高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质学案5
第2课时 等比数列的性质
学习目标：1.掌握等比数列的性质及其应用(重点).2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点).3.能用递推公式求通项公式(难点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．推广的等比数列的通项公式
{a n }是等比数列，首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1
，a n ＝a m ·q
n －m
(m ，n ∈N *
)．
2．“子数列”性质
对于无穷等比数列{a n }，若将其前k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k ＋1，公比为q ；若取出所有的k 的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k ，公比为q k
.
思考：如何推导a n ＝a m q
n －m?
[提示] 由a n a m ＝a ·q n －1a ·q m －1
＝q n －m ，
∴a n ＝a m ·q
n －m
.
3．等比数列项的运算性质
在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *
)，则a m ·a n ＝a p ·a q . ①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *
)时，a m ·a n ＝a 2k .
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n
－1
＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….
4．两等比数列合成数列的性质
若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，{a 2
n }{a n ·b n }，????
??a n b n 也
为等比数列.
思考：等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；
(3)????
??
1a n 是等比数列； (4){a 2n }是等比数列．
[提示]由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( ) [答案] (1) √ (2)× (3)√
提示：(2)当a 1>0且q >1时{a n }为递增数列，故(2)错．
2．等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝2，则a 4＝________，a n ＝________. 24 3×2
n －1
[a 4＝a 1q 3＝3×23＝24，a n ＝a 1q
n －1
＝3×2
n －1
.]
3．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝6，则a 9＝________.
【导学号：91432203】
9 [因为a 7＝a 5q 2
， 所以q 2
＝32
.
所以a 9＝a 5q 4＝a 5(q 2)2
＝4×94
＝9.]
4．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________． 25 [因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
灵活设项求解等比数列
已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－3
2
，则此4个数为
________．
8，－2，12，－18或－18，12，－2,8 [设此4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3
.
则a 4q 6
＝1，aq (1＋q )＝－32
，①
所以a 2q 3＝±1，当a 2q 3＝1时，q >0，代入①式化简可得q 2
－14q ＋1＝0，此方程无解；
当a 2q 3＝－1时，q <0，代入①式化简可得q 2
＋174q ＋1＝0，解得q ＝－4或q ＝－14.
当q ＝－4时，a ＝－1
8；
当q ＝－1
4
时，a ＝8.
所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，1
2，－2,8.]
[规律方法] 巧设等差数列、等比数列的方法：
(1)若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成a
q
，a ，aq 或a ，
aq ，aq 2.
(2)若四个数成等比数列，可设为a q
，a ，aq ，aq 2
.若四个正数成等比数列，可设为a q 3，a q
，aq ，
aq 3.
1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数.
【导学号：91432204】
[解] 由题意设此四个数为b q
，b ，bq ，a ，
则有????
? b 3
＝－8，2bq ＝a ＋b ，
ab 2q ＝－80，
解得????
?
a ＝10，
b ＝－2，
q ＝－2，
或???
??
a ＝－8，
b ＝－2，q ＝52.
所以这四个数为1，－2,4,10或－4
5
，－2，－5，－8.
等比数列的性质及应用
已知{a n }为等比数列，
(1)等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 2
3a 5；
(2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；
(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．
思路探究：利用等比数列的性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 求解． [解] (1)等比数列{a n }中，因为a 2a 4＝12，所以a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12，所以a 1a 2
3a 5＝14.
(2)由等比中项，化简条件得
a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2
＝25，
∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.
(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395
＝10.
[规律方法]
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1
和q ，然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用.
2．(1)已知数列{a n }为等比数列，a 3＝3，a 11＝27，求a 7. (2)已知{a n }为等比数列，a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q .
【导学号：91432205】
[解] (1)法一：????
?
a 1q 2
＝3，a 1q 10
＝27
相除得q 8
＝9.
所以q 4
＝3，所以a 7＝a 3·q 4
＝9.
法二：因为a 2
7＝a 3a 11＝81，所以a 7＝±9， 又a 7＝a 3q 4
＝3q 4>0，所以a 7＝9.
(2)因为a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15， 所以a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3.
所以q 4
＝a 7a 3＝4或14，所以q ＝±2或q ＝±22
.
由递推公式转化为等比数列求通项
[探究问题]
1．如果数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(n ∈N *
)，你能判断出{a n }是等差数列，还是等比数列吗？
提示：由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列． 2．在探究1中，若将a n ＋1＝2a n ＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？
提示：在a n ＋1＝2a n ＋1两边都加1得
a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，显然数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以q ＝2为公比的等比数列．
3．在探究1中，若将a n ＋1＝2a n ＋1改为a n ＋1＝3a n ＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出a n 吗？
提示：设将a n ＋1＝3a n ＋5变形为a n ＋1＋x ＝3(a n ＋x )．将该式整理为a n ＋1＝3a n ＋2x 与a n ＋1＝3a n
＋5对比可知2x ＝5，即x ＝52；所以在a n ＋1＝3a n ＋5两边都加5
2，可构造出等比数列?
