二次函数的图象和性质备战2023年中考数学考点微专题

考向3.5 二次函数的图象和性质

例1、（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y 2

12

13x 583x 8x ≤⎧=⎨-+≤≤⎩（＜）（）（）的图象如图所示，若直线y ＝kx ﹣3与该图象有公共点，则k 的最大值与最小值的和为 _____．

解：当直线经过点（1，12）时，12=k -3，解得k =15； 当直线与抛物线只有一个交点时，（x -5）2+8=kx -3， 整理得x 2-（10+k ）x +36=0，

∴10+k =±12，解得k =2或k =-22（舍去）， ∴k 的最大值是15，最小值是2， ∴k 的最大值与最小值的和为15+2=17． 故答案为：17．

1、二次函数

抛物线位置与a ，b ，c 的关系：

（1）a 决定抛物线的开口方向⎩⎨

⎧⇔<⇔>开口向下

开口向上00a a

（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置：

c>0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0⇔图像过原点；c<0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方； （3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。对称轴在y 轴右侧；

1、本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k 的最大值和最小值是解题的关键；

2、二次函数的性质是中考必考点，熟悉并运用二次函数性质解决问题是考前学生必须掌握的内容；

例 2、（2021·山东泰安·中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．

解：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴a ＜0，c ＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x =1， ∴﹣

2b

a

=1，即b =﹣2a ＞0 ∴abc ＜0，故①错误；

∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），

∴根据对称性，与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴a ﹣b +c =0，故②正确；

根据图象，y 是有最大值，但不一定是3，故③错误； 由210ax bx c +++=得2=1ax bx c ++﹣， 根据图象，抛物线与直线y =﹣1有交点， ∴210ax bx c +++=有实数根，故④正确， 综上，正确的为②④， 故答案为：②④．

理解并熟练运用二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键。 例 3、（2021·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点 A （0，53

）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若直线y ＝kx 2

3

+（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22

＝10时，求k 的值；

（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值

43

m

，求m 的值．

解：（1）把50,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭

代入()2

23y a x =-+中，

5

43,3

a ∴+=

1

,3

a ∴=-

∴ 抛物线的解析式为：()2

12 3.3

y x =-

-+ （2）联立一次函数与抛物线的解析式得： ()2

23

1233y kx y x ⎧

=+⎪⎪⎨

⎪=--+⎪⎩

()2

1223,33

x kx ∴-

-+=+ 整理得：()2

4330,x k x ---=

121243,3,x x k x x ∴+=-=-

()2

22

121212210,x x x x x x +=+-=

()()()22

432343120,k k ∴--⨯-=-+>

∵x 1+x 2=4-3k ，x 1•x 2=-3， ∴x 12+x 22=（4-3k ）2+6=10， 解得：122

2,,3k k ==

∴122

2,,3

k k ==

（3）∵函数的对称轴为直线x=2， 当m ＜2时，当x=m 时，y 有最大值，43

m =-1

3（m-2）2+3， 解得m=±5，∴m=-5，

当m≥2时，当x=2时，y 有最大值， ∴

43

m

=3， ∴m=9

4

，

综上所述，m 的值为-5或9

4

．

1、利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x 轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键；

2、考前让学生进行适度训练此类题型对突破重点题是十分必要的。

一、单选题 1．（2021·四川德阳·中考真题）下列函数中，y 随x 增大而增大的是（ ） A ．y ＝﹣2x B ．y ＝﹣2x +3

C ．y 2

x

=

（x ＜0） D ．y ＝﹣x 2+4x +3（x ＜2）

2．（2021·上海·中考真题）将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A ．开口方向不变 B ．对称轴不变

C ．y 随x 的变化情况不变

D ．与y 轴的交点

不变

3．（2021·江苏连云港·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出

了该函数的一个特征． 甲：函数图像经过点(1,1)-； 乙：函数图像经过第四象限； 丙：当0x >时，y 随x 的增大而增大． 则这个函数表达式可能是（ ） A ．y x =-

