广义胡克定律
§10.4 空间应力状态与广义胡克定律
一、空间应力状态简介
当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态,也称为三向应力状态.本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下,单元体的最大正应力和最大剪应力.先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况,如图10-16所示.该斜面上的应力σ、τ与σ1无关,只由主应力σ2、σ3决定.于是,可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力.同理,在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ,也可分别由〔σ1、σ3〕或〔σ1、σ2〕确定的应力圆来表示.这样作出的3个应力圆称作三向应力圆,如图10-16〔d〕所示.当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D.D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力.由于D点的确定比较复杂且不常用,在此不作进一步介绍.
图10-16 空间应力状态与其应力圆
二、最大、最小正应力和最大剪应力
从图10-16
σmax=σ1,σmin=σ3
单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间.
而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl点的纵坐标,即等于该应力圆半径：
Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上,此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力,所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行,且与σ1和σ3主平面交450
.
三、广义胡克定律
在研究单向拉伸与压缩时,已经知道了在线弹性范围内,应力与应变成线性关系,满足胡克定律 E σε= 〔a 〕
此外,轴向变形还将引起横向尺寸的变化,横向线应变根据材料的泊松比可得出：
'E σ
εμεμ=-=- 〔b 〕
在纯剪切的情况下,根据实验结果,在剪应力不超过剪切比例极限时,剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律,即
G τγ= 或 G τγ= 〔c 〕
对于复杂受力情况,描述物体一点的应力状态,通常需要9个应力分量,如图10.1所示.根据剪应力互等定律,τxy =－τyx ,τxz =－τzx ,τyz =－τzy ,因而,在这9个应力分量中只有6个是独立的.这种情况可以看成是三组单向应力〔图10-17〕和三组纯剪切的组合.对于各向同性材料,在线弹性范围内,处于小变形时,线应变只与正应力有关,与剪应力无关；而剪应变只与剪应力有关,与正应力无关,并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变,而不会影响其它方向上的剪应变.因此,求线应变时,可不考虑剪应力的影响,求剪应变时不考虑正应力的影响.于是只要利用〔a 〕、〔b 〕、〔c 〕三式求出与各个应力分量对应的应变分量,然后进行叠加即可.
图10-17 应力分解
如在正应力σx 单独作用时<图10-17>,单元体在x 方向的线应变x
xx E σε=；
在σy 单独作用时<图10-17
xy E σεμ=-；
在σz 单独作用时<图10-17
xz E σεμ=-；
在σx 、σy 、σz 共同作用下,单元体在x 方向的线应变为：
同理,可求出单元体在y 和z 方向的线应变εy 和εz.最后得 1()y y z x E εσμσσ=-+⎡⎤⎣⎦ 〔10-9〕
对于剪应变与剪应力之间,由于剪应变只与剪应力有关,并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变,而不会影响其它方向上的剪应变.因而仍然是〔c 〕式所表示的关系.这样,在xy 、yz 、zx 三个面内的剪应变分别是
12(1)yz yz yz G E μγττ+== 〔10-10〕
公式〔10-9〕和〔10-10〕就是三向应力状态时的广义胡克定律.
当单元体的六个面是主平面时,使x 、y 、z 的方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致,这时有
广义胡克定律化为：
[]22311()E εσμσσ=-+ 〔10-11〕
ε1、ε2、ε3方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致,称为一点处的主应变.三个主应变按代数值的大小排列,ε1 ≥ ε2 ≥ε3,其中,ε1和ε3分别是该点处沿各方向线应变的最大值和最小值.
四、 体积应变
单位体积的改变称为体积应变〔体应变〕.图10-18
所示的主单元体,边长分别是dx 、dy 和dz.在3个互相
垂直的面上有主应力σ1、σ2和σ3.
