二次函数的图像与性质
学情分析：
本节内容是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习的函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节.二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一.喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径.同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等.本节课研究最简单的二次函数y=±x2的图象,是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，既是前面所学知识的延续，又是探究其它二此函数的图象及其性质的基础，起到承上启下的作用.
教学目标：
1. 知识与技能目标
(1）能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y= ax2的性质．
（2）猜想并能作出y=- x2的图象，能比较它与y= x2的图象的异同．
2.过程与方法目标
（1）经历探索二次函数y= x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
（2）由函数y= x2的图象及性质，对比地学习y=- x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
3.情感、态度与价值观目标
（1）经历探索的过程发现抛物线的性质，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心．
（2）通过小组交流、讨论、比较，研究二次函数y= x2和y=- x2的图象，培养学生合作意识和交流能力．
教学重点：
经历探索二次函数y=±x2的图象的作法和性质的过程，理解二次函数y=a x2的性质．
教学难点：
描点法画y= x2的图象，体会数与形的相互联系。
教学过程：
一、创设情境，提出问题
学生观察：喷泉的水流、篮球的投掷形成的路径，抛物线型拱桥、抛物线型隧道，都与抛掷一个物体形成的路径的曲线类似，由此导入课题.紧接着提出两个问题：1．我们已经学过哪些函数？研究函数问题的一般步骤是怎样的？
2．一次函数、反比例函数的图象各是怎样的图形？
（设计意图：让学生回顾已学的函数类型、图象及研究函数问题的一般思路，以便学生运用类比的方法研究二次函数的相关问题．）
二、合作交流，探究新知
1．认识抛物线
问题：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？让我们先来研究最简单的二次函数y＝x2的图象．大家还记得画函数图象的一般步骤吗？（设计意图：通过这个问题让学生回忆起用描点法画图的一般步骤，以便于学生下一步的画图．）
画一画:你能试着用描点法画二次函数y= x2的图象吗?
（两名学生上台板演，其他学生在下面尝试画图．在学生画图时，教师溶入到学生中，了解并搜集学生可能出现的各种问题．比如：学生可能会画成折线、半个抛物线、没画出延伸的趋势等情形，这时正好针对问题鼓励小组间互相讨论、相互比较，交流各自的观点．）
问题：通过刚才的分析你认为在画y= x2的图象时：
（1）列表取值应注意什么问题？(取对称的7或5个点)
（2）点和点之间用什么样的线连接? （用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接）
（学生尝试描述y= x2的图象,建立和实际问题的联系.再通过投篮的动态演示,形象的描述并体会y= x2的图象的形状是抛物线，并且与开始的引例相呼应.）（设计意图:长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了.事实上，数学学习应该与学生的生活经验融合起来，让他们在生活中去发现数学、发现生活中的数学、探究数学、认识并掌握数学.）
2.探究抛物线y= x2的性质
议一议:请你观察y=x2的图象,你能得到哪些方面的性质，然后分组讨论．
（在学生讨论交流之后,请每组的学生代表一一发表自己的观察结果．在此过程中，教师不能作裁判，而要把评判权交给学生，注意培养学生语言的规范化、条
理化 .待学生发表自己的观点之后系统地总结一下y= x2的图象的性质）
抛物线y=x2的性质
（1）开口：抛物线的开口向上．
（2）对称性:它是轴对称图形，对称轴是y轴（或x=0）．
（3）增减性：在对称轴的左侧（x<0时），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（x>0），y随着x的增大而增大.
（4）顶点：图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）．
（5）最值：因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小=0．
1x2的图像，后总结图像的性质类似地：让学生再分组画出函数y= 2x2 y=
2
（设计意图：在此问题上，不再按课本上的问题一一叠列给学生，而是给学生一个开放的空间，给学生一个交流的平台，一个展现自我的空间．仁者见仁，智者见智，不同的学生肯定会有不同的认识，通过小组讨论与交流，学生可以相互学习，共同提高．）
3.探究抛物线y=-x2的性质
想一想:
（1）二次函数y=- x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象．
(2) 类似的你能说出它的性质吗?
