考点:二次函数的性质.
【点睛】根据二次函数的性质解决即可．【举一反三】
【针对性练习】对于二次函数y=-1
4
x2+x-4,下列说法正确的是（）
A、当x>0，y随x的增大而增大
B、当x=2时，y有最大值－3
C、图像的顶点坐标为（－2，－7）
D、图像与x轴有两个交点【答案】B.
【解析】
试题分析：二次函数y=-1
4
x2+x-4=-
1
4
(x-2)2-3,所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大
而增大，选项A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；顶点坐标为（2，-3），选项C
错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B.
考点：二次函数的性质.
考点典例二、二次函数的解析式
【例2】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）
A ．y=x 2
﹣x ﹣2 B ．y=x 2
﹣x+2
C ．y=x 2
+x ﹣2
D ．y=x 2
+x+2
【答案】A ． 【解析】
故选A ．
【点晴】先根据A 在反比例函数图象上，求出m 的值，再把A 、B 点坐标代入二次函数y=x 2
+bx+c 中，求出b 、c 的值即可. 【举一反三】
【针对性练习】写出一个y 关于x 的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y 轴上：
． 【答案】2
y x =（答案不唯一）． 【解析】
试题分析：由题意可得：2
y x =（答案不唯一）．故答案为：2
y x =（答案不唯一，只要2
y ax bx c =++中
a ≠0，
b =0即可）．
考点：二次函数的性质；开放型． 考点典例三、二次函数的最值
【例3】 二次函数y=2（x ﹣3）2
﹣4的最小值为 ． 【答案】-4. 【解析】
试题分析：二次函数y=2（x ﹣3）2
﹣4为顶点式，因此最小值为-4. 考点：二次函数极值.
【点睛】根据顶点式得到它的顶点坐标是（3，-4），即可求出函数的最大值． 【举一反三】
【针对性练习】当－2≤x≤l 时，二次函数()2
2y x m m 1=--++有最大值4，则实数m 的值为【 】 (A) 7
4- (B) 3或3- (c)2或3- (D)2或3或74
- 【答案】C ． 【解析】
考点典例四、二次函数的图象与性质
【例4】 如图，已知二次函数y=ax 2
+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b 2＜8a
④＜a ＜ ⑤b＞c ．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A ．①③
B ．①③④
C ．②④⑤
D ．①③④⑤ 【答案】D. 【解析】
考点：二次函数图象与系数的关系.
【点睛】根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案. 【举一反三】
【针对性练习】已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，给出以下四个结论：①0=abc ；②0>++c b a ；③b a >；④042<-b ac .其中，正确的结论有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C. 【解析】
O
2
3
x
y
（第10题图）
-x =第12题图
考点：抛物线的图象与系数的关系. 考点典例五、二次函数图象与平移变换
【例5】将抛物线2
3(4)2y x =-+向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是
． 【答案】2
3(5)1y x =--． 【解析】
试题分析：2
3(4)2y x =-+向右平移1个单位所得直线解析式为：2
3(5)2y x =-+； 再向下平移3个单位为：2
3(5)1y x =--．故答案为：2
3(5)1y x =--． 考点：二次函数图象与几何变换．
【点睛】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【举一反三】
【针对性练习】在平面直角坐标系中，将抛物线y=﹣12
x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长
度，得到的抛物线的解析式是（ ）
A ．y=﹣12
x 2﹣x ﹣32 B ．y=﹣12x 2+x ﹣12 C ．y=﹣12x 2+x ﹣32 D ．y=﹣12x 2﹣x ﹣12
【答案】A ． 【解析】
考点：二次函数图象与几何变换． 课堂自测小练习 一．选择题
1．抛物线y=2x 2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C. 【解析】
试题分析：已知抛物线y=2x 2
﹣2x+1，令x=0，得到y=1，即抛物线与y 轴交点为（0，1）；令y=0，得到2x 2﹣2x+1=0，即（x ﹣1）2=0，解得：x 1=x 2=，即抛物线与x 轴交点为（，0），则抛物线与坐标轴的交点个数是2，故答案选C
考点：抛物线与坐标轴的交点．
2.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x 2+5x+6，则原抛物线的解析式是（ ）
A ．y=﹣（x ﹣25）2﹣411
B ．y=﹣（x+25）2﹣411
C ．y=﹣（x ﹣25）2﹣41
D ．y=﹣（x+25）2+4
1
【答案】A. 【解析】
试题分析：已知抛物线的解析式为y=x 2+5x+6，它绕原点旋转180°后变为y=﹣x 2
+5x ﹣6，即y=﹣（x ﹣
2
5
）2
+，再向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣（x ﹣
25）2+41﹣3=﹣（x ﹣25）2﹣4
11
．故答案选A ． 考点：二次函数图象与几何变换．
3．以x 为自变量的二次函数()1222
2
-+--=b x b x y 的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是
A.4
5
≥
b B.1≥b 或 1-≤b C.2≥b D. 21≤≤b 【答案】A. 【解析】
考点:二次函数的性质.
