数学建模：汽车刹车距离

名称：汽车刹车距离

时间：2013 -- 2014学年第一学期

专业班级：

姓名（学号）：

2013 年 12 月 15 日

汽车刹车距离

摘要:

司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到汽车完全停止住汽车行

驶的离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长。汽车刹车距离有两方面：反应距离和制动距离。本文从这两方面入手来研究汽车刹车距离，进而得出距离的函数模型，提出驾车建议。在模型的建立过程中，本文主要从影响汽车刹车距离的两个主要因素：司机的反应时间、汽车的车速入手。对于影响刹车距离的其他因素如：路面类型和状况、天气状况、驾驶员的操作技巧和身体状况等都视为相同的状态。

在对于刹车过程的具体分析中，第一阶段称为“反应阶段”即匀速直线运动阶段，利用公式d1=t1v求得；第二阶段称为“制动阶段”即匀减速直线运动阶段,利用功能原理及牛顿第二定律得出：Fd2=Mv2/2；进而得出刹车的距离公式d2=+kv2。再者从所收集得来的数据中运用最小二乘法拟合数据，得出k值，代入公式d=t1v+kv2得出刹车的速度与距离关系式。进而得出刹车距离的函数模型并给驾驶者提出安全驾驶建议。

关键字：刹车距离 t秒准则功能原理牛顿第二定律最小二乘法

一、问题重述：

美国的某些司机培训课程中有这样的规则:在正常驾驶条件下车速每增加10英里/小时,后面与前面一辆车的距离应增加一个车身长度。又云，实现这个规则的一种简便方法是所谓“2秒规则”，即后车司机从前车经过某一标志开始

默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。试判断“2秒规则”与上述规则是否一致？是否有更好的规则？并建立刹车距离的模型。汽车在10英里/小时（约16千米/小时）的车速下2秒钟下行驶多大距离。容易计算这个距离为：10英里/小时*5280英尺/英里*1小时/3600秒*2秒=29.33英尺（=8.94米），远远大于一个车身的平均长度15英尺（=4.6米），所以“2秒准则”与上述规则并不一样。

所以我们还要对刹车距离与速度做更仔细的分析，通过各种分析（主要通过数据分析）以及各种假设，我们提出了更加合理的准则，即“t秒准则”。在道路上行驶的汽车保持足够安全的前后车距是非常重要的，人们为此提出各种五花八门的建议，就上面的“一车长度准则”，“2秒准则”以及我们提出的t秒准则。这些准则的提出都是为了怎样的刹车距离与车速的关系来保证行驶的安全。所以为了足够安全要做仔细的分析。

二、问题分析

1、两秒规则的合理性

根据常识我们知道，10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶的距离为29英尺(9米)，此距离远远大于车身的平均长度15英尺(4.6米)。这说明了“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同。“2秒规则”和“车身规则”不同也就意味着司机处在两个选择中，而两个选择的对错也未知，这就给驾驶员带来了疑惑。所以两个规则的合理性有待验证。

2、数学模型的分析

此模型问题的要求是建立刹车距离与车速之间的数量关系。一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有其它很多因素会影响刹车距离，包括车型、车重、刹车系统的机械状况、轮胎类型和状况、路面类型和状况、天气状况、驾驶员的操作技术和身体状况等。为了建立刹车距离与车速之间的函数关系可以从以下分析入手：

经过仔细分析刹车的过程可以发现，刹车要经历两个阶段：

第一阶段：

司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车踏板使刹车系统开始起作用，汽车在反应时间段行驶的距离为“反应距离”；

反应距离阶段：根据常识，可以假设汽车在反应时间内车速没有改变，也就是说在此瞬间汽车做匀速直线运动，反应时间取决于驾驶员状况（包括反应、警觉性、视力等）和汽车制动系统的灵敏性,而正常情况下，汽车制动系统的灵敏性都非常好，与驾驶员状况相比，可以忽略。可以假设反应距离的数学模型为d1 =t1v 。

第二阶段：

从刹车踏板被踩下、刹车系统开始起作用，到汽车完全停住，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面），此距离为“制动距离”。

制动距离阶段：在制动过程，汽车的轮胎产生滚动摩擦，车速从v迅速减慢，直到车速变为0，汽车完全停止。用物理的语言来陈述，那就是：汽车制动力使汽车做减速运动，汽车制动力做功导致汽车动能的损失。Fd2=Mv2/2；进而得出刹车的距离公式d2=+kv2。

进而可得出：

刹车距离=反应距离+制动距离

换言之，需要测试汽车在不同车速下的刹车距离（当然要尽量保持道路、天气、驾驶员、载重等条件一样），然后利用测试数据拟合出模型 d=t1v+kv²中的系数k 值，那么就能所得到刹车距离与车速之间的二次函数经验公式。此数学

模型对于所有在相同的道路、天气和驾驶员等条件下，既没有超载，也没有故障的汽车都是有参考作用的。

三、模型的假设与符号说明

表1 符号说明

（1）、假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障；

（2）、假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；

（3）、假设汽车在反应阶段做匀速直线运动；

（4）、假设汽车在制动过程做匀减速直线运动，加速度a只与车型有关，同车型时为常数，制动力所做的功只等于汽车动能的损失；

（5）、假设刹车距离等于反应距离加上制动距离。

（6）、反应距离与车速成正比，比例系数为反应时间。

（7)、刹车时使用最大制动力F,F作的功等于汽车动能的改变，且F 与车的质量M成正比。

四、模型的建立与求解

1、模型的建立

由前面的分析和假设可知：

刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和，

即

d=d1+d2 (1)

