物理(江苏专版)二轮复习与策略讲练：专题3 力与曲线运动1—抛体运动和圆周运动 W

专题三力与曲线运动(一)——抛体运动

和圆周运动

考点1| 运动的合成与分解难度：中档题型：选择题、计算题

(2015·全国卷ⅡT16)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图1所示．发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为()

【导学号：25702011】

图1

A．西偏北方向，1.9×103 m/s

B．东偏南方向，1.9×103 m/s

C．西偏北方向，2.7×103 m/s

D．东偏南方向，2.7×103 m/s

【解题关键】解此题要理解以下两点信息：

(1)从转移轨道调整进入同步轨道……此时卫星高度与同步轨道的高度相同．

(2)转移轨道和同步轨道的夹角为30°.

B[设当卫星在转移轨道上飞经赤道上空与同步轨道高度相同的某点时，速度为v1，发动机给卫星的附加速度为v2，该点在同步轨道上运行时的速度为v.三者关系如图，由图知附加速度方向为东偏南，由余弦定理知v22＝v21＋v2－2v1v cos 30°，代入数据解得v2≈1.9×103 m/s.选项B正确．]

(2013·全国卷ⅠT24)水平桌面上有两个玩具车A和B，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记R.在初始时橡皮筋处于拉直状态，A、B和R分别位于直角坐标系中的(0,2l)、(0，－l)和(0,0)点．已知A从静止开始沿y轴正向做加速度大小为a的匀加速运动；B平行于x轴朝x轴正向匀速运动．在两车此后运动的过程中，标记R在某时刻通过点(l，l)．假定橡皮筋的伸长是均匀的，求B运动速度的大小．

【解题关键】

【解析】 从运动学和运动的合成角度入手，作图寻找几何关系是关键． 设B 车的速度大小为v .如图，标记R 在时刻t 通过点K (l ，l )，此时A 、B 的位置分别为H 、G .由运动学公式，H 的纵坐标y A 、G 的横坐标x B 分别为

y A ＝2l ＋12at 2

① x B ＝v t ② 在开始运动时，R 到A 和B 的距离之比为2∶1，即

OE ∶OF ＝2∶1

由于橡皮筋的伸长是均匀的，在以后任一时刻R 到A 和B 的距离之比都为2∶1.因此，在时刻t 有

HK ∶KG ＝2∶1

③

由于△FGH ∽△IGK ，有

HG ∶KG ＝x B ∶(x B －l )

④ HG ∶KG ＝(y A ＋l )∶(2l )

⑤ 由③④⑤式得

x B ＝32l

⑥ y A ＝5l

⑦ 联立①②⑥⑦式得

v ＝146al .

⑧ 【答案】 146al

1．高考考查特点

以物体的某种运动形式为背景，考查对分运动、合运动的理解及合成与分解方法的应用．

2．解题的常见误区及提醒

(1)不能正确理解合运动、分运动间具有等时性、独立性的特点．

(2)具体问题中分不清合运动、分运动，要牢记观察到的物体实际运动为合运动．

●考向1 小船渡河问题

1．如图2所示，甲、乙两船在同一河岸边A 、B 两处，两船船头方向与河岸均成θ角，且恰好对准对岸边C 点．若两船同时开始渡河，经过一段时间t ，同时到达对岸，乙船恰好到达正对岸的D 点．若河宽d 、河水流速均恒定，两船在静水中的划行速率恒定，不影响各自的航行，下列判断正确的是( )

图2

A ．两船在静水中的划行速率不同

B ．甲船渡河的路程有可能比乙船渡河的路程小

C ．两船同时到达

D 点

D ．河水流速为d tan θt

C [由题意可知，两船渡河的时间相等，两船沿垂直河岸方向的分速度v 1相等，由v 1＝v sin θ知两船在静水中的划行速率v 相等，选项A 错误；乙船沿B

D 到达D 点，可见河水流速v 水方向沿AB 方向，甲船不可能到达正对岸，甲船

渡河的路程较大，选项B 错误；根据速度的合成与分解，v 水＝v cos θ，而v sin θ

＝d t ，得v 水＝d t tan θ，选项D 错误；由于甲船沿AB 方向的位移大小x ＝(v cos θ＋

v水)t＝

2d

tan θ＝AB，可见两船同时到达D点，选项C正确．]

