离散数学本科期末复习提要

《离散数学》本科期末复习提要

四川电大孙继荣

2004年5月

《离散数学》使用的教材为中央电大出版的《离散数学》（刘叙华等编）和《离散数学学习指导书》（虞恩蔚等编）。

离散数学主要研究离散量结构及相互关系，使学生得到良好的数学训练，提高学生抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。其先修课程为：高等数学、线性代数；后续课程为：数据结构、数据库、操作系统、计算机网络等。

课程的主要内容

1、集合论部分（集合的基本概念和运算、关系及其性质）；

2、数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；

3、图论部分（图的基本概念、树及其性质）。

4、布尔代数

学习建议

离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学（集合论、数理逻辑和图论）有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。

教学要求的层次

各章教学要求的层次为了解、理解和掌握。了解即能正确判别有关概念和方法；理解是能正确表达有关概念和方法的含义；掌握是在理解的基础上加以灵活应用。

一、各章复习要求与重点

第一章集合

[复习知识点]

1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集

2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、De Morgan 律等），文氏（Venn）图

3、序偶与迪卡尔积

本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明

[复习要求]

1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。

2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。

3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。

4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。

[本章重点习题]

P5~6，4、6；P14~15，3、6、7；P20，5、7。

[疑难解析]

1、集合的概念

因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n。

2、集合恒等式的证明

通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三

章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~?=-证明中的特殊作用。 [例题分析]

例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。 解 }}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A

}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B

于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ 例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ，试求：

(1){}b a A ,-； (2)Φ-A ； (3){}Φ-A ； (4){}{}A b a -,； (5)A -Φ； (6){}A -Φ。

解 (1){}{}{}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~???=??? 证明

()()()()()()

()()()()()()

()()()()()()

B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~???=Φ?????Φ=???????=?????=???

第二章 二元关系

[复习知识点]

1、关系、关系矩阵与关系图

2、复合关系与逆关系

3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）

4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）

5、等价关系与等价类

6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界

7、函数及其性质（单射、满射、双射）

8、复合函数与反函数

本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]

1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。

2、掌握求复合关系与逆关系的方法。

3、理解关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。

4、掌握求关系的闭包 （自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。

5、理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。

6、理解函数概念：函数、函数相等、复合函数和反函数。

7、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。 [本章重点习题]

P25，1；P32~33，4，8，10； P43，2，3，5； P51~52，5，6； P59，1，2； P64，3； P74~75，2，4，6，7； P81，5，7； P86，1，2。 [疑难解析]

1、关系的概念

关系的概念是第二章全章的基础，又是第一章集合概念的应用。因此，学生应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。 2、关系的性质及其判定

关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质的判定，可以依据教材中P49上总结的规律。这其中对传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若()()()R a a R a a R a a i i ∈∈∈-,,,,,,13221ΛΛ，

则()R a a i ∈,1。如若()()R a b R b a ∈∈,,

,，则有()R a a ∈,，且()R b b ∈,。

３、关系的闭包

在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。关键是熟记三个定理的结论：定理2， ()A I R R r ?=；定理3， ()1

-?=R R R s ；定理4，推论 ()Y n

i i

R

R t 1

==

。

４、半序关系及半序集中特殊元素的确定

理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界可在子集之外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。

５、映射的概念与映射种类的判定

映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。判定的方法除定义外，可借助于关系图，而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对各种初等函数。

[例题分析]

例1 设集合{}d c b a A ,,,=，判定下列关系，哪些是自反的，对称的，反对称的和传递的：

()(){}()()(){}(){}()()(){}

()(){}

d b c a R c c b b a a R d c R a d c b a a R a b a a R ,,,,,,,,,,,,,,,,,,54321=====解：均不是自反的；R 4是对称的；R 1 ,R 2 ,R 3 , R 4 ,R 5是反对称的；R 1 ,R 2 ,R 3 , R 4 ,R 5是传递的。

例2 设集合{

}5,4,3,2,1=A ，A 上的二元关系R 为 ()()()()()()()(){}5,5,4,5,3,5,4,4,4,3,3,3,2,2,1,1=R （１）写出R 的关系矩阵，画出R 的关系图；

（２）证明R 是A 上的半序关系，画出其哈斯图；

（３）若A B ?，且{}5,4,3,2=B ，求B 的最大元，最小元，极大元，极小元，最小上界和最大下界。

解 （1）R 的关系矩阵为

???

??

?

?

?