4.如图，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC. 则下列结论：
1
①abc＞0 ②9a+3b+c＜0 ③c＞－1 ④关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－
a
其中正确的结论个数有（）
A. 1个
B. 2个
C.3个
D. 4个
【答案】C.
【解析】
考点：二次函数图象与系数的关系;数形结合思想．
5.对于二次函数y=-1
4
x2+x-4,下列说法正确的是（）
A、当x>0，y随x的增大而增大
B、当x=2时，y有最大值－3
C、图像的顶点坐标为（－2，－7）
D、图像与x轴有两个交点【答案】B.
【解析】
试题分析：二次函数y=-1
4
x2+x-4=-
1
4
(x-2)2-3,所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大
而增大，选项A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；顶点坐标为（2，-3），选项C 错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B.
考点：二次函数的性质.
6.二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（）
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4） B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
【答案】A．
【解析】
试题分析：已知二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，所以函数图象开口向上，又因y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，即可得顶点坐标为（﹣1，﹣4）．故答案选A．
考点：二次函数的性质．
7.已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B.
【解析】 考点：函数图像与系数的关系.
8.二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A ．a ＜0
B ．c ＞0
C ．a +b +c ＞0
D ．2
4b ac -＞0
【答案】C ．
【解析】
考点：二次函数图象与系数的关系．
二．填空题
9. 已知A （0,3），B （2,3）是抛物线c bx x y ++-=2上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.
【答案】（1,4）.
【解析】
试题分析：把A （0,3），B （2,3）代入抛物线c bx x y ++-=2可得b=2，c=3，所以
322++-=x x y =4)12+--
x （，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）. 考点：抛物线的顶点.
10.已知函数2
2y x x =--，当 时，函数值y 随x 的增大而增大．
【答案】x ≤﹣1．
【解析】
试题分析：∵22y x x =--=2(1)1x -++，a =﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x =﹣1，∴当x ≤﹣1时，y 随x 的增大而增大，故答案为：x ≤﹣1．
考点：二次函数的性质．
11.如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x =﹣1，给出以下结论：
①abc ＜0，②24b ac -＞0，③4b +c ＜0，④若B （52-
，1y ）、C （12
-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y >，⑤当﹣3≤x ≤1时，y ≥0．
其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） ．
【答案】②③⑤．
【解析】
考点：二次函数图象与系数的关系；综合题．
12.将抛物线2
3(4)2y x =-+向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 ．
【答案】23(5)1y x =--．
【解析】
试题分析：23(4)2y x =-+向右平移1个单位所得直线解析式为：23(5)2y x =-+；
再向下平移3个单位为：23(5)1y x =--．故答案为：23(5)1y x =--．
考点：二次函数图象与几何变换．
三．解答题
13.（本题10分）如图，已知抛物线32++-=mx x y 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）。
（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标；
（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标。
【答案】(1)m=2,(1,4)；(2)（1,2）.
【解析】
把（3,0），（0,3）代入得，
⎩⎨⎧=+=b
b k 330，解得⎩⎨⎧=-=31b k ， ∴直线BC 的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2.
答：当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为（1,2）.
考点：用待定系数法求函数解析式.
14.（10分）某班“数学兴趣小组”对函数x x y 22
-=的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下： x
… 3- 25- 2- 1- 0 1 2 3 4 … y … 3 45 m 1- 0 1- 0 45 3 …
其中，m =____________.
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该图像的另一部分.