●考向2绳的牵连运动问题

2．(2016·贵阳二模)如图3所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地面上通过铰链连接形成转动轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过滑轮后挂上重物M，C 点与O点的距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角)．下列有关此过程的说法中正确的是()

图3

A．重物M做匀速直线运动

B．重物M做变速直线运动

C．重物M的最大速度是2ωL

D．重物M的速度先减小后增大

B[设C点线速度方向与绳子的夹角为θ(锐角)，由题知C点的线速度为ωL，该线速度在绳子方向上的分速度就为ωL cos θ，θ的变化规律是开始最大(90°)然后逐渐变小，所以ωL cos θ逐渐变大，直至绳子和杆垂直，θ变为0，绳子的速度变为最大，为ωL；然后，θ又逐渐增大，ωL cos θ逐渐变小，绳子的速度变小，所以知重物的速度先增大，后减小，最大速度为ωL，故B正确．]

运动合成与分解的解题思路

1．明确合运动或分运动的运动性质．

2．明确是在哪两个方向上的合成与分解．

3．找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度)．

4．运用力与速度的关系或矢量运算法则进行分析求解．

考点2| 抛体运动的运动规律难度：中档题型：选择题五年5考

(2016·江苏高考T2)有A、B两小球，B的质量为A的两倍．现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力．图4中①为A的运动轨迹，则B 的运动轨迹是()

图4

A．①B．②

C．③D．④

【解题关键】解此题应注意以下两点：

(1)不计空气阻力，两小球均做抛体运动．

(2)两球以相同速率沿同一方向抛出，说明两球均做斜抛运动且初速度相同．

A[不计空气阻力的情况下，两球沿同一方向以相同速率抛出，其运动轨迹是相同的，选项A正确．]

(多选)(2012·江苏高考T6)如图5所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h(l、h均为定值)．将A向B水平抛出的同时，B自由下落．A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则()

图5

A．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度

B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰

C．A、B不可能运动到最高处相碰

D．A、B一定能相碰

【解题关键】

由落体运动；B为自由落体运动，A、B竖直方向的运动相同，二者与地面碰撞

前运动时间t1相同，且t1

＝

2h

g①，若第一次落地前相碰，只要满足A运动

时间t＝l

v＜t1

，即v＞

l

t1，所以选项A正确；因为A、B在竖直方向的运动同步，

始终处于同一高度，且A与地面相碰后水平速度不变，所以A一定会经过B所在的竖直线与B相碰．碰撞位置由A球的初速度决定，故选项B、C错误，选项D正确．]

(多选)(2015·江苏高考T7)如图6所示，一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左．不计空气阻力，则小球()

【导学号：25702012】

图6

A．做直线运动

B．做曲线运动

C．速率先减小后增大

D．速率先增大后减小

【解题关键】解此题应注意以下三点：

(1)小球受重力和电场力作用．

(2)根据初速度与合力间夹角判断小球运动轨迹．

(3)根据运动的合成与分解思想，判断小球速率大小的变化规律．

BC[小球运动时受重力和电场力的作用，合力F方向与初速度v0方向不在一条直线上，小球做曲线运动，选项A错误，选项B正确．将初速度v0分解为垂直于F方向的v1和沿F方向的v2，根据运动与力的关系，v1的大小不变，v2

先减小后反向增大，因此小球的速率先减小后增大，选项C正确，选项D错误．]

