初中数学二次函数的图象变换：平移、对称与旋转

平移、对称、旋转

①二次函数图象平移规律：沿Y轴平移，简称“上加下减”；沿X 轴平移，简称“左加右减”

②二次函数对称的坐标规律：

（1）关于X轴对称的点，横坐标相同，

纵坐标互为相反数

（2）关于Y轴对称的点，纵坐标相同，

横坐标互为相反数

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐

标都互为相反数

③二次函数图象的旋转规律：

（1）绕原点旋转180°，顶点纵横坐标与

a全部符号变相反

（2）绕顶点旋转180°，顶点坐标符号不变，a符号变相反

九年级数学辅导：二次函数图象的变换

千变万化 ——二次函数图象的变换【知识要点】 1．二次函数的表达式： ①一般式：2 y ax bx c =++ (a ≠0) ②顶点式：()0)(2≠+-=a k h x a y ，顶点坐标：（h,k ）,对称轴：x=h ③一般式向顶点式的转化： 2224()24b ac b y ax bx c y a x a a -=++⇔=++. ∴顶点坐标24(,)24b ac b a a -- 2．二次函数图象的平移规律 ① 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是通过2(0)y ax a =≠平移得到的 2y ax =的图象顶点（0，0） ② h>0，k>0,平移2y ax =的图象。 Ⅰ.沿 x 轴向左平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =+ Ⅱ.沿x 轴向右平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =- Ⅲ.沿y 轴向上平移k 个单位，2y ax =→2y ax k =+ Ⅳ.沿y 轴向下平移k 个单位，2y ax =→2 y ax k =- 3．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2 （2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2 （3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=2 4．求抛物线c bx ax y ++=2绕其顶点旋转0180对应的抛物线解析式时：首先把抛物线配成顶点式()k h x a y +-=2，再把a 变为其相反数-a 就得到对应解析式：()k h x a y +--=2. 【经典例题】 2y ax k =+的图象0，k ） ()2h x a y -=的图象顶点（h,0） ()k h x a y +-=2的图象顶点（h,k ）

第三次课二次函数的平移翻折与旋转问题abc符号问题

二次函数的平移、翻折与旋转以及a、b、c符号问题 1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋b 2a)2＋ 4ac－b2 4a 2、强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。 3、抛物线的平移抓住关键点顶点的移动；例题： 1、（2015?龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得 y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质． 2、（2015?湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．

考点：二次函数图象与几何变换．专题：新定义．分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式．解答：解：连接AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM， ∵OA=MA， ∴△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），则，解得：则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x，抛物线C2的解析式为y=x2+2x，故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x． w W w .x K b 1.c o M 点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．

二次函数解析式及图形变换学而思培优

②顶点式： y = a (x - h )2 + k 或 y = a x + ? + ④对称点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)＋b (a ≠0) 其中 x 1，x 2 是两个对称点的横坐标，b 是对称第五讲二次函数解析式及图形变换一、二次函数解析式四种形式：①一般式： y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)； ? ? b ?2 2a ? 4ac - b 2 (a ≠ 0)； 4a ③交点式： y = a (x - x )(x - x ) (a ≠ 0) 其中 x ，x 是方程 ax 2 + b x + c = 0 的两个实根。 1 2 1 2 ，点纵坐标。二、抛物线的平移、对称与旋转 ①平移：“左加右减，上加下减”。 ②对称：关于 x 轴对称： y = ax 2 + b x + c 的图象 x 轴对称后得到图象的解析式是 y = -ax 2 - b x - c 。关于 y 轴对称： y = ax 2 + b x + c 的图象 y 轴对称后得到图象的解析式是 y = ax 2 - b x + c 。关于原点对称： y = ax 2 + b x + c 的图象原点对称后得到图象的解析式是 y = -ax 2 + b x - c 。