单元体变形前的体积为: v = dxdydz ;
变形后的体积为：v 1=〔dx +ε1dx> +ε3dz> 则体积应变为： 略去高阶微量,得 123θεεε=++ 〔10-12〕 将广义胡克定律式<10-11>代入上式,得到以应力表示的体积应变 图10-18 主应力单 12312312()E μθεεεσσσ-=++= ++ 〔10-13〕 令 1231() 3m σσσσ=++ 〔10-14〕 则 3(12)m m E K μσσθ-== 〔10-15〕 式中：3(12)E K μ= -称为体积弹性模量,σm 称为平均主应力. 公式〔10-15〕表明,体积应变θ与平均主应力σm 成正比,即体积胡克定律.单位体积的体积改变只与三个主应力之和有关,至于三个主应力之间的比例对体积应变没有影响. 若将图10-19〔a 〕中所示单元体分解为〔b 〕和〔c 〕两种情况的叠加,在〔c 〕图中,由于各面上的主应力为平均主应力,该单元体各边长按相同比例伸长或缩短,所以单元体只发生体积改变而不发生形状改变. 在图〔b 〕中,三个主应力之和为零,由式〔10-13〕可得其体积应变θ也为零,表明该单元体只发生形状改变而不发生体积改变.由此可知,图〔a 〕所示的单元体的变形将同时包括体积改变和形状改变. 五、 复杂应力状态下的弹性变形比能 弹性变形比能是指物体在外力作用处于弹性状态下,在单位体积内储存的变形能.在单向应力状态下,当应力σ与应变ε满足线性关系时,根据外力功和应变能在数值上相等的关系,导出变形比能的计算公式为 图10-19 单元体应力的组合 在复杂应力状态下的单元体的变形比能为 将将广义胡克定律<10.11>式代入上式,经过整理后得出： 22212312233112()2E σσσμσσσσσσ⎡⎤=++-++⎣⎦ 〔10-16〕 式〔10-16〕就是在复杂应力状态下杆件的弹性变形比能计算公式.由于单元体的变形包括体积改变和形状改变,所以变形比能也可以看成由体积改变比能和形状改变比能这两部分的组合. 式中：u θ为体积改变比能,d u 为形状改变比能. 对于图〔10-19〔c 〕〕中的单元体,各面上的正应力为： 1231()3m σσσσ==++,将σ m 代入式〔10-16〕得体积改变比能： 2 12312()6E μσσσ-=++ 〔10-17〕 形状改变比能： 2221223311[()()()]6E μσσσσσσ+= -+-+- 〔10-18〕 例10-7 如图 10-20所示钢梁,在梁的A 点处测得线应变640010,x ε-=⨯612010,y ε-=-⨯ 试求：A 点处沿x 、y 方向的正应力和z 方向的线应变.已知弹性模量E=200GPa,泊松比μ=0.3. 图10-20 钢梁上某点A 的位置 解：因为A 点的单元体上σz=0,该单元体处于平面应力状态,将εx 、εy 、E 、μ代入公式〔10-9〕,得 解得：σx=80MPa,σy=0 再由 力学基本定律之一胡克定律 胡克定律是力学基本定律之一。适用于一切固体材料的弹性定律，它指出：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。这个定律是英国科学家胡克发现的，所以叫做胡克定律。 胡克定律的表达式为F＝-kx或△F=-kΔx，其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛／米。倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。 弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。在现代，仍然是物理学的重要基本理论。胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -kx。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。 为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。 胡克定律 Hook's law 材料力学和弹性力学的基本规律之一。由R.胡克于1678年提出而得名。胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内，固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ＝Εε，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：σ11＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε11，σ23＝2Gε23， σ22＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε22，σ31＝2Gε31，(1) σ33＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε33，σ12＝2Gε12，及 式中σij为应力分量；εij为应变分量（i，j＝1，2，3）；λ和G为拉梅常量，G又称剪切模量；E为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。λ、G、E和v之间存在下列联系：式（1）适用于已知应变求应力的问题，式（2）适用于已知应力求应变的问题。 根据无初始应力的假设，（f 1）0应为零。对于均匀材料，材料性质与坐标无关，因此函数 f 1 对应变的一阶偏导数为常数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为 上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。 广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个。 如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，Cmn 是坐标x，y，z的函数。 但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。 这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn 为弹性常数。 胡克的弹性定律指出：在弹性限度内，弹簧的弹力f和弹簧的长度x成正比，即f= -kx。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所 本构关系 1. 