B ．1y x

=

C ．2y x

D ．1

y x

=-

4．（2021·浙江杭州·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）

A ．212y x x =+和21y x =--

B ．2

12y x x =+和21y x =-+

C ．11y x =-和21y x =--

D ．11

y x

=-和21y x =-+

5．（2021·四川凉山·中考真题）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）

A ．0abc >

B ．函数的最大值为a b c -+

C ．当31x -时，0y

D ．420a b c -+<

6．（2021·甘肃兰州·中考真题）二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（ ） A ．1x =- B ．2x =-

C ．1x =

D ．2x =

二、填空题

7．（2020·江苏淮安·中考真题）二次函数223y x x =--+的图像的顶点坐标是_________． 8．（2020·江苏无锡·中考真题）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴：__________．

9．（2020·黑龙江穆棱·中考真题）将抛物线y =(x －1)2－5关于y 轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_____．

10．（2020·四川雅安·中考真题）从1

,1,1,2,52

--中任取一数作为a ，使抛物线

2y ax bx c =++的开口向上的概率为__________．

11．（2020·四川广安·中考真题）已知二次函数y=a （x-3）2+c （a ，c 为常数，a ＜0），当自变量x 分别取5，0，4时，所对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为________（用“＜”连接）．

12．（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线211y x x =-++，2221y x x =-++，

2331y x x =-++，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点()0,1C ；②抛物线3y 的对称轴

可由抛物线1y 的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．

13．（2021·四川巴中·中考真题）y 与x 之间的函数关系可记为y ＝f （x ）．例如：函数y ＝x 2可记为f （x ）＝x 2．若对于自变量取值范围内的任意一个x ，都有f （﹣x ）＝f （x ），则f （x ）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x ，都有f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f （x ）是奇函数．例如：f （x ）＝x 2是偶函数，f （x ）1

x

=是奇函数．若f （x ）＝ax 2+（a ﹣5）x +1是偶函数，则实数a ＝__________．

14．（2021·青海西宁·中考真题）从12-，-1，1，2，-5中任取一个数作为a ，则抛物线

2y ax bx c =++的开口向上的概率是______．

三、解答题

15．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）如图，已知二次函数2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知BAC ∆的面积是6． （1）求a 的值；

（2）在抛物线上是否存在一点P ，使ABP ABC S S ∆∆=．存在请求出P 坐标，若不存在请说明理由．

一、单选题 1．（2020·四川德阳·二模）在﹣2，0，1这三个数中任取两数作为m ，n ，则二次函数y ＝（x ﹣m ）2+n 的顶点在坐标轴上的概率为（ ） A ．25

B ．13

C ．23

D ．1

2

2．（2020·江苏徐州·二模）把抛物线y ＝x 2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（ ） A ．(3，﹣3)

B ．(3，9)

C ．(﹣1，﹣3)

D ．(﹣1，9)

3．（2020·江苏·苏州市吴江区苏州湾外国语学校模拟预测）二次函数2y ax bx c =++，自变量x 与函数y 的对应值如表：

下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下 B ．当3x >-时，y 随x 的增大而增大 C ．二次函数的最小值是2-

D ．抛物线的对称轴是5

2

x =-

4．（2020·福建师范大学附属中学初中部模拟预测）已知抛物线()()2

0=-+≠y a x h k a 经过以下三点：()5,0A m -，()3,4B m -、()5,4C m -，其中4m <，下列说法正确的是（ ） A ．点B 在点C 的右边 B ．0a >

