蜘蛛网诱发的数学革命
蜘蛛网诱发的数学革命
在人类发展史上相当长的时间内，代数问题只能通过代数方法加以解决。而几何问题也只能通过几何工具加以解决。正是由于一位伟大数学家笛卡儿一次偶然的发明。开启了人类数学的新天地――这就是建立坐标系、形成解析法。有了解析法这个非常重要的数学工具。代数学与几何学之间的壁垒被彻底打破。一门新的学科――解析几何诞生了。
一、偶然中的必然
据说，正服兵役的法国哲学家、数学家笛卡儿。在一次战斗中被俘，被关进牢房。每天孤独的时光无法打发，只有墙角上的那个蜘蛛网能给他带来一丝快乐。他惊奇地发现。蹲在蜘蛛网中心的蜘蛛，总能准确无误地捕捉到撞到蜘蛛网上的蚊子、苍蝇等猎物（如图1所示）。为什么呢？
笛卡儿发现，埋伏在蜘蛛网中心的蜘蛛，能通过究竟是哪根蜘蛛网线震动，以及震动的强度。判断猎物在哪个方位和距离中心有多远。
这意味着。在蜘蛛网上。确定一个点的位置。需要而且仅仅需要两个量即可。
受蜘蛛捕捉猎物的启发，笛卡儿发明了一种确定位置的有效工具――平面直角坐标系。他的方法是：
在平面内，画两条原点重合、相互垂直而且具有相同单位长度的数轴。这样就建立了平面直角坐标系。
有了这个伟大的发明，人们就可用一对有序实数表示平面内的点的位置。为了纪念笛卡儿这个重大贡献。人们通常将平面直角坐标系称为笛卡儿坐标系，将这种方法称为解析法。
二、感受确定位置的多种方法。培养空间观念
生活中经常需要确定物体的位置。比如，确定学校的位置，对弈时确定棋子的位置。海战中确定舰艇的位置等。在平面内确定物体的位置，一个数据肯定是不够的。比如。在电影院找座位。不仅需要知道第几排。还需要知道第几个座位。
利用方位角和距离，可以确定物体的位置。蜘蛛就是如此。一只蜘蛛想要抓住粘在蜘蛛网上的猎物，在实施抓捕前，它必须确定两个数据：一个是猎物到自己的距离，另一个是猎物相对于自己的方位角。
与蜘蛛相似。炮兵对目标进行射击时。需要确定方位角和距离。如下页图2所示。此时，炮兵就是凭借距离和方位角两个数据对敌方阵地进行精准射击的。
同样地，我们可以用经度和纬度确定位置。例如，2016年11月18日下午。总飞行时间长达33天的神舟十一号载人飞船顺利返回着陆。人们利用“全球定位系统”――GPS，
在茫茫草原上，很快找到了着陆的返回舱（如图3所示）。这是因为全球任何一个地方都存在唯一的经度和纬度，可以通过目标物（如神舟十一号飞船的返回舱）发出的信号，利用GPS测得它所在位置的经度和纬度，就能顺利找到返回舱。
虽然用来确定平面位置的方法多种多样，但是，它们都有一个共同的特征，这就是需要两个基本数据。亦即，在平面内，确定点的位置需要两个（彼此独立的）数据。
三、积累几何经验，进一步发展数形结合意识
在生活中。平面直角坐标系最重要的作用就是利用有序数对定位。
在象棋中，马3进4（第三列的马进到第四列）和马4进3（第四列的马进到第三列）中的3代表的含义是完全不同的。
在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点P，都有唯一的一个有序数对（a，b）与它对应；反过来，对于任意一个有序数对（a，b），都有平面上唯一的一点P与它对应。
下面是一道密码题。如图4。有两组有序数对（2，5）（1，3）（4，6）（1，6）和（5，2）（3，1）（6，4）（6，1），你能根??这两组有序数对分别找到所对应的成语吗？[注：（2，5）对应的汉字是“天”]
那么，成语“破釜沉舟”对应的密码是什么？你还能找
到哪些成语？请写出它们的密码。
四、中考通关
例题（2016年呼和浩特）已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限。对角线AC的中点为坐标原点，一边AB 与戈轴平行且AB=2。若点A的坐标为（a，b），则点D的坐标为____。
分析：这道题考查的是平行四边形的性质，用有序数对表示点的位置，坐标图形变换（对称）等知识，难度较大。根据平行四边形的性质得到CD=AB=2。由已知条件得到点B 的坐标为（2+a，b）或（a-2，6），再根据点D与点B关于原点对称。即可得到结论。
解：如图5所示。
∵四边形ABCD是平行四边形。
∴CD=AB=2。
∵点A的坐标为（a，b），AB与x轴平行。
∴点B的坐标为（2+a，b）。
∵点D与点B关于原点对称，
∴点D的坐标为（-2-a，-b）。
如图6所示。
