机械零件的应力应变分析

§3－3机械零件的应力应变分析

一、拉（压）杆应力应变分析

（一）应力分析

前面应用截面法，可以求得任意截面上内力的总和，现在进一步分析横截面上的应力情况，首先研究该截面上的内力分布规律，内力是由于杆受外力后产生变形而引起的，我们首先通过实验观察杆受力后的变形现象，并根据现象做出假设和推论；然后进行理论分析，得出截面上的内力分布规律，最后

确定应力的大小和方向。

现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线和（图3-28）。拉伸变形后，发现

和仍为直线，且仍垂直于轴线，只是分别平行地移动至和。于是，我们可以作出如下假设：

直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。根据这个“平面假设”可知，杆件在它的任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。又因材料是均匀连续的，所以杆件横截面上的内力是均匀分布的，即在横截面上各点处的正应力都相等。若杆的轴力为，横截面积为,,于是得：

???????????????????????? (3－2)

这就是拉杆横截面上正应力的计算公式。当为压力时，它同样可用

于压应力计算。规定拉应力为正，压应力为负。

例3－3? 图3-29（a）为一变截面拉压杆件，其受力情况如图示，试确定其危险截面。

解? 运用截面法求各段内力，作轴力图[图3-29（b）]：

段：????????? 段：

段：???????? 段：

根据内力计算应力，则得：

段：????????? 段：

段：

最大应力所在的截面称为危险截面。由计算可知，段和段为

危险截面。

（二）、拉（压）杆的变形

杆件受轴向拉力时，纵向尺寸要伸长，而横向尺寸将缩小；当受轴

向压力时，则纵向尺寸要缩短，而横向尺寸将增大。

设拉杆原长为，横截面面积为(图3-30)。在轴向拉力P作用下，

长度由变为，杆件在轴线方向的伸长为, 。

实验表明，工程上使用的大多数材料都有一个弹性阶段，在此阶段范围内，轴向拉压杆件的伸长或缩短量，与轴力和杆长成正比，与横截面积成反比。即，引入比例常数则得到：

??????????????????? （3－3）

这就是计算拉伸（或压缩）变形的公式，称为胡克定律。比例常数称为材料的弹性模量，它表征材料抵抗弹性变形的性质，其数值随材料的不同而异。几种常用材料的值已列入表3－1中。从公式（3－3）可以看出，乘积越大，杆件的拉伸（或压缩）变形越小，所以称为杆件的抗拉（压）

刚度。

上式改写为：

其中，而表示杆件单位长度的伸长或缩短，称为线应变(简称应变)，即。是一个无

量纲的量，规定伸长为正，缩短为负。

则（3－3）式可改写为：?????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????? （3-4）式（3-17）表示，在弹性范围内，正应力与线应变成正比。这一关系通常称为单向胡克定律。

杆件在拉伸（或压缩）时，横向也有变形。设拉杆原来的横向尺寸为，变形后为（图3-30），则

横向应变为：

实验指出，当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数。即

称为横向变形系数或泊松比，是一个无量纲的量。和弹性模量E一样，泊松比也是材料固有的弹

性常数。

因为当杆件轴向伸长时，横向缩小；而轴向缩短时，横向增大，所以和符号是相反的。

表3-1 几种常用材料的

和的约值 材料名称 E (GPa )值

μ值

碳?????? 钢

合?? 金? 钢

灰?? 铸? 铁

铜及其合金

铝?? 合? 金

196~216 186~206 78.5~157 72.6~128 70 0.24~0.28 0.25~0.30 0.23~0.27 0.31~0.42 0.33 例3-4?? 图3-31中的螺栓内径=10.1mm ，拧紧后在计算长度=800mm 上产生的总伸长

=0.03mm 。钢的弹性模量

=200GPa 。试计算螺栓内的应力和螺栓的预紧力。

解? 拧紧后螺栓的应变为：

根据胡克定律，可得螺栓内的拉应力为：

(MPa )

螺栓的预紧力为：

?

=6(kN ) 以上问题求解时，也可以先由胡克定律的另一表达式（13－63）即求出预紧力，然后再由预

紧力计算应力σ。

例3-5? 图3-32（a ）为一等截面钢杆，横截面面积=500mm 2，弹性模量=200GPa 。所受轴向外力

如图示，当应力未超过200MPa 时，其变形将在弹性范围内。试求钢杆的总伸长。

解? 应用截面法求得各段横截面上的轴力如下：

段?