1．高考考查特点

(1)抛体运动的运动规律是高考命题的热点．特别要关注以运动项目为背景的实际问题．

(2)运动的合成与分解是解决抛体运动问题的基本方法．

2．解题的常见误区及提醒

(1)抛体运动问题中不能正确应用分解的思想方法．

(2)平抛(类平抛)规律应用时，易混淆速度方向和位移方向．

(3)实际问题中对抛体运动情景临界点的分析不正确．

●考向1斜抛运动问题

3. (多选)(2013·江苏高考T7)如图7所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则()

图7

A．B的加速度比A的大

B．B的飞行时间比A的长

C．B在最高点的速度比A在最高点的大

D．B在落地时的速度比A在落地时的大

CD[在同一位置抛出的两小球，不计空气阻力，在运动过程中的加速度等

于重力加速度，故A、B的加速度相等，选项A错误；根据h＝1

2gt

2，两球运动

的最大高度相同，故两球飞行的时间相等，选项B错误；由于B的射程大，根据水平方向匀速运动的规律x＝v t，故B在最高点的速度比A的大，选项C正确；根据竖直方向自由落体运动，A、B落地时在竖直方向的速度相等，B的水平速度大，速度合成后B在落地时的速度比A的大，选项D正确．]

●考向2 平抛运动规律的基本应用

4．(2016·福建名校联考)如图8所示，将a 、b 两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上的P 点，a 球抛出时的高度比b 球的高，P 点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力．与b 球相比，a 球( )

图8

A ．初速度较大

B ．速度变化率较大

C ．落地时速度一定较大

D ．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大

D [根据题述，两球水平位移相等．由于a 球抛出时的高度比b 球的高，由h ＝12gt 2可知a 球飞行时间长，由x ＝v 0t 可知，a 球的初速度一定较小，选项A

错误．两球都只受重力作用，加速度都是g ，即速度变化率Δv Δt ＝g ，相同，选项

B 错误．小球落地时速度v 是水平速度与竖直速度的合速度，a 球的初速度(水平速度)小，竖直速度大，所以不能判断哪个小球落地时速度较大，a 球落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大，选项

C 错误，

D 正确．]

●考向3 平抛斜面问题

5．(2016·昆明市重点中学三联)将一挡板倾斜地固定在水平面上，倾角为θ＝30°，如图9所示．现有一可视为质点的小球由挡板上方的A 点以v 0的初速度水平向右抛出，小球落在挡板上的B 点时，小球速度方向刚好与挡板垂直，小球与挡板碰撞前后的速度方向相反、速度大小之比为4∶3.下列有关小球的运动描述正确的是( )

图9

A ．小球与挡板碰后的速度为34v 0

B ．小球与挡板碰撞过程中速度的变化量大小为12v 0

C ．A 、B 两点的竖直高度差与水平间距之比为3∶1

D ．A 、B 两点的竖直高度差与水平间距之比为3∶

2

D [小球在碰撞挡板前做平抛运动．设刚要碰撞斜面时小球速度为v .由题意，速度v 的方向与竖直方向的夹角为30°且水平分量仍为v 0，如图．由此得v

＝2v 0，碰撞过程中，小球速度由v 变为反向的34v ，则碰后的速度大小为32v 0，A

错误；碰撞过程小球的速度变化量大小为Δv ＝34v －(－v )＝74v ＝72v 0，故选项B 错

误；小球下落高度与水平射程之比为y x ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0

＝12tan 30°＝32，C 错误，D 正确．]

6．如图10所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端水平向右抛出一个小球，不计空气阻力．当初速度为v 0时，小球恰好落到斜面底端，小球运动的时间为t 0.现用不同的初速度从该斜面顶端水平向右抛出这个小球，下列选项中能正确表示小球的运动时间t 随初速度v 变化的函数关系是

( )

图10

D[设斜面的倾角为θ，当初速度很小时，小球落在斜面上，tan θ＝y

x＝

gt

2v0，

则t＝2tan θ

g

v0；当初速度较大时，小球将落到水平面上，h＝

gt2

2，则时间t一定，

选项D正确．]