1．求二次函数 y = ax 2 + b x + c 与直线 y = kx + m 的交点，联立方程组 ? 求解。 2．求二次函数 y = a x 2 + b x + c 与 y = a x 2 + b x + c 的交点，联立方程组 ? 求解。 ?? y = a x 2 + b x + c ?? y = a x 2 + b x + c ⑶（2007 朝阳二模）已知抛物线 y = ax 2 + b x(a ≠ 0) 的顶点在直线 y = - x - 1 上，当且仅当 ⑵请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线三、二次函数与一元二次方程 ? y = ax 2 + bx + c ? y = kx + m 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 板块一二次函数解析式【例1】 ⑴ 下列说法不正确的是（） A ．抛物线 y = ax 2 + b x - 3 与 y 轴的交点为 (0 ，- 3) B ．抛物线 y = ax 2 - 2ax + a 2 - 1 的对称轴为 x = 1 C ．抛物线 y = ax 2 - a (m + 1)x + ma 与 x 轴的交点为 (m ，0)和 (1，0) D ．抛物线 y = a (x + π )2 - x 的顶点坐标为 (-π ，- x ) ⑵（2009 三帆单元测试）已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点 A (-1，0)，且经过直线 y = x - 3 与 x 轴的交点 B 及与 y 轴的交点 C ，则抛物线的解析式为。 1 2 0 < x < 4 时， y < 0 ，则抛物线的解析式为。【例2】（2008 年湖州市）对于二次函数 y = ax 2 + b x + c ，如果当 x 取任意整数时，函数值 y 都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如： y = x 2 + 2x + 2 ）。 ⑴请你写出一个二次项系数的绝对值小于 1 的整点抛物线的解析式。（不必证明） 1 2 的解析式；若不存在，请说明理由。【例3】已知二次函数 y = (m 2 - 2)x 2 - 4mx + n 的图象的对称轴是直线 x = 2 ，且它的最高点在直线 y = 1 x + 1 上。 2 ⑴求此二次函数的解析式； ⑵若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线 y = 1 2 x + 1 上移动到 M 点时，图象与 x 轴恰好交于 A 、B 两点，且 S 求这时的二次函数的解析式。 ?ABM = 8 ，

初中数学二次函数图像的平移

二次函数图象的平移【知识要点】 1．二次函数()02≠+=a c ax y 的图象画法．方法一，用“列表、描点、连线”方法来画；方法二，将二次函数()20y ax a =≠的图象向上平移c 个单位. 2．二次函数()02≠+=a c ax y 的性质二次函数 02 3．利用二次函数()02 ≠+=a c ax y 的性质解有关简单的实际问题. （1）根据题意建立二次函数关系式，并注意其定义域；（2）应用二次函数()02 ≠+=a c ax y 的性质解决相关的实际问题. 4．y=ax 2 +bx+c 配成顶点式的一般步骤：【经典例题】例1 （1）在同一直角坐标系中，分别画出下列函数的图象．221x y -=，2212+-=x y ，12 1 2--=x y .

（2）在同一坐标系中画出函数y=x 2，y=(x+1)2，y=(x －2)2 的图像，并说出它们的位置关系。例2 如图，一次函数b ax y +=2与二次函数b ax y -=2在同一坐标系中的图象是（）. 例3 （1）抛物线y=23 12 +x 的顶点坐标是，对称轴是。（2）y=2x 2 +5的顶点坐标是，对称轴是，开口方向，当x= 时，y 有最值为，这是由y=2x 2 得到的。（3）y=－8x 2 沿y 轴向上平移4个单位得y= ，其对称轴为，顶点坐标为。（4）已知函数y=ax 2 与函数y=－2 3 2x +c 的图象形状相同，且将抛物线y=ax 2沿对称轴平移2个单位就得到与抛物线y=－ 2 3 2x +c 完全重合，则a= ，c= （5）一条抛物线其形状与抛物线y=2x 2 相同，对称轴与抛物线y=(x －2)2 相同，且顶点的纵坐标是3，则这条抛物线的函数解析式是。（6）将抛物线y=7(x －2)2 向左平移2个单位所得的抛物线的函数关系式是：。（7）函数y=(3－2x)2 －2有最值，当x= 时，这个值等于。例5 直接说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。（1）y=2(x+3)2 +5 （2）y=－3(x －1)2 －2 （3）y=4(x －3)2 +7 （4）y=－5(x+2)2 －6 O A O B O C O D