（3）观察函数图像，写出两条函数的性质：
（4）进一步探究函数图像发现：
①函数图像与x 轴有__________个交点，所以对应方程022
=-x x 有___________个实数根； ②方程222=-x x 有___________个实数根；
③关于x 的方程a x x =-22有4个实数根，a 的取值范围是_______________________
【答案】（1）0；（2）图见解析；（3）答案不唯一，合理即可；（4）①3,3；②2；③-1＜a ＜0.
【解析】
（正确补全图象）；
(3)(可从函数的最值，增减性，图象的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可)；（4）①3,3；②2；③-1＜a＜0.
考点：数形结合；阅读理解；二次函数综合题.
人教版九年级数学第二十二章《二次函数》解答题专题复习 (46)(含解析)
第二十二章《二次函数》解答题专题复习 (46) 一、解答题 1．如图，抛物线y=x 2-2x+c 的顶点A 在直线l ：y=x -5上． （1）求抛物线顶点A 的坐标； （2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状； （3）在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 交x 轴于点A （1，0）和点B （3，0），交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的坐标为（4，3） （1）求该二次函数所对应的函数解析式； （2）如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，PE//x 轴，PF//y 轴，求线段EF 的最大值； （3）如图2，点M 是线段CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点N ，当△CBN 是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标． 3．如图抛物线213222 y x x =-++与x 轴交于点A 、B 两点与y 轴交于点C 点D 与点C 关于x 轴对称点P 是x 轴上的一个动点设点P 的坐标为（m0）过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求点A 、B 、C 的坐标； （2）求直线BD 的解析式； （3）当点P 在线段OB 上（点P 不与点O 、B 重合）运动时直线l 交BD 于点M 试探究m
为何值时四边形CQMD 是平行四边形； （4）当点P 在线段OB 上（点P 不与点O 、B 重合）运动时连接BQ 试探究m 为何值时四边形CQBO 的面积最大？ 4．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为()1,9M ，一直线经过抛物线上的两点 ()3,7A --和()3,B m ． （1）求抛物线的解析式和m 的值． （2）在抛物线上A B 、两点之间的部分（不包含A B 、两点）是否存在点C ，使得ABC ∆面积最大？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A M P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线55y x =-+与x 轴、y 轴分别交于,A C 两点，抛物线2 y x bx c =++经过,A C 两点，与x 轴交于另一点B . （1）求抛物线解析式及B 点坐标； （2）连接BC ，求ABC ∆的面积； （3）若点M 为抛物线上一动点，连接,MA MB ，当点M 运动到某一位置时，ABM ∆面
2020年中考数学一轮专项复习13 二次函数图象及性质1(含解析)
2020年中考数学一轮专项复习——二次函数图象及性质 课时1 二次函数图象与基本性质 基础过关 1. (2019衢州)二次函数y ＝(x －1)2＋3图象的顶点坐标是( ) A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3) D. (－1，－3) 2. (2019重庆B 卷)抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2的对称轴是( ) A. 直线x ＝2 B. 直线x ＝－2 C. 直线x ＝1 D. 直线x ＝－1 3. (2019兰州)已知点A (1，y 1)，B (2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( ) A. 2>y 1>y 2 B. 2>y 2>y 1 C. y 1>y 2>2 D. y 2>y 1>2 4. (2019咸宁)已知点A (－1，m )，B (1，m )，C (2，m －n )(n ＞0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是( ) A. y ＝x B. y ＝－2 x C. y ＝x 2 D. y ＝－x 2 5. (2019河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为( ) A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 6. (2018岳阳)在同一直角坐标系中，二次函数y ＝x 2与反比例函数y ＝1 x (x ＞0)的图象如图所示，若两个 函数图象上有三个不同．．．．的点A (x 1，m )，B (x 2，m )，C (x 3，m )，其中m 为常数，令ω＝x 1＋x 2＋x 3，则ω的值为( ) A. 1 B. m C. m 2 D. 1 m
初中数学二次函数讲义
第一讲 二次函数的定义 知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ， 那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式 例1、 函数y=（m ＋2）x 2 2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ． 例2、 下列函数中是二次函数的有（ ） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21 x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．
训练题: 1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2、若函数y=(m 2 +2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 3、已知函数y=(m －1)x 2m +1 +5x －3是二次函数，求m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系． 5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2 为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31 x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0 D ．m 、n 可以为任何常数 8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围． 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．
初中数学中考复习 二次函数 专题讲义(含解析)
二次函数 专题讲义 考点回顾 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存 在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2- =时，a b a c y 442-=最值 。