（让学生先猜想再画图验证，在学生画图时可让每一小组部分同学将y= x2与y=-x2的图象画在一个坐标系内,而后学生通过讨论交流得出结论，教师只给以必要的引导．）
1x2的图像，后总结图像的性质类似地：让学生再分组画出函数y=- 2x2 y= -
2
（设计意图：这一问题设计为学生提供思考的空间，培养学生在观察、分析、对比、交流中发展分析能力和从图象中获取信息的能力．）
议一议:函数y＝x2与y＝－x2的图象及其性质有何异同？
（学生观察图形，通过小组讨论，归纳y＝x2与y＝－x2的图象及其性质的异同,然后回答，学生想不到的，及时给予引导.）
不同点：开口方向不同：
函数值随自变量的增大的变化趋势而不同：
函数的最值不同：
相同点：
关系：它们的图像关于x轴对称
（设计意图：通过比较y＝x2与y＝－x2的性质的异同，让学生更充分地理解y ＝±x2的性质．）
三、变式训练，巩固提高（课堂检测）
1．在二次函数y= x2的图象上，与点A(-5，25)对称的点的坐标是．顶点为：_____
2．点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y=-3x2上，且x1＞ x2＞0，则y1_____y2. 3．设边长为x cm的正方形的面积为y cm2，y是x的函数，该函数的图象是下列各图形中（）
（设计意图：通过一组简单的练习题，及时巩固所学知识，使学生品尝到成功的喜悦．）
四、总结反思,纳入系统
通过今天的学习，你是否对二次函数y=a x2有了一些新的认识？能谈谈你的想法吗？
（由学生总结本节课所学习的主要内容.在学生归纳的基础上总结它们的区别与
生的素质，并且逐渐培养学生的良好的个性品质.）
五、课后延伸,提升能力
你能类比地画出函数：1
2+
y的图象吗？动手画一下吧！
=x
教学反思：
针对本节课的特点，采用“创设情境—作图探索—总结归纳—知识运用”为主线的教学方法.
把教学的重心放在如何促进学生的“学”上，引导学生采用观察、实验、自主探索、小组活动、集体交流等多样化的学习方式.教学过程中始终坚持学生为主体,教师为主导的方针，使探究知识和培养能力融为一体,让学生不仅学到科学探究的方法,而且体验到探究的甘苦,领会到成功的喜悦.
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质 二次函数是一种由幂指数为2的多项式函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。二次函数是数学中重要的 函数之一，其图像呈现出特殊的凹弧形状，被称为抛物线。 1.图像的性质： -对称性：二次函数的图像在垂直于x轴的直线x=-b/2a处有对称轴，对称轴将抛物线分为左右对称的两部分。 -开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 -最值：当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。 - 零点：二次函数的零点即为其对应的二次方程的解，可以通过求解ax^2 + bx + c = 0得到。 2.导数的性质： - 二次函数的导数为f'(x) = 2ax + b，表示了二次函数在各点的斜率。 -当a>0时，导数恒正，表示抛物线在x轴右侧上升；当a<0时，导 数恒负，表示抛物线在x轴右侧下降。 - 抛物线的顶点处导数等于0，即2ax + b = 0，解得x = -b/2a。 这也是抛物线对称轴的x坐标。 3.二次方程的性质：
- 二次函数f(x)的解即为对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的解。根的性质可以通过判别式Δ = b^2 - 4ac来判断： -当Δ>0时，方程有两个不相等的实根，对应函数图像与x轴有两个 交点。 -当Δ=0时，方程有两个相等的实根，对应函数图像与x轴有一个交点，此时抛物线与x轴切于顶点。 -当Δ<0时，方程无实根，对应函数图像与x轴没有交点，抛物线位 于x轴上方或下方。 通过以上性质，我们可以更全面地了解和描述二次函数的图像特征和 行为。二次函数是数学中重要的函数之一，具有广泛的应用领域，例如物 理学中的抛物线轨迹、经济学中的成本与收益关系等。在解题和问题分析中，二次函数的性质也常常被应用。 例如，当我们要求解一个实际问题时，可以建立对应的二次函数来描 述其中的关系，并通过函数性质来分析和解决问题。或者对于一个给定的 二次函数，我们可以通过其图像和相关性质来推断函数的行为和特点，进 而进行更深入的研究。 总之，二次函数作为一种特殊的多项式函数，在数学中起到非常重要 的作用。通过研究其图像、导数和二次方程的性质，我们可以更好地理解 和应用二次函数。
二次函数图像与性质总结(含答案)
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质：
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝ ⎭，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质 解析式a 的取值开口方向函数值的 增减 顶点坐标对称轴 图像与y轴 的交点 y = ax2当a0时；开口向上； 在对称轴的左侧y随x的 增大而减小，在对称轴的 右侧 y 随 x 的增大而增 大。 当a0时；开口向下； 在对称轴的左侧y随 x 的 增大而增大，在对称轴的 右侧 y 随 x 的增大而减 小。（0，0）x=0（0，0） y = ax2+ k （0，c）x =0 (0，k）y = a( x + h)2（- h，0）x = - h(0，ah2） y=a(x+h)2+k （- h，k）x = - h(0，ah2+ k) y = ax2+bx+c b 4ac - b2 (- , ) 2a4a b x=- 2a（0，c） 2.抛物线的平移法则： （1）抛物线y = ax2+ k的图像是由抛物线y = ax2的图像平移k个单位而得到的。当k 0时向上平移；当k0时向下平移。 （2）抛物线y = a（x + h）2的图像是由抛物线y = ax2的图像平移h个单位而得到的。当h0时向左平移；当h0时向右平移。 （3）抛物线的y = a（x + h）2+ k图像是由抛物线y = ax2的图像上下平移k个单位，左右平移h个单位而得到的。当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0 时向右平移。
