高中数学排列组合
1、捆绑法又称为相邻问题
将相邻元素放在一起，当作一个元素，参与排列，然后再对相邻元素进行排列。
例1、（2021·河北张家口市）某班优秀学习小组有甲乙丙丁戊共5人，他们排成一排照相，则甲乙二人相邻的排法种数为（）
A．24 B．36 C．48 D．60
2、不相邻问题插空法
元素不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位（包含两端）．
例2、（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（）种安排方式.
A．12 B．24 C．36 D．48
3、平均分组问题：先分组再除以分组排列数
例3、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少种分法？
4、分组分配问题
解题思路：分组是组合问题，分配是排列问题；
分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!③完全非均匀分组，只需分组即可。
分配方法：①相同元素分配，常用“挡板法”②不同元素分配，分步乘法计数原理，先分组后分配③有限制条件的分配，常用分类求解。
即先分组再分配的问题，先分组的过程中若产生平均分组问题，要除以平均分组的排列数（同方法3例3）；最后再以分的组数进行排列。
例4、（2020·全国）疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（）
A．60种B．90种C．150种D．240种
解：5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；
5、特殊元素或位置优先策略
例5、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
6、定序问题倍缩空位法
设有n个元素进行排列，其中m个元素按一定的顺序排列
7、标号排位问题分步法
把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．
例7、将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[ ]
A．6 种B．9 种C．11 种D．23 种
解：先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1＝9 种填法，故选B．
8、需求分类解决策略
元素排列需要满足一定的要求，分为不相容的若干类，分别计算，最后总计．
例8、由数字0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有[ ] A．210 个B．300 个C．464 个D．600 个
9、元素相同问题隔板策略
将n个相同元素分成m份，（n,m为正整数）每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法共有
10、交叉问题集合策略
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)
例10、从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？
解：设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
n(Ⅰ)－n(A)－n(B)＋n(A∩B)＝P64- P53- P53+ P42＝252(种)．
11、正难则反的总体淘汰策略
对于正面直接考虑比较复杂的排列组合问题，往往其反面比较简单，可以先求出其反面，再从总体中淘汰。
例11、五二班有38名同学，从中任抽5人，班长、团支书、体育委员至少有一人在内的抽法有多少种？
12、选排问题先取后排策略
从几类元素中选取符合题意的几个元素，再排列到一定位置上，可用先取后排法．
例12、9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？
13、多排问题直排策略
把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．
例13、6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ]
A．36 B．120 C．720 D．1440．
14、环排问题直排策略
例14、8人围坐而坐，共有多少种坐法？
解：若是排成一排有首尾之分，共有8！种坐法；
围成一桌没有收尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线，其余7人共有（8-1）！=5040种坐法。
15、综合法
多数情况下，单一策略可能难以解决一道问题，这个时候我们就需要综合应用以上各种策略。
高中数学排列组合知识点
高中数学排列组合知识点 高中数学排列组合知识点 在高中数学中，排列组合是一个比较重要的知识点。掌握了排列组合 的概念和应用，不仅可以解决很多实际问题，还能够加深对数学知识 体系的理解。本文将为大家详细地介绍高中数学中排列组合的知识点。 一、排列的概念 排列是指从n个不同元素中取出m个元素，一次排成一列的不同方案数。排列分为有序排列和无序排列两种。 有序排列：从n个元素中取m个元素，一次排成一列的不同方案数用Anm表示，可以得到公式：Anm = n(n-1)(n-2)......(n-m+1) 无序排列：从n个元素中取m个元素，不考虑顺序，一共有多少种排 列方案，用Cnm表示，可以得到公式：Cnm = n!/[(n-m)!m!] 二、组合的概念 组合是指从n个不同元素中取出m个元素，不考虑它们的排列顺序， 共有多少种组合方式。组合用Cnm表示。 Cnm = n!/[(n-m)!m!]