同理可得点B的坐标为（a-2，b），而点D与点B关于原点对称。故点D的坐标为（2-a，-6）。
综上所述：点D的坐标为（-2-a，-b）或（2-a。-b）。
蜘蛛网对数螺线模型
数学建模网络挑战赛 承诺书 我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们允许数学中国网站(https://www.360docs.net/doc/7311918562.html,)公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。 我们的参赛队号为： 参赛队员(签名) ： 队员1： 队员2： 队员3： 参赛队教练员(签名)： 参赛队伍组别：
数学建模网络挑战赛 编号专用页 参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：
2012年第五届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛 题目对数螺线型蜘蛛网状的结构分析 关键词蜘蛛网对数螺线蒙特卡洛方法 ANSYS分析法 摘要 本文针对蜘蛛网合适结构的问题，考虑吐丝量一定，外界环境较理想条件下，建立以对数螺线为核心的数学模型，追求蜘蛛网结构最优。运用蒙特卡洛方法，模拟昆虫触网的过程，考虑了在蜘蛛丝长度一定的条件下，对数螺旋比圆围成的面积大，但疏而不漏，应用随机过程近似昆虫触网的过程，得出了对数螺线更利于捕食的结论。另一方面，也对对数螺线型面联接理论和联接界面强度进行了分析与计算，利用ANSYS进行接触分析，得出了对数螺线型面联接的接触应力和接触强度条件的表达式。采用随机数产生算法，利用MATLAB 7.0.1和C++编程，分别对模型进行求解，并对所得结果进行分析比较，以此来帮助设计最有蜘蛛网结构。 参赛队号 2138 所选题目 A 参赛密码 （由组委会填写）
蛛网模型的数学推导.docx
假定供和需求函数都是性的，蛛网模型可由以下差分方程表示： （ 1） Q dt =c-dP t（2） Q s t=Q dt（3） （1）式表示，第 t 年供量取决于第 t-1 年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市价格，（3）式表示市必是出清的，因此每年供量均等于需 求量。 a、b、c、d 常数（参数），且都正数。 将（ 1）式和（ 2）式代入（ 3）式可得： c-dP t =-a+bP t-1（4） 从（ 4）式中解出 P t： -b a+c P t =（d） P t-1 + d（ 5） 在（ 5）式中假定 t=1 可得第 1 年价格： -b a+c P1=（d） P0+ d（6） 以此推： -b a+c P2=（d） P1+ d（7） 将（ 6）式代入（ 7）式中： 2-b -b a+c a+c P =（d） 2P+（d）d + d 重复一程，可得到以初始价格P0 来表示的第 3 年、第 4 年、??第 n 年的价格： -b n-b k a+c P n=（d） P0 +[ ∑（d） ] d -b n a+c-b n =（d）P0+b+d [1-（d）]（8） 又因达到均衡点后，价格不再化，假定第t 年达到均衡， P t =P t+1 =?? =P E（9） 将（ 9）式代入（ 5）式可得均衡价格 P E： E a+c P = b+d（10） 将（ 10）式代入（ 8）式并整理： P n=（-b ）n P0 +P E[1- （ -b ）n] d d Q st =-a+bP t-1
-b =（P0-P E）（d）n+P E（11） 从（ 11）式可得出下列结论： -b （ⅰ）如果 | d |<1 ，则： limP n=P E，即 P n趋近于 P E，市场价格将无限趋近 -b 均衡价格，蛛网周期是收敛的。而| d |<1 ，说明d 蜘蛛網中的數學獵物 資源六施伯昌 壹.研究動機與目的 蜘蛛網是一種簡單而優美的自然造物。那美麗的結構很難讓人猜到他關聯的是怎樣的一種建築，而蜘蛛網中是否藏有數學的慨念，令我想一窺究竟。 貳.研究內容 一.蜘蛛網中的圓心和半徑 二.蜘蛛網中的弦 三.蜘蛛網中的平行線段 四.蜘蛛網中的三角形 五.蜘蛛網中的同位角 參.研究發現 一.蜘蛛網中的圓心和半徑 在蜘蛛網中我們最容易發現的數學對象就是由蜘蛛網中心放射出去的那幾條線，我們把他稱為半徑。 (一)蜘蛛網的數學獵物之一：「半徑」。 做法：先用黑色珍珠板作底，用大頭針做中心固定棉線，由中心往外將棉線做放射狀固定。 例如： 二.蜘蛛網中的弦 連接兩個相鄰半徑的曲線就是蜘蛛網中的弦。 (一)蜘蛛網的數學獵物之二：「弦」。 做法：在蜘蛛網的半徑與半徑之間用綿線將兩條半徑相 連成一條平滑曲線就是數學獵物二：「弦」。 像： 三.蜘蛛網中的平行線段 位於蜘蛛網中兩條相鄰半徑間的線段產生平行現象，這兩條線段就是蜘蛛網中的第三種數學獵物：平行線段。 (一)蜘蛛網的數學獵物之三：「平行線段」。 做法：幾乎跟作「弦」一樣，但是如果你要發現平行線段的話最少要做兩條線了。 例如： 四.蜘蛛網中的三角形 在兩條半徑與一條線段之間，會形成一個多邊形，這個多邊形就是蜘蛛網中的第四種數學獵物：三角形 (一)蜘蛛網的數學獵物之四：「三角形」。 做法：要做三角形是再簡單也不過了，在兩條半徑與一條線段之間，就會形成三角形。 例如: 五.蜘蛛網中的同位角 在兩條半徑與第一條弦之間會形成一三角形，在兩條半徑與第二條弦之間又會形成一三角形，在這兩個三角形中的兩個底角，角度一樣大。 对数螺线与蜘蛛网 曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。摆下八卦阵，只等飞来将。”动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。而且，结网是它的本能，并不需要学习。 你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问，那么下面就让我来慢慢告诉你吧。在结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。为继续穿针引线搭好了脚手架。它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。从中心往边上爬的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。一般来说，不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条。同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。 到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的。现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。蜘蛛从 中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。这是一条辅助的丝。然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。这样半径上就有许多小球。从外面看上去，就是许多个小点。好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。 让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。只有中心部分的辅助线一圈密似一圈，向中心绕去。小精灵所画出的曲线，在几何中称之为对数螺线。 对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。大家可别小看了对数螺线:在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，抽水就均匀；在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好。 对数螺旋线有什么特点？在物理上用什么应用？ 和其他物理量有什么关系？ 对数螺旋线有什么特点？在物理上用什么应用？和其他物 理量有什么关系？ 早在2019多年以前，古希腊数学家阿基米德就对螺旋线进 6.1.1 平面直角坐标系 〇. 笛卡尔与蜘蛛网 在蜘蛛网中，蜘蛛知道从中心向外第几圈，什么方向，就知道小虫位置. 怎样搜寻宇宙飞船安全着落的地点，GPS怎样搜索地理位置? 一．位置的确定 1. 地面上确定点的位置—经度、纬度、海拔高度 在地图和地球仪上画有经线和纬线. 