高中物理精品试题： 力与物体的曲线运动

专题3 力与物体的曲线运动

一、计算题

1、利用万有引力定律可以测量天体的质量．

(1)测地球的质量

英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．

已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G.若忽略地球自转的影响，求地球的质量．

(2)测“双星系统”的总质量

所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个星球A和B，如图9所示．已知A、B间距离为L，A、B绕O点运动的周期均为T，引力常量为G，求A、B的总质量．

(3)测月球的质量

若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”．已知月球的公转周期为T1，月球、地球球心间的距离为L1.你还可以利用(1)、(2)中提供的信息，求月球的质量．

图9

2、神舟十号载人飞船进入近地点距地心为r1、远地点距地心为r2的椭圆轨道正常运行．已知地球质量为M，引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，飞船在近地点的速度为v1，飞船的质量为m.若取距地球无穷远处

为引力势能零点，则距地心为r、质量为m的物体的引力势能表达式为E p＝－，求：

(1)地球的半径；

(2)飞船在远地点的速度.

3、据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v＝7.7 km/s绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M、N的连线垂直，M、N间的距离L＝20 m，地磁场的磁感应强度垂直于v，MN所在平面的分量B＝1.0×10－5 T，将太阳帆板视为导体．

图1

(1)求M、N间感应电动势的大小E；

(2)在太阳帆板上将一只“1.5 V，0.3 W”的小灯泡与M、N相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻．试判断小灯泡能否发光，并说明理由；

(3)取地球半径R＝6.4×103 km，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h(计算结果保留一位有效数字)．

4、如图28所示，从A点以v0＝4 m/s的水平速度抛出一质量m＝1 kg的小物块(可视为质点)，当物块运动至B 点时，恰好沿切线方向进入光滑圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，圆弧轨道C端切线水平，已知长木板的质量M＝4 kg，A、B两点距C点的高度分别为H＝0.6 m、h＝0.15 m，圆弧轨道半径R＝0.75 m，物块与长木板之间的动摩擦因数μ1＝0.5，长木板与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2，g取10 m/s2.已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

图28

(1)小物块运动至B点时的速度大小和方向；

(2)小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力；

(3)长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板．

5、某电视台“快乐向前冲”节目中的场地设施如图27所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，水面上漂浮着一个半径为R、角速度为ω，铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为L，平台边缘与转盘平面的高度差为H.选手抓住悬挂器，可以在电动机带动下，从A点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零，加速度为a的匀加速直线运动．选手必须做好判断，在合适的位置释放，才能顺利落在转盘上．设人的质量为m(不计身高大小)，人与转盘间的最大静摩擦力为μmg，重力加速度为g.

图27

(1)假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω应限制在什么范围？

(2)若已知H＝5 m，L＝8 m，a＝2 m/s2，g取10 m/s2，且选手从某处C点释放能恰好落到转盘的圆心上，则他是从平台出发后多长时间释放悬挂器的？

6、如图8所示，滑板运动员从倾角为53°的斜坡顶端滑下，滑下的过程中他突然发现在斜面底端有一个高h ＝1.4 m、宽L＝1.2 m的长方体障碍物，为了不触及这个障碍物，他必须在距水平地面高度H＝3.2 m的A点沿水平方向跳起离开斜面(竖直方向的速度变为零)．已知运动员的滑板与斜面间的动摩擦因数μ＝0.1，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.(已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：

图8

(1)运动员在斜面上滑行的加速度的大小；

(2)若运动员不触及障碍物，他从斜面上起跳后到落至水平面的过程所经历的时间；

(3)运动员为了不触及障碍物，他从A点沿水平方向起跳的最小速度．

7、我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图1所示，质量m＝60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6 m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度v B＝24 m/s，A与B的竖直高度差H＝48 m．为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧．助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530 J，g取10 m/s2.

图1

(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力F f的大小；

(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大？

8、如图1所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB

弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．

(1)求小球在B、A两点的动能之比；

(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．

图1

9、在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图19所示．P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h.