??=111000100001100

00010

00001R M R 的关系图略

（2）因为R 是自反的，反对称的和传递的，所以R 是A 上的半序关系。(A,R)为半序集，

(A,R)的哈斯图如下

(3) 当{}5,4,3,2=B ，B 的极大元为2，4；极小元为2，5；B 无最大元与最小元；B 也无上界与下界，更无最小上界与最大下界。

第三章 命题逻辑

[复习知识点]

１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题 ２、命题公式与解释，真值表，公式分类（恒真、恒假、可满足），公式的等价 ３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式 ４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法） ５、公式的蕴涵与逻辑结果 ６、形式演绎

本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、形式演绎 [复习要求]

１、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。

２、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，

。4 。1

。3 。2

。5

公式在解释下的真值。

３、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。

４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。

５、理解公式蕴涵与逻辑结果的概念，掌握基本蕴涵式。 6、掌握形式演绎的证明方法。 [本章重点习题]

P93，1； P98，2，3； P104，2，3； P107，1，3； P112，5； P115，1，2，3。 [疑难解析]

1、公式恒真性的判定

判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1（或全为0），就可以判定该公式是否恒真（或恒假），若不全为0，则为可满足的。二是推导法，即利用基本等价式推导出结果为1，或者利用恒真（恒假）判定定理：公式G 是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。

这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项，一定要与求主析取范式相区别，对于合取范式也同样。

2、范式

求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律，结果的前一步适当使用等幂律，使相同的短语（或子句）只保留一个。

另外，由已经得到的主析取（合取）范式，根据()G G G G =??=?∨,

1原理，参

阅《离散数学学习指导书》P71例15，可以求得主合取（析取）范式。

3、形式演绎法

掌握形式演绎进行逻辑推理时，一是要理解并掌握14个基本蕴涵式，二是会使用三个规则：规则P 、规则Q 和规则D ，需要进行一定的练习。 [例题分析]

例1 求()()P R Q P G →?∨∧=的主析取范式与主合取范式。 解 （1）求主析取范式，

因此

()()()()()()

R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P G ∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧∧?∨∧?∧?= 方法2：推导法

()()()()()()()()()()()()()()

()()()

()()()()()()()()()()()()()()

R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R R Q Q P P P R Q Q Q R P P R Q R P P R Q P P R Q P P R R Q P G ?∧?∧∨?∧∧∨∧∧∨∧?∧∨∧?∧?∨∧∧?=?∧?∧∨∧?∧∨?∧∧∨∧∧∨∧?∧?∨∧?∧∨∧?∧?∨∧∧?=?∨∧?∨∧∨?∨∧∧?∨∨?∧∧?=∨∧?∨∧?=∨∧?∨?=∨?∨∧?=→?∨∧=

（2）求主合取范式

方法1：利用上面的真值表

()()P R Q P →?∨∧为0的有两行，它们对应的极大项分别为R Q P R Q P ∨?∨∨∨,

因此，()()()()R Q P R Q P P R Q P ∨?∨∧∨∨=→?∨∧ 方法2：利用已求出的主析取范式求主合取范式

已用去6个极小项，尚有2个极小项，即 R Q P ?∧?∧?与R Q P ?∧∧? 于是

()()

()()()()()()

R Q P R Q P R Q P R Q P G G R Q P R Q P G ∨?∨∧∨∨=?∧∧?∨?∧?∧??=??=?∧∧?∨?∧?∧?=?

例2 试证明公式()()()()R P R Q Q P G →→→∧→=为恒真公式。 证法一： 见〈离散数学学习指导书〉P60例6（4）的解答。（真值表法） 证法二 ： G=?（（?P ∨Q ）∧（?Q ∨R ））∨（?P ∨R ） =（P ∧?Q ）∨（Q ∧?R ）∨?P ∨R =（（（P ∨Q ）∧（P ∨?R ）∧（?Q ∨Q ）∧（?Q ∨?R ））∨?P ）∨R =（（P ∨Q ∨?P ）∧（P ∨?R ∨?P ）∧（?Q ∨?R ∨?P ））∨R =（1∧（?Q ∨?R ∨?P ））∨R =?Q ∨?R ∨?P ∨R =1

故G 为恒真公式。

例3 利用形式演绎法证明 { P →（Q →R ），?S ∨P ，Q}蕴涵S →R 。 证明：

（1）?S ∨P 规则P （2）S 规则D

（3）P 规则Q ，根据（1），（2） （4）P →（Q →R ） 规则P

（5）Q →R 规则Q ，根据（3），（4） （6）Q 规则P

（7）R 规则 Q ，根据（5），（6） （8）S →R 规则D ，根据（2），（7）

第四章 谓词逻辑

[复习知识点]

1、谓词、量词、个体词、个体域、变元（约束变元与自由变元）

2、谓词公式与解释，谓词公式的类型（恒真、恒假、可满足）

3、谓词公式的等价和蕴涵

4、前束范式

本章重点内容：谓词与量词、公式与解释、前束范式 [复习要求]