根据这些经纬线，可以准确地定出地面上任何一个地方的位置和方向. 如上海中心的位置是北纬31o14'，东 经121o29'，如果确定一个人的位置，还要知道他所在位置的海拔高度. 2. 生活中点的位置 影剧院的票上的几排几座确定了唯一的座位. 围棋、 国际象棋的棋子都用所在列与行(路)表示点的位置. 如 下图围棋子A的位置记为：A(8,十二路). 1．在如上图的围棋盘中，在点B(15,六路)上标出B；点C(6,十五路)是白子还是黑子：；点D(9,九路)呢：. 2. 右上图是国际象棋的棋盘，当白棋在下方时，8条直线从白方左边到右边分别用字 3. 如图，学校的示意图是全等的小正方形组成的，已知国旗杆在校 门口正东100米处；实验楼在教学楼正南250处，那么教学楼在国旗 杆处；从校门口先向走米，再向 走米就到图书馆. 4. 如图是八年级1班教室的座位平面图，已知同学A的座位是第 2排第3列，用(2,3)表示，那么同学B的座位应该用表示. 如果同学C的座位到A，B座位距离相等且最小，那么C的座位可 以用表示. 5. 如图是由5个半径分别为1，2，3，4，5的同心圆与6条夹角相 等的直线构成的蜘蛛网.如果用(3,60o)表示A点，那么B点可以表示 为，C点可以表示为. 6. 在一次夏令营活动中，小芳从营地A 点出发，先沿北偏东70o方 向走了600m 到达B 地，然后再沿北偏西20o方向走了2003m 达目的 地C ，此时小芳在营地A 的 的方向上，距离A 点 m. 7. 点 A 在B 北偏东60o距离2km 处，C 在A 北偏西60o距离4km 处， 画出C 的位置并求B 与C 的距离(精确到0.1km). 8. 一艺术团到各地巡回演出，第一天他们从出发地向东，第二天向 北，第三天向西，第四天向南，第五天向东，第六天向北，第七天向 西，第八天向南，第九天向东，…，如果他们第n 天行走2 2n km ，那么第40天结束时，他们离出发地的距离是 km. 二. 平面直角坐标系 平面上互相垂直且有公 共原点的两条数轴构成平 面直角坐标系. 用来确定 点的位置，观察有关数量的变化. 特性 确定性，有序性，一一对应性. 特殊点的坐标 (1) 坐标轴上的点: (a,0)在x 轴上；(0,b)在y 轴上. (2) 分角线上的点: (a,a)在1、3象限分角线上； (b,-b)在2、4象限分角线上. (3) 对称点: P(a,b)有四个对称点(如图). 例 已知点A(a,-3)、B(4,b). 蜘蛛网诱发的数学革命 在人类发展史上相当长的时间内，代数问题只能通过代数方法加以解决。而几何问题也只能通过几何工具加以解决。正是由于一位伟大数学家笛卡儿一次偶然的发明。开启了人类数学的新天地――这就是建立坐标系、形成解析法。有了解析法这个非常重要的数学工具。代数学与几何学之间的壁垒被彻底打破。一门新的学科――解析几何诞生了。 一、偶然中的必然 据说，正服兵役的法国哲学家、数学家笛卡儿。在一次战斗中被俘，被关进牢房。每天孤独的时光无法打发，只有墙角上的那个蜘蛛网能给他带来一丝快乐。他惊奇地发现。蹲在蜘蛛网中心的蜘蛛，总能准确无误地捕捉到撞到蜘蛛网上的蚊子、苍蝇等猎物（如图1所示）。为什么呢？ 笛卡儿发现，埋伏在蜘蛛网中心的蜘蛛，能通过究竟是哪根蜘蛛网线震动，以及震动的强度。判断猎物在哪个方位和距离中心有多远。 这意味着。在蜘蛛网上。确定一个点的位置。需要而且仅仅需要两个量即可。 受蜘蛛捕捉猎物的启发，笛卡儿发明了一种确定位置的有效工具――平面直角坐标系。他的方法是： 在平面内，画两条原点重合、相互垂直而且具有相同单位长度的数轴。这样就建立了平面直角坐标系。 有了这个伟大的发明，人们就可用一对有序实数表示平面内的点的位置。为了纪念笛卡儿这个重大贡献。人们通常将平面直角坐标系称为笛卡儿坐标系，将这种方法称为解析法。 二、感受确定位置的多种方法。培养空间观念 生活中经常需要确定物体的位置。比如，确定学校的位置，对弈时确定棋子的位置。海战中确定舰艇的位置等。在平面内确定物体的位置，一个数据肯定是不够的。比如。在电影院找座位。不仅需要知道第几排。还需要知道第几个座位。 利用方位角和距离，可以确定物体的位置。蜘蛛就是如此。一只蜘蛛想要抓住粘在蜘蛛网上的猎物，在实施抓捕前，它必须确定两个数据：一个是猎物到自己的距离，另一个是猎物相对于自己的方位角。 与蜘蛛相似。炮兵对目标进行射击时。需要确定方位角和距离。如下页图2所示。