2023中考九年级数学分类讲解 - 第六讲 二次函数(含答案)(全国通用版)
第六讲 二次函数 专项一 二次函数的图象和性质 知识清单 一、二次函数的概念 一般地，形如 （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中ｘ是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、 和常数项． 二、二次函数的图象和性质 1. 二次函数的图象是一条 ．其一般形式为y =ax 2+bx +c ，由配方法可化成y =a （x -h ） 2+k 的形式，其中h=2b a -，k=244ac b a -． 2. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质 3. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与系数a ，b ，c 符号的关系
ab ＜0（a ，b 异号） 对称轴在y 轴右侧 c 决定抛物线 与y 轴的交点 c ＞0 交点在y 轴正半轴 c =0 交点在原点 c ＜0 交点在y 轴负半轴 考点例析 例1 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1，0），（3，0），且与y 轴交于点（0，-5），则当x=2时，y 的值为（ ） A ．-5 B ．-3 C ．-1 D ．5 分析：画出抛物线的大致图象，可知抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可求出y 的值． 例2 一次函数y=ax+b 的图象如图1所示，则二次函数y=ax 2+bx 的图象可能是（ ） A B C D 分析：根据一次函数y=ax+b 的图象经过的象限得出a ＜0，b ＞0，可知二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧． 例3 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图2所示，下列说法中，错误的是（ ） A ．对称轴是x= 1 2 B ．当-1＜x ＜2时，y ＜0 C ．a+c=b D ．a+b ＞-c 图2 分析：由图可知，对称轴是x= 1+22-=1 2 ，选项A 正确；当-1＜x ＜2时，函数图象在x 轴的下方，所以当-1＜x ＜2时，y ＜0，选项B 正确；当x=-1时，y=a-b+c=0，所以a+c=b ，选项C 正确；当x=1时，y=a+b+c ＜0，所以a+b ＜-c ，选项D 错误． 例4二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x ＝ 1 2，且经过点（2，0）．有下列说法：①abc ＜0；②﹣2b +c ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，252 y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2； 图1
中考数学复习之二次函数常考66种题型专题1 二次函数的图象与性质(一)(含答案及解析)
专题22.1 二次函数的图象与性质（一）-重难点题型 【题型1 判断二次函数的个数】 【例1】（2020秋•太康县期末）下列函数：①y＝3−√3x2；②y=2 x2 ；③y＝x（3﹣5x）；④y ＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 【变式1-1】（2020•涡阳县一模）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2； ④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（） A．1B．2C．3D．4 【变式1-2】（2020秋•扬州期末）下列函数是关于x的二次函数的有（） ①y＝x（2x﹣1）；②y=1 x2 ；③y= √3 2 x2−1；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；⑤y＝（x ﹣1）2﹣x2；⑥y=√x2+x+1． A．2个B．3个C．4个D．5个 【变式1-3】（2020秋•广汉市期中）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；
④y＝x3﹣2x；⑤y=x2−1 x +312；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中，二次函数 有．（只填序号） 【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】 【例2】（2020秋•沙坪坝区校级月考）若函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，则a 的值为． 【变式2-1】（2020秋•肃州区期末）如果函数y＝（k﹣3）x k2−3k+2+kx+1是二次函数，则k的值是． 【变式2-2】 （2020秋•江油市校级月考）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．【变式2-3】（2020秋•新昌县校级月考）已知函数y＝（m2+m）x m2−2m+2．（1）当函数是二次函数时，求m的值；； （2）当函数是一次函数时，求m的值．． 【题型3 二次函数的一般形式】 【例3】（2020秋•防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（） A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3 C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3 【变式3-1】（2020秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（） A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10 C．一次项是100D．常数项是20000 【变式3-2】（2020春•肇东市期末）已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝，一次项系数b＝，常数项c＝．
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与不等式 (附解析))
2023中考专题训练——二次函数与不等式 1．已知二次函数2y x bx c =-+-的图象与x 轴的交点坐标为(2,0)m -和(21,0)+m ． （1）求b 和c （用m 的代数式表示）； （2）若在自变量x 的值满足21x -≤≤的情况下，与其对应的函数值y 的最大值为1，求m 的值； （3）已知点2(1,23)A m m ---和点2(2,26)B m m -+．若二次函数2y x bx c =-+-的图象与线段AB 有两个不同的交点，直接写出m 的取值范围． 2．在平面直角坐标系xoy 中，直线y ＝4x +4分别与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，点A 在抛物线 y ＝ax 2+bx ﹣3a (a ＜0)上，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ． （1）求抛物线的顶点坐标；（用含a 的代数式表示） （2）若a=﹣1，当t ﹣1≤x ≤t 时，函数y ＝ax 2+bx ﹣3a (a ＜0)的最大值是3，求t 的值； （3）若抛物线与线段BC 有两个公共点，结合函数图像直接写出a 的取值范围． 3．