1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；了解命题符号化。

2、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。

3、理解用解释的方法证明等价式和蕴涵式。

4、掌握求公式前束范式的方法。 [本章重点习题]

P120，1，2； P125~126，1，3； P137，1。 [疑难解析]

1、谓词与量词

反复理解谓词与量词引入的意义，概念的含义及在谓词与量词作用下变量的自由性、约束性与改名规则。

2、公式与解释

能将一阶逻辑公式表达式中的量词消除，写成与之等价的公式，然后将解释I 中的数值代入公式，求出真值。

3、前束范式

在充分理解掌握前束范式概念的基础上，利用改名规则、基本等价式与蕴涵式（一阶逻辑中），将给定公式中量词提到母式之前称为首标。 [典型例题]

例1 设I 是如下一个解释：{}3,2=D

F(2) F(3) P(2) P(3) Q(2,2) Q(2,3) Q(3,2) Q(3,3) 3 2 0 1 1 1 0 1 求()()()()y ,x F Q x P y x ∧??的真值。 解

()()()()()()()()()()()()()

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1

10111110003,3F Q 3P 2,3F Q 3P 3,2F Q 2P 2,2F Q 2P 3,x F Q x P 2,x F Q x P x y ,x F Q x P y x =∨=∧∧∧∨∧∧∧=∧∧∧∨∧∧∧=∧∧∧?=∧??

例2 试将一阶逻辑公式化成前束范式。 解

()()()()()()()()()()()()()()()()()()

x R z Q y x P z y x x R z Q z y x yP x x R y Q y y x yP x x R y yQ y x yP x G ∨?∨???=∨??∨??=∨??∨??=∨??∨??=,,,,

第五章 群与环 第六章 格和布尔代数

复习要求 1. 了解代数运算、代数系统和子代数系统等概念。掌握二元运算的性质：结合律、交换律、分配律、幂等律、吸收律。掌握求集合上代数运算的单位元(幺元)、0元和逆元的方法。

代数运算的性质：

?x ,y ∈A ，有x y =x y z ，运算 在A 上适合交换律。

?x ,y ,z ∈A ，有(x y ) z ＝x (y z )，运算 在A 上适合结合律。

?x ,y ,z ∈A ，有x *(y z )=(x *y ) (x *z ) 或(y z )*x =(y *x ) (z *x )，运算* 对 可分配，适合分配律。

?x ∈A ，有x x =x ，则运算 在A 上适合幂等律。

?x ,y ∈A , 有x *(x y )=x , x (x *y )=x ， 和 * 满足吸收律。

e l , (或e r )∈A ，对?x ∈A , 有e l x =x (x e r =x ), e l (或e r )是A 的运算 的左单位元(或右单位元)。若e 既是右单位元又是左单位元，就称其为单位元。

存在θθθθ=*=*∈?∈x x A x A 有,,，θ就是*的0元。一侧成立叫右0元或左0元。

对x ∈A ，若x -1∈A , 有x -1 x =x x -1=e ，x -1是x 的逆元。 在非空集合A 上，定义了若干代数运算f 1,f 2,…,f m , (A , f 1,f 2,…,f m )称为代数系统。若B ?A ，f 1,f 2,…,f m 在B 上成立，(B , f 1,f 2,…,f m )称为子代数系统。

2. 了解半群、群和子群等概念。掌握群的基本运算律及群的判别方法

代数系统

子群群半群）（存在逆元、单位元具有结合律),(,οοοοH G G

H ??→??????→?????→?? 3. 了解循环群、交换群和置换群的概念，掌握其判别方法。

4.了解群的同态与同构等概念，知道它们的主要性质。

5. 知道环的概念。

6. 了解格的概念。 设(L ，≤)是一个偏序集，如果对于?a ,b ∈L ，L 的子集{a ,b }在L 中都有一个最大下界(记为inf{a ,b })和一个最小上界(记为sup{a ,b }),则称(L ，≤)是一个偏序格。

子集在L 中有上确界和下确界的偏序集，就是格。 在L 定义二元运算*，o 满足：对?a ,b ,c ∈L,有 (1) 交换律 a *b =b *a ，a o b =b o a

(2) 结合律 (a *b )*c =a *(b *c ) , (a o b )o c =a o (b o c ) (3) 吸收律 a *(a o b )=a ， a o (a *b )=a 则称(L ,*,o )是代数格. 用代数的语言，格就是在非空集合上定义了两个满足结合律、交换律和吸收律的运算。 7. 知道有界格、有余格、分配格的概念。 8. 了解布尔代数概念，掌握其性质和运算。

设B 是一个至少含有两个元素的集合，?，＋是定义在B 上的两种运算，如果对?a ,b ,c ∈B ，满足下列公理：

H 1：a ?b =b ?a a +b =b +a

H 2：a ?(b +c )=a ?b +a ?c a +(b ?c )=(a +b )?(a +c )