三、排列组合的应用 排列组合在现实生活中应用广泛，例如： 1.密码问题。我们常用4位数字密码，如果不允许重复，那么一共有多少种不同的密码可能性？这个问题可以用无序排列来解决，答案为P48 = 4!/(4-8)! = 24×23×22×21 = 3,110,016种。 2.选课问题。某学校有3门选修课程可供选择，学生必须选1门或2门或3门，问他有多少种选课方案。这个问题可以用组合来解决，答案为C31 + C32 + C33 = 3+3+1=7种。 3.桥牌问题。桥牌是一种智力游戏，每张牌有4个不同的花色，每个花色都有13张牌。问从52张牌中取出13张牌一共有多少种取牌方案。这个问题可以用有序排列来解决，答案为A13^52 = 52*51*50*...*40*39 = 6.6 * 10^28种。 四、注意事项 在排列组合计数中，需要注意以下事项： 1.选择运用有序排列、无序排列、组合的方式。 2.正确确定元素个数n和取出的元素个数m。
高中数学排列组合相关公式
排列组合 排列定义：从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。 组合定义：从n 个不同元素中取r 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n 个中取r 个的无重组合。组合的个数用C(n,r)表示。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要 较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在 第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同12n N m m m =+++L 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做
第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 具体情况分析 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 占了这两个位置 . 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中 间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 443
高中数学排列组合3篇
高中数学排列组合 第一篇：排列组合的基础 排列组合是高中数学中非常重要的一部分，它是研究对象的排列组合方式的数学分支。在实际生活和工作中，常常需要用到排列组合的知识，因此，掌握排列组合的基本概念和问题的解法具有重要的意义。 一、排列 排列是对一组不同的对象进行有序安排的方式。设有n 个不同的对象，从中取出m个不同的对象进行排列。根据排列定义可知，首先有n种选择，选定第一个对象后再从剩下的 n-1个对象中选定第二个对象，接着从剩下的n-2个对象中选定第三个对象，以此类推，直到选定第m个对象，于是，选取m个对象的所有排列数为Pm^n，即Pm^n=n×(n-1)×(n- 2)×…×(n-m+1)。 如果从n个不同的对象中选取n个进行排列，那么所有的排列就是n个对象的全排列，其个数为n!，即n!=n×(n- 1)×(n-2)×…×3×2×1。 二、组合 组合是对一组不同的对象进行无序选择的方式。设有n 个不同的对象，从中取出m个对象进行组合。从 n 个对象中选取 m 个对象进行组合的所有方案数为：Cm^n。 可以用排列数来计算组合数，根据排列数的定义，设 A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，在这些对象中，每个由m个元素组成的排列，可以对应到一个由m个等同元素组成的无序组合，
既有m!个排列与同一组合对应，因此有： Cm^n=1/m!×n(n-1)(n-2)…(n-m+1), Cm^n也常用记号表示为nCm，即nCm=1/m!×n(n-1)(n- 2)…(n-m+1)。 三、问题的应用 1．求解排列组合问题可以利用以上公式进行计算，但最重要的是要掌握排列组合的概念及其本质区别，了解问题的实际背景，并进行相应的数学模型构建。在实际生活和工作中，有很多涉及排列组合的问题，如：从一个班级里面选出一些人组成A、B、C三个小组，有多少种选法？从26个字母中取出4个字母，有多少种不同的排列方式？等等。 2. 解决排列组合问题，需要注意以下几点： (1) 首先要明确题目所求的是排列还是组合，按照相应的排列或组合公式计算. (2) 仔细分析题目中给出的条件，判断问题的特点，选择适当的方法解题. (3) 当题目较为复杂时，可以运用等价思想、唯一分解定理、组合意义等思想方法进行分析计算. (4) 在实际计算中，需要注意排除误算及误差积累，特别是数据较大时的计算技巧和方法. 通过学习排列组合的基础，我们不仅能够解决实际生活和工作中的问题，而且可以激发我们的思维，提高我们的逻辑思考能力和创新能力。 第二篇：排列组合中的常见问题 在排列组合中，有一些常见问题，如全排列问题、变位问题、选位问题、圆排列问题、不定方程问题等。这些问题都
高中数学：排列组合问题的类型及解答
高中数学：排列组合问题的类型及解答 排列组合问题题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，备考有效的方法是题型与解法归类，识别模式，熟练运用。 一、相邻问题捆绑法 例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）种 A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有种排法。由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选C。 说明：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 二、相离问题插空法
例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算） 解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种；这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。 说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。 三、定序问题缩倍法 例 3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）。解：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10（种）。
说明：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。 四、标号排位问题分步法 例 4 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（） A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种 解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有种填法；第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法，而选B。 说明：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
高中数学排列组合13种方法精讲
高中数学排列组合13种方法精讲 排列组合 1、分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N =m +n 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N =m ×n 种不同的方法。 3、排列及排列数： （1）排列：从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 （2）排列数：从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示。（3）排列数公式：()()11+--=m n n n A m n . （4）全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列， ()()n n n n A n n =-?-?=12321！ ()! ! m n n A m n -= ，规定0！=1 4、组合及组合数：