二次函数平移、旋转、轴对称变换汇总

二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。抛物线的上下平移：________________________ y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2+k ±m 抛物线的左右平移：________________________ y=a(x-h)2+k y=a(x-h ±m)2+k 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3 个单位，得到函数__________________的图象。（2）抛物线2 25y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是。 2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。（1）将抛物线绕其顶点旋转180?（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+。（2）将抛物线绕原点旋转180?（即两条抛物线关于原点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-。练习：（1）抛物线2 246y x x =-+绕其顶点旋转180?后，所得抛物线的解析式是（2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换：关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---；关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++；练习：已知抛物线C 1：2 (2)3y x =-+ （1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为（2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。二、二次函数的系数与图象的关系。热身练习：1、抛物线y=ax 2+bx+c 的开口方向与有关。 2、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是 . 3、抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点坐标是，与x 轴的交点坐标是。

二次函数图象的平移和对称变换

2 二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。下面由具体的例子进行说明。一、平移。例1、把抛物线 y=x -4x+6 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位后，求其图象的解析式。法（一）选取图象上三个特殊的点，如（ 0， 6），（ 1， 3），（ 2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位后得到三个新点（ -3 ， 2），（ -2 ， -1 ），（-1 ，-2 ），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式 y=ax 2 +bx+c 中，求出各项系数即可。例 2、已知抛物线 y=2x 位，求其解析式。法（二） 2 -8x+5, 求其向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单先利用配方法把二次函数化成 y a( x h)2 k 的形式，确定其顶点（ 2，-3 ），然后把顶点（ 2， -3 ）向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单位后得到新抛物线的顶点为（ 5， 1），因为是抛物线的平移，因此平移前后 a 的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中 a=2，且顶点为（ 5， 1），就可以求出其解析式了。

二次函数图像的变换

二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。而今年的中考正是面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数和图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容。图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢？解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a值。 1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。例1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____ 分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a值为1，顶点坐标为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。 2、轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。例2.求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值为1，其顶点坐标为(1，-4)，若关于x轴对称，a值为-1，新的顶点坐标为(1，4)，故解析式为y=-(x-1)2+4；若关于y 轴对称，a值仍为1，新的顶点坐标为(-1，-4)，因此解析式为y=(x+1)2-4。 3、旋转：主要是指以二次函数图像的顶点为旋转中心，旋转角为180°的图像变换，此类旋转，不会改变二次函数的图像形状，开口方向相反，因此a值会为原来的相反数，但顶点坐标不变，故很容易求其解析式。例3.将抛物线y=x2-2x+3绕其顶点旋转180°，则所得的抛物线的函数解析式为________ 分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a值为1，顶点坐标为(1，2)，抛物线绕其顶点旋转180°后，a值为-1，顶点坐标不变，故解析式为y=-(x-1)2+2。