反应距离 d1与车速 v成正比

d1=t1v (2)

（式中的t1为反应时间）;

刹车时使用最大制动力F ，F 作功等于汽车动能的改变;

Fd2=Mv2/2 (3)

(式中的F ∝M,即F 与车的质量M 成正比)。 因此由（公式2-3）推出下面距离的关系式：

2

2kv d =…………… （4） 再根据（公式2-1）和（公式2-2）可以得到

d=t1v+kv2 ......... (5)

因此模型可以定为：

d=t1v+kv2 ……………（6） 2、模型的求解

参数估计： 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒，利用交通部门提供的一组实际数据拟合k 。

表2 交通部门车速和刹车距离数据

公式为：

()7

2

1

7

4

1

0.750.0255i i i

i i

i d

v v k v

==-=

=∑∑

(7)

则刹车距离与速度的关系为：2

0.750.0255d v v =+ →计算刹车距离、刹车

时间模 型为

20.750.0255d v v =+ (8)

图1 车速与刹车距离的拟合图求出各个车速下的刹车时间，如下表：

表3 车速与刹车时间关系表

车速(英里/小时) 刹车时间（秒）

20 1.5

30 1.8

40 2.1

50 2.5

60 3.0

70 3.6

80 4.3

根据实际的要求和表2-3，得出“2秒准则”应修正为“t 秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志。

表4 不同车速下对时间t的要求

车速（英里/

小时）

0~10 10~40 40~60 60~80 t（秒） 1 2 3 4

五、模型的评价和改进

首先，没有考虑到不同牌子、不同新旧程度的轮胎的摩擦系数，对于数据的取值存在误差，导致刹车距离的结果存在误差.其次，刹车阶段的子模型的模型

假设适合较低车速范围内，而在汽车高速行驶下遗漏了某些忽视的因素，导致模型求解得到的数据不具完全可信度.在分析反应时间时，因年龄段的选取不全，在不同年龄的人的反应时间是有差别的，不同的年龄的人的反应时间不同，所提供的数据不具很强的说服力，不同的反应时间是会影响刹车过程中的反应距离，这在模型的实际运用中不是很合理.因此在考虑到此方面的因素，可研究各年龄段的司机的反应时间，进而结合制动时间，给予司机安全驾驶建议.

通过模型的建立让我们对“2秒准则”有了新的认识，是与车速有关的，不是任何车辆默数2秒后直至停车都是安全的，根据不同的车速，时间不同。模型通过很理论的假设，对实际情况、人为因素等都为考虑，得出的应该是一个理论的一般性结果，对于驾驶人本身，我们还应考虑自身的情况。

六、模型检验

利用由美国公路局提供的刹车距离实际观测数据（下表)来进行模型检验，下表的数据使用英制单位mph（miles per hour，英里/小时）和ft （英尺），换算成1 mph = 0.44704 m/ s ,1 ft = 0.3084m。

在上表的数据中，反应距离是和车速成正比的。很明显，这样的数据是基于反应距离子模型

11d k v

=的，其平均反应时间恰好为1k

=0.75s ，所以没有必要用上表

中的反应距离的数据来检验反应距离子模型，而上表的制动距离数据则有变化范围以及平均值，由于刹车距离是反应距离和制动距离之和，所以刹车距离也有变化范围和平均值，应该用上表中的制动距离数据来检验制动距离子模式

2

22d k v =，从而检验刹车距离的数学模型的目的。

首先，注意到子模型2

22d k v =意味着

2

d 与v 成二次函数关系，而

2

d 与2

v 成正

比例关系，因此绘制上表中的制动距离数据对v 以及2

v 的散点图。

图2

根据上图得到的直观印象是：制动距离子模式

2

22d k v =经得起上表的数据检验。

七、参考文献

[1].姜启源、谢金星、叶俊《数学模型》（第三版）,北京:高等教育出版社.

[2].任善强雷宁数学模型高等教育出版社 2003年

[3]张德丰.Matlab数值分析与应用.北京：国防工业出版社，2007.

[4]袁震东洪渊林武忠蒋鲁敏.数学建模[M](第一版).华东师范大学出版社，1997.11,115~116.

八、附录

图一程序附录：

Plot[0.75v+0.0255v^2 , {v, 20, 120},Frame->True,

Ticks->{{20,40,60,80,100,120},{0,50,100,150,200,250,300,350,400,450,5 00}},

PlotStyle->{RGBColor[1,0,0.5],

Thickness[0.02]},AxesLabel->{"v", "d"}]

-Graphics-

图2程序附录：

>> clear

>> v=(20:5:80).*0.44704;v2=v.*v;

>>

d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334,22,31,45,58,80,103, 131,165,202,245,295,353,418,20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220 .5,266,318,376];

>> d2=0.3048.*d2;

>> subplot(2,1,1),plot([v,v,v],d2,'ko','MarkerSize',2)

>> xlabel('v(m/s)')

>> ylabel('m')

>> subplot(2,1,2),plot([v2,v2,v2],d2,'ko','MarkerSize',2)

>> xlabel('v^2(m^2/s^2)')

>> ylabel('m')

注释：

摘要、关键字为自己所做；

问题重述为引用图书馆数学建模资料书；

问题分析第一阶段参考资料，第二阶段自己利用牛顿第二定律和功能定理建模；符号说明为查阅资料标注，假设自己假设；

模型的建立与求解自己建立并求解，不过图一程序参考资料，模型检验中图二自己利用matlab绘图得出，运行程序见附录二，效果图见图二；

模型评价与改进为自己所想与网络对比综合得出；

附录即为所参考资料来源。