各向同性线性弹性本构方程及其中的物理常数G 、λ、K 与E 、μ的关系式； 2. 球量和偏量的本构方程。 对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 一般情况下，材料的应力与应变呈某一函数关系，可表示为： 当式中的自变量：εx 、εy 、εz 、γyz 、γzx 、γxy 为小量时，可对其按Taylor 级数展开，并略去二阶以上小量，如第一式，有 上式中（f 1）0表达了函数f 1在应变分量为零时的值，根据应力应变的一般关系式可知，它代表了初始应力。 而,,0 1 ???? ????x f ε表示函数f 1 对应变分量的一阶偏导数，在小变形条件下，它们均为常数，这样可得一线性方程组： 上述关系式是胡克（Hooke ）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。 广义胡克定律中的系数C mn （m ，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个，但可以证明，只有21个常数独立。 如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，C mn 是坐标x ，y ，z 的函数。 但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。 这一条件反映在广义胡克定理上，就是C mn 为弹性常数。 对于完全的各向异性弹性体，本构关系有21个弹性常数， 对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，本构各向具有13个弹性常数。 对于正交各向异性材料，弹性常数有9个。 正交各向异性材料的本构方程中，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。 1.极端各向异性体的弹性常数为21个。 2.具有一个对称面的各向异性材料 正交各向异性体：物体内的任一点存在三个弹性对称平面，在每一个对称平两侧对称方向上各自具有相同的弹性性质，这种物体称为正交各向异性体。正交各向异性体的弹性常数为9个。 3.横观各向同性体 若物体内的任一点在平行于某一平面的所各方向都具有相同的弹性性质，而垂直于该面的弹性性质不同，这种正交异性体称为横观各向同性体。如：层状岩层、复合板材等。横观各向同性体的弹性常数为5个。 广义胡克定律 强度理论 [知识回顾] 1、 轴向拉（压）变形 在轴向拉（压）杆件内围绕某点截取单元体，单向应力状态（我们分析过） 横向变形 2）纯剪切 [导入新课] 胡克定律反映的是应力与应变间的关系，对复杂应力状态，其应力与应变间的关系由广义胡克定律确定。 [新课教学] x x E εσ=E x x y σ μμεε-=-=γ τG = 广义胡克定律 强度理论 一、广义胡克定律（Generalized Hooke Law ） 1、主应力单元体－叠加法 只在1σ作用下：1方向 只在2σ作用下：1方向 1方向由1σ、2σ、3σ共同作用引起的应变 只在3σ作用下：1方向 即 同理： 2、非主应力单元体 可以证明：对于各向同性材料，在小变形及线弹性范围内， 线应变只与正应力有关，而与剪应力无关； 剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关， 满足应用叠加原理的条件。 E 1 1σε= 'E 21σ με-=''E 31 σ με-='''111εεεε'''+''+'=()[] 32111 σσμσε+-=E ()[]1322 1 σσμσε+-=E ()[]21331σσμσε+-=E [] [] [] ??? ? ?????+-=+-=+-=)(1)(1)(1y x z z x z y y z y x x E E E σσμσεσσμσεσσμσε??????? ??===zx zx yz yz xy xy G G G τγτγτγ111小变形，线弹性范围内，符合叠加原理 3、体积应变 单元体，边长分别为dx 、dy 和dz 。在三个互相垂直的面上有主应力1σ、2σ和3σ。 变形前单元体的体积为 变形后，三个棱边的长度变为 由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为 dxdydz V )1)(1)(1(3211εεε+++= 将上式展开，略去含二阶以上微量的各项，得 dxdydz V )1(3211εεε+++= 于是，单元体单位体积的改变为 3211εεεθ++=-= V V V θ称为体积应变（或体应变） 。它描述了构件内一点的体积变化程度。 5、体积应变与应力的关系 将广义虎克定律（8-22）代入上式，得到以应力表示的体积应变 式中 K 称为体积弹性模量，m σ是三个主应力的平均值。体积应变θ只与平均应力m σ有 关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。 体积应变θ与平均应力m σ成正比，称为体积虎克定律。 dxdydz V =dz dz dz dy dy dy dx dx dx )1()1()1(332211εεεεεε+=++=++=+)21(3μ-= E K )(31321σσσσ++=m K E m σσσσμθ= ++?-==3)21(3321)(21321321σσσμ εεεθ++-=++=E 胡克定律 科技名词定义 中文名称： 胡克定律 英文名称： Hooke's law 定义： 材料在弹性变形范围内，力与变形成正比的规律。 所属学科： 水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科） 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 百科名片 胡克定律是力学基本定律之一。适用于一切固体材料的弹性定律，它指出：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。这个定律是英国科学家胡克发现的，所以叫做胡克定律。 目录 定律简介 历史证明 编辑本段定律简介 胡克定律的表达式为F＝-kx或△F=-kΔx，其中k是常数，是物体的 [胡克定律] 胡克定律 劲度（倔强）系数。在国际单位制中，F 的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛／米。倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。 弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。在现代，仍然是物理学的重要基本理论。胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -kx。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。 为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。编辑本段历史证明 Hooke law 材料力学和弹性力学的基本规律之一。由R.胡克于1678年提 [胡克定律相关图表] 胡克定律相关图表 出而得名。胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内，固体的单向拉伸变形与所受的外力 成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ＝Εε，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式： σ11＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε11，σ23＝2Gε23， σ22＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε22，σ31＝2Gε31，(1) σ33＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε33，σ12＝2Gε12，及 式中σij为应力分量；εij为应变分量（i，j＝1，2，3）；λ和G为拉梅常量，G又称剪切模量；E为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。λ、G、E和v之间存在下列联系：式（1）适用于已知应变求应力的问题，式（2）适用于已知应力求应变的问题。 根据无初始应力的假设，（f 1）0应为零。对于均匀材料，材料性质与坐标 [英国力学家胡克] 英国力学家胡克 无关，因此函数 f 1 对应变的一阶偏导数为常数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为 上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。 广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个。 如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，Cmn 是坐标x，y，z的函数。 但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。 这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn 为弹性常数。 胡克的弹性定律指出：在弹性限度内，弹簧的弹力f和弹簧的长度x成正比，即f= -kx。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。 弹簧的串并联问题 串联：劲度系数关系1/k=1/k1+1/k2 并联：劲度系数关系k=k1+k2 注：弹簧越串越软，越并越硬 郑玄-胡克定律 它是由英国力学家胡克(Robert Hooke, 1635-1703) 于1678年发现的,实际上早于他1500年前,东汉的经学家和教育家郑玄(公元127-200)为《考工记·马人》一文的“量其力,有三钧”一句作注解中写到:“假设弓力胜三石,引之中三尺,驰其弦,以绳缓擐之,每加物一石, 则张一尺。”以正确地提示了力与形变成正比的关系,郑玄的发现要比胡克要早一千五百年.因此胡克定律应称之为“郑玄——胡克定律. §10.4 空间应力状态与广义胡克定律 一、空间应力状态简介 当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态,也称为三向应力状态.本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下,单元体的最大正应力和最大剪应力.先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况,如图10-16所示.该斜面上的应力σ、τ与σ1无关,只由主应力σ2、σ3决定.于是,可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力.同理,在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ,也可分别由〔σ1、σ3〕或〔σ1、σ2〕确定的应力圆来表示.这样作出的3个应力圆称作三向应力圆,如图10-16〔d〕所示.当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D.D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力.由于D点的确定比较复杂且不常用,在此不作进一步介绍. 图10-16 空间应力状态与其应力圆 二、最大、最小正应力和最大剪应力 从图10-16 Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上,此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力,所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行,且与σ1和σ3主平面交450 . 三、广义胡克定律 在研究单向拉伸与压缩时,已经知道了在线弹性范围内,应力与应变成线性关系,满足胡克定律 E σε= 〔a 〕 此外,轴向变形还将引起横向尺寸的变化,横向线应变根据材料的泊松比可得出： 'E σ εμεμ=-=- 〔b 〕 在纯剪切的情况下,根据实验结果,在剪应力不超过剪切比例极限时,剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律,即 G τγ= 或 G τγ= 〔c 〕 对于复杂受力情况,描述物体一点的应力状态,通常需要9个应力分量,如图10.1所示.根据剪应力互等定律,τxy =－τyx ,τxz =－τzx ,τyz =－τzy ,因而,在这9个应力分量中只有6个是独立的.