H 3：B 中有元素0和1，对?a ∈B ,有 a ?1 = a a +0 = a H 4：对?a ∈B ,有?a ∈B ，满足 a ??a =0 a +?a =1 则(B ，?，＋，?? ，0，1)是一个布尔代数

记住布尔代数运算的10条算律。

【本部分重点】代数运算及性质，群的概念，格和布尔代数的概念，布尔代数的运算及其性质 例题：

例1 试判断(Z ,≤)是否为格？其中≤是数的小于或等于关系. 解 显然(Z ,≤)是一个偏序集. 又Z y x ∈?,，x , y 的最小上界为),max(y x , x , y 的最大下界为),min(y x ，皆为整数，仍然属于Z. 故对Z 的任意子集，在Z 中都有上确界和下确界. 即(Z ,≤)是格.

例2 设(,,,∧∨B )是布尔代数，1,0,,2≠≠∈?≥a a B a B ，证明(,,,∧∨T )是B 的子布尔代数，而且是布尔代数，其中}1,,,0{a a T =. 证明 对于集合T 中的元素作运算见表8－3.

表8－3 T 的元素运算表

由B 是布尔代数可知，从表8－3得到T 对运算∨，∧，? 是封闭的，所以(,,,∧∨T )是子布尔代数. 由定理11知(,,,∧∨T )也是布尔代数.

例3单项选择题

1. 下列图(如图8－1)表示的偏序集中，是格的为( )

图8－1

答案：(C) 解答：所给(A),(B),(D)的偏序集，都有两个极大元，不存在上确界，都不是格，只有(C) 的偏序集有上确界和下确界，是格. 故选择(C)正确. 2. 设)1,0,,,,(+?B 是布尔代数，b a B b a ≤∈?,,，则下式不成立的是( )

1)D ()C (1)B (0

)A (=+=+=+=b a a b a b a b a

答案：(D)

解答：因为B 是偏序集， ；否则，不成立则若那么1,,,=+?=<≤b a b a a b b a . 故

选择(D)正确. 3. 布尔代数式)(c b c ab ab +++=( )

c b c b c b b

a ++++)D ()C ()B ()A (

答案：(B)

解答：b c b a c ab c b c ab ab +=+++=+++)1()1()(.

故选择(B)正确. 例4填空题

1. 非空集合L ，其上定义二元运算 和?，如果 是交换群，(L ,?)是 ，而且 满足分配律，则L 对二元运算 和?构成环. 答案：(L , )；半群；二元运算?对运算 解答：见环的定义.

2. 设L 是一个集合，?和 是L 上两个二元运算，如果这两个二元运算满足 律， 律和 律，则(L ,?, )是格. 答案：交换律；结合律；吸收律 解答：见代数格的定义.

3. 在布尔代数中，有b a b a a ∨=∧∨)(成立. 则该式的对偶式 也

一定成立. 答案：b a b a a ∧=∨∧)(

解答：见对偶原理，知b a b a a ∧=∨∧)(是原式的对偶式，也是成立的.

第七章图论

[复习知识点]

1、图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构

2、关联矩阵、相邻矩阵

3、权图、路、最短路径，迪克斯特拉算法（Dijkstra）

4、树、支撑树、二叉树

5、权图中的最小树，克鲁斯卡尔算法（Kruskal）

6、有向图、有向树

本章重点内容：权图的最短路、二叉树的遍历、权图中的最优支撑树

[复习要求]

1、理解图的有关概念：图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构。

2、掌握图的矩阵表示（关联矩阵、相邻矩阵）。

3、理解权图、路的概念，掌握用Dijkstra算法求权图中最短路的方法。

4、理解树、二叉树与支撑树的有关概念；掌握二叉树的三种遍历方法，用Kruskal算法求权图中最小树的方法。

5、理解有向图与有向树的概念。

[本章重点习题]

P221，2；P225，1；P231，2，3；P239，5；P242，1，2。

[疑难解析]

1.本章的概念较多，学习时需要认真比较各概念的含义，如：图、子图、有向图、权图；树、支撑树、二叉树、有向树；路、简单路、回路等，这些都是图的基本概念，今后将在数据结构、数据库、计算机网络等课程中用到。

2、权图中的最短路

严格执行迪克斯特拉（Dijkstra）算法步骤，从起点起，到每一点求出最短路，然后进行仔细比较，最后到达终点，算出最小权和。

3、权图中的最优支撑树

权图中的最优支撑树是图中所带权和最小的支撑树，使用克鲁斯卡尔（Kruskal）算法。[典型例题]