●考向4平抛中的临界问题

7．(2016·江西二模)如图11所示，滑板运动员从倾角为53°的斜坡顶端滑下，滑下的过程中他突然发现在斜面底端有一个高h＝1.4 m、宽L＝1.2 m的长方体障碍物，为了不触及这个障碍物，他必须在距水平地面高度H＝3.2 m的A点沿水平方向跳起离开斜面(竖直方向的速度变为零)．已知运动员的滑板与斜面间的动摩擦因数μ＝0.1，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.(已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：

【导学号：25702013】

图11

(1)运动员在斜面上滑行的加速度的大小；

(2)若运动员不触及障碍物，他从斜面上起跳后到落至水平面的过程所经历的时间；

(3)运动员为了不触及障碍物，他从A点沿水平方向起跳的最小速度．

【解析】(1)设运动员连同滑板的质量为m，运动员在斜面滑行的过程中，由牛顿第二定律得

mg sin 53°－μmg cos 53°＝ma

解得a＝g sin 53°－μg cos 53°＝7.4 m/s2.

(2)运动员从斜面上起跳后，沿竖直方向做自由落体运动，则H＝1

2gt

2

解得t＝0.8 s.

(3)为了不触及障碍物，运动员以速度v沿水平方向起跳后竖直下落高度为H

－h时，他沿水平方向运动的距离至少为

H

tan 53°＋L，设这段时间为t′，则

H－h＝1

2gt′

2

H

tan 53°＋L≤v t′

解得v≥6.0 m/s，所以最小速度v min＝6.0 m/s.

【答案】(1)7.4 m/s2(2)0.8 s(3)6.0 m/s

处理平抛(类平抛)运动的四条注意事项

(1)处理平抛运动(或类平抛运动)时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动．

(2)对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值．

(3)若平抛的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值．

(4)做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同．

考点3| 圆周运动的基本规律难度：中档题型：选择题五年1考

(2013·江苏高考T2)如图12所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当

旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是()

图12

A．A的速度比B的大

B．A与B的向心加速度大小相等

C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等

D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小

【解题关键】解此题注意以下两点：

(1)“旋转秋千”同轴转动，两座椅角速度相同．

(2)座椅到转轴的水平距离为圆周运动的半径．

D[A、B绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即ωA＝ωB但r A

向

＝mω2r及

tan θ＝F向

mg＝

ω2r

g知，悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C错误；由图知

mg

T

＝cos θ，即T＝

mg

cos θ，所以悬挂A的缆绳受到的拉力小，选项D正确．]

(多选)(2016·全国丙卷T20)如图13所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则()

图13

A ．a ＝2(mgR －W )mR

B ．a ＝2mgR －W mR

C ．N ＝3mgR －2W R

D ．N ＝2(mgR －W )R

【解题关键】解此题关键有两点：

(1)向心加速度的定义式．

(2)在最低点时受力情况．

AC [质点P 下滑到最低点的过程中，由动能定理得mgR －W ＝12m v 2，则速

度v ＝2(mgR －W )m ，最低点的向心加速度a ＝v 2R ＝2(mgR －W )mR

，选项A 正确，选项B 错误；在最低点时，由牛顿第二定律得N －mg ＝ma ，N ＝3mgR －2W R

，选项C 正确，选项D 错误．]

(多选)(2014·全国卷ⅠT 20)如图14所示，两个质量均为m 的小木块a

和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )

图14

A ．b 一定比a 先开始滑动

B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等

C ．ω＝

kg 2l 是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝2kg

3l 时，a 所受摩擦力的大小为kmg

【解题关键】

a、b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：f a＝mω2a l，当f a

＝kmg时，kmg＝mω2a l，ωa＝kg

l；对木块b：f b＝mω

2

b

·2l，当f b＝kmg时，kmg

＝mω2b·2l，ωb＝kg

2l，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动

前转动的角速度相同，则f a＝mω2l，f b＝mω2·2l，f a

时b刚开始滑动，选项C正确；当ω＝2kg

3l时，a没有滑动，则f a＝mω

2l＝2

3kmg，

选项D错误．]

