 个不同的元素中取出m 个元素，所有不考虑顺序的情况下，所有可能的情况个数。用符号 C m^n 表示。 二、排列组合的解题方法 1.全排列法 当出现一道排列数的题目时，可以使用全排列法。全排列可以采用迭代或递归的方式进行解答，迭代代码如下： void permutation(string str, int start, vector
void permutation(string str, string result) { if (str == "") { cout << result << endl; } else { for (int i = 0; i < str.length(); i++) { string s = str.substr(0, i) + str.substr(i + 1); permutation(s, result + str[i]); } }} 2.逆推法 当出现一道组合数的题目时，可以使用逆推法。逆推法的基本思路是从已知条件出发，向未知条件推导，逐步推到最终答案。例如，某道题目中要求从A、B、C、D、E 五个人中选出 3 人，要求其中必须有 A 这个人。可以将问题逆推为从B、C、D、E 四个人中选出2 人。逆推法的优点是，在复杂 的排列组合数问题中，可以明确计算的方向和计算步骤。 3.公式法 对于一些简单的排列组合问题，可以使用公式进行计算。例如，从100 这个数码中选中 3 个数字，不考虑顺序，有 多少种可能性？根据组合数的定义，这个问题的答案是 C3^100。公式法的优点是，计算速度快，可以避免出现繁琐 的计算步骤。 三、排列组合问题的注意点 1.排列组合问题往往需要找出问题的关键句，例如“从n 个元素中选出m 个元素”、“排成一排”等。 2.在解决排列组合问题时，需要分清先后顺序。例如，从1、2、3、4、5 中选出3 个元素组成三位数，可以得到
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法 一、相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组<当作一个元素>参与排列． 例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。 二、相离问题插空法 元素相离<即不相邻>问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端． 例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。三、定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法． 例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边
高中数学排列组合相临问题常用方法归类
一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 二、不相临问题——选空插入法 例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必 须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他 位置的安排。 例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种． 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 四、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）A．42 B．30 C．20 D． 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答） 五、混合问题——先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）种。 例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（C ）A．24种B．18种C．12种D．6种 七．相同元素分配——档板分隔法 例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。 解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有种插法，即有15种分法。 总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。排列组合问题的解题方略湖北省安陆市第二高级中学张征洪排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律: 1）使用“分类计数原理” 还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。4）按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。5）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类” 和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。6）在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
高二数学排列组合解题技巧
高二数学排列组合解题技巧 近年来，排列组合题在高考试题中占据较大比例，由于排列组合题抽象性较强，解题思路灵活，方法多样，学生在解题过程中往往容易出现思维遗漏或重复的错误。下面是店铺给大家带来的高二数学排列组合解题技巧，希望对你有帮助。 1.高二数学相离问题插空法 相离问题插空法主要用来解决2个或若干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进行整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。 例1 在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种? 解析：该题若直接进行解答较为麻烦，此时可以借助相离问题插空法，可以使问题迎刃而解。先将原来的6个节目排列好，这时中间和两端有7个空位，然后用一个节目去插7个空位，有A种方法;接着再用另一个节目去插8个空位，有A种方法;将最后一个节目插入到9个空位中，有A种方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法AAA=504种。 例2 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种? 解析：先排好8辆车有A种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有C种方法。故共有AC种方法。 2.高二数学相邻问题捆绑法 相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参与排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进行一一分析排列。
排列组合常用方法总结(全)
解决排列组合问题常见策略 学习指导 1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。 较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。 排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。 集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。 “正难则反”是处理问题常用的策略。 常用方法： 一. 合理选择主元 例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同 的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。 二. “至少”型组合问题用隔板法 对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。 例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？ 解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有： （种） 三. 注意合理分类 元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。 例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。解：比2015大的四位数可分成以下三类： 第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）； 第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）； 第三类：203×，204×，205×，共有：（个） ∴比2015大的四位数共有237个。