此时，炮兵就是凭借距离和方位角两个数据对敌方阵地进行精准射击的。 同样地，我们可以用经度和纬度确定位置。例如，2016年11月18日下午。总飞行时间长达33天的神舟十一号载人飞船顺利返回着陆。人们利用“全球定位系统”――GPS， 蜘蛛网第二阶段问题的研究 一、问题重述 世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。现在我们假设一个具体的环境。假设有一个凸多边形区域，蜘蛛准备在这个区域（或其一部分）上结一张网。 1.1历史背景 世界上的蜘蛛种类繁多，但大多数蜘蛛都会通过结网来捕食猎物的。 对于结网型蜘蛛而言，网充当不仅仅是捕食工具的角色，也充当防御天敌的工具和繁衍场所的角色，因此，对蛛网结构和性能的研究是了解蜘蛛习性和生活的重要手段。蜘蛛网作为大部分蜘蛛的捕食工具，蜘蛛网结构影响蜘蛛的捕食效率，反映了蜘蛛的捕食手段，同时也反映了蜘蛛在不同环境下的捕食策略，不同体重的蜘蛛寻找的猎物也不同。在不同环境下，蜘蛛会通过蛛网结构性能上的相应变化来维持蛛网结构的稳定性。 1.2问题提出 问题一：在区域的边界上安置有若干支撑点，蛛丝可以连接在支撑点上，不能连接到区域的边界的其它点。请建立合理的数学模型，对不同的情况都设计出合适的蛛网结构。 问题二：如果蛛丝可以连接在区域边界的任何点上。请建立合理的数学模型，设计出合适的蛛网结构。 二、问题假设 1、在猎物体重一定的范围内，蛛网承受能力的大小。 2、在不同地域内，视蛛网的粘性、湿度相同。 3、在忽略其他因素的情况下，蛛网面积越大，其结构越稳定。 4、假设蜘蛛吐丝的粗细是相同的。 5、每根蛛丝的承受能力均匀相等。 6、假设蛛丝的网格大小不同，越往里越小。 7、假设蜘蛛的吐丝量一定。 8、假设蛛网上每点出现猎物的概率是相等的。 三、符号说明 四、问题分析 对问题一的分析： 我们设定一个具体的环境;有一个凸多边形，蜘蛛准备在这个区域上结网。在区域边界上安置若干个支撑点，蛛丝可以连接到支撑点上，不能连接到区域边界的其它点上。 支撑点随机设定，假定蜘蛛网上的每个点出现猎物的概率是相等的，蜘蛛停留在蛛网的中心位置，每次捕食的速率相等，我们可以通过计算蜘蛛网捕食面上的捕食期望来判断哪种蛛网结构的捕食效果是最好的。 1、当蜘蛛的吐丝量一定时（即蛛网周长一定），蛛网的承受力也一定时，为确保捕食期望达到最大，通过判断面积的大小来确定最适合的蜘蛛网结构，由相关文献资料可知，可能出现的最适蜘蛛网结构有三角形、正方形、正五边形、Λ、正n 多边形。当多边形的边数∞→n 时，蜘蛛网结构就会近似视为一个圆形。选取正方形、正五边形、正六边形、圆形这四种蜘蛛网结构分别求出各个结构的捕食期望值，结合期望值和极限思想，通过最大捕食面积来确定哪种蜘蛛网结构是最优的。 2、当面积一定时，为确保捕食期望达到最大，对蜘蛛网上的猎物进行受力分析。当猎物被蜘蛛网黏上的那刻开始，蜘蛛网就给猎物一个阻止其向前运动的力：由物理运动学知，此时猎物做加速度增大的减速运动，在理想状态下，该运动会一直循环下去，但现实生活中会存在能量损失，因此循环不会继续下去，此时可以把猎物所做的运动看作阻尼振动。根据能量守恒定律，分别求解出正方形、正五边形、正六边形以及圆形，猎物被黏在蛛网上时蛛网承受力的大小。通过对比，选出捕食能力最强的蜘蛛网结构。 结合上面两种情况，可以得到最合适的蜘蛛网结构。 对问题二的分析： 如果蛛丝可以连接在区域边界的任何点上，设计出最合适的蜘蛛网结构。通过对问题一的分析，我们可以知道当蛛网成正多边形的时候，可以满足问题二最合适的蛛网结构。 五、模型建立与求解 5.1名词解释 半径丝：半径丝是蜘蛛网的主要支撑结构，从网络的中心区域引出，与框丝相连，是一种粘性丝，具有很强的延展性。 捕丝：捕丝通常呈现螺旋状结构，从网的中心区域向外旋转织出，用以黏住猎物，捕丝的间距可以反映蜘蛛的捕食策略和捕食效率。 中心区域：位于圆网的中心，中心区域是用来均衡半径丝的拉伸力，来保持网的结构。 框丝：位于蜘蛛网的外围，支撑半径丝和中心区域的连接，它决定了蜘蛛网的大小和 蛛网模型详解 蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况。 第一种情况： 供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值。