例1在具有n个顶点的完全图K n中删去多少条边才能得到树？

解：n个顶点的完全图K n中共有n?（n-1）/2条边，

n个顶点的树应有n-1条边，

于是，删去的边有：n?（n-1）/2-（n-1）=（n-1）?（n-2）/2

例2求下面有限图中点u到各点间的最短路。（图上数字见教材P231，第3题。）

解u→u1 ，d(u, u1)=1, 路(u, u1)

u→ u2 , d(u, u2)=9, 路(u, u4, u3, u7, u2)

u→ u3 , d(u, u3)=5, 路(u, u4, u3 ,)

u→ u4 , d(u, u4)=3, 路(u, u4 )

u→ u5 , d(u, u5)=11, 路(u, u1, u5)或路(u, u4, u3 , u7 , u2 , u5)

u→ u6 , d(u, u6)=13, 路(u, u1, u5, u6)

u→ u7 , d(u, u7)=8, 路(u, u4 , u3 , u7)

u→ u8 , d(u, u8)=11, 路(u, u4, u8)

u→v, d(u, v)=15, 路(u, u1, u5 , u6 ,v) 或路(u, u4 , u3 , u7 , u6 ,v)

二、考核说明

本课程的考核实行形成性考核和终结性考核的形式。形成性考核占总成绩的20%，以课程作业的形式进行（共三次，由中央电大统一布置）；终结性考核即期末考试，占总成绩的80%。总成绩为100分，60分及格。

期末考试实行统一闭卷考核，试卷满分为100。由四川电大统一命题，统一评分标准，统一考试时间（考试时间为120分钟）。

1、试题类型

试题类型有填空题（分数约占15%）、单项选择题（分数约占10%）、计算题（分数约占55%）和证明题（分数约占20%）。

填空题和单项选择题主要涉及基本概念、基本理论，重要性质和结论、公式及其简单计算。计算题主要考核学生的基本运算技能，要求书写计算、推论过程或理由。证明题主要考查应用概念、性质、定理及主要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。

2、考核试卷题量分配

试卷题量在各部分的分配是：集合论约占30%，数理逻辑约占30%，图论约占20%，布尔代数约占20％。

具体课程考核情况见课程考核说明。

附录：试题类型及规范解答举例

[填空题]

1.设R 是集合A上的二元关系，如果关系R同时具有性、对称性和性，

则称R是等价关系。

2.命题公式G=（P∧Q）→R，则G共有个不同的解释；把G在其所有解释

下所取真值列成一个表，称为G的；解释（?P，Q，?R）或（0，1，0）使G的真值为。

3.设G=（P，L）是图，如果G是连通的，并且，则G是树。如果根树T

的每个点v最多有两棵子树，则称T为。

[单项选择题]（选择一个正确答案的代号，填入括号中）

1.由集合运算定义，下列各式正确的有（）。

A．X?X?Y B.X?X?Y C.X?X?Y D.Y?X?Y

2.设R1，R2是集合A={a，b，c，d}上的两个关系，其中R1={（a，a），（b，b），（b，c），

（d，d）}，R2={（a，a），（b，b），（b，c），（c，b），（d，d）}，则R2是R1的（）闭包。

A．自反B．对称C．传递D．以上都不是

3.设G是由5个顶点组成的完全图，则从G中删去（）条边可以得到树。

A．4 B．5 C．6 D．10

[计算题]

1.化简下式：

（A-B-C）?（（A-B）?C）?（A?B-C）?（A?B?C）

2.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值。

（1）（P ∧Q ）∨（?P ∧Q ∧R ）； （2）（P ∨（Q ∧R ））∧（Q ∨（?P ∧R ））；

3. 求图中A 到其余各顶点的最短路径，并写出它们的权。

[证明题]

1. 利用基本等价式证明下面命题公式为恒真公式。

（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）

2. 用形式演绎法证明：{P →Q ， R →S ，P ∨R }蕴涵Q ∨S 。 试题答案及评分标准

[填空题]

1、自反；传递

2、8；真值表；1

3、无回路；二叉树

[单项选择题]（选择一个正确答案的代号，填入括号中） 1、 A 2、 B 3、C [计算题] 1. 解：

（A -B -C ）?（（A -B ）?C ）?（A ?B -C ）?（A ?B ?C ）

=（A ?~B ?~C ）?（A ?~B ?C ）?（A ?B ?~C ）?（A ?B ?C ） =（（A ?~B ）?（~C ?C ））?（（A ?B ）?（~C ?C ）） =（（A ?~B ）?E ）?（（A ?B ）?E ） E 为全集 =（A ?~B ）?（A ?B ） = A ?（~B ?B ） = A ?E = A 2. 解：