图19

(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；

(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；

(3)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系．

10、如图16所示，半径为R＝1 m内径很小的粗糙半圆管竖直放置，一直径略小于半圆管内径、质量为m＝1 kg

的小球，在水平恒力F＝ N的作用下由静止沿光滑水平面从A点运动到B点，A、B两点间的距离x＝ m，

当小球运动到B点时撤去外力F，小球经半圆管道运动到最高点C，此时球对外轨的压力F N＝2.6mg，然后垂直打在倾角为θ＝45°的斜面上D处(取g＝10 m/s2)。求：

图16

(1)小球在B点时的速度的大小；

(2)小球在C点时的速度的大小；

(3)小球由B到C的过程中克服摩擦力做的功；

(4)D点距地面的高度。

11、如图12所示，长为L的细线一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。已知小球在最高点A时受到细线的拉力刚好等于小球自身的重力，O点到水平地面的距离为H(H>L)，重力加速度为g。

图12

(1)求小球通过最高点A时的速度大小；

(2)求小球通过最低点B时，细线对小球的拉力；

(3)若小球运动到最高点A时细线断裂或小球运动到最低点B时细线断裂，两种情况下小球落在水平地面上的位置到C点(C点为地面上的点，位于A点正下方)的距离相等，则L和H应满足什么关系？

12、如图所示，质量m的小物块从高为h的坡面顶端由静止释放，滑到粗糙的水平台上，滑行距离l后，以v=1m/s 的速度从边缘O点水平抛出，击中平台右下侧挡板上的P点．以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板形状满足方程y=x2﹣6（单位：m），小物块质量m=0.4kg，坡面高度h=0.4m，小物块从坡面上滑下时克服摩擦力做功1J，小物块与平台表面间的动摩擦因数μ=0.1，g=10m/s2．求

（1）小物块在水平台上滑行的距离l；

（2）P点的坐标．

13、长L=0.5m、质量可忽略的杆，其一端固定于O点，另一端连有质量为m=2kg的小球，它绕O点在竖直平面内做圆周运动，当通过最高点时，如图所示．求下列情况下杆对球的作用力（计算大小，并说明是拉力还是支持力）

（1）当V1=1m/s时，大小为多少？是拉力还是支持力？

（2）当V2=4m/s时，大小为多少？是拉力还是支持力？

14、如图所示，斜面体ABC固定在地面上，小球p从A点静止下滑．当小球p开始下滑时，另一小球q从A点正上方的D点水平抛出，两球同时到达斜面底端的B处．已知斜面AB光滑，长度L=2.5m，斜面倾角为θ=30°．不计空气阻力，g取10m/s2．求：

（1）小球p从A点滑到B点的时间；

（2）小球q抛出时初速度的大小和D点离地面的高度h．

15、如图所示，长为L的轻绳一端系于固定点O，另一端系质量为m的小球，将小球从O点正下方处以一定的初速度水平向右抛出，经过一定的时间，绳被拉直，以后小球将以O为圆心在竖直平面内摆动，已知绳刚被拉直时，绳与竖直方向成60º角，求：

（1）小球水平抛出时的初速度；

（2）小球摆到最低点时，绳所受的拉力．

16、如图所示，宇航员站在某星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，求：

（1）该星球表面的重力加速度g；

（2）该星球的第一宇宙速度v．

17、如图5－2－25所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：

(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；

(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.

18、如图所示，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过最低点B时绳恰好被拉断，小球水平抛出后落到水平地面C点．已知B点离地高度为H，A、B两点的高度差为h，地面上的D点与OB在同一竖直线上．不计空气阻力，求：

(1) 地面上DC两点间的距离s；

(2) 小球落地时的速度v c．

19、如图所示，倾角为37°的斜面长l=1.9m，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v0=3m/s的速度水平抛出，与此同时静止释放在顶端的滑块，经过一段时间后将小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块.（小球和滑块均视为质点，重力加速度g=9.8m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：

（1）抛出点O离斜面底端的高度；

（2）滑块与斜面间的动摩擦因素μ.

20、足够长的倾角为α的粗糙斜面上，有一质量为m的滑块距挡板P为L，以初速度v0沿斜面下滑，并与挡板发生碰撞，滑块与斜面动摩擦因数为μ，μ

（1）滑块第一次与挡板碰撞后上升离开挡板P的最大距离；

（2）滑块在整个运动过程中通过的路程。

参考答案

一、计算题

1、【解析】(1)设地球的质量为M，地球表面某物体质量为m，忽略地球自转的影响

＝mg

解得M＝.

【答案】(1)(2) (3)－2、(1)设地球表面有质量为m的物体，

则G＝mg

解得地球的半径：R＝.