这种情况可以看成是三组单向应力〔图10-17〕和三组纯剪切的组合.对于各向同性材料,在线弹性范围内,处于小变形时,线应变只与正应力有关,与剪应力无关；而剪应变只与剪应力有关,与正应力无关,并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变,而不会影响其它方向上的剪应变.因此,求线应变时,可不考虑剪应力的影响,求剪应变时不考虑正应力的影响.于是只要利用〔a 〕、〔b 〕、〔c 〕三式求出与各个应力分量对应的应变分量,然后进行叠加即可. 图10-17 应力分解 如在正应力σx 单独作用时<图10-17>,单元体在x 方向的线应变x xx E σε=； 在σy 单独作用时<图10-17 胡克定律是力学基本定律之一。适用于一切固体材料的弹性定律，它指出：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。这个定律是英国科学家胡克发现的，所以叫做胡克定律。 定律简介： 胡克定律的表达方式为F=kx或ΔF=kΔx, 其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。在国际单位制中，F的单位是牛，x单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。倔强系数在数值上等于弹簧伸长（缩短）单位长度时的弹力。 弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。在现代，仍然是物理学的重要基本理论。胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x 成正比，即F=-kx。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。 历史证明： Hooke law 材料力学和弹性力学的基本规律之一。由R.胡克于1678年提出而得名。 胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内，固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变?成正比，及σ=E?，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式： σ11=λ（?11+?22+?33）+2G?11，σ23=2G?23； σ22=λ（?11+?22+?33）+2G?22，σ31=2G?31；（1） σ33=λ（?11+?22+?33）+2G?33，σ12=2G?12； 及式中σij为应力分量；?ij为应变分量（i，j=1,2,3，）；λ和G为拉梅常量，G又称剪切模量；E为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。λ、G、E和v之间存在下列联系：式（1）适用于已知应变求应力问题，式（2）适用于已知应力求应变的问题。根据无初始应力的假设，（f1）0应为零。对于均匀材料，材料性质与坐标无关，因此函数f1对应变的一阶偏导数为常数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为 说明 胡克定律的表达式为F=-k·x 或△F=-k·Δx ，其中k 是常数，是物体的劲度（倔强）系数。在国际单位制中，F 的单位是牛，x 的单位是米，它是形变量（弹性形变），k 的单位是牛/米。劲度系数在数值上等 于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。 弹性定律是胡克最重要的发觉之一，也是力学最重要大体定律之一。在现代，仍然是物理学的重要大体理论。胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力F和弹簧的伸长量（或紧缩量）x成正比，即F= -k·x 。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或紧缩）的方向相反。 胡克定律又可表示为：[1] Fn∕S=E·（△l∕l。） 式中Fn表示一个被命名为n的力（简单的说确实是一个力），比例系数E成为弹性模量，也称为杨氏模量，由于△l∕l。为纯数，故弹性模量和应力具有相同的单位，弹性模量是描述材料本身的物理量，由上式可知，应力大而应变小，那么弹性模量较大；反之，弹性模量较小。弹性模量反映材料关于拉伸或紧缩变形的抗击能力，关于必然的材料来讲，拉伸和紧缩量的弹性模量不同，但二者相差不多，这时能够为二者相同，下表列出了几种常见材料的弹性模量。 材料铝绿石英混凝土铜玻璃花岗石铁铅松木 （平行 于纹理） E∕10^1 0Pa 1119 材料力学和弹性力学的大体规律之一。由R.胡克于1678年提出而得名。胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内，固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情形下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ=Εε，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。把胡克定律推行应用于三向应力和应变状态，那么可取得广义胡克定律。胡克定律为弹性力学的进展奠定了基础。各向同性材料的广义胡克定律有两种经常使用的数学形式： σ11=λ（ε11+ε22+ε33）+2Gε11，σ23=2Gε23， σ22=λ（ε11+ε22+ε33）+2Gε22，σ31=2Gε31，(1) σ33=λ（ε11+ε22+ε33）+2Gε33，σ12=2Gε12，及 式中σij为应力分量；εij为应变分量（i，j=1，2，3）；λ和G为拉梅常量，G又称剪切模量；E 为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。λ、G、E和v之间存在以下联系：式（1）适用于已知应变求应力的问题，式（2）适用于已知应力求应变的问题。 依照无初始应力的假设，（f 1）0应为零。关于均匀材料，材料性质与坐标无关，因此函数 f 1 对应变的一阶偏导数为常数。因此应力应变的一样关系表达式能够简化为 上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推行，因此又称作广义胡克定律。 