（P ∧Q ）∨（?P ∧Q ∧R ）

?（P ∧Q ∧（?R ∨R ））∨（?P ∧Q ∧R ）

?（P ∧Q ∧?R ）∨（P ∧Q ∧R ）∨（?P ∧Q ∧R ）

? m 6∨m 7∨m 3 ? m 3∨m 6∨m 7 （P ∨（Q ∧R ））∧（Q ∨（?P ∧R ））

?（P ∧Q ） ∨（Q ∧R ）∨（P ∧?P ∧R ）∨（?P ∧ Q ∧R ） （分配律） ?（P ∧Q ∧（?R ∨R ）） ∨（（?P ∨P ）∧Q ∧R ）∨（?P ∧ Q ∧R ）

?（P ∧Q ∧?R ） ∨（P ∧Q ∧R ） ∨（?P ∧Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧R ）∨（?P ∧ Q ∧R ） ? m 6∨m 7∨m 3∨m 7∨m 3 ? m 3∨m 6∨m 7

B 7 C

A D

由此可见 （P ∧Q ）∨（?P ∧Q ∧R ）? （P ∨（Q ∧R ））∧（Q ∨（?P ∧R ）） 3. 解：

A 到

B 的最短路径为AB ，权为1； A 到E 的最短路径为ABE ，权为3； A 到F 的最短路径为ABEF ，权为4； A 到

C 的最短路径为ABEFC ，权为7； A 到

D 的最短路径为ABEFCD ，权为9。 [证明题] 1. 证明： （（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ） ?（（?P ∨Q ）∧（?Q ∨R ））→（?P ∨R ） ??（（?P ∨Q ）∧（?Q ∨R ））∨（?P ∨R ）

?（P ∧?Q ）∨（Q ∧?R ）∨?P ∨R ?（（P ∧?Q ）∨?P ）∨（（Q ∧?R ）∨R ） ?（1∧（?Q ∨?P ））∨（（Q ∨R ）∧1）

? ?Q ∨?P ∨Q ∨R ? （?Q ∨Q ） ∨?P ∨R

? 1 ∨?P ∨R

? 1 2. 证明：

（1） P ∨R 规则P （2） ?R →P 规则Q ，根据（1） （3） P →Q 规则P （4） ?R →Q 规则Q ，根据（2）（3） （5） ?Q →R 规则Q ，根据（4） （6） R →S 规则P （7） ?Q →S 规则Q ，根据（5）（6） （8） Q ∨S 规则Q ，根据（7）

三、 综合练习及解答

（一）填空题

1、集合的表示方法有两种： 法和 法。请把“大于3

而小于或等于7的整数集合”用任一种集合的表示方法表示出来A={ }。

2、 A ，B 是两个集合，A={1，2，3，4}，B={2，3，5}，则B-A= ，ρ（B ）

-ρ（A ）= ，ρ（B ）的元素个数为 。 3、 设}2,1{},

,{==B b a A ，则从A 到B 的所有映射是

。 4、 设命题公式)(R Q P G →?→=，则使公式G 为假的解释是 、 和 。

5、设G 是完全二叉树，G 有15个点，其中8个叶结点，则G 的总度数为 ，分枝点数为 。

6、全集E={1，2，3，4，5}，A={1，5}，B={1，2，3，4}，C={2，5}， 求A ?~B=

，ρ（A ）?ρ（C ）= ，

~C= 。

7、设A 和B 是任意两个集合，若序偶的第一个元素是A 的一个元素，第二个元素是B 的一个元素，则所有这样的序偶集合称为集合A 和B 的 ，

记作A ?B ，即A ?B= 。A ?B 的子集R 称为A ，B 上的 。

8、将几个命题联结起来，形成一个复合命题的逻辑联结词主要有否定、 、 、 和等值。

9、表达式?x ?yL （x ，y ）中谓词的定义域是{a ，b ，c}，将其中的量词消除，写成与之等价的命题公式为 。 10、一个无向图表示为G=（P ，L ），其中P 是 的集合，L 是 的集合，并且要求 。

（二）单项选择题（选择一个正确答案的代号，填入括号中） 1. 设命题公式))(()(P R Q P P G ∨∧→?∨=，则G 是（ ）。

A.恒真的

B.恒假的

C.可满足的

D.析取范式

2、设集合},,{c b a A =，A 上的关系)},(),,(),,{(c b b a a a R =，则2

R =（ ）。

)}.

,(),,(),,{()()};,(),,(),,{()()};

,(),,(),,{()()};

,(),,(),,{()(c c b a a a D b b c a b a C c b c a b a B c a b a a a A

3、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。

A ．析取范式

B ．合取范式

C ．主析取范式

D ．以上答案都不对 4、设命题公式G=?（P →Q ），H=P →（Q →?P ），则G 与H 的关系是（ ）。

A ．G ?H

B ．H ?G

C ．G=H

D ．以上都不是

5、已知图G 的相邻矩阵为???