二次函数解析式及图象变换

二次函数解析式及其图象变换模块一二次函数的解析式知识导航 1. 一般式： y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 若已知条件为二次函数图象上三点的坐标，通常先设抛物线的解析式为一般式，列出关于a 、b 、c 的方程，求出a 、b 、c 的值，就可以得到二次函数解析式． 2. 顶点式：y ＝a （x －h ）2＋k ．若已知顶点坐标、对对称轴、最大值或最小值，通常先设抛物线的解析式为顶点式，再列出方程（组）求待定系数． 3. 交点式：y ＝a （x －x 1)(x －x 2) 若已知与x 轴的两交点（x 1，0)、(x 2，0），通常先设抛物线的解析式为两点式，再列出方程（组）求待定系数.（仅用于选项或打草稿）例1：（1）一个抛物线经过（0，0）、（－1，1）、（1，9）三点，求这个抛物线的解析式．（2）一个抛物线的顶点为（3，3）、且经过点（2，1）求这个抛物线的解析式．（3）一个抛物线经过（－1，0）、（3，0）、（1，4）三点，求这个抛物线的解析式．练习：（1）一个抛物线经过（－1，20）、（0，8）、（2，8）三点，求这个抛物线解析式．（2）一个抛物线经过（2，1）、（1，3）两点且对称轴为x ＝－2 1，求这个抛物线解析式．（3）一个抛物线经过（－1，3）、（1，3）、（2，6）三点，求这个抛物线的解析式．例2：（1）已知抛物线y ＝a （x ＋2）2－1交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点的左边）且AB ＝2，求抛物线解析式．（2）已知二次函数y ＝ax 2＋4a x ＋c 的最大值为4，且图象过点（－3，0），求二次函数的解析式．练习：（1）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，且图象过点A （3，0）和B （－2，5），求函数的解析式．

初中数学中考复习二次函数专题讲义(含解析)

二次函数专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2- =时，a b a c y 442-=最值。

二次函数图像的转化与性质

二次函数图像的转化与性质二次函数是初中数学中的重要内容，它的图像具有独特的特点和性质。在学习二次函数时，我们不仅需要了解它的基本形式和图像特点，还需要学习如何进行图像的转化。本文将介绍二次函数图像的转化方法以及转化后的性质，帮助中学生更好地理解和应用二次函数。一、平移变换平移变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的单位长度。平移变换可以改变二次函数图像的位置，但不改变其形状。常见的平移变换有水平平移和垂直平移两种。 1. 水平平移水平平移是指将二次函数的图像沿着横轴方向移动。具体操作是，在二次函数的自变量x中加上一个常数h，即可实现水平平移。例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向右平移2个单位，则可得到新的函数y=(x-2)^2。这样，二次函数的图像将整体向右平移2个单位。 2. 垂直平移垂直平移是指将二次函数的图像沿着纵轴方向移动。具体操作是，在二次函数的因变量y中加上一个常数k，即可实现垂直平移。例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向上平移3个单位，则可得到新的函数y=x^2+3。这样，二次函数的图像将整体向上平移3个单位。二、翻折变换翻折变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向翻折。翻折变换可以改变二次函数图像的形状，但不改变其位置。常见的翻折变换有关于x轴翻折和关于y 轴翻折两种。

1. 关于x轴翻折关于x轴翻折是指将二次函数的图像沿着x轴翻折。具体操作是，将二次函数的因变量y取相反数，即可实现关于x轴翻折。例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于x轴翻折，则可得到新的函数y=-x^2。这样，二次函数的图像将关于x 轴对称。 2. 关于y轴翻折关于y轴翻折是指将二次函数的图像沿着y轴翻折。具体操作是，将二次函数的自变量x取相反数，即可实现关于y轴翻折。例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于y轴翻折，则可得到新的函数y=(-x)^2。这样，二次函数的图像将关于y 轴对称。三、性质分析通过平移变换和翻折变换，我们可以改变二次函数图像的位置和形状，从而得到新的二次函数。这些新的二次函数仍然保持二次函数的特点和性质。 1. 对称性二次函数的图像具有关于顶点的对称性。无论是水平平移、垂直平移还是翻折变换，都不会改变二次函数图像关于顶点的对称性。 2. 开口方向二次函数的开口方向由二次项的系数决定。若二次项的系数大于0，则二次函数的图像开口向上；若二次项的系数小于0，则二次函数的图像开口向下。在进行平移变换和翻折变换时，开口方向不会改变。 3. 最值二次函数的最值由顶点确定。通过平移变换和翻折变换，我们可以改变二次函数图像的位置，从而改变最值的位置。