?????a n ＋52.利用
等比数列求出a n ＋5
2
即可求出a n .
已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋n －4. (1)求a 1的值．
(2)若b n ＝a n －1，试证明数列{b n }为等比数列．
思路探究：(1)由n ＝1代入S n ＝2a n ＋n －4求得；(2)先由S n ＝2a n ＋n －4，利用S n 和a n 的关系得{a n }的递推关系，然后构造出数列{a n －1}利用定义证明．
[解] (1)因为S n ＝2a n ＋n －4，
所以当n ＝1时，S 1＝2a 1＋1－4，解得a 1＝3. (2)证明：因为S n ＝2a n ＋n －4， 所以当n ≥2时，
S n －1＝2a n －1＋(n －1)－4，
S n －S n －1＝(2a n ＋n －4)－(2a n －1＋n －5)，即a n ＝2a n －1－1，
所以a n －1＝2(a n －1－1)， 又b n ＝a n －1，所以b n ＝2b n －1， 且b 1＝a 1－1＝2≠0，
所以数列{b n }是以b 1＝2为首项，2为公比的等比数列．
母题探究：1.将本例条件“S n ＝2a n ＋n －4”改为“a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2”，“b n ＝a n －1”改为“b n ＝a n ＋1－2a n ”，试证明数列{b n }是等比数列，并求{b n }的通项公式．
[证明] a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2 ＝4a n ＋1－4a n .
b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1
a n ＋1－2a n
＝
4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a n
a n ＋1－2a n
＝2.
所以数列{b n }是公比为2的等比数列， 首项为a 2－2a 1.
因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2， 所以a 2＝5，所以b 1＝a 2－2a 1＝3. 所以b n ＝3·2
n －1
.
2．将本例条件“S n ＝2a n ＋n －4”改为“a 1＝1，a 2
n ＋1＝2a 2
n ＋a n a n ＋1”，试证明数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．
[解] 由已知得a 2
n ＋1－a n a n ＋1－2a 2
n ＝0，所以(a n ＋1－2a n )(a n ＋1＋a n )＝0. 所以a n ＋1－2a n ＝0或a n ＋1＋a n ＝0， (1)当a n ＋1－2a n ＝0时，
a n ＋1
a n
＝2.又a 1＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．所以a n ＝2
n －1
.
(2)当a n ＋1＋a n ＝0时，a n ＋1
a n
＝－1，又a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为－1的等比数列，
所以a n ＝1×(－1)n －1
＝(－1)
n －1
.
综上：a n ＝2
n －1
或(－1)n －1
.
[规律方法]
1．已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解． 2．由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋
λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝B
A －1
，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．
1．在等比数列{a n }中，a 2＝4，a 7＝1
16，则a 3a 6＋a 4a 5的值是( )
A ．1
B ．2 C.12 D.1
4
C [a 3a 6＝a 4a 5＝a 2a 7＝4×116＝1
4，
∴a 3a 6＋a 4a 5＝1
2
.]
2．在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2 016－a 2 017
a 2 014－a 2 015
等于( )
【导学号：91432206】
A ．3或－1
B ．9或1
C ．1
D ．9
D [由3a 1，12a 3,2a 2成等差数列可得a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2
＝3a 1＋2a 1q ，
∵a 1≠0，∴q 2
－2q －3＝0. 解得q ＝3或q ＝－1(舍)． ∴
a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015＝a 2 0161－q a 2 0141－q ＝a 2 016a 2 014
＝q 2
＝9.]
3．已知数列：4，a,12，b 中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b 等于( ) A ．20 B ．18 C ．16 D ．14
B [由题意可得2a ＝4＋12＝16?a ＝8，又122
＝8b ?b ＝18.]
4．在1
2和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为
________．
8 [设插入的3个数依次为a ，b ，c ，即1
2
，a ，b ，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得
b 2＝a
c ＝12×8＝4，因为a 2＝12
b >0，∴b ＝2(舍负)．所以这3个数的积为ab
c ＝4×2＝8.]
5．已知数列{a n }为等比数列，
(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q .
【导学号：91432207】
[解] (1)∵a 1a 2a 3＝a 3
2＝216，∴a 2＝6，∴a 1a 3＝36. 又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，
∴a 1，a 3是方程x 2
－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1
＝2，a n ＝3·2
n －1
；
当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·? ????12n －1
.
(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3
＝a 3a 5q 4
＝18q 4
＝72， ∴q 4
＝4，∴q ＝± 2.