二次函数的图像及其三种表达式
二次函数的图像及其三种表达式之阿布丰王创作
学生：时间：
学习目标
1、熟悉罕见的二次函数的图像；
2、理解二次函数的三种表达式
知识点分析
1、.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]
2、一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
例题精讲
例题1已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．
例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2
＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大．
（4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？ 随堂练习
1．已知函数y=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（）
A ．0＜－
a
b 2＜1 B ．0＜－
a
b 2＜2 C ．1＜－
a
b 2＜2
D ．－a b
2=1
图①
图②
2.函数y =2
1x 2+2x +1写成y =a (x －h)2
+k 的形式是
A.y =2
1
(x －1)2+2
B.y =21
(x －1)2+2
1
C.y =2
1
(x －1)2－3
D.y =2
1
(x +2)2－1
3.抛物线y =－2x 2
－x +1的顶点在第_____象限
A.一
B.二
C.
三
D.四
4.不管m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2
+m (a ≠0)的顶点都
A.在y =x 直线上
B.在直
线y=－x上
C.在x轴上
D.在y 轴上
5.任给一些分歧的实数n，得到分歧的抛物线y=2x2+n，如当n=0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；
②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.二次函数y=x2+p x+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中
A.(－1，1)
B.(1，－1)
C.(－1，－
1) D.(1，1)
图3
7.下列说法错误的是
A.二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0
B.二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大
C.在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小
D.不管a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
8.已知二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0，则k的值是
A.4
3 B.－4
3
C.4
5
D.－
4
5 9.小颖在二次函数y =2x 2
+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－32
1，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为
A.y 1>y 2>y 3
B.y 2>y 3>y 1
C.y 3>y 1>y 2
D.y 3>y 2>y 1
10.抛物线y =2
1(x +3)2
的顶点坐标是______.
11.将抛物线y =3x 2
向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.
12.函数y =3
4x －2－3x 2
有最_____值为_____.
13.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.
14.二次函数y =mx 2
+2x +m －4m 2
的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.
15．抛物线y=ax 2
＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是； （2）当x=时，y=3；
16．抛物线y=ax 2
＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是； （2）当x=时，y=3；
（3）根据图象回答：当x 时，y ＞0．
17．已知抛物线y=－x 2
＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是．
18．一根长为100m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为．
19．若两个数的差为3，若其中较大的数为x ，则它们的积y 与x
的函数表达式为，它有最值，即当x=时，y=．
20．边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x 的小正方
形铁片，剩下的四方框铁片的面积y （cm 2
）与x （cm ）之间的函数表达式为．
21．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为．
22．抛物线y=x 2
＋kx －2k 通过一个定点，这个定点的坐标为． 23．已知抛物线y=x 2
＋x ＋b 2
经过点（a ，－4
1）和（－a ，y 1），
则y 1的值是．
24．如图，图①是棱长为a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，依照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S ，解答下列问题：
（1）依照要求填表：
n 1 2 3 4 … s
1
3
6
…
（2）写出当n=10时，S=．
（3）根据上表中的数据，把S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．
25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）． 根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质 一、二次函数的根本形式 1. 二次函数根本形式：2 =的性质： y ax 2. 2 =+的性质： y ax c 上加下减。 3. ()2 =-的性质： y a x h 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕 ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕
三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝ ⎭，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，．当 2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写 成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交 点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质：
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
二次函数的三种表示方式
二次函数的三种表示方式 1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有 ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系： （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立． （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立． （3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立． 于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x 1，0)，B(x 2 ，0)， 则x 1，x 2 是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以 x 1＋x 2 ＝，x 1 x 2 ＝， 即＝－(x 1＋x 2 )，＝x 1 x 2 ． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( ) = a[x2－(x 1＋x 2 )x＋x 1 x 2 ] ＝a(x－x 1) (x－x 2 )． 由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x 1，0)，B(x 2 ，0)两 点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x 1) (x－x 2 ) (a≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 3．二次函数的交点式：y＝a(x－x 1) (x－x 2 ) (a≠0)，其中x 1 ，x 2 是二次函数图 象与x轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质： 上加下减。 a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()00， y 轴 x >时，y 随x 的增大而增 大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最 小值0． a < 向下 ()00， y 轴 x >时，y 随x 的增大而减 小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最 大值0． a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质
3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 a > 向上 ()0c ， y 轴 x >时，y 随x 的增大而增 大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最 小值c ． a < 向下 ()0c ， y 轴 x >时，y 随x 的增大而减 小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最 大值c ． a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增 大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最 小值0． a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减 小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最 大值0．
4. () 2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2 y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增 大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最 小值k ． a < 向下 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减 小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最 大值k ．
(完整)二次函数的定义、图像及性质
二次函数的定义、图像及性质 一、基本概念: 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数,0a ≠）的函数,叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 二、基本形式 1。 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： （上加下减) 3。 ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4。 ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平 移 1。 平移步骤： 方 法1：⑴ 将 抛物线 解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ;
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2。 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移,负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左(右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数 ()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者， 即2 2424b ac b y a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝⎭ ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数 2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，(若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点。 六、二次函数 2 y ax bx c =++的性质 1。 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，．
一次函数与二次函数的图像与性质
一次函数与二次函数的图像与性质一次函数和二次函数是数学中常见的函数类型。它们在图像和性质 上有着明显的区别。本文将分别对一次函数和二次函数的图像及性质 进行介绍。 一、一次函数的图像与性质 一次函数又称为线性函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是 常数，且a ≠ 0。一次函数的图像是一条直线，具有以下性质： 1. 斜率：一次函数的斜率代表了直线的倾斜程度。斜率为正值时， 直线向右上方倾斜；斜率为负值时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线为水平线。 2. 截距：一次函数的截距代表了直线与y轴的交点。当x=0时，直 线与y轴的交点为截距b。 3. 线性关系：一次函数的图像是一条直线，表示了两个变量之间的 线性关系。直线方程中的斜率a表示了自变量x单位增加时因变量y的增加量。 二、二次函数的图像与性质 二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数，且 a ≠ 0。二次函数的图像是一条抛物线，具有以下性质： 1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。当 a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函 数的根。零点也是方程y=0的解。 3. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像的最高点或最低点。当 抛物线开口向上时，极值点是最低点；开口向下时，极值点是最高点。 4. 对称轴：二次函数的对称轴是指抛物线的中心线，对称轴的方程 为x=-b/(2a)。对称轴把抛物线分为两个对称的部分。 5. 最值：二次函数的最值是指函数图像的最低点或最高点的纵坐标值。 总结： 一次函数和二次函数在图像与性质上具有明显的区别。一次函数的 图像是一条直线，具有斜率和截距，表示了线性关系。而二次函数的 图像是一条抛物线，具有开口方向、零点、极值点、对称轴和最值等 性质。 了解和掌握一次函数和二次函数的图像与性质，对于数学问题的解 决和实际应用具有重要意义。在解题过程中，可以通过判断函数类型，灵活运用相关性质，从而得到正确的答案。通过深入学习和实际练习，使我们对一次函数和二次函数的理解更加深入，应用更加灵活。