某批发商以6元/千克的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，批发商销售过程中发现，这种蔬菜的销售单价为10元/千克时，每天的销售量为300千克，如果调整价格，销售单价每涨1元，每天少卖出30千克，设销售价格为x 元/千克，每天的销售量为y 千克． (1)请直接写出y 与x 之间的函数关系式； (2)当每天销售单价是多少元时，该批发商销售这种蔬菜的利润为1440元？ (3)端午节期间，批发商对这种蔬菜进行优惠促销，每购买1千克这种蔬菜，赠送成本为2元的端午节饰品，这种蔬菜的售价定为多少元时，该批发商每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222=-+-y x tx t t ． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）； (2)点()()1122,,,P x y Q x y 在抛物线上，其中1212,1-≤≤+=-t x t x t ． ①若1y 的最小值是2-，求1y 的最大值； ②若对于12,x x ，都有12y y <，直接写出t 的取值范围． 5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()22 240y x mx m m =-+->经过点(),A a b ． (1)用含m 的代数式表示抛物线顶点的坐标；
2024年中考数学总复习：二次函数(附答案解析)
2024年中考数学总复习：二次函数 一．选择题（共25小题） 1．抛物线y＝（x+1）2﹣1的对称轴是（） A．直线x＝0B．直线x＝1C．直线x＝﹣1D．直线y＝1 2．将抛物线y＝﹣x2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣1B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 C．y＝﹣（x+2）2+5D．y＝﹣（x﹣2）2+5 3．已知二次函数y＝kx2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k≤1C．k≥1D．k≤1且k≠0 4．把抛物线y＝x2+bx+2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y＝x2﹣4x+7，则b＝（） A．2B．4C．6D．8 5．已知点（﹣3，y1），（2，y2），(−1 2，y3 )都在函数y＝x2﹣1的图象上，则（） A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1 6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论： ①当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0； ④9a+c＞3b；其中正确的结论是（） A．①B．②C．③D．④ 7．已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图像上有三点A（√2，y1），B（3，y2），A（0，y3），则y1，y2，y3为的大小关系为（） A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1 8．A(−1 2，y1 )，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象上， 则y1，y2，y3的大小关系为（） A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1 第1页（共17页）
《常考题》初中九年级数学上册第二十二章《二次函数》知识点复习(含答案解析)
一、选择题 1．一次函数y ＝ax +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 2y ax bx c =++ -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）一个根x 的范围是（ ） A ．1.00 1.98x << B ．1.98 1.99x << C ．1.99 2.00x << D ．2.00 2.01x << 3．已知关于x 的二次函数y=（x-h ）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h ，则h 的值为 （ ） A ． 32 B ． 3 2 或2 C ． 3 2 或6 D ． 3 2 或2或6 4．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ） A ．直线2x =- B ．直线3x = C ．直线1x = D ．直线2x = 5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ） A ．26 B ．3 C ．6 D ．426．如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点A ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点B ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点C ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）．
2022年九年级中考数学专题复习讲义 二次函数中的最值问题(线段和面积最值)
2022年九年级中考数学专题复习讲义二次函数中的最值问题（线段和面积最值） 二次函数中的最值问题 问题背景：在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）. （1）求二次函数的表达式； 一、线段最值问题： （2）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N，求出线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标； 思考：此时还能通过几何构图确定动点位置，从而计算相应的MN的最值吗？ （3）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N，作ME∥AC于点E，求∥MEN周长的最大值，并求出此时点M的坐标； 思考：由动点M生成动点N，E，∥MEN三边长虽然均为变量，但它们之间有怎
样的数量关系？ 变式：∥MEN的面积有最大值，求出其最大值. （4）如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，连接OM与AC交于点F，求MF 的最大值； FO 思考：MF与OF是斜线段，它们的长度好表示吗？
变式：如图，点M 为直线AC 上方抛物线上一动点，连接OM 与AC 交于点F ，当 23 MF FO 时，求此时点M 的坐标； （5）如图，连接BC ，点P 为直线AC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PQ ∥
y轴交AC线段于点Q，过点Q作QG∥BC交x轴于点G，求PQ 的最大值及此时点P的坐标 （6）如图，点P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AC于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，求PD＋PE的最大值及此时点P的坐标；
第2讲 二次函数的认识 知识回顾+专题讲解+巩固练习-2021年中考数学二轮复习讲义