3.二次函数的最值公式： 形如y =ax + bx + c的二次函数。当a0时，图像有最低点，函数有最小值4ac-b24ac- b2 y最小值=4a；当a0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值=4a； 4.抛物线y =ax + bx + c与y轴的交点坐标是（0，c） 5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。 6.二次函数y =ax + bx + c的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。（2）自变量的取值范围不是一切实数： b 自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴x = -2a ,把他与取值范围相比较，再进行求最值。 6.二次函数与一元二次方程的关系： （1）抛物线y = ax +bx+c与x轴的交点坐标的横坐标方程ax2+ bx + c = 0的两根。（2）抛物线与x轴的交点个数是由 = b2- 4ac决定的： 当0时抛物线与x轴有两个交点；当 = 0抛物线与x轴有一个交点；当 0时抛物线与x轴没有点。0时抛物线与x轴有交点。（此定理的逆定理也成立。）7.二次函数的三种常用形式： （1）一般式：y = a（x + h）2+k（2）顶点式：y = ax +bx+c （3）两根式：y = a（x- x1）（x - x2 ） 8.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法；（5）图像法。
高考数学中的二次函数图像与性质总结
高考数学中的二次函数图像与性质总结 二次函数是高中数学中最重要的一章之一，也是高考数学中出 现频率最高的知识点之一。二次函数是关于自变量的二次多项式，其一般式为：$ y=ax^2+bx+c $。本文将从二次函数的图像以及性 质两个方面进行总结。 一、二次函数图像 二次函数的图像是一个通常被称为“开口”的抛物线。其开口的 方向、顶点、轴线等均与函数中的系数有关。 1、开口方向： 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上； 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。 在解决应用问题时，我们需要根据问题中的实际含义来确定开 口方向。
2、顶点： 二次函数的图像上有一个最高点或最低点，被称为顶点。顶点坐标为 $ ( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} ) $ ，其中 $ \Delta = b^2-4ac $ 称作判别式。 当 $ \Delta > 0 $ 时，二次函数有两个实数根，此时抛物线与$ x $ 轴有两个交点，顶点处为最低点或最高点； 当 $ \Delta = 0 $ 时，二次函数有一个实数根，此时抛物线与$ x $ 轴有一个交点，顶点处在此时的交点处； 当 $ \Delta < 0 $ 时，二次函数无实数根，此时抛物线与 $ x $ 轴没有交点，顶点处为反比例函数的最高点或最低点。 在实际问题中，顶点常常代表着最优解，需要我们加以研究。 3、对称轴：
在二次函数的图像中，顶点是对称轴的中心点。对称轴的方程为 $ x = -\frac{b}{2a} $。 在实际问题中，通过对称轴我们可以更好的分析函数的性质，例如计算函数的最值、判断函数的增减性等。 二、二次函数性质 二次函数的性质多种多样，常常被用于实际问题中的优化模型以及图像的分析。本文将从函数的零点、单调性、极值、函数值域四个方面进行总结。 1、零点： 二次函数的零点是指函数图像与 $ x $ 轴相交的点。我们可以通过化二次函数的标准式、配方法和公式法等多种方法求得函数的零点。 当 $ \Delta > 0 $ 时，二次函数有两个不同实数根；
二次函数图像与性质总结
二次函数图像与性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质：
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后 者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中 2 424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴 对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2 b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
二次函数的图像性质及应用
二次函数的图像性质及应用 二次函数是一种代数函数，由形如f(x) = ax^2 + bx + c 的方程定义，其中a、b、c为实数且a不等于0，x为自变量，f(x)为因变量的值。在二次函数的图像性质及应用方面，可以从以下几个角度来进行解析。 一、图像性质 1. 平移性质：二次函数的图像可以根据a、b、c的值进行平移。当c不为0时，图像沿y轴平移c个单位；当b不为0时，图像沿x轴平移-b/2a个单位；当a 不为0时，图像的开口方向取决于a的正负性，开口向上（a>0）或者开口向下（a<0）。 2. 对称性质：二次函数的图像关于y轴对称。这是因为二次函数的方程中只有x 的二次项没有一次项，故图像关于y轴对称。 3. 零点性质：二次函数的零点是指函数值为0的x值。对于一般的二次函数，它将有两个零点，除非它开口向上或开口向下且顶点位于x轴上，此时则只有一个零点。 4. 首项分类：当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为正二次函数；当a<0时，二次函数的图像开口向下，称为负二次函数。首项a的正负性决定了二次函数的凹凸性。
二、应用 1. 自然科学中的运动学问题：二次函数可以用来描述自然界中物体的运动状态。例如，自由落体运动中物体的下落高度与时间的关系可以用二次函数来表示。 2. 经济学中的成本与收益问题：在经济学中，很多问题可以用二次函数来建模。例如，成本与产量之间的关系、价格与需求之间的关系等。 3. 地理学中的地形分析：地理学中，二次函数可以用来描述地形的变化。例如，山谷河流的横断面、地势的坡度等。 4. 工程学中的建模问题：在工程学中，二次函数可以应用于许多建模问题，如桥梁设计、弹道分析等。 总结起来，二次函数的图像性质包括平移性质、对称性质、零点性质和首项分类。而其应用领域广泛，包括自然科学中的运动学问题、经济学中的成本与收益问题、地理学中的地形分析以及工程学中的建模问题等。通过对二次函数的图像性质及应用的深入理解，可以更好地应用于实际问题的建模与求解。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质： 上加下减。 a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()00， y 轴 x >时，y 随x 的增大而增 大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最 小值0． a < 向下 ()00， y 轴 x >时，y 随x 的增大而减 小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最 大值0． a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质