C ．4k <

D ．当0x <时，y 随x 增大而增大

5．（2020·湖北梁子湖·二模）如图，分别过点P n (n ，0)(n 为正整数)作x 轴的垂线，交二次函数2

12y x =

(x ＞0)的图象于点A n ，交直线12

y x =- (x ＞0)于点B n ，则1122111

n n A B A B A B ++

+的

值为（ ）

A ．

21

n

n + B ．2 C ．

2

(1)

n n +

D ．

21

n + 6．（2020·河南沁阳·模拟预测）如图，在Rt OAB 中，OA AB =，90OAB ∠=︒，点P 从点O 沿边OA 、AB 匀速运动到点B ，过点P 作PC OB ⊥交OB 于点C ，线段22AB =，OC x =，

POC S y =△，则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．（2020·四川仁寿·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝（x ﹣2）2﹣1，下列说法中错误的是（ ）

A ．图形顶点坐标为(﹣2，﹣1)，对称轴为直线x ＝2

B ．当x ＜2时，y 的值随x 的增大而减小

C ．它的图象可以由y ＝x 2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到

D ．图象与x 轴的两个交点之间的距离为2 二、填空题

8．（2020·江苏姑苏·一模）二次函数247y x x =-+的顶点坐标为__________．

9．（2020·安徽滁州·模拟预测）抛物线()(1)y x m x =--与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点C ，若ACB ∠为锐角，则m 的取值范围是__________．

10．（2020·江苏新沂·三模）如图，P 是抛物线232y x x =-++在第一象限上的点，过P 点分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A ，B 则四边形OAPB 周长的最大值__________．

11．（2020·山东周村·一模）如图，过函数y =ax 2（a >0）图象上的点B ，分别向两条坐标轴引垂线，垂足分别为A ，C ． 线段AC 与抛物线的交点为D ，则

AD

AC

的值为_____________．

12．（2020·江苏丹阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2（a ＞0）与y ＝a （x ﹣2）2的图象交于点B ，抛物线y ＝a （x ﹣2）2交y 轴于点E ，过点B 作x 轴的平行线与两条抛物线分别交于C 、D 两点，若点A 是x 轴上两条抛物线顶点之间的一点，连结AD ，AC ，EC ，ED ，则四边形ACED 的面积为_____．

13．（2020·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，若抛物线23

(1)2

y x k =-+经过B ，C 两点，则该抛物线的最低点到边BC 的距离为__________．

14．（2020·浙江·模拟预测）记实数12,x x ，中的最小值为{}12min ,x x ，例如min{0,1}1-=-，

当x 取任意实数时，则{}

2

min 4,3x x -+的最大值为___________．

三、解答题

15．（2020·湖北武汉·一模）个体户小陈新进一种时令水果，成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （kg ）与时间t （天）的关系如下表： 时间t （天） 1

3 5 10 36 … 日销售量()

kg m

94

90

86

76

24

…

未来40天内，前20天每天的价格1y （元/kg ）与时间t （天）的函数关系式为11

25

4

y t =+（120l ≤≤且t 为整数），后20天每天的价格2y （元/kg ）与时间t （天）的函数关系式为21

402

y t =-+（21140≤≤且t 为整数）．

（1）直接写出()kg m 与t （天）之间的关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少?

（3）在实际销售的前20天中，个体户小陈决定每销售1kg 水果就捐赠a 元利润（4a <且a 为整数）给贫困户．通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，求前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户多少钱?

16．（2020·陕西·三模）如图，已知抛物线y ＝x 2﹣4与x 轴交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），C 为顶点，直线y ＝x +m 经过点A ，与y 轴交于点D ． （1）求线段AD 的长；

（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C ′．若新抛物线经过点D ，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC ′平行于直线AD ，求新抛物线对应的函数表达式．

17．（2020·广东斗门·二模）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A （0，3），B （4，3）两点，与x 轴交于点E ，F ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中CD 边经过抛物线的项点M ，点P 是抛物线上一动点（点P 不与点A ，B 重合），过点P 作y 轴的平行线1与直线AB 交于点G ，与直线BD 交于点H ，连接AF 交直线BD 于点N ． （1）求该抛物线的解析式以及顶点M 的坐标； （2）当线段PH ＝2GH 时，求点P 的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点P ，使得以点P ，E ，N ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