第二讲二次函数 ㈠承上启下 知识回顾 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数” ㈡紧扣考点 专题讲解 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1） 面积y (cm 2 )与圆的半径 x ( cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2 +40000x+20000 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax ²+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式. 我们把形如y=ax ²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项， 1、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 x y = (2) 2 1x y -= (3) 122 --=x x y （4） )1(x x y -= （5）)1)(1()1(2 -+--=x x x y 答：1.3.4. 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）12+=x y （2）12732 -+=x x y （3）)1(2x x y -= 二次函数1 二次函数3 二次函数 -2 一次项系数0 一次项系数7 一次项系数 2 常数项1 常数项 -12 常数项0 3、若函数m m x m y --=2 )1(2为二次函数，则m 的值为 2 。
人教版 九年级数学讲义 二次函数与一元二次方程(含解析)
第6讲二次函数与一元二次方程 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数与一元二次方程之间的联系，能够根据二次函数与x轴的交点坐标联系相应方程的解的情况，此外了解二次函数与不等式之间的关系，能够根据图象写出相应不等式的解集等，本节课的难点是二次函数与方程、不等式之间的联系考查，希望同学们能够认真学习。 知识梳理 讲解用时：10分钟 二次函数与一元二次方程之间的关联 求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标， 令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标。（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系： ①①=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数； ①①=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ①①=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； ①①=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）， 可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0），相应一元二次方 程的根就是x1和x2.
课堂精讲精练 【例题1】 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，则方程x2+ x+1=0的根的情况是（）。 A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法判断 【答案】B 【解析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点， 二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，图象与x轴有两个交点， 则方程x2+x+1=0的根的情况是：有两个不相等的实数根，故选：B． 讲解用时：3分钟 解题思路：直接利用二次函数图象得出方程x2+x+1=0的根的情况，即抛物线与x轴的交点情况，进而得出答案。 教学建议：利用数形结合分析。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：朝阳区模拟年份：2018【练习1】 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解为。 【答案】x1=1，x2=﹣3 【解析】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法， 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x=﹣1， ①抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0）， ①一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=1，x2=﹣3． 讲解用时：2分钟 解题思路：直接观察图象，抛物线与x轴交于1，对称轴是x=﹣1，所以根据抛
初中数学二次函数知识点总复习含答案解析(1)
初中数学二次函数知识点总复习含答案解析(1) 一、选择题 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】C 【解析】 【分析】 由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴x=﹣＝1，故b＜0，bc＜0，即可判断一次函数y＝x+bc的图象. 【详解】 ①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确； ②方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确； ③当x＜2时，由图象知：y随x的增大而减小，故错误； ④由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，x=﹣＝1＞0，∴b＜0， ∴bc＜0，∴一次函数y＝x+bc的图象一定过第一、三、四象限，故正确； 故正确的共有3个， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义. 2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（） A．原数与对应新数的差不可能等于零 B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
中考数学第一轮复习——第12讲：《二次函数》专训(含解析)
中考数学第一轮复习——第12讲：《二次函数》专训 一、选择题 1、如图1：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴为直线x=1,则下列结论中,错误的是( ) A.ab ＜0 B.b 2-4ac ＞0 C.2a-b=0 D.a-b+c=0 2、将抛物线y=2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为( ) A.y=2(x+2)2+3 B.y=2(x-2)2+3 C.y=2(x-2)2-3 D.y=2(x+2)2-3 3、已知点A(-1，m)，B(1，m)，C(2，m-n)(n ＞0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是( ) A.y ＝x B.x y 2-= C.y ＝x 2 D.y ＝-x 2 4、已知抛物线y=x 2+(m+1)x+m ，当x=1时，y ＞0，且当x ＜-2时，y 的值随x 值的增大而减小，则m 的取值范围是( ) A.m ＞-1 B.m ＜3 C.-1＜m ≤3 D.3＜m ≤4 5、已知m ＞0，关于x 的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x 1、x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是( )x 1、x 2(x 1＜x 2) A.x 1＜-1＜2＜x 2 B.