（1）组合：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素 中取出m 个元素的一个组合。 （2）组合数：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合个数，叫做从n 个 不同元素取出m 个元素的组合数，用m n C 表示。 （3）计算公式：()()()()! !!1111m n m n m m m n n n A A C m m m n m n -=-+--==. 由于0！=1，所以10 =n C . 5、组合数的性质： （1）m n n m n C C -= （2）1 1-++=m n m n m n C C C （3）n n n n n n C C C C 2210=++++ （4）m A m n =！m n C
高中数学中的排列组合问题详解
高中数学中的排列组合问题详解在高中数学中，排列组合问题是一种非常常见的数学问题。它们涉及到各种实际问题，比如从一幅扑克牌中抽出几张牌需要考虑排列组合，选择全国各地的学校代表参加一个比赛也需要考虑排列组合的问题。下面，我们来详细地了解一下排列组合问题以及它们的应用。 1. 排列问题 排列问题指的是在一组元素中按照一定的次序选取部分元素的过程。其结果称为排列。 如果我们有n个不同的元素，从中选取r个元素，那么根据不同的次序，可能会有不同的排列，总数为n × (n-1) × (n-2) × ... ×(n-r+1)，通常用P(n,r)表示。例如，从一幅扑克牌中抽出5张牌，那么所有可能的排列数就是P(52,5) = 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311875200。 排列问题的应用非常广泛。比如在选举会长的时候，如果有n 个人参加，我们要选出r个人进行投票，那么所有可能的排列数就
是P(n,r)。在密码学中，如果我们要从n个不同的字符中选取r个 字符作为密码，那么密码的总数就是P(n,r)。 2. 组合问题 与排列问题不同，组合问题不考虑元素的次序，只考虑元素的 选择，其结果称为组合。 如果我们有n个不同的元素，从中选取r个元素，那么组合数 为C(n,r) = P(n,r) / r!，其中r!表示r的阶乘。例如，从一幅扑克牌 中抽出5张牌，不考虑排列，组合数就是C(52,5) = 52 × 51 × 50 ×49 × 48 / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 2598960。 组合问题也有很多应用。比如在选择学生代表参加一个比赛时，如果有n个学校，每个学校只能派出一个代表，那么所有可能的 组合数就是C(n,1)。在密码学中，如果我们要从n个不同的字符中选取r个字符作为密码，不考虑次序，那么密码的总数就是C(n,r)。 3. 基本性质
高中数学排列组合相关公式
排列组合公式 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！ 这就是我们用以前的方法求出的C（9，6） 以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。 例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？ 9个人排成一排，不同排法有9！种，对应集合为前面的集合A 9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都对应不同元素，
高中数学排列组合公式[高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识]
高中数学排列组合公式[高中数学排列组合公式大全_高 中数学排列组合重点知识] 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。 不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。 关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。 高中数学排列组合重点知识1.计数原理知识点①乘法原理： N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)2.排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n- m)!Ann=n!Cnm=n!/(n-m)!m!Cnm=Cnn-mCnm+Cnm+1=Cn+1m+1kk!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0a某 +Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+…+Cnn-1abn-1+Cnnbn
高中数学排列组合总结及例题解析
高中数学排列组合总结及例题解析 内容总结： 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()() C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+=-11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③ ；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若12 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四、二项式定理. 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项； ② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项. n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+. ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12 +n 项，它的二项式系数2n n C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第 12 1 ++n 项，它们的二项式系数21 21+-=n n n n C C 最大.
高中数学排列与组合知识点
高中数学排列与组合知识点 排列组合是〔高中〕〔数学〕教学内容的一个重要组成部分,但由于排列组合极具抽象性,使之成为高中数学课本中教与学的难点.加之高中学生的认知水平和思维能力在肯定程度上受到限制,所以在解题中常常出现错误.以下搜集整合了高中数学排列与组合相关学问点，盼望可以关怀大家更好的学习这些学问。 高中数学排列与组合学问点汇编如下： 一、排列 1 定义 (1)从n个不同元素中取出m个元素，根据肯定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。 (2)从n个不同元素中取出m个元素的全部排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为mn. 2 排列数的公式与性质 (1)排列数的公式：mn=n(n-1)(n-2)(n-m+1) 特例：当m=n时，mn=n!=n(n-1)(n-2)321 规定：0!=1 二、组合 1 定义 (1)从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合 (2)从n个不同元素中取出m个元素的全部组合的个数，叫
做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。 2 比较与鉴别 由排列与组合的定义知，获得一个排列需要"取出元素'和"对取出元素按肯定顺序排成一列'两个过程，而获得一个组合只需要"取出元素'，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。 排列与组合的区分在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是推断这一问题是排列问题还是组合问题的理论根据。 三、排列组合与二项式定理学问点 1.计数原理学问点 ①乘法原理：N=n1n2n3nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3++nM (分类) 2. 排列(有序)与组合(无序) nm=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-m+1)=n!/(n-m)! nn =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 kk!=(k+1)!-k! 3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排 排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满
高中数学排列组合相关公式