=60(kN ) 段? =60-80= -20(kN )

段? =30(kN )

由此可得轴力图[图3-32（b ）]

由式（3－2）可得各段横截面上的正应力为：

段? (MPa )

段? (MPa )

段? (MPa)

由于各段内的正应力都小于200MPa，即未超过弹性限度，所以均可应用胡克定律来计算其变形。全杆总长的改变为各段长度改变之和。由式（13－63）即得：

二、拉伸和压缩时材料的机械性质

在外力作用下不同材料所表现的机械性质不同。所谓材料的机械性质或力学性质主要是指，材料在外力作用下表现出的变形和破坏方面的特性。因此，要解决构件的强度及刚度问题，就必须通过试验来研究材料的机械性质，作为合理选择材料及计算的依据。我们将在常温、静载的条件下，通过对材料进行拉伸及压缩试验，观察材料在开始受力直到破坏这一全过程中所呈现的各种现象，来认识材料的

各项机械性质。

为使试验结果能互相比较，采用标准试件。拉伸试件的形状如图3-33所示，中间为较细的等直部分，两端加粗。在中间等直部分取长为的为一段作为工作段，称为标距。对圆截面试件，标距与横截面直径有两种比例，=10和=5。由国家规定的试验标准（《金属拉力试验法》GB228-76），对试件的形状、加工精度、试验条件等都有具体规定。

1.拉伸时材料的机械性质

1、低碳钢

低碳钢是工程上常用的材料。在拉伸试验中，低碳钢表现出来的机械性质最为典型，故选择其作为拉

伸试验的典型材料。

试件装上试验机后，缓慢加载。试验机的示力盘指出一系列拉力的数值，对应着每一个拉力，同时又可测出试件标距的伸长量。以纵坐标表示拉力，横坐标表示伸长量。根据测得的一系列数据，作图表示和的关系（图3-34），称为拉伸图或-曲线。

-曲线与试件的尺寸有关。为了消除试件尺寸的影响，可把-曲线改为曲线，亦即纵坐

标用应力和横坐标用应变，其中为试验前试件的横截面面积，为试验前的标距。这样画出的曲线（图3-35），称为应力-应变图或曲线。从应力-应变图中，可以得到一系列重要的

机械性质。

根据试验结果，低碳钢的机械性质大致如下：

（1）弹性阶段：在拉伸的初始阶段，的关系为直线，这表示在这一阶段内成正比，此直线段的斜率即材料的弹性模量，即。直线的最高点所对应的应力，用来表示，称为比例极限。当应力不超过比例极限时，材料服从胡克定律。

超过比例极限后，从点到点，间的关系不再是直线。但变形仍是弹性的，即解除拉力后变形

将完全消失。点对应的应力称为弹性极限，用来表示。在曲线上，两点非常接近，所以

工程上对弹性极限和比例极限并不严格区分。

如果超过了弹性极限，则会产生塑性变形。

（2）屈服阶段：当应力超过点增加到某一数值时，应变有非常明显的

增加，而应力先是下降，然后在很小的范围内波动，在曲线上出现接

近水平线的小锯齿形线段。这种现象称为屈服或流动。在屈服阶段内的最

高应力和最低应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。上屈服极限的值受

变形速度及试件形状的影响较大，故常把数值比较稳定的下屈服极限称为

屈服极限或流动极限，用表示。

表面光滑的试件在应力达到屈服极限时，表面将出现与轴线大致成45°倾角的条纹（图3-36）。因为在45°的斜截面上作用着数值最大的剪应力，所以这是材料沿最大剪应力作用面发生滑移的结果，

这些条纹称为滑移线。

当材料屈服时，将引起显著的塑性变形。而零件的塑性变形将影响机器的正常工作，所以屈服极限

是衡量材料强度的重要指标。

（3）强化阶段：过了屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力。这种现象称为材料的强化。在图3-35中，强化阶段中最高点所对应的应力，是试件所能承受的最大