-1＜x 1＜2＜x 2 C.-1＜x 1＜x 2＜2 D.x 1＜-1＜x 2＜2 6、已知二次函数y ＝(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( ) A.a ＜2 B.a ＞-1 C.-1＜a ≤2 D.-1≤a ＜2 7、在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是( ) A.y 的最小值为1 B.图像顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2 C.当x ＜2时,y 的值随x 值的增大而增大,当x ≥2时,y 的值随x 值的增大而减小 D.它的图像可以由y=x 2的图像向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到 8、如图2：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的对称轴是直线x=1，则以下四个结论中： ①abc ＞0，②2a+b=0，③4a+b 2＜4ac ，④3a+c ＜0。正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 9、二次函数y=-(x-6)2+8的最大值是 。 10、如图3：抛物线2 41x p y = (p ＞0),点F(0，p)，直线l:y ＝-p ，已知抛物线上的点到点F 的距离与到直线l 的距离相等，过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，垂足分别为A 1、B 1，连接A 1F 、B 1F 、A 1O 、B 1O ，若A 1F ＝a ，B 1F ＝b ，则△A 1OB 1的面积＝ (只用a 、b 表示)。 11、已知抛物线y ＝ax 2 ＋4ax ＋4a ＋1(a ≠0)过点A(m ，3)、B(n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2＋a ＋1的最小值是 。 学校： 考号： 姓名： 班级： ※※※※※※※※※※※密※※※※※※※※※※※※※※※※※封※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 线※※※※※※※※※※※※※ 图1 图2 图3 图4
中考备考数学总复习第12讲二次函数(含解析)
第12讲 二次函数 [锁定目标考试] 考标要求 考查角度 1.理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数是中考考查的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查. [导学必备知识] 知识梳理 一、二次函数的概念 一般地，形如y ＝______________(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数． 二次函数的两种形式： (1)一般形式：____________________________； (2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________． 二、二次函数的图象及性质 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 图象 (a ＞0) (a ＜0) 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x ＝－b 2a 直线x ＝－b 2a 顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a 增减性 当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而增大 当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而减小 最值 当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a 当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 2 4a 三、二次函数图象的特征与a ，b ，c 及b 2－4ac 的符号之间的关系
九年级数学中考复习：二次函数拔高专题精讲精练(解析版)
2019-2020学年中考复习：二次函数拔高专题精讲精练（含答案解析） 1．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标； （2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题；分类讨论。 解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4， ∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）∵抛物线过原点O和点A．B， ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得 ， 解得， ∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x
（3）存在， 如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP， 则22+|y|2=42， 解得y=±2， 当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==， ∴∠POD=60°， ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三点在同一直线上， ∴y=2不符合题意，舍去， ∴点P的坐标为（2，﹣2） ②若OB=PB，则42+|y+2|2=42， 解得y=﹣2， 故点P的坐标为（2，﹣2）， ③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2， 解得y=﹣2， 故点P的坐标为（2，﹣2）， 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2）， 2．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O． （1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
专题09 二次函数与实际应用(喷水问题)-2022年中考数学二次函数重点题型专题(全国通用版)解析版
专题09 二次函数与实际应用（喷水问题） 一、单选题 1． （2021·山东夏津·九年级期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子,OA O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OA 的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系式是 2y x 2x 3=-++，则下列结论错误的是（ ） A ．柱子OA 的高度为3m B ．喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度 C ．喷出的水流距水平面的最大高度是3m D ．水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外 【答案】C 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x 轴，y 轴的交点，解答题目的问题． 【详解】解：∵y =-x 2+2x +3=-（x -1）2+4， ∴当x =0时，y =3，即OA =3m ，故A 正确， 当x =1时，y 取得最大值，此时y =4，故B 正确，C 错误 当y =0时，x =3或x =-1（舍去），故D 正确， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 2． （2021·安徽芜湖·九年级月考）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3m ．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间近似满足函数关系()20y ax x c a =++≠，则水流喷出的最大高度为（ ）