当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。 假定，在第一期由于某种外在原因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量由均衡水平Qe减少为Q1。根据需求曲线，消费者愿意支付P1的价格购买全部的产量Q1，于是，实际价格上升为P1。根据第一期的较高的价格水平 P1，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为Q2。 在第二期，生产者为了出售全部的产量Q2，接受消费者所愿意支付的价格P2，于是，实际价格下降为P2。根据第二期的较低的价格水平P2，生产者将第三期的产量减少为Q3。 在第三期，消费者愿意支付P3的价格购买全部的产量Q3，于是，实际价格又上升为P3。根据第三期的较高的价格水平P3，生产者又将第四期的产量增加为Q4。 如此循环下去，实际产量和实际价格的波动的幅度越来越小，最后恢复到均衡点E所代表的水平。 由此可见，均衡点E所代表的均衡状态是稳定的。也就是说，由于外在的原因，当价格和产量偏离均衡数值(Pe和Qe)后，经济制度中存在着自发的因素，能使价格和产量自动地恢复均衡状态。产量和价格变化的途径形成了一个蜘蛛网似的图形，这就是蛛网模型名称的由来。 只有当供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值时，即供给曲线比需求曲线较为陡峭时，才能得到蛛网稳定的结果，相应的蛛网被称为“收敛型蛛网”。 在这里，我们看到，除第一期受到外在原因干扰外，其它各期都不会再受新的外在原因干扰，从而前一期的价格能够唯一决定下一期的产量。 假定供给和需求函数都是线性的，蛛网模型可由以下差分方程组表示： Q st =-a+bP t-1 （1） Q dt =c-dP t （2） Q s t=Q dt （3） （1）式表示，第t年供给量取决于第t-1年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市场价格，（3）式表示市场必须是出清的，因此每年供给量均等于需求量。a、b、c、d为常数（参数），且都为正数。 将（1）式和（2）式代入（3）式可得： c-dP t =-a+bP t-1 （4） 从（4）式中解出P t ： P t =（ -b d ）P t-1 + a+c d （5） 在（5）式中假定t=1可得第1年价格为： P 1=（ -b d ）P + a+c d （6） 以此类推： P 2=（ -b d ）P 1 + a+c d （7） 将（6）式代入（7）式中： P 2=（ -b d ）2P +（ -b d ） a+c d + a+c d 重复这一过程，可得到以初始价格P0来表示的第3年、第4年、……第n 年的价格： P n =（ -b d ）n P +[∑（ -b d ）k] a+c d =（-b d ）n P + a+c b+d [1-（ -b d ）n] （8） 又因为达到均衡点后，价格不再变化，假定第t年达到均衡，则 P t =P t+1 =……=P E （9） 将（9）式代入（5）式可得均衡价格P E ： P E = a+c b+d （10） 将（10）式代入（8）式并整理： P n =（ -b d ）n P +P E [1-（ -b d ）n] =（P 0-P E ）（ -b d ）n+P E （11） 从（11）式可得出下列结论： （ⅰ）如果|-b d |<1，则：limP n =P E ，即P n 趋近于P E ，市场价格将无限趋近 均衡价格，蛛网周期是收敛的。而|-b d |<1，说明d 蛛网模型及其在经济学只能感的应用 摘要：蛛网模型是十分重要的数学模型之一，它在经济学中得到了广泛的应用。本文运用了经济学原理和数学原理分析了蛛网模型，同时论证劳动力市场工程师数量与工资率波动形成的收敛型蛛网和我国近二十年小麦价格与产量波动形成的发散型蛛网。从中得到如下的结论： 1.在工程师市场中，工资率的变动对工程师数量供给的影响小于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成收敛型蛛网。 2.在农产品市场中，小麦的价格变动对供给量的影响大于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成发散型蛛网。 