1．高考考查特点

(1)本考点命题热点集中在物体的受力分析、圆周运动的基本概念及动力学知识、应用静摩擦力分析临界问题上．

(2)理解圆周运动的相关物理量，向心力的来源分析、计算及应用牛顿运动定律研究圆周运动的方法是关键．

2．解题的常见误区及提醒

(1)描述圆周运动的物理量的理解要准确．

(2)熟悉各种传动装置及判断变量不变量．

(3)向心力来源的分析易出现漏力现象．

(4)临界问题的处理要正确把握临界条件．

●考向1水平面内的圆周运动

8．(高考改编)(多选)在[例7](2014·全国卷Ⅰ，T20)中，若将a、b两物块放

在如图15所示的传动装置中，甲、乙两个水平放置的轮盘靠摩擦传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．两滑块与轮盘间的动摩擦因数相等，两滑块到轴心O、O′的距离分别为R a、R b，且R a＝2R b.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动，且转速逐渐增大，则下列叙述正确的是()

图15

A．滑块相对轮盘开始滑动前，a、b的角速度大小之比为ωa∶ωb＝1∶3

B．滑块相对轮盘开始滑动前，a、b的向心加速度大小之比为a a∶a b＝1∶3 C．转速增大后最终滑块a先发生相对滑动

D．转速增大后最终滑块b先发生相对滑动

AD[由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，有ω甲r甲＝ω乙r乙，则ω

甲∶ω

乙

＝r

乙

∶r

甲

＝1∶3，所以滑块相对轮盘开始滑动前，a、b的角速度大小之

比为1∶3，A正确；滑块相对轮盘开始滑动前，根据a＝ω2r得a、b的向心加速度大小之比为a a∶a b＝(ω2

甲

R a)∶(ω2乙R b)＝2∶9，B错误；据题意可得两滑块所受的最大静摩擦力分别为F fa＝μm a g，F fb＝μm b g，最大静摩擦力之比为F fa∶F fb ＝m a∶m b＝1∶1，转动中两滑块所受的静摩擦力之比为F fa′∶F fb′＝(m a a a)∶(m b a b)＝2∶9，由此可知，当轮盘乙的转速缓慢增大时，滑块b的静摩擦力先达到最大，先开始滑动，C错误，D正确．]

9．(多选)(2016·安阳二模)如图16所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()

【导学号：25702014】

图16

A．B的向心力是A的向心力的2倍

B．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍

C ．A 、B 都有沿半径向外滑动的趋势

D ．若B 先滑动，则B 对A 的动摩擦因数μA 小于盘对B 的动摩擦因数μB BC [因为两物块的角速度大小相等，转动半径相等，质量相等，根据F n ＝mrω2，则向心力相等，故A 错误；对A 、B 整体分析，F f B ＝2mrω2，对A 分析，有：F f A ＝mrω2，知盘对B 的摩擦力是B 对A 的摩擦力的2倍，故B 正确；A 所受的静摩擦力方向指向圆心，可知A 有沿半径向外滑动的趋势，B 受到盘的静摩擦力方向指向圆心，有沿半径向外滑动的趋势，故C 正确；设A 、B 的临界角速度分别为ωA 、ωB ，对A 、B 整体分析，μB ·2mg ＝2mrω2B ，解得ωB ＝μB g

r ，对A

分析，μA mg ＝mrω2A ，解得ωA ＝μA g

r ，因为B 先滑动，可知B 先达到临界角速

度，可知B 的临界角速度较小，即μB <μA ，故D 错误．]

●考向2 竖直平面的圆周运动

10．如图17所示，轻绳的一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的小球(可视为质点)．当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力T 、轻绳与竖直线OP 的夹角θ满足关系式T ＝a ＋b cos θ，式中a 、b 为常数．若不计空气阻力，则当地的重力加速度为( )