3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 a > 向上 ()0c ， y 轴 x >时，y 随x 的增大而增 大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最 小值c ． a < 向下 ()0c ， y 轴 x >时，y 随x 的增大而减 小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最 大值c ． a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增 大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最 小值0． a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减 小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最 大值0．
4. () 2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2 y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增 大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最 小值k ． a < 向下 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减 小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最 大值k ．
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质总结 二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。 一、图像特征： 1.开口方向： -当a>0时，抛物线开口向上； -当a<0时，抛物线开口向下。 2.顶点： -对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点； -对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。 3.对称轴（y轴）： - 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a； -对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点； -对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。 4.最值： -对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标； -对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。
5.零点： - 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点； -二次函数可能有0个、1个或2个零点； - 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根； - 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根； - 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。 6.增减性： -当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增； -当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。 二、性质总结： 1.函数的解析式： - 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0； -通过解析式可以得到函数的图像特征。 2.零点： -零点是指函数与x轴的交点； - 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解； - 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根； - 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳 二次函数的图像与性质 二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表 示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。根据 a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。 在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的 形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对 称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。根据 a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。 在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k 的形式。根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和 对称轴可以得到不同的性质。当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h； 当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对 称轴为直线x=h。 二次函数图象的平移 二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。具体方法有两种：一种是将抛物线解析式转化成顶