排列组合 排列定义：从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。 组合定义：从n 个不同元素中取r 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n 个中取r 个的无重组合。组合的个数用C(n,r)表示。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要 较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在 第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同12n N m m m =+++L 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做
第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 具体情况分析 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 占了这两个位置 . 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中 间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 443
高中数学排列组合
模块九排列与组合、二项式定理 第一部份：排列、组合一。计数原理加法计数原理：若是完成 一件情形能够分为m类，每一类的方式数别离是：N，N，21N，…..N, 则完成这件情形共有N+N+N+…..+N种方式。（又称分类计数原理） 213m3m乘法计数原理：若是完成一件情形须分为m步，每一步的方 式数别离是：N，N，21N，…..N,则完成这件情形共有NNN…..N种 方式。（又称分类计数原理） 213m3m分类计数原理与分步计数原 理是计数问题的大体原理，它贯穿于全章学习的始终，表现了 解决问题时将其分解的两种常常利用方式，即把问题分类解决和 分步解决。正确区分和利用两个原理是学好本章的关键，其核心 是“完成一件事”是“分类”完成，仍是“分步”完成. 二。排列数、组合数的概念mA ①排列数：从n个元素中掏出m个排成一列 （即排入m个位置），共有种排法。 nnmA n!A（n－2）…（n－m+1）. 特别的： =n（n－1）nnmC ②组合数：从n个元素中掏出m个形成 一个组合，共有种取法。 nn!0nmC1,C 1 C=特别地：nnn(n m)!m! 组合数的两个性质： n mmmm1m（1）C；（2）C=C+C. =Cn1nnnn三。 解决排列、组合问题的四大原则及大体方式 1. 特殊优先原则 该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊 位置．范例甲、乙、丙三个同窗在课余时刻负责一个运算机房 的周一至周六的值班工作，天天１人值班，每人值班2天，若是甲同窗不值周一的班，则能够排出不同的值班表有（）Ａ．90 种Ｂ．89种Ｃ．60种Ｄ．59种解析：特殊元素优先
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 排列组合是高中数学教学内容中的重要组成部分，在高考试卷中排列组合的占分比越来越高，且出现的形式多种多样。下面店铺给你分享高中数学排列组合公式大全，欢迎阅读。 高中数学排列组合公式大全 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n
高中数学排列组合题型总结
排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一． 直接法 1． 特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择 25A ，其余 2位有四个可供选择 2 4 A ，由乘法原理：25A 2 4 A =240 2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有3 5A =60，1不在千位时，千位有1 4A 种选法，个位有1 4 A 种，余下的有 24 A ，共有14A 14A 2 4A =192所以总共有192+60=252 二． 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法 2 4 35462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因 而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数3 3 33 5 2A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯2 2 A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 3 3 3352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个） 三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插 入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有1 10 19A A ⨯=100中插入方法。 四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
高中数学排列与组合知识点
高中数学排列与组合知识点 排列组合是高中数学教学内容的一个重要组成局部, 但由于排列组合极具抽象性 , 使之成为高中数学课本中教与学的难点 . 加之高中学生的认知水平和思维能力在一定程度上受 到限制 , 所以在解题中经常出现错误 . 以下本人搜集整合了高中数 学排列与组合相关知识点，希望可以帮助大家更好的学习这些知 识。 高中数学排列与组合知识点汇编如下： 一、排列 1定义 (1)从 n 个不同元素中取出 m个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一排列。 (2)从 n 个不同元素中取出 m个元素的所有排列的个 数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Amn. 2 排列数的公式与性质 (1) 排列数的公式：Amn=n(n-1)(n- 2) ⋯(n -m+1) 特例：当 m=n时， Amn=n!=n(n-1)(n- 2) ⋯× 3×2×1 规定： 0!=1 二、组合 1 定义 (1) 从 n 个不同元素中取出m 个元素并成一组，叫做 从n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合 (2)从 n 个不同元素中取出 m个元素的所有组合的个 数，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号 Cmn表示。 2比较与鉴别
由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素〞和“对取出元素按一定顺序排成一列〞两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素〞，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。 排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 三、排列组合与二项式定理知识点 1.计数原理知识点 ①乘法原理： N=n1·n2·n3·⋯ nM ( 分步 ) ②加法原理： N=n1+n2+n3+⋯+nM (分类 ) 2.排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n- 3)- ⋯(n -m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn-mCnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k"k!=(k+1)! -k! 3.排列组合混合题的解题原那么：先选后排，先分再 排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑， 即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 捆绑法 ( 集团元素法，把某些必须在一起的元素视为 一个整体考虑 ) 插空法 ( 解决相间问题 )间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1) 把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原