??

?

?

?

??011111010111000

10001

11010，则G 有（ ）

。 A.5点，8边 B. 6点，7边 C. 5点，7边 D. 6点，8边

6、下列命题正确的是（ ）。

A ．φ?{φ}=φ

B ．φ?{φ}=φ

C ．{a}∈{a ，b ，c}

D ．φ∈{a ，b ，c} 7、设集合A={a ，b ，c}，A 上的关系R={（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，

b ），（

c ，c ）}，则R 具有关系的（ ）性质。

A ．自反

B ．对称

C ．传递

D ．反对称 8、设R 为实数集，映射σ=R →R ，σ（x ）= -x 2+2x-1，则σ是（ ）。

A ．单射而非满射

B ．满射而非单射

C ．双射

D ．既不是单射，也不是满射 9、下列语句中，（ ）是命题。

A ．下午有会吗？

B ．这朵花多好看呀！

C ．2是常数。

D ．请把门关上。

10、下面给出的一阶逻辑等价式中，（ ）是错的。

A ． ?x （A （x ）∨

B （x ））=?xA （x ）∨?xB （x ） B ． A →?xB （x ）=?x （A →B （x ））

C ． ?x （A （x ）∨B （x ））=?xA （x ）∨?xB （x ）

D ． ??xA （x ）=?x （?A （x ）） （三）计算题

1、设R 和S 是集合}4,3,2,1{=A 上的关系，其中)}

4,4(),4,2(),3,2(),2,1{()}

4,3(),3,2(),3,1(),1,1{(==S R ，试求：

（1）写出R 和S 的关系矩阵； （2）计算111,,,

---???R S R S R S R 。

2、 设A={a ，b ，c ，d}，R 1，R 2是A 上的关系，其中R 1={（a ，a ），（a ，b ），（b ，a ），（b ，

b ），（

c ，c ），（c ，

d ），（d ，c ），（d ，d ）}，R 2={（a ，b ），（b ，a ），（a ，c ），（c ，a ），（b ，c ），（c ，b ），（a ，a ），（b ，b ），（c ，c ）}。 （1）画出R 1和R 2的关系图；

（2）判断它们是否为等价关系，是等价关系的求A 中各元素的等价类。 3、 用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？

（1）（P ∧?P ）?Q （2）?（P →Q ）∧Q （3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ） 4、 设解释I 为：

（1）定义域D={-2，3，6}； （2）F （x ）：x ≤3；

G （x ）：x >5。

在解释I 下求公式?x （F （x ）∨G （x ））的真值。

5、 求下图所示权图中从u 到v 的最短路，画出最短路并计算它们的权值。

6、 化简下式：

（（A ?B ?C ）?（A ?B ））-（（A ?（B -C ））?A ）

7、 已知A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，R 是A 到B 的二元关系，并且R={（x ，y ）

|x ∈A 且y ∈B 且2≤ x+y ≤4}，画出R 的关系图，并写出关系矩阵。

8、 画出下面偏序集（A ，≤）的哈斯图，并指出集合A 的最小元、最大元、极大元和极小

元。其中A={a ，b ，c ，d ，e}，≤={（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（b ，e ），（c ，e ），（d ，e ）}?I A 。

9、 求命题公式?（P ∨Q ）?（P ∧Q ）的析取范式与合取范式。 10、给定解释I 如下：

V 1 7 V 3

1 2

U 2 5 3 V

4 6 V 2 1 V 4

定义域D={2，3}；

f （2） f （3） F （2，2） F （2，3） F （3，2） F （3，3）

3 2 0 0 1 1 求?x ?y （F （x ，y ）→F （f （x ），f （y ）））。

11、设有5个城市v 1，v 2，v 3，v 4，v 5，任意两城市之间铁路造价如下：（以百万元为单位）

w （v 1，v 2）=4， w （v 1，v 3）=7， w （v 1，v 4）=16， w （v 1，v 5）=10， w （v 2，v 3）=13， w （v 2，v 4）=8， w （v 2，v 5）=17， w （v 3，v 4）=3， w （v 3，v 5，）=10， w （v 4，v 5）=12