应力，称为强度极限，用表示。在强化阶段中试件横向尺寸明显缩小。

（4）颈缩阶段：过点后，试件局部显著变细，并形成颈缩现象（图3-37

所示）。由于在颈缩部分横截面面积迅速减小，因此使试件继续变形所需

的载荷也相应减小。在图中，用横截面原始面积算出的应力随

之下降，降落到点，试件被拉断。

因为应力到达强度极限后，试件出现颈缩现象，随后即被拉断，所以强度极限是衡量材料强度的另

一重要指标。

（5）塑性指标：试件拉断后，弹性变形消失，而塑性变形依然保留。常用来表示材料的塑性性能的

指标有二：一是延伸率，用表示，即

???????????????????????????????????????????? （3-5）

式中是拉断后的标距长度。

另一塑性指标为截面收缩率，以ψ表示，即

???????????? ???????????????????????????????（3-6）

式中是拉断后断口处横截面面积。

都表示材料直到拉断时其塑性变形所能达到的最大程度。愈大，说明材料的塑性愈好。故

是衡量材料塑性的两个重要指标。

工程上通常按延伸率的大小把材料分成两大类，>5%的材料称为塑性材料，

如碳钢、黄铜、铝合金等；而把<5%的材料称为脆性材料，如灰铸铁、玻璃、

陶瓷等。

（6）卸载定律及冷作硬化：在低碳钢的拉伸试验中，如把试件拉到超过屈

服极限的点（图3-35），然后逐渐卸除拉力，应力和应变关系将沿着斜直

线回到点。这说明材料在载卸中应力和应变按直线规律变化，这就是

卸载定律。拉力完全卸除后，表示消失了的弹性应变，而表示不再

消失的塑性应变。所以在超过弹性极限后的任一点，其应变包括两部分：

卸载后如再重新加载，则应力和应变关系大致上沿卸载时的斜直线变化，直到点后，又沿曲线

变化。可见在再次加载过程中，直到点以前材料的变形是弹性的，过点后才开始出现塑性变形。

比较图3-35中和两条曲线，可见在第二次加载时，其比例极限得到了提高，但塑性变形

和延伸率却有所降低。这种在常温下把材料预拉到塑性变形，然后卸载，当再次加载时，将使材料的比例极限提高而塑性降低的现象，叫作冷作硬化。当某些构件对塑性的要求不高时，可利用它来提高材料的比例极限和屈服极限，例如对起重机的钢丝采用冷拔工艺，对某些型钢采用冷轧工艺均可收到

这种效果。

2、铸铁的拉伸试验

这里以灰铸铁作为脆性材料的典型。通过试验，发现铸铁的断裂是突然发生的。在较小的拉力下就被拉断，没有屈服和颈缩现象，拉断前的应变很小，延伸率也很小，断口平齐。图3-38表示灰铸铁拉伸时的应力一应变图。它的特点是在很小的应力下就不是直线了，一般可以近似地认为σ—ε曲线

在一定范围内仍是直线，并且服从胡克定律。它的强度指标通常用拉伸时的强度极限?来表示。

3、其它塑性材料的拉伸试验

其它金属材料的拉伸试验和低碳钢拉伸试验做法相同。但材料所显示的机械性质有很大差异。为便于比较，这里将不同材料的应力—应变曲线画在一起[图3-39（a）]。图3-39（a）中曲线分别是锰钢、硬铝、退火球墨铸铁和低碳钢的应力—应变曲线。这四种材料的延伸率都比较大，所以它们都是塑性材料。但是前三种材料在拉伸过程中都没有明显的屈服阶段。

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，常用名义极限来说明材料的强度。在图3-39（b）的应力-应变图上，沿横坐标量出塑性应变0.2%的点，自点画与平行的直线，那么点应力即名

义屈服极限。

（二）压缩时材料的机械性质

一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状。为了避免将试件压弯与减少试件端面的摩擦对试验结果的影响，一般取试件的高度为直径的1.5～3倍。图3-40是低碳钢压缩与拉伸时的应力-应变图。试验

表明：这类材料压缩时的屈服极限与拉伸时的接近。在屈服阶段以前，拉伸与压缩时的曲线

是重合的，故基本上可以认为碳钢是拉、压等强度的材料。低碳钢受压缩时，过屈服以后愈压愈扁，横截面面积不断增大，试件抗压能力也继续提高，因而得不到压缩时的强度极限。

脆性材料在压缩时的机械性质与拉伸时有较大区别。图3-41是铸铁压缩时的应力-应变图，整个压缩

时的图形与拉伸时相似，但压缩时的延伸率要比拉伸时的大，压缩时的强度极限约是拉伸时的

3～4倍。一般脆性材料的抗压能力显著高于抗拉能力。

铸铁受压缩时的断口与轴线的夹角约成45°。因为在45°的斜截面上作用着数值最大的剪应力，故

铸铁在轴向压缩下的破坏方式看来接近剪断。

（三）材料的塑性和脆性性能讨论

从拉伸或压缩试验中观察到的现象，我们可以比较一下低碳钢和铸铁的机械性质，并从中总结出塑性

材料和脆性材料的某些适用场合。

1.低碳钢受力后，在产生很大的塑性变形时才断裂，而铸铁在很小的变形下就会破坏。因此，低

碳钢抗冲击载荷的能力较铸铁优越得多。此外，在装配时需要矫正形状的零件，采用低碳钢为

宜。

第二，低碳钢的抗拉能力强，适用于受拉的场合；而铸铁则压缩强度远比拉伸强度高，且价格便宜，耐磨，易浇铸成型等，因此它适用于作受压构件，例如机床床身、机身底座和电动机外壳等。