一、单选题

1．（2021·山东滨州·中考真题）对于二次函数2

16212

y x x =

-+，有以下结论：①当5x >时，y 随x 的增大而增大；②当6x =时，y 有最小值3；③图象与x 轴有两个交点；④图象是由抛物线2

12

y x =

向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，已如抛物线2y ax bx c =++开口向上，与x 轴的一个交点为()1,0-，对称轴为直线x 1=．下列结论错误的是（ ）

A ．0abc >

B ．24b ac >

C ．420a b c ++>

D ．20a b +=

3．（2021·山东日照·中考真题）抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如

图所示．下列结论：①0abc <；②()()2

2

42a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两

点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程

21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

4．（2021·内蒙古·中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =-+≠的图象经过第一象限的点

(1,)b -，则一次函数y bx ac =-的图象不经过（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5．（2021·湖北鄂州·中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的一部分如图所示．已知

图象经过点()1,0-，其对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc <；②420a b c ++<；

③80a c +<；④若抛物线经过点()3,n -，则关于x 的一元二次方程()

2

00ax bx c n a ++-=≠的两根分别为3-，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6．（2021·四川阿坝·中考真题）如图，二次函数2(1)y a x k =++的图象与x 轴交于()30A -,

，B 两点，下列说法错误的是（ ）

A ．0a <

B ．图象的对称轴为直线1x =-

C ．点B 的坐标为()1,0

D ．当0x <时，y 随x 的增大而增大

7．（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax 2的图象与正方形有公共顶点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．1

39a ≤≤

B ．1

19a ≤≤

C ．1

33a ≤≤

D ．1

13

a ≤≤

二、填空题

8．（2021·山东淄博·中考真题）对于任意实数a ，抛物线22y x ax a b =+++与x 轴都有公共点．则b 的取值范围是_______．

9．（2021·山东菏泽·中考真题）定义：[],,a b c 为二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的特征数，下面给出特征数为[],1,2m m m --的二次函数的一些结论：①当1m =时，函数图象的对称轴是y 轴；②当2m =时，函数图象过原点；③当0m >时，函数有最小值；④如果0m <，当1

2

x >时，y 随x 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．

10．（2020·黑龙江大庆·中考真题）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论： ①当1a >-时，方程有两个不相等的实根； ②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；

③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为_________．

11．（2020·湖南岳阳·中考真题）在3-，2-，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数242y ax x =+-中a 的值，则该二次函数图象开口向上的概率是_____________． 12．（2020·山东泰安·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的y 与

x 的部分对应值如下表： x

5-

4- 2- 0 2 y

6

6-

4-

6

下列结论： ①0a >；

②当2x =-时，函数最小值为6-；

③若点()18,y -，点()28,y 在二次函数图象上，则12y y <； ④方程25ax bx c ++=-有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上） 13．（2020·江苏无锡·中考真题）二次函数233y ax ax =-+的图像过点()6,0A ，且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为__________．

14．（2020·贵州黔东南·中考真题）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．

15．（2020·江苏南京·中考真题）下列关于二次函数22()1y x m m =--++（m 为常数）的结论，①该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当0x >时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数21y x =+的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．

1．D

【分析】一次函数当a ＞0时，函数值y 总是随自变量x 增大而增大，反比例函数当k ＞0时，在每一个象限内，y 随自变量x 增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性． 解：A ．一次函数y =-2x 中的a =-2＜0，y 随x 的增大而减小，故不符合题意． B ．一次函数y =-2x +3中的a =-2＜0，y 随自变量x 增大而减小，故不符合题意．

C ．反比例函数y =2

x

（x ＜0）中的k =2＞0，在第三象限，y 随x 的增大而减小，故不符合题

意．

D ．二次函数y =-x 2+4x +3（x ＜2），对称轴x =2b

a

-=2，开口向下，当x ＜2时，y 随x 的增大而增大，故符合题意． 故选：D ．

【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性；熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是关键． 2．D