【初中数学复习,二次函数图象的几何变换】

【初中数学复习,二次函数图象的几何变换】二次函数图象的几何变换学问点拨一、二次函数图象的平移变换〔1〕具体步骤：先利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点，然后做出二次函数的图像，将抛物线平移，使其顶点平移到.具体平移方法如下图：〔2〕平移规律：在原有函数的基础上“左加右减〞. 二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是． 5. 关于点对称关于点对称后，得到的解析式是依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的样子肯定不会发生改变，因此永久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以根据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式已知的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．例题精讲一、二次函数图象的平移变换【例1】函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤是：〔〕右移两个单位，下移一个单位右移两个单位，上移一个单位左移两个单位，下移一个单位左移两个单位，上移一个单位【例2】函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤是〔〕右移三个单位，下移四个单位右移三个单位，上移四个单位左移三个单位，下移四个单位左移四个单位，上移四个单位【例3】二次函数的图象如何移动就得到的图象〔〕向左移动个单位，向上移动个单位. 向右移动个单位，向上移动个单位. 向左移动个单位，向下移动个单位. 向右移动个单位，向下移动个单位. 【例4】将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为〔〕A．B．C．D．【例5】把抛物线的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的图象的解析式是，则

初三数学二次函数的解题方法

在初中数学中,最简单以及最复杂的题型就是二次函数,可以是抛物线,可以是等式,可以跟几何关联,还可以以它为基础研究函数,还可建立把方程和不等式相关联;如果是抛物线,在数轴中衍生很多数学问题,解决很多数学问题.因此,在初中数学的学习中,对于二次函数的学习就尤为重要,是解题的关键.由于二次函数的多变性,概念性质的多样性,题型的复杂性,要想解决二次函数衍生而来的综合题型,必须要把这些多变的,复杂的东西都要灵活掌握,综合掌握二次函数的知识点,运用逻辑思维,冷静对待,精准的找到解题的最佳方法. 初三数学二次函数的解题方法图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢?解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a值。 1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。例1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____ 分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a值为1，顶点坐标为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a 值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。 2、轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。例2.求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值为1，其顶点坐标为(1，-4)，若关于x 轴对称，a值为-1，新的顶点坐标为(1，4)，故解析式为y=-(x-1)2+4;若关于y轴对称，a值仍为1，新的顶点坐标为(-1，-4)，因此解析式为y=(x+1)2-4。

初中数学教案：图形的平移、旋转与对称

初中数学教案：图形的平移、旋转与对称一、引言在初中数学教学中，图形的平移、旋转与对称是重要的内容之一。这些概念不仅有助于学生建立空间的直观感知，还培养了他们的几何思维能力。本篇教案将围绕图形的平移、旋转与对称展开，通过活动和示例演示这些概念，并提供相应练习来加深学生对这些概念的理解和运用。二、图形的平移平移是指将一个图形整体沿着某个方向移动一定距离，而不改变其大小和形状。通过平移，我们可以从一个位置将图形移到另一个位置，而两者保持完全一致。 1. 平移规则 a. 向上或向下平移：在坐标系中，向上或向下平移时，“x”坐标不变，“y”坐标有正负之分。 b. 向左或向右平移：在坐标系中，向左或向右平移时，“y”坐标不变，“x”坐标有正负之分。 2. 实例演示假设有一个初始位置为A(1, 2)的点，在进行平移操作后，该点以向右两个单位、向上三个单位为规则进行平移。我们可以通过以下步骤完成平移： a. 将初始位置点A(1, 2)沿x轴向右平移两个单位，得到新的点B(3, 2)。 b. 将点B(3, 2)沿y轴向上平移三个单位，得到新的点C(3, 5)。三、图形的旋转