广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个。 若是物体是非均匀材料组成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一样的讲，Cmn 是坐标x，y，z的函数。 可是若是物体是由均匀材料组成的，那么物体内部各点，若是受一样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点若是有相同的应变，必经受一样的应力。 这一条件反映在广义胡克定理上，确实是Cmn 为弹性常数。 胡克的弹性定律指出：在弹性限度内，弹簧的弹力f和弹簧的长度转变量x成正比，即F= kx。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或紧缩）的方向相反。 弹簧的串并联问题 串联：劲度系数关系1/k=1/k1+1/k2 并联：劲度系数关系k=k1+k2 注：弹簧越串越软，越并越硬，与弹簧各自长度无关。 广义胡克定律及应用 广义胡克定律是描述弹性力学中弹簧力的一个定律，也被称为胡克定律。它的表达式可以写为：F = kδl，其中F是弹簧力，k是弹簧的弹性系数，δl是弹簧的伸长（或压缩）量。 胡克定律是一个理想化的模型，用来描述弹簧的力学性质。虽然它基于一些简化的假设，但在许多现实世界的应用中都是非常有效的。下面将详细介绍胡克定律及其应用。 广义胡克定律描述了弹簧受力时的基本规律，即弹簧的伸长（或压缩）量与受力之间成正比。根据胡克定律，当一个弹簧受到外力作用时，弹簧会产生一个与伸长量成正比的弹力，而弹力的方向与伸长（或压缩）方向相反。弹簧的弹性系数k反映了弹簧的硬度，其数值越大，弹簧越难伸长（或压缩）。 胡克定律的应用非常广泛，以下是其中几个主要的应用领域： 1.弹簧力学系统：胡克定律是对弹簧力学系统行为的一个基本描述。在弹性力学中，弹簧经常被用来实现机械装置中的力传递和力的调节功能。通过调整弹簧的弹性系数k和伸长（或压缩）量δl，可以控制弹簧力的大小和方向，从而实现不同的应用需求。 2.弹簧测力计：胡克定律的应用之一是在测力计中。测力计是一种用来测量力的 仪器，在弹簧测力计中，胡克定律被用来计算外力的大小。根据胡克定律，当外力作用于弹簧测力计时，弹簧会产生一个与伸长（或压缩）量成正比的弹力。通过测量弹簧的伸长（或压缩）量，可以推断出外力的大小。 3.弹簧悬挂系统：胡克定律在弹簧悬挂系统中也有广泛的应用。在汽车和自行车的悬挂系统中，弹簧常常被用来减震和调节车辆的姿态。通过调整弹簧的弹性系数k和车辆的质量，可以实现合适的减震效果和乘坐舒适度。 4.弹簧振动系统：胡克定律在弹簧振动系统中也扮演着重要的角色。在弹簧振子、弹簧阻尼器等系统中，胡克定律用来描述弹簧的回复力和周期性振动的特性。根据胡克定律，振动的周期与弹簧的弹性系数k和质量有关，通过调整这些参数可以改变振动的频率和振幅。 除了上述主要的应用领域，广义胡克定律还在其他力学系统中得到应用，包括弹簧能量储存系统、弹簧均衡系统等。胡克定律的广泛应用得益于它的简单和可靠性，以及对力学行为的定量描述能力。 总结来说，广义胡克定律是描述弹性力学中弹簧力的一个重要定律。它被广泛应用于弹簧力学系统、弹簧测力计、弹簧悬挂系统和弹簧振动系统中。胡克定律的应用不仅限于以上几个领域，还具有更广阔的应用前景。通过深入理解和应用胡克定律，可以为各种力学系统的设计和优化提供有力的工具和方法。 胡克定律的定义 胡克定律的别称是弹性定律，适用的领域范围是现实世界中复杂的非线性现象。下面是店铺给大家整理的胡克定律的定义，供大家参阅! 胡克定律的定义与表达式 胡克定律(Hooke's law)，又译为虎克定律，是力学弹性理论中的一条基本定律，表述为：固体材料受力之后，材料中的应力与应变(单位变形量)之间成线性关系。满足胡克定律的材料称为线弹性或胡克型(英文Hookean)材料。从物理的角度看，胡克定律源于多数固体(或孤立分子)内部的原子在无外载作用下处于稳定平衡的状态。许多实际材料，如一根长度为L、横截面积A的棱柱形棒，在力学上都可以用胡克定律来模拟——其单位伸长(或缩减)量(应变)在常系数E(称为弹性模量)下，与拉(或压)应力σ成正比例，即：F=-k·x或△F=-k·Δx。其中为总伸长(或缩减)量。胡克定律用17世纪英国物理学家罗伯特·胡克的名字命名。胡克提出该定律的过程颇有趣味，他于1676年发表了一句拉丁语字谜，谜面是：ceiiinosssttuv。两年后他公布了谜底是：ut tensio sic vis，意思是“力如伸长(那样变化)”，这正是胡克定律的中心内容。 胡克定律的表达式为F=k·x或△F=k·Δx，其中 k是常数，是物体的劲度(倔强)系数。在国际单位制中， F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量(弹性形变)，k的单位是牛/米。劲度系数在数值上等于弹簧伸长(或缩短)单位长度时的弹力。 弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。在现代，仍然是物理学的重要基本理论。胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量(或压缩量)x成正比，即F= -k·x 。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长(或压缩)的方向相反。 为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。 满足胡克定律的弹性体是一个重要的物理理论模型，它是对现实 胡克定理 胡克定律科技名词定义 中文名称：胡克定律 定义：材料在弹性变形范围内，力与变形成正比的规律。应用学科：水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 百科名片 胡克定律是力学基本定律之一。适用于一切固体材料的弹性定律，它指出：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。这个定律是英国科学家胡克发现的，所以叫做胡克定律。 目录 定律简介 历史证明 编辑本段定律简介 胡克定律的表达式为F=k/x或△F=k/Δx，其中k是常数，是物体的胡克定律 劲度（倔强）系数。在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定 律之一。在现代，仍然是物理学的重要基本理论。胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -kx。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。 编辑本段历史证明 Hooke law 材料力学和弹性力学的基本规律之一。由R.胡克于1678年提胡克定律相关图表 出而得名。胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内，固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变 ε成正比，即σ=Εε，式中E 为常数，称为弹性模量或杨氏模量。把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式： σ11=λ （ε11+ε22+ε33） +2Gε11，σ23=2Gε23， σ22=λ （ε11+ε22+ε33） 公式——广义胡克定律 广义胡克定律是描述弹性体变形与所受力之间关系的一种数学公式。 它是由英国科学家罗伯特·胡克提出的，被广泛应用于弹簧、金属材料等 弹性体的力学研究中。广义胡克定律描述了物体中的应力（stress）与应 变（strain）之间的关系，体现了物体恢复原状的能力。 广义胡克定律可以表示为： σ=Eε 其中，σ是物体中的应力，E是材料的弹性模量，ε是应变。 应变也可以分为两种类型：正应变（tensile strain）和剪应变（shear strain）。正应变是指物体长度或体积在受力后发生的相对变化，剪应变是指物体截面内的相对平移。 弹性模量E是物质的固有属性，反映了其变形能力。E取决于材料的 类型和结构。对于大部分金属材料而言，它们在弹性变形区间表现出线性 弹性行为，即广义胡克定律适用。 广义胡克定律适用于小应变情况，因为大应变时材料可能发生位移、 塑性变形等非线性行为。通常，当应变小于0.01时，广义胡克定律可以 良好适用。 广义胡克定律的意义在于帮助我们理解物质在受力下产生的变形。通 过应用广义胡克定律，可以计算出物体所受力引起的应力，并据此评估物 体是否会发生破裂、变形等情况。例如，在弹簧的设计中，我们可以利用 广义胡克定律来计算所需的弹簧刚度，以确保弹簧在受力下能够有效恢复 原状。 需要注意的是，广义胡克定律只适用于线弹性材料，在材料的弹性极 限之前。对于塑性变形等非线性行为，需要使用其他力学模型进行描述。 总之，广义胡克定律是描述弹性体变形与所受力之间关系的重要公式。在实际工程中，广义胡克定律的应用广泛，对于预测物体的变形和断裂行为，以及设计合适的材料和结构具有重要意义。 广义胡克定律公式 广义胡克定律公式是力学中的一种基本公式，它描述了物体在受力作用下的变形情况。该公式由英国物理学家罗伯特·胡克于17世纪提出，被广泛应用于工程学、物理学、材料科学、建筑学等领域。在本文中，我们将详细介绍广义胡克定律公式的定义、应用及其在不同领域的意义。 一、广义胡克定律公式的定义 广义胡克定律公式是描述物体在受力作用下的变形情况的公式。它的数学表达式为： F=kx 其中，F表示物体所受的外力，k表示弹性系数，x表示物体的变形量。弹性系数是一个常数，它反映了物体在受力作用下的变形程度。当F和x的值确定时，弹性系数k也就确定了。 广义胡克定律公式的实际应用非常广泛。例如，在弹簧中，当外力作用于弹簧时，弹簧会产生弹性变形，此时，弹簧的弹性系数k就是弹簧所具有的弹性特性的一个重要参数。同样，在建筑设计中，钢筋混凝土结构的设计也需要考虑弹性系数的影响。 二、广义胡克定律公式的应用 广义胡克定律公式的应用非常广泛，下面我们将分别从弹簧、杆件和建筑结构三个不同的领域来介绍该公式的应用。 1. 弹簧 弹簧是一种常见的机械零件，它主要用于控制机械系统的运动。 当外力作用于弹簧时，弹簧会发生弹性变形，此时，弹簧的弹性系数k就是弹簧所具有的弹性特性的一个重要参数。根据广义胡克定律公式，弹簧的弹性系数k与弹簧的变形量x和所受外力F有关，即： k=F/x 在实际应用中，弹簧的弹性系数是由材料的物理特性决定的。例如，弹簧的材料越硬，弹性系数就越大，弹簧的变形量就越小。 2. 杆件 杆件是一种常见的结构零件，它主要用于支撑和传递载荷。当杆件受到外力作用时，它会发生弯曲变形，此时，杆件的弯曲刚度就是杆件所具有的弹性特性的一个重要参数。根据广义胡克定律公式，杆件的弯曲刚度k与杆件的弯曲角度θ和所受的弯曲力F有关，即： k=F/θ 在实际应用中，杆件的弯曲刚度是由材料的物理特性、截面形状和长度等因素决定的。例如，杆件的截面越大，弯曲刚度就越大，杆件的长度越长，弯曲刚度就越小。 3. 建筑结构 建筑结构是一种复杂的结构体系，它由许多杆件和板件组成。在建筑结构的设计中，弹性系数是一个重要的设计参数。例如，在钢筋混凝土结构的设计中，钢筋的弹性模量就是一个重要的设计参数。根据广义胡克定律公式，钢筋的弹性模量E与钢筋的应力σ和应变ε有关，即： E=σ/ε 广义胡克定律 1. 概述 广义胡克定律是描述材料在受到外力作用下变形的力学定律，是胡克定律的一种扩展形式。广义胡克定律表示了材料的应力与应变之间的线性关系。根据广义胡克定律，应力与应变的关系可以通过材料的弹性模量来描述，弹性模量是材料特性的重要参数之一。 2. 胡克定律的表达式 根据广义胡克定律，应力与应变之间的线性关系可以用以下表达式表示： σ = Eε 其中，σ表示应力，单位为Pa（帕斯卡），E表示材料的弹性模量，单位为Pa，ε表示应变，无单位。 3. 弹性模量的定义 弹性模量是衡量材料抵抗变形的能力的物理量，表示单位 应力下材料的相对应变。根据胡克定律，弹性模量E可以表 示为应力与应变的比值： E = σ/ε 这里E为弹性模量，σ为应力，ε为应变。 4. 弹性恢复能力 根据广义胡克定律，材料在受到应力作用时，会发生弹性 变形，即当外力撤除时，材料会恢复到原始形状。这是因为材料具有弹性的特性，能够在受到外力作用后恢复原状，这种能力称为弹性恢复能力。 弹性恢复能力可以通过材料的弹性模量来衡量。弹性模量 越大，材料的弹性恢复能力就越强，反之则弹性恢复能力较弱。 5. 应力与应变的关系 根据广义胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的。当 材料受到外力作用时，会发生应力的产生，应力与应变的关系可以表示为： σ = Eε 这里σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。根据这 个关系，应变是由应力和弹性模量决定的。 6. 应力应变曲线 应力应变曲线是描述材料在受力过程中应力与应变关系的 曲线。根据广义胡克定律，应力应变曲线为直线，与应力与应变的线性关系相对应。 