【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．

解：将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y 随x 的变化情况不变；与y 轴的交点改变 故选D ．

【点拨】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点． 3．D

【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．

解：A .对于y x =-，当x =-1时，y =1，故函数图像经过点(1,1)-；函数图象经过二、四象限；当0x >时，y 随x 的增大而减小．故选项A 不符合题意；

B .对于1

y x

=，当x =-1时，y =-1，故函数图像不经过点(1,1)-；函数图象分布在一、三象限；当0x >时，y 随x 的增大而减小．故选项B 不符合题意； C .对于2y

x ，当x =-1时，y =1，故函数图像经过点(1,1)-；函数图象分布在一、二象限；

当0x >时，y 随x 的增大而增大．故选项C 不符合题意；

D .对于1

y x

=-，当x =-1时，y =1，故函数图像经过点(1,1)-；函数图象经过二、四象限；当

0x >时，y 随x 的增大而增大．故选项D 符合题意；

故选：D

【点拨】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键． 4．A

【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项． 解：当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，

对于A 选项则有210m m +-=，由一元二次方程根的判别式可得：241450b ac -=+=>，所以存在实数m ，故符合题意；

对于B 选项则有210m m ++=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意； 对于C 选项则有1

10m m

-

--=，化简得：210m m ++=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意；

对于D 选项则有1

10m m

-

-+=，化简得：210m m -+=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意；

故选A ．

【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 5．D

【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y 轴的交点位置可判断a 、b 、c 的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项． 解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，

∵抛物线的对称轴为直线x =-1， ∴12b

a

-

=-，即b =2a ，则b ＜0， ∵抛物线与y 轴交于正半轴， ∴c ＞0，

则abc ＞0，故A 正确；

当x =-1时，y 取最大值为a b c -+，故B 正确； 由于开口向上，对称轴为直线x =-1，

则点（1，0）关于直线x =-1对称的点为（-3，0），

即抛物线与x 轴交于（1，0），（-3，0）， ∴当31x -≤≤时，0y ≥，故C 正确； 由图像可知：当x =-2时，y ＞0， 即420y a b c =-+>，故D 错误； 故选D ．

【点拨】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）． 6．A

【分析】将二次函数222=++y x x 写成顶点式，进而可得对称轴． 解：

222=++y x x 2(1)1=++x ．

∴二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是1x =-．

故选A ．

【点拨】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键． 7．(-1,4)

【分析】把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标． 解：∵223y x x =--+=-(x+1)2+4， ∴顶点坐标为(-1,4)． 故答案为(-1,4)．

【点拨】本题考查了二次函数的性质，把解析式配方写成顶点式解析式是解题的关键． 8．2y

x （答案不唯一）

【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为y 轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可.

解：设函数的表达式为y=ax 2+bx+c ， ∵图象的对称轴为y 轴， ∴对称轴为x=2b

a

-=0， ∴b=0，

∴满足条件的函数可以是：2y

x .（答案不唯一）

故答案是：y=x 2（答案不唯一）

【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 9．(2，－5)

【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解． 解：抛物线y =(x －1)2－5的顶点为（1，-5），

∴关于y 轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移3个单位长度后的坐标为（2，-5）， 故答案为：(2，－5) ．

【点拨】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．

10．35

【分析】使抛物线y=ax 2+bx+c 的开口向上的条件是a ＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．

解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax 2+bx+c 的开口向上的有3种结果，

∴使抛物线y=ax 2+bx+c 的开口向上的概率为3

5

，

故答案为：3

5

.