试求出连接5个城市的且造价最低的铁路网。 （四）证明题

1、证明等价式R R P R Q R Q P =∧∨∧∨∧?∧?)()())((。

2、 利用形式演绎法证明：},,,,

{T R S T S R P Q P ?→?→?→∨蕴涵Q 。

3、 A ，B ，C 为任意的集合，证明：

（A -B ）-C=A -（B ?C ）

4、 利用一阶逻辑的基本等价式，证明：

?x ?y （F （x ）→G （y ））=?xF （x ）→?yG （y ）

练习解答

（一）填空题

1、列举；描述；A={4，5，6，7}或A={x|3

2、{5}；{{5}，{2，5}，{3，5}，{2，3，5}}；8

3、σ1={（a ，1），（b ，1）}；σ2={（a ，2），（b ，2）}；σ3={（a ，1），（b ，2）}；σ4={（a ，

2），（b ，1）} 4、（1，0，1）； （1，1，1）； （1，0，0） 5、 28； 7

6、{5}；{φ，{5}}；{1，3，4}

7、笛卡尔积（或直乘积）；{（x ，y ）|x ∈A 且y ∈B}；二元关系

8、并且（或合取）；或者（或析取）；蕴涵

9、（L （a ，a ）∨L （a ，b ）∨L （a ，c ））∧（L （b ，a ）∨L （b ，b ）∨L （b ，c ））∧（L （c ，a ）

∨L （c ，b ）∨L （c ，c ））

10、点；连接某些不同点对的边；一对不同点之间最多有一条边 （二）单项选择题（选择一个正确答案的代号，填入括号中）

1、C

2、A

3、C

4、A

5、C

6、A

7、B

8、D

9、C 10、A （三）计算题 1、解：（1）

?

?

???

????

???=?

?

???????

???=1000000011000010,0000100001000101

S R M M （2）S R ?={（1，2），（3，4）}

R?={（1，1），（1，2），（1，3），（2，3），（2，4），

S

（3，4），（4，4）}

1-

R={（1，1），（3，1），（3，2），（4，3）}

-?R

1-

1

S={（2，1），（4，3）}

2、解：

R1和R2的关系图略。

由关系图可知，R1是等价关系。R1不同的等价类有两个，即{a，b}和{c，d}。

由于R2不是自反的，所以R2不是等价关系。

3、解：

（1

因此公式（1）为可满足。

（2

因此公式（2）为恒假。

（3

因此公式（3）为恒真。

4.解：

?x（F（x）∨G（x））

?（F（-2）∨G（-2））∨（F（3）∨G（3））∨（F（6）∨G（6））

?（1∨0）∨（1∨0）∨（0∨1）

? 1

5.解：

从U 到V 的最短路为U →V 1→V 2→V 4→V 3→V 。最短路权值为9。 图中圆圈中的数字为使用迪克斯特拉算法添加边的次序。 6、解：

（（A ?B ?C ）?（A ?B ））-（（A ?（B -C ））?A ）

=（A ?B ）- A （利用两次吸收律） =（A ?B ）?~ A

=（A ?~ A ）?（B ?~ A ） = φ?（B ?~ A ） = B - A 7、解：

R={（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）} R 的关系图为

关系矩阵M R

= 1 1 1

1

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1、解：

（A ，≤）的哈斯图为：

a 为A 的极小元，也是最小元；

1

1 2 2

3 3

4 5

b d

a

e为A的极大元，也是最大元。

9、解：

?（P∨Q）?（P∧Q）

?（?（P∨Q）→（P∧Q））∧（（P∧Q）→?（P∨Q））

?（（P∨Q）∨（P∧Q））∧（（?P∨?Q）∨（?P∧?Q）））

?（P∨Q）∧（?P∨?Q）

上面结果为合取范式。

利用∧对∨分配得：（P∨Q）∧（?P∨?Q）

?（P∧?P）∨（P∧?Q）∨（Q∧?P）∨（Q∧?Q）

?（P∧?Q）∨（Q∧?P）

上面结果为析取范式。

10、解：

?x?y（F（x，y）→F（f（x），f（y）））

??x（（F（x，2）→F（f（x），f（2）））∧（F（x，3）→F（f（x），f（3））））

?（F（2，2）→F（f（2），f（2）））∧（F（2，3）→F（f（2），f（3）））∧（F（3，2）→F（f（3），f（2）））∧（F（3，3）→F（f（3），f（3）））

?（0→1）∧（0→1）∧（1→0）∧（1→0）

? 0

11、解：首先将本题用权图来描述，于是求解此题便成为求权图中的最优支撑树问题，

按克鲁斯卡尔算法，下图为求解最优支撑树的过程：

（a）（b）

（c）（d）（e）连接5个城市的造价最低的铁路网总造价为24（百万元）。

（四）证明题

1、证明：

R R

R

Q

P

Q

P

R

P

Q

Q

P

R

P

Q

R

Q

P

R

P

Q

R

Q

P

R

P

R

Q

R

Q

P

=∧

=

∧

∨

∨

∨

?

=

∧

∨

∨

?

∧

?

=

∧

∨

∨

∧

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∧

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=

∧

∨

∨

∧

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∧

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=

∧

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∧

∨

∧

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∧

?

1

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