在应力应变曲线上，通常有三个重要点：比例极限点、弹 性极限点和断裂点。比例极限点表示材料可以承受的最大应力，弹性极限点表示材料开始发生塑性变形的点，断裂点表示材料完全破坏的点。 7. 应用 广义胡克定律在工程领域有着广泛的应用。它是材料力学 的基础，可以帮助工程师分析和设计结构的性能。在材料选择和设计过程中，根据材料的弹性模量可以选择合适的材料，以满足工程需求。 此外，广义胡克定律还可以用于预测和控制材料在工程应 用中的变形和破坏行为。通过对材料的应力和应变进行分析， 弹塑性力学定理和公式 应力应变关系 弹性模量||广义虎克定律 1.弹性模量 对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括:a弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即b切变模量切应力与相应的切应变之比,即 c体积弹性模量三向平均应力 与体积应变θ(=ε某+εy+εz)之比,即 d泊松比单向正应力引起的横向线应变ε 的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2弹性常数的典型值。 2.广义虎克定律 线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。 A各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的某、y、z分别用r、 θ、z和r、θ、θ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的某、y、z用r、θ、z代替。 B用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律 应力偏量与应变偏量关系式 在直角坐标中，i,j=某,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,θ。 弹性力学基本方程及其解法 弹性力学基本方程||边界条件||按位移求解的弹性力学基本方法||按应力求解的弹性力学基本 方程||平面问题的基本方程||基本方程的解法||二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为 (2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为 (3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为 或 2.边界条件 应力应变关系 弹性模量 |｜广义虎克定律 1。弹性模量 对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括： a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比，即 b 切变模量切应力与相应的切应变之比，即 c 体积弹性模量三向平均应力 与体积应变θ(=εx+εy+εz）之比,即 d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比，即 此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3—2 弹性常数的典型值。 2。广义虎克定律 线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质. A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3—3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。 B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式,即 体积弹性定律 应力偏量与应变偏量关系式 在直角坐标中，i，j=x，y，z;在圆柱坐标中，i,j=r，θ，z，在球坐标中i，j=r，θ，φ。 弹性力学基本方程及其解法 弹性力学基本方程｜| 边界条件｜｜按位移求解的弹性力学基本方法｜｜按应力求解的弹性力学基本方程｜| 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中,需要确定15个未知量,即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定,即 (1）3个平衡方程[式（2-1—22)］，或用脚标形式简写为 （2）6个变形几何方程［式（2—1—29）］，或简写为 (3）6个物性方程［式（3-5）或式（3—6）］,简写为 或 2.边界条件 弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。 a 应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z..面力与该点在物体内的应力分量之间的关系,即力的边界条件为 式中,l nj=cos（n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。 这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力. b 位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为 式中,U＊i为表面上给定的位移分量。 这一类问题是已知体积力和表面各点的位移，求解体内各点的位移、应变和应力。 c 混合问题部分边界上给定力，部分边界上给定位移。 3。按位移求解的弹性力学基本方法 按位移求解时，以3个位移分量为基本未知量,利用几何方程和物性方程，15个基本方程简化为以位移力学基本定律之一胡克定律
弹性力学本构关系
(完整版)广义胡克定律
胡克定律
广义胡克定律
胡克定律
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广义胡克定律及应用
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公式——广义胡克定律
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弹塑性力学定理和公式
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