关键词：蛛网模型 求曲线 均衡 弹性 引言：引进时间变化的因素，通过对属于不同时期的需求量，供给量和价格之间相互作用的考察，用动态分析的方法论述诸如劳动力市场调整，农产品市场等周期较长的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。 自改革开放以来，行业人才数量的培养和需求存在周期性变化，数量增多时，必然有工资率的下降；小麦价格的频繁波动和其产量的变化以及其他商品供求变化存在周期性的，都应该运用蛛网模型准确地把握变化趋势，采取灵活对策。当然，供给弹性和需求弹性是这些波动的根本原因。运用蛛网模型研究社会中的经济现象具有一定的指导意义。 1蛛网模型的经济学原理 1.1条件假设 蛛网模型所描述的数量和价格循环波动的现象是在一定的假设条件下出现的。 第一：本期产量供给不影响本期价格，本期产量供给s t Q 决定于前期价格 1t P ； 第二：本期的需求量t d Q 决定于本期的价格t P ； 第三：需求量弹性不变。蛛网模型假定需求弹性不变，主要是指需求的价格弹性不变，特别是在农产品市场上，农产品的需求弹性小，假设其不变。 第四：一种完全自由竞争的市场，任何生产者和消费者都是被动地接受价格。 1.2 经济学分析 蛛网模型以经济变量的时间先后分析了商品的价格和产量的波动，在其他有周期性的供给量和价格波动的市场也有类似的分析。 第一种情况：需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值。当市场由于受到干扰偏离原来的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但是波动的幅度越来越小，最后会回到原来的均衡点。（如图1） 假定，在第一期由于某种外在原因的干扰，实际产量由均衡水平e Q 减少到 1Q ，根据需求曲线，消费者愿意支付1P 的价格购买全部的产量1Q ，于是，实际 数学建模*蜘蛛网 世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。请你建立合理的数学模型，说明蜘蛛网织成怎样的结构才是最合适的。 最合适的结构：对数螺线 对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。 方程：x=m*e^(t)*cos(t),x=m*e^(t)*cos(t),t是参数，范围是实数域 方法： 先向空中放出一根“搜索丝”。之后放出一根悬垂丝，并在这根丝的中段加上第三根丝成Y字状，形成最初的3根不规则半径。再加上n多条线形成网的雏形。接下是铺设螺旋线，纺织成网。以网心为起点，织出一根自内向外的螺旋线.从中心往边的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。这种螺旋线把它放大 或缩小都不会改变。就像我们不能把角放大或缩小一样。用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的.整个网看起来是一些半径等分的圆周.从中心开始，用一条线在半径上作出一条螺旋状的线。这是一条辅助的线。然后，从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。这样半径上就有许多小球。从外面看上去，就是许多个小点。 垂曲线的图形：当一根弹性线的两端固定，而中间松驰的时候，它就形成了一条垂曲线 在同一个扇形里，所有的弦，也就是那构成螺旋形线圈的横辐，都是互相平行的，并且越靠近中心，这种弦之间的距离就越远。每一根弦和支持它的两根辐交成四个角，一边的两个是钝角，另一边的两个是锐角。而同一扇形中的弦和辐所交成的钝角和锐角正好各自相等——因为这些弦都是平行的。这些相等的锐角和钝角，又和别的扇形中的锐角和钝角分别相等。这螺旋形的线圈包括一组组的横档以及一组组和辐交成相等的角。 这曲线在一根无限长的直线上滚动，焦点将要划出的轨迹是：垂曲线。这个数字的值约等于这样一串数字＋1/1＋1/1*2＋1/1*2*3＋1/1*2*3*4＋…=e。蜘蛛网中的数学猎物
对数螺线与蜘蛛网
6.1.1 笛卡尔与蜘蛛网 平面直角坐标系
蜘蛛网诱发的数学革命
蜘蛛网第二阶段问题的研究
(完整word版)蛛网模型详解
蛛网模型的数学推导
数学在蜘蛛网模型的应用
数学建模-蜘蛛网