【点拨】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键． 11．2y ＜3y ＜1y

【分析】根据题意可得该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3，从而得出当x ＜3时，y 随x 的增大而增大，点（4，3y ）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，3y ），然后比较横坐标的大小即可得出结论．

解：∵二次函数y=a （x-3）2+c （a c 为常数，a ＜0）， ∴该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3

∴当x ＜3时，y 随x 的增大而增大，点（4，3y ）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，3y ）

∵0＜2 3 ∴2y ＜3y ＜1y

故答案为：2y ＜3y ＜1y ．

【点拨】此题考查的是二次函数图象的性质，掌握抛物线对称轴两侧的增减性的判断方法是解题关键． 12．①②④

【分析】根据抛物线图象性质及配方法解题．

解：将()0,1C 分别代入抛物线211y x x =-++，2221y x x =-++，2

331y x x =-++中，可知，

这三条抛物线都经过点C ，故①正确；

抛物线2

11y x x =-++的对称轴为1122

x =-

=-，

抛物线2

331y x x =-++的对称轴为3322

x =-

=-，32

x 可由1

2

x =

向右平移1个单位而得到，故②正确；

抛物线2

21151=()24y x x x =-++--+的顶点为A 15()24

，

抛物线22

221=(1)2y x x x =-++--+的顶点为B (12)，

抛物线2

2331331=()24y x x x =-++--+的顶点为C 313()24

，

5

2

341212AB

k -==-，1354423122

AC k -==- AB k ≠AC k

∴三条抛物线的顶点不在同一条直线上，故③错误；

将1y =分别代入三条抛物线，得1x =0或1，2x =0或2，3x =0或3， 可知，相邻两点之间的距离相等，故④正确， 综上所述，正确的是①②④， 故选：①②④．

【点拨】本题考查二次函数的性质，其中涉及将一般式化为顶点式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13．5

【分析】由f （x ）=ax 2+（a -5）x +1是偶函数，得a （-x ）2+（a -5）•（-x ）+1=ax 2+（a -5）x +1，解得a =5．

解：∵f （x ）=ax 2+（a -5）x +1是偶函数，

∴对于自变量取值范围内的任意一个x ，都有f （-x ）=f （x ），即a （-x ）2

+（a -5）•（-x ）

+1=ax 2+（a -5）x +1，

∴（10-2a ）x =0，可知10-2a =0， ∴a =5， 故答案为：5．

【点拨】本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a （-x ）

2

+（a -5）•（-x ）+1=ax 2+（a -5）x +1．

14．25

【分析】根据概率计算公式，可得事件总的可能结果数5，事件发生的可能结果数2，问题即可解决．

解：从5个数中任取一个的可能结果数为5，使抛物线2y ax bx c =++的开口向上的a 值有2

个，分别为1和2，则所求的概率为2

5；

故答案为：2

5

．

【点拨】本题考查了简单事件的概率的计算，二次函数的性质，求出事件总的可能结果数及事件发生的可能结果数是关键．

15．（1）3a =-；（2）存在，P 点的坐标为(2,3)-或(17,3)-+-或(17,3)---．

【分析】（1）根据求出A,B,C 的坐标，再由BAC ∆的面积是6得到关于a 的方程即可求解； （2）根据ABP ABC S S ∆∆=得到P 点的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求解． 解：（1）∵2(1)y x a x a =-++-， 令0x =，则y a =-， ∴(0,)C a -，

令0y =，即2(1)0x a x a -++-= 解得1x a =，21x = 由图象知：0a < ∴(,0)A a ，(1,0)B ∵6ABC S ∆=

∴1

(1)()62

a a --= 解得：3a =-，（4a =舍去）； （2）∵3a =-， ∴(0,3)C ， ∵ABP ABC S S ∆∆=. ∴P 点的纵坐标为±3，

把3y =代入223y x x =--+得2233x x --+=， 解得0x =或2x =-，

把3y =-代入223y x x =--+得2233x x --+=-， 解得17x =-+或17x =--，

∴P 点的坐标为(2,3)-或(17,3)-+-或(17,3)---．

【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．

1．C