图17

A.b 2m

B.2b m

C.3b m D ．b 3m

D [设小球通过P 点时的速度为v 0，绳长为R ，当θ＝0°时，有T 1＝a ＋b ＝m v 20R ＋mg ①，当θ＝180°时，有T 2＝a －b ＝m v 2R －mg ，由机械能守恒定律得12

m v 20＝mg ·2R ＋12

m v 2，则T 2＝a －b ＝m v 20R －5mg ②，①②两式相减得g ＝b 3m ，选

项D 正确．] 11．(2016·武汉第三次调研)将太极球及球拍简化成如图18所示的小球和平

板，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A 、B 、C 、D 位置时球与板间无相对运动趋势．A 为圆周的最高点，C 为最低点，B 、D 与圆心O 等高．若球恰能到达最高点，设球的重力为1 N ，不计球拍的重力．则下列说法正确的是( )

图18

A ．球恰能到达最高点，说明球到最高点速度为零

B ．平板在

C 处对球施加的力的大小为1 N

C ．当球运动到B 位置时，平板与水平方向的夹角为45°

D ．球从A 到C 的过程中机械能守恒

C [设球运动的线速度为v ，做圆周运动的半径为R ，球恰能到达最高点，

即在最高点平板没有弹力，则在A 处mg ＝m v 2R ，A 错误；在C 处球与板间无相

对运动趋势即无摩擦力，F －mg ＝m v 2R ，解得F ＝2mg ＝2 N ，B 错误；在B 处球

与板间无相对运动趋势即球不受摩擦力作用，受力分析如图，则tan θ＝F 向mg ＝1，

则θ＝45°，C 正确；球从A 到C 的过程中，动能不变，势能减小，机械能不守恒，D 错误．]

●考向3 生活中的圆周运动

12．(多选)如图19所示为赛车场的一个水平“U ”形弯道，转弯处为圆心在O 点的半圆，内外半径分别为r 和2r .一辆质量为m 的赛车通过AB 线经弯道到达A ′B ′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O ′为圆心的半圆，OO ′＝r .赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为F max .选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率

足够大)，则( )

图19

A ．选择路线①，赛车经过的路程最短

B ．选择路线②，赛车的速率最小

C ．选择路线③，赛车所用时间最短

D ．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等

ACD [由几何关系可得，路线①、②、③赛车通过的路程分别为：(πr ＋2r )、(2πr ＋2r )和2πr ，可知路线①的路程最短，选项A 正确；圆周运动时的最大速率

对应着最大静摩擦力提供向心力的情形，即μmg ＝m v 2R ，可得最大速率v ＝μgR ，

则知②和③的速率相等，且大于①的速率，选项B 错误；根据t ＝s v ，可得①、

②、③所用的时间分别为t 1＝(π＋2)r μgr ，t 2＝2r (π＋1)2μgr ，t 3＝2r π2μgr

，其中t 3最小，可知线路③所用时间最短，选项C 正确；在圆弧轨道上，由牛顿第二定律可得：μmg ＝ma 向，a 向＝μg ，可知三条路线上的向心加速度大小均为μg ，选项D 正确．]

1．水平面内圆周运动临界问题

(1)水平面内做圆周运动的物体其向心力可能由弹力、摩擦力等力提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面分离等临界状态．

(2)常见临界条件：绳的临界：张力F T ＝0；接触面滑动的临界：F ＝f ；接触面分离的临界：F N ＝0.

2．竖直平面内圆周运动的分析方法

(1)对于竖直平面内的圆周运动要注意区分“轻绳模型”和“轻杆模型”，明确两种模型过最高点时的临界条件．

(2)解决竖直平面内的圆周运动的基本思路是“两点一过程”．“两点”即

最高点和最低点，在最高点和最低点对物体进行受力分析，确定向心力，根据牛顿第二定律列方程；“一过程”即从最高点到最低点，往往由动能定理将这两点联系起来．

热点模型解读| 竖直轨道运动模型

1．模型展示

圆周运动与超重、失重