初三数学二次函数知识点总结归纳
初三数学二次函数知识点总结归纳 二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y 轴平行或重合于y轴的抛物线，如果令y值等于零，则可得一个二次方程。下面是小编为大家整理的关于初三数学二次函数知识点总结，希望对您有所帮助! 初三数学二次函数知识点总结 1二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数. 注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式; (2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数; (3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数; (4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数. 2二次函数解析式的几种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). (3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0. 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点 3二次函数y=ax2+c的图象与性质 (1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定. (2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减. 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减. 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ， 处,具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上"h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移"． 概括成八个字"左加右减,上加下减"． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕 ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝ ⎭,其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴与顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选 取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以与()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ,()20x ，〔若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点〕. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，． 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，．当 2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时,y 有最
二次函数的三种表示方式
二次函数的三种表示方式 二次函数可以表示成以下两种形式： 1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数． 当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有 ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系： （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立． （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立． （3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立． 于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以 x1＋x2＝，x1x2＝， 即＝－(x1＋x-2)，＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( ) = a[x2－(x1＋x-2)x＋x1x2] ＝a(x－x1) (x－x2)． 由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 本文出自：https://www.360docs.net/doc/5c19346915.html, 原文链接：https://www.360docs.net/doc/5c19346915.html,/shuxue/zhishi/378.html
二次函数的三种表达形式
二次函数的三种表达形式： ①一般式： y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,] 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。 ②顶点式： y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。 解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。 注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。 具体可分为下面几种情况： 当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到； 当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到； 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单
位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。 ③交点式： y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 由一般式变为交点式的步骤： 二次函数 ∵x1+x2=-b/a，x1?x2=c/a(由韦达定理得), ∴y=ax2+bx+c =a(x2+b/ax+c/a) =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2] =a(x-x1)(x-x2). 重要概念： a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。 a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。 能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式； 能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用； 能熟练地运用二次函数解决实际问题。
二次函数的三种表达形式
•二次函数的三种表达形式：①一般式： y=a*2+b*+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,] 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。 ②顶点式： y=a(*-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线*=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a*2的图像一样，当*=h时，y最值=k。 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例：二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。 解：设y=a(*-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(*-1)2+2。 注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在*轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。 具体可分为下面几种情况： 当h>0时，y=a(*-h)2的图象可由抛物线y=a*2向右平行移动h个单位得到； 当h<0时，y=a(*-h)2的图象可由抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位得到； 当h>0,k>0时，将抛物线y=a*2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(*-h)2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=a*2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象。 ③交点式： y=a(*-* 1)(*-* 2 ) (a≠0) [仅限于与*轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] . 抛物线与*轴即y=0有交点A〔* 1，0〕和 B〔* 2 ，0〕,我们可设y=a(*-* 1 )(*-* 2 ), 然后把第三点代入*、y中便可求出a。 由一般式变为交点式的步骤： 二次函数 ∵* 1+* 2 =-b/a， * 1 "* 2 =c/a(由韦达定理得), ∴y=a*2+b*+c =a(*2+b/a*+c/a) =a[*2-(* 1+* 2 )*+* 1 "* 2 ] =a(*-* 1)(*-* 2 ). 重要概念： a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。 a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。 能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
二次函数的三中表示方法
2.2.2 二次函数的三种表示方式（第六讲） 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数． 当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有 ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系： （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立． （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立． （3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立． 于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx ＋c＝0的两根，所以 x1＋x2＝ b a -，x1x2＝ c a ， 即b a ＝－(x1＋x2)， c a ＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b c x x a a ++) = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2] ＝a(x－x1) (x－x2)． 由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x －x1) (x－x2) (a≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式． 分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
二次函数的三种表示方式(解析版)
二次函数的三种表示方式 高中必备知识点1：一般式 形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； 典型考题 【典型例题】 已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式． （2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由． 【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根． 【解析】 （1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3） 9a ﹣3b +c ＝0 9303 12a b c c b a ⎧ ⎪-+=⎪ =-⎨⎪⎪-=-⎩ 解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3 ∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3； （2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上， ∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴ +2 m n ＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0
∴此方程有两个不相等的实数根． 【变式训练】 抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式) 【答案】 【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4）， 设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4 把点（3，0）代入解析式，得： 4a+4，即a=-1 所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4 故答案是y=-x2+2x+3． 【能力提升】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线. （1）求抛物线的解析式（化为一般式）；