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质 二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中有 着广泛的应用。本文将介绍二次函数的图像与性质，包括图像的形状 与位置、顶点坐标、对称性、最值和零点等方面。 1. 图像的形状与位置 二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数， 且a不等于0。二次函数的图像是一个抛物线，它的形状取决于二次项 的系数a的正负和大小。 如果a大于0，则抛物线开口朝上；如果a小于0，则抛物线开口朝下。a的绝对值越大，抛物线的开口越窄；a的绝对值越小，抛物线的 开口越宽。 2. 顶点坐标 二次函数的顶点是抛物线的最高点（开口朝下）或最低点（开口朝上），它的坐标可以通过顶点公式来求得。顶点公式为： x = -b/(2a)，y = f(x) = c - b²/(4a) 顶点坐标的x值表示抛物线的对称轴位置，y值表示抛物线的最值。 3. 对称性 二次函数的图像具有对称性。对于任意点(x, y)在图像上，其关于对 称轴的对称点也必定在图像上。对称轴通过顶点，因此对称性可以通 过对称轴方程来表示：x = -b/(2a)。
4. 最值 二次函数的最值即为函数在定义区间内的最大值或最小值。开口朝上的二次函数在顶点处取得最小值，开口朝下的二次函数在顶点处取得最大值。 最值的计算可以通过顶点坐标中的y值来得到。 5. 零点 二次函数的零点是函数图像与x轴的交点。也就是函数取值为0时的x值，可以通过解二次方程f(x) = 0来求得。二次方程的解可以使用求根公式，即： x = (-b ±√(b²-4ac))/(2a) 其中±表示两个解，可能有两个不同的零点，也可能有两个相等的零点，甚至可能没有实数解。 总结： 二次函数的图像与性质可以通过以下几个方面来描述：图像的形状与位置，顶点坐标，对称性，最值和零点。这些性质对于理解和应用二次函数都非常重要。 通过本文的介绍，相信读者对二次函数的图像与性质有了更深入的理解。掌握二次函数的这些性质，可以帮助我们解决各种实际问题，提升数学应用能力。
二次函数的基本性质和图像
二次函数的基本性质和图像 二次函数是高中数学中的一种重要函数，它的图像形状为抛物线。在学习二次函数之前，我们需要了解一些基本性质和图像特征。本文将介绍二次函数的基本性质和图像特点，帮助读者更好 地理解和掌握这一概念。 一、二次函数的标准形式 二次函数的标准形式为： f(x) = ax² + bx + c 其中，a、b、c为实数，且a≠0。 二、二次函数的图像特点 1. 开口方向 二次函数的开口方向由二次项的系数a的正负确定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 最值点 当二次函数的开口方向向上时，函数的最值点为抛物线的顶点，记作（h，k），其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。当二次函数的开口方向向下时，函数的最值点为抛物线的谷点。 3. 对称轴 二次函数的对称轴是通过抛物线的最值点和对称轴的直角中点 所得直线。对称轴与x轴垂直，并且通过抛物线的顶点。 4. 零点 二次函数的零点即函数的根，可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。二次函数的零点可以有0个、1个或2个零点，取 决于二次方程的判别式b²-4ac 的值。 三、二次函数的图像画法和变换 1. 平移变换
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，当x平移h个单位和y平移k 个单位时，变换后的函数表达式为f(x-h)+k。 2. 垂直方向的伸缩变换 对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，当a变为ka(k≠0)时，函数的图像在y轴方向上发生伸缩。当a>1时，抛物线变瘦高；当0 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ， 处,具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上"h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移"． 概括成八个字"左加右减,上加下减"． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上〔下平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2 ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左〔右平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝ ⎭,其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选 取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ,()20x ，〔若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，． 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，．当 2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时,y 有最 二次函数的图像 【学习目标】 1、会做函数y=ax 2 和y=ax 2 +c 的图象,并能比较它们的异同；理解a,c 对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标； 2、了解抛物线y=ax 2上下平移规律； 3、熟练掌握二次函数的性质； 4、应用二次函数解决实际问题. 【主要概念】 【1】二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点. 【2】二次函数图像的画法 五点法： 1、先根据函数解析式,求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 2、求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A ，B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【3】二次函数的性质 【4】二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义 a 表示开口方向:a 〉0时,抛物线开口向上 a 〈0时，抛物线开口向下 b 与对称轴有关:对称轴为x=a b 2- c 表示抛物线与y 轴的交点坐标:(0，c ） 【5】二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点. 当∆〉0时,图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆〈0时，图像与x 轴没有交点。 