第三，低碳钢由于有屈服阶段存在，故承受静载荷时对应力集中不敏感，起到缓和作用。

构件受简单拉伸（或压缩）时，当截面上无突然变化，且远离施力点的地方，其截面上的应力是均匀分布的。但如果在构件上有小孔、螺纹以及键槽等存在时，在这些截面突变的地方附近，应力局部增大，而离开这个区域稍远，应力急剧下降而趋于平缓，这种现象叫应力集中（图3-42）

应力集中对于塑性材料影响不大，这是因为当最大应力达到屈服极限时，此处的最大应力将停止

上升，而变形则继续增加。这样，截面上其它处小于屈服极限的应力，将因变形继续增加而不断提高，使整个截面上的应力趋于均匀，直至同样达到屈服极限为止。因此，对应力集中就起了缓和作用。（图

3-43）

脆性材料没有屈服阶段，因此对于组织均匀的脆性材料来说，当最大应力到达强度极限时，构件

就会在应力集中处逐渐裂开直至拉断。对于组织不均匀的脆性材料，由于其内部常有无数细小裂缝存在，本来就有应力集中现象，因而掩盖了由外形所产生的应力集中的影响。当承受动载荷时，塑性材料和脆性材料对应力集中都会敏感，这是设计时必须考虑的。

这里必须指出，强度和塑性这两种性质都是相对的，都会随外在的条件（如温度、变形、速度和载荷

作用方式等因素）变化而转化。

三、许用应力及安全系数

通过对材料机械性质试验研究，我们认识了各种材料抵抗变形和破坏的能力。在这一基础上，现在讨论轴向拉（压）时杆件的强度问题。我们把材料破坏时的应力称为危险应力或极限应力，以表示。对于塑性材料，当应力达到屈服极限(或)时，零件将发生明显的塑性变形，影响其正常工作。一般认为这时材料已经破坏。因而把屈服极限(或)作为塑性材料的极限应力。对于脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形。断裂是脆性材料破坏的唯一标志。因而断裂时的强度极限就是脆性

材料的极限应力。

为了保证构件有足够的强度，构件在载荷作用下的工作应力显然应低于极限应力。在实际计算中，由于考虑到各种因素的影响，需要有一定的强度储备，故对极限应力折减一个适当的倍数，由此可

得：

≤

称为安全系数，显然>1。可用符号表示，称为材料的许用应力。

对塑性材料，其许用应力为：

??????????????????????????????????????????? （3-7）

对脆性材料，其许用应力为：

??????????????????????????????????????????? （3-8）表13－63给出几种常用材料在静载，常温条件下的许用应力值。

表3-2 常用材料的许用应力值

材料名称牌号

许用应力（MPa）

[σl] [σy]

普通钢A2 137～152 137～152

普通碳钢A3 152～167 152～167

优质碳钢45 216～238 216～238

低碳合金钢16Mn211～238 211～238

灰铸铁28～78 118～147

铜29～118 29～118

铝29～78 29～78

松木（顺纹） 6.9～9.8 8.6～12

混凝土0.098～0.69 0.98～8.8

注：（1）[σl]为许用拉应力，[σy]为许用压应力。

（2）材料质量较好，尺寸较小时取上限反之取下限。

采用安全系数的原因，主要是由于以下两个方面：

一是强度计算中，有些数据与实际有差异。这种差异，主要是指材料组织不是理想均匀的，载荷估计

不十分准确以及应力计算的近似性。

二是给构件一定的强度储备。

即使载荷的估计，应力的计算等方面都比较准确，在强度方面也还是要留有一定的储备。这种强度储备要考虑到构件的工作条件及构件的重要性等。如构件在腐蚀条件下工作时，或构件的破坏要引起严重的后果时，均应给予较多的强度储备。所以安全系数的选择必须考虑构件的具体工作条件。