旋转是指将一个图形绕着某个点或某条线进行旋转，而不改变其大小和形状。通过旋转，我们可以改变图形在平面上的朝向和位置。 1. 旋转规则 a. 绕原点旋转：绕原点逆时针旋转θ度时，“x”坐标按cosθ比例缩放，“y”坐标按sinθ比例缩放。 b. 绕其他点或线旋转：如果要围绕其他点或线进行旋转，需要先平移后再按照绕原点的规则进行旋转。 2. 实例演示假设有一个以A(1, 0)为中心的圆，半径为r。当该圆进行逆时针旋转90度后，圆心还是A(1, 0)，但圆上任意一点P(x, y)对应的坐标发生了变化。根据绕原点旋转规则可知，在90度角的情况下，x坐标按照-y、y坐标按照x进行变化。因此，在旋转后点P(x, y)的新坐标为(-y, x)。四、图形的对称对称是指一个图形能够通过某条直线或点作为中心，将整个图形镜像对折而保持不变。通过对称，我们可以推导出关于一个点、线或平面的有关性质。 1. 对称规则 a. 线对称：以一条直线为轴，当图形上的每个点P都和该直线上另一点P'对应时，则这个图形具有线对称性。 b. 点对称：以一个点O为中心，当图形上的每个点A都与以无限延长的AO 为轴所成直线上另一点A'相对应时，则这个图形具有点对称性。 2. 实例演示

(初中数学总复习专题教案)图形的平移对称与旋转

初中数学总复习专题教案图形的平移、对

称与旋转学习伙伴：江西省龙南二中凌玲一、教学内容的背景本节内容是义务教育课程标准实验教材书中的重点内容之一，主要是探究现实生活中广泛存在的图形“变换”现象。在本节课中通过一组习题的演示，充分体现了这一点。二、学情分析 (1)、知识背景：学生在新课的学习中，已经掌握了图形的平移、对称与旋转的概念与性质，能利用它们解决简单的问题。

(2)、预期目标：通过本节的学习，使大部分学生能将单一的知识点整合，提高对于知识的综合运用能力；在学习中感受数学的魅力。三、技术背景和对技术的作用分析运用软件，节约了时间，让课的容量大大增加，让学生能更直观的感受图形的变化过程，明确知识的产生和发展，知识间的联系更加紧密，复习的效果明显加强。四、素质教育目标 ·知识与技能：使学生通过观察具体实例认识和了解生活中它们各自的共同规律，探索平移、对称与旋转的基本性质，体会数学图形来源于生活。逐步形成对图形的轴对称、平移与旋转融合在一起的图案欣赏和简单设计。利用图形变换中全等关系进行简单计算；利用已有的基础知识，将各个知识点整合，提高综合运用知识的能力。理解和掌握运用图形的变换解决实际问题，培养学生观察、想象、比较、归纳、操作的能力，以及抽象概括的思维能力、分析和解决问题的能力及创新意识和运用数学能力。 ·数学思考：图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想；在复习图形的平移、对称与旋转时，要抓住特征，应用各种图形变换的特征设计属于自己的图案，在对所学数学知识进行“再认识”的同时进行独立的数学创造，发展形象思维和创造性思维能力。 ·解决问题：在应用图形变换认识与描述物体的形状和空间位置中，体会数学知识在创造性活动中的应用价值，让学生从数学的角度认识现实生活中的现象，增强数学的应用能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性；能用文字、字母或图表等清楚地表达解决问题的过程，并解释结果的合理性；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经

九年级数学上册专题突破 19《二次函数和反比例函数》二次函数图象变换秘诀 (新版)北京课改版-北京

二次函数图象变换 1. 二次函数图象关于x轴对称变换变形：特点：a、b、c符号都改变；依据：点关于x轴对称，该点的横坐标不变，纵坐标变为相反数；图例： 2. 二次函数图象关于y轴对称变换变形：特点：a、c符号不变，b符号改变；依据：点关于y轴对称，该点横坐标变为相反数，纵坐标不变；图例：

3. 二次函数图象关于原点中心对称变换变形：特点：a、c符号改变，b符号不变；依据：点关于原点对称，该点的横纵坐标都变为相反数；图例： 4. 二次函数图象关于顶点中心对称变换变形：