【5】二次函数的平移 1、将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； 2、 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 二次函数图像性质与应用 二次函数，也叫做一元二次方程，是中学数学中非常重要的一门知识。它的图像是一条叫做抛物线的曲线，也广泛应用于物理学、经济学、生物学等领域。在这篇文章中，我将会介绍二次函数的图像性质以及在现实生活中的应用。 一、二次函数的图像性质 二次函数是以 x 的二次方作为自变量的函数。它的一般式为： y = ax^2 + bx + c 其中，a、b、c 都是实数，a 不等于 0。这个式子是抛物线的标准式，根据 a 的正负可以确定抛物线的形状。如果 a 大于 0，抛物线开口朝上；如果 a 小于 0，抛物线开口朝下。 除了开口方向，二次函数还有一些其他的图像性质。以下是一些重要的性质： 1、对称轴 二次函数的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线。它过抛物线的顶点，用下面的公式可以求出它的方程： x = -b / 2a 2、零点 二次函数的零点就是方程 y = 0 的解。抛物线和 x 轴的交点就是它的零点。用下面的公式可以求出它的值： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 如果判别式 b²-4ac 大于 0，那么二次函数就会有两个不同的零点；如果判别式等于 0，那么二次函数有一个二重根；如果判别式小于 0，那么二次函数没有实数解。 3、极值 二次函数的极值就是抛物线的顶点。如果 a 大于 0，那么它的 极小值就是 y = c - (b²/4a)，对应的 x 坐标是 -b/2a；如果 a 小于 0，那么它的极大值就是 y = c - (b²/4a)，对应的 x 坐标也是 -b/2a。 二、二次函数在现实生活中的应用 二次函数在现实生活中的应用非常广泛。以下是几个例子。 1、建筑设计 建筑设计中常常需要使用二次函数。比如说，建筑师需要设计 一个带拱形的门，那么他们会使用二次函数来描述这个门的形状。不同的二次函数可以绘制出不同形状的门，用于满足客户的设计 需求。 2、股市预测 股市是一个非常复杂的市场，股票价格每天都有不同的波动。 分析股票价格通常需要用到二次函数，以预测未来的价格趋势。 二次函数图像与性质总结(含答案) 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()00， y 轴 x >时，y 随x 的增大而增 大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最 小值0． a < 向下 ()00， y 轴 x >时，y 随x 的增大而减 小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最 大值0． a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 3. () 2 y a x h =-的性质： 左加右减。 a > 向上 ()0c ， y 轴 x >时，y 随x 的增大而增 大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最 小值c ． a < 向下 ()0c ， y 轴 x >时，y 随x 的增大而减 小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最 大值c ． a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增 大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最 小值0． a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减 小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最 大值0． 五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()1 0x ，，()2 0x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为 2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时， y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为 2424b ac b a a ⎛⎫ -- ⎪ ⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而 增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值 2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2 y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2 ()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 二次函数图象与性质 知识要点梳理： 知识点一、二次函数的定义： 形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项. 知识点二、二次函数的图象及画法 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同. 1. 用描点法画图象 首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点. 2. 用平移法画图象 由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k). 知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质： 函数a的符 号 图象 开口 方向 顶点坐 标 对称轴增减性 最大(小) 值 y=ax2a>0 向上 (0，0) y轴x>0时，y随x增大而增大 x<0时，y随x增大而减小 当x=0时， y最小=0 y=ax2a<0 向下 (0，0) y轴x>0时，y随x增大而减小 x<0时，y随x增大而增大 当x=0时， y最大=0 2.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质: (1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c (2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：二次函数图像和性质总结(附答案解析)
(完整)二次函数的图像及其性质
二次函数图像性质与应用
二次函数图像与性质总结(含答案)
二次函数的图像与性质