2021年中考专题复习---二次函数(抛物问题)含答案
2021年中考专题复习---二次函数（抛物问题） 1．某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置OA （如图）喷水能力最强，水流从A 处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间符合二次函数关系式2734 y x x =-++()0x >． （1）求水流喷出的最大高度是多少米？此时最高处离喷水装置OA 的水平距离为多少米？ （2）现若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其他因素，花盆需至少离喷水装置OA 多少米外，才不会被喷出的水流击中？ 2．为如图，已知女排球场的长度OD 为18米，位于球场中线处的球网AB 的高度2.24米，一队员站在点O 处发球，排球从点O 的正上方2米的C 点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O 的水平距离OE 为6米时，到达最高点G ，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）若排球运行的最大高度为2.8米，求排球飞行的高度p （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量x 的取值范围）； （2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由； （3）若李明同学发球要想过网，又使排球不会出界（排球压线属于没出界）求二次函数中二次项系数的最大值．
3．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m． （1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 4．如图，儿童游乐场有一项射击游戏．从O处发射小球，将球投入正方形篮筐DABC．正方形篮筐三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．小球按照抛物线y＝﹣x2+bx+c 飞行．小球落地点P 坐标（n，0）（1）点C坐标为； （2）求出小球飞行中最高点N的坐标（用含有n的代数式表示）； （3）验证：随着n的变化，抛物线的顶点在函数y＝x2的图象上运动； （4）若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐，请直接写出n的取值范围．
初中中考冲刺数学总复习《二次函数》(基础+提高)巩固练习+知识讲解
中考总复习：二次函数—巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 1．二次函数2 365y x x =--+的图象的顶点坐标是( ) A ．(-1，8) B ．(1，8) C ．(-1，2) D ．(1，-4) 2．若123A(-3,y )B(-2,y )C(-1,y )、、，三点都在函数1 y x =- 的图象上，则123y y y 、、的大小关系是( ) A. 123y y y ＜＜ B. 123==y y y C. 132y y y ＜＜ D. 123y y y ＞＞ 3．函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( ) 4.如图是二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0）， 对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2 ＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0； ④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）． A ．②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③ 5.抛物线y =ax 2 +bx +c 图象如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数x c b a y ++= 在同一坐标系内的图象大致为（ ） 6.矩形ABCD 中，8cm 6cm AD AB ==，．动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动至点B 停止，动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2 cm )，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
专题33 二次函数与平移问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版)
专题33 二次函数与平移问题 1． （2021·湖北武汉九年级阶段练习）如图1，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，OB ＝OC ＝3OA ． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，点E 的坐标为（0，7），若过点E 作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H ，直线y ＝kx ﹣2k ﹣5（k ≠0）与抛物线交于F 、G 两点，求当k 为何值时，△FGH 面积最小，并求出面积的最小值； （3）如图3，已知直线l ：y ＝2x ﹣1，将抛物线沿直线l 方向平移，平移过程中抛物线与直线l 相交于E 、F 两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m ，在x 轴上存在唯一的一点P ，使∠EPF ＝90°，求m 的值． 【答案】（1）y ＝-x 2+2x +3；（2）k =-2，面积最小为（3）m 【分析】 （1）令x =0，解得y =b ，求出OB ＝OC ＝b ，OA =13b ，得到A （-1 3b ，0），C （0，b ），B （b ， 0），把A （-1 3 b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 即可求解； （2）设直线EH 的解析式为y =nx +7，联立2 723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2 240x n x +-+=，根据直线EH 与函数只有一个交点，求出H （2，3），再得到直线GH 过定点M （2，-5），利用 S △FGH =S △FMH +S △GMH =()121 2MH x x ⨯-=4()12x x -，求出()12x x -的最小值即可求解； （3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90°，设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），求出平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ） 2 +2m +2，