特点：变为顶点式后a符号改变；依据：变换后顶点坐标不变，开口大小不变，只改变开口方向；图例：例题1（某某）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（4，0），B（2，43 ），M是 OA的中点。（1）求此二次函数的解析式。（2）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A，B′为B关于x轴的对称点，在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D。若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由。

解析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）假设存在满足条件的点C ，由△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍，可得点C 纵坐标是点D 纵坐标的3倍，由此列方程求出点C 的坐标。答案：解：（1）∵抛物线过原点，∴设其解析式为：y ＝ax 2 ＋bx ∵抛物线经过点A （4，0），B （2 ，43 ） ∴16a 4b 034a 2b 3+⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝，解得3 a 43 b 3⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩ ＝＝ ∴二次函数解析式为：2343 y x = - （2）依题意，翻折之后的抛物线解析式为：2343 y x x 33 =-+ 假设存在这样的点C ， ∵△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍， ∴CD＝2MD ，∴CM＝3MD 如下图所示，分别过点D 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点E 、点F ，则有DE∥CF

初中数学精品试题：二次函数的几何变换

专题03 二次函数的几何变换【知识梳理】知识梳理一、二次函数图象的平移变换 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移（顶点式）变化规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．向左平移个单位 3.平移（一般式）变化规律： ()2 y a x h k =-+()h k ， 2y ax =()h k ， h k m

3.平移（交点式）变化规律：沿轴平移 ()()12=--y a x x x x 知识梳理二、二次函数图象的对称变换．顶点式()2 y a x h k =-+ ()2 二次函数图象的对称一般有以上五种情况，可以用一般式或顶点式表达根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【例题精讲】例1．将抛物线向右平移2个单位再向上平移1个单位后得到的抛物线表达式是21y x =+，则原抛物线的表达式是( ) A ．21y x =- B ．244y x x =++ C ．265y x x =++ D ．2817y x x =++ 例2．把抛物线2y ax bx c =++图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是256y x x =++，则a b c -+的值为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．12 y

初中九年级数学上册最新专题突破精品专题15 二次函数图象的平移

专题15 二次函数图象的平移一、单选题 1．（2022·山东济宁学院附属中学）将抛物线248y x x =-+向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（） A ．()215y x =++ B ．()213y x =++ C ．()255y x =-+ D ．()253y x =-+ 2．（2022·吉林九年级期末）将抛物线2y x 向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（） A ．23y x =- B ．23y x =+ C ．()23y x =- D ．()2 3y x =+ 3．（2022·沭阳县修远中学九年级月考）把函数y ＝（x ﹣1） 2+2图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（） A ．y ＝x 2+2 B ．y ＝（x ﹣1）2+1 C ．y ＝（x ﹣2）2+2 D ．y ＝（x ﹣1）2+3 4．（2022·重庆彭水·九年级期末）若将抛物线223y x =+向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A ．22(3)5y x =++ B ．22(3)5y x =-+ C ．22(3)1y x =+- D ．22(3)1y x =-- 5．（2022·全国九年级单元测试）将二次函数y =x 2的图象向右平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（） A ．y =(x -2)2 B ．y =(x +2)2 C ．y =x 2-2 D ．y =x 2+2 6．（2022·辽宁大连·九年级期末）将抛物线22y x =-先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（） A ．()2213y x =--- B ．()2 213y x =--+ C ．()2213y x =-+- D ．()2213y x =-++ 7．（2022·陕西灞桥区·九年级）将抛物线y ＝x 2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则所得到的抛物线的解析式为（） A ．y ＝（x +4）2+2 B ．y ＝（x +4）2﹣2 C ．y ＝（x ﹣4）2+2 D ．y ＝（x ﹣4）2﹣2 8．（2022·广东九年级专题练习）将抛物线y ＝﹣x 2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（） A ．（3，﹣2） B ．（﹣3，﹣2） C ．（3，2） D ．（﹣3，2） 9．（2022·黑龙江哈尔滨市·九年级）将抛物线221y x =-+向右平移1个单位，再向下平移3