一般在静载荷下，对塑性材料取n=1.2～2.5,对脆性材料取n=2～3.5

塑性材料的抗拉与抗压是等强度的，所以拉伸与压缩的许用应力是相同的。对脆性材料，由于抗拉强度和抗压强度是不同的，<，所以许用应力小于许用应力。

合理的选择安全系数是一个比较复杂的问题，安全系数偏大会造成材料的浪

费，偏小又可能造成破坏事故，所以安全系数的确定是关系到安全与经济的大

问题。

四、圆轴扭转时的应力与变形

（一）应力计算

1、横截面上剪应力计算公式

式3-9即为圆轴扭矩时横截面上任一点剪应力的计算公式只与横截面的尺

寸有关，称为横截面对点的极惯性矩，其量纲为[长度]4。故（e）式可写成：

?????????????????????????????????????? (3-9)

。

由式（3-9）看出，当等于横截面半径时，剪应力最大，其值为：

?????????????? ???????????????????????(3-10)

令

???????????????????? ????????????????????(3-11)

于是横截面上最大剪应力为

????????????????????????????????? ?????(3-12)

式中称为抗扭截面模量，它也只与截面尺寸有关，其量纲为[长度]3。

公式（3-21）、（3-9）和（3-12）是以平面假设为基础导出的。试验结果表明，只有对横截面不变的圆轴，平面假设才是正确的。因此，这些公式只适用于圆轴（包括实心轴和空心轴）的扭转问题。

此外，导出公式时还应用了胡克定律，所以只适用于不超出材料的剪切比例极限的情况。

2、的计算

实心圆轴如图3-44所示，以（c）式代入（f）式得：

??? (3-13)

式中为圆截面的直径。

?????????? (3-14)

空心圆轴如图3-45所示，因为横截面上的空心部分没有内力，所以（f）式中的定积分也不应包括空

心部分，于是（f）式应为：

?????????????（3-15）

?????????????????????????? （3-16）

式中，分别为空心圆截面的外径和内径，为外半径。

（二）圆轴扭转时的变形

扭转变形的标志是两个横截面绕轴线的相对转角，即扭转角。由公式（3-21）得：

???????????????????????????????????????????????????? （a）表示相距为的两横截面间的扭转角。因此长为的两个横截面之间的相对转角为：

?????????????????????????????????????????????? （b）

当杆只在两端受一对外力偶作用时，则所有横截面上的均相等；又对于同一种材料制成的等直圆

杆为常量；于是将上式积分后得：

???????????????????????????????????????????????????? （3-17）

式中为圆轴的抗扭刚度，称为长为的等直圆轴的扭转角。

若在需求相对扭转角的两截面间，值发生改变，或者轴为阶梯轴，并非常量，则应分段计算各

段的扭转角，然后相加，即

????????????????????????????????????????????????? （3-18）

注意，上述扭转变形的计算公式是建立于剪切胡克定律基础上的，故公式（3-17）、（3-18）只有在

材料处于弹性范围内才是正确的。

五、弯曲时的正应力

梁的变形时，横截面的轮廓线在梁弯曲后仍然保持在一平面内，这就启示我们提出以下假设：梁的所

有横截面在变形过程中要发生转动，但仍保持为平面，并且和变形后的梁轴线垂直。这一假设称为平面假设。又因为梁下部的纵向纤维伸长而宽度减小，上部纵向纤维缩短而宽度增加。因此又假设：所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉伸或压缩。（即纵向纤维之间无挤压）。以上假设之所以成立，是因为以此为基础所得到的应力和变形公式为实验所证实。这样，平面假设就反映出梁弯曲变形的本

质了。

根据平面假设，把梁看成由无数纵向纤维所组成，包括o—o在内且与底面平行的一层纵向纤维，既不伸长也不缩短，我们把它叫中性层，中性层和横截面的交线，叫做中性轴，以z表示。这样，弯曲变形的特点可归结为：各横截面绕中性轴转动，中性层以下纤维伸长，以上纤维缩短[图3-46（a）]。横截面上的任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴等远的同一横线上的各点处的正应力相等(图3-47)。距离中性轴为y处的正应力由式计算，式中M为截面的弯矩，y为欲求应力点至中性轴的距离，Iz为截面对中性轴的惯性矩。

??????? ???????????????????????（3-14）

当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力；上部纤维缩短而产生压应力。弯矩为负时，则与上相反。一般用式(3-14)计算正应力时，M与y均代以绝对值，而正应力的拉、压由观察判断。