【答案】(1)(2)

3、(1)1.54 V (2)不能，理由见解析(3)4×105 m

4、

(2)设物块到达C点时速度为v2，从A至C点，由动能定理得

mgH＝mv－mv

设物块在C点受到的支持力为F N，

则有F N－mg＝m

由上式可得v2＝2 m/s，F N≈47.3 N

根据牛顿第三定律可知，物块m对圆弧轨道C点的压力大小为47.3 N，方向竖直向下．

(3)由题意可知小物块m对长木板的摩擦力

F f＝μ1mg＝5 N

长木板与地面间的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，为F′f＝μ2(M＋m)g＝10 N

因F f＜F′f，所以小物块在长木板上滑动时，长木板静止不动．

小物块在长木板上做匀减速运动，至长木板右端时速度刚好为零，才能保证小物块不滑出长木板．

则长木板长度至少满足

l＝＝2.8 m.

【答案】(1)5 m/s 方向与水平方向成37°夹角斜向下(2)47.3 N 方向竖直向下(3)2.8 m

5、

【答案】(1)ω≤(2)2 s

6、

(3)为了不触及障碍物，运动员以速度v沿水平方向起跳后竖直下落高度为H－h时，他沿水平方向运动的距离至少为＋L，设这段时间为t′，则

H－h＝gt′2

＋L≤vt′

解得v≥6.0 m/s，所以最小速度v min＝6.0 m/s.

【答案】(1)7.4 m/s2(2)0.8 s (3)6.0 m/s

【名师点睛】

1．高考考查特点

(1)平抛物体的运动规律是高考命题的热点．特别要关注以运动项目为背景的实际问题．

(2)运动的合成与分解是解决平抛(类平抛)问题的基本方法．

2．解题的常见误区及提醒

(1)类平抛问题中不能正确应用分解的思想方法．

(2)平抛(类平抛)规律应用时，易混淆速度方向和位移方向．

(3)实际问题中对平抛运动情景临界点的分析不正确．

【锦囊妙计，战胜自我】

处理平抛(类平抛)运动的四条注意事项

(1)处理平抛运动(或类平抛运动)时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动．

(2)对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值．

(3)若平抛的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值．

(4)做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同．

7、(1)144 N (2)12.5 m

8、(1)5 (2)能

9、(1)(2)L≤v≤L(3)L＝2h 【解析】(1)打在中点的微粒

h＝gt2①

t＝②

(2)打在B点的微粒

v1＝；2h＝gt③

v1＝L④

同理，打在A点的微粒初速度v2＝L⑤

微粒初速度范围L≤v≤L⑥

(3)由能量关系

mv＋mgh＝mv＋2mgh⑦

代入④、⑤式得L＝2h⑧

10、(1)10 m/s (2)6 m/s (3)12 J (4)0.2 m 解析(1)小球从A到B过程，由动能定理得

Fx＝mv

解得v B＝10 m/s。

(2)在C点，由牛顿第二定律得mg＋F N＝m

又据题有F N＝2.6mg

解得v C＝6 m/s。

(3)由B到C的过程，由动能定理得

－mg·2R－W f＝mv－mv

解得克服摩擦力做的功W f＝12 J。

(4)设小球从C点做平抛运动垂直打在斜面上D点经历的时间为t，D点距地面的高度为h，则在竖直方向上有2R－h＝gt2

由小球垂直打在斜面上可知＝tan 45°

联立解得h＝0.2 m。

【技巧点拨】本题为曲线运动的综合题，涉及圆周运动、平抛运动等多个运动过程。此类问题的情况有：(1)物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动；(2)物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动。这类问题往往要结合能量关系求解，多以计算题的形式考查。

解答此类问题的关键：先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，再分析物体能够到达圆周最高点的临界条件，对物体在最低点和最高点时的状态进行分析，抓住前后两过程中速度的连续性。

11、(1)(2)7mg(3)L＝

解析(1)设小球运动到最高点A时的速度大小为v A，则由合力提供向心力可得：2mg＝m，解得：v A＝。

(2)设小球运动到B点时的速度大小为v B，则由机械能守恒定律可得：mg·2L＋mv＝mv，解得：v B ＝，设小球运动到B点时，细线对小球的拉力大小为F T，则有：F T－mg＝m，解得：F T＝7mg。

(3)①若小球运动到A点时细线断裂，则小球从最高点A开始做平抛运动，有：x＝v A t A，H＋L＝gt

②若小球运动到B点时细线断裂，则小球从最低点B开始做平抛运动，有：x＝v B t B，H－L＝gt

联立解得：L＝。

12、解（1）对小物块，从释放到O点过程中

（2）小物块从O点水平抛出后满足①

x=vt②

由①②解得小物块的轨迹方程y=﹣5x2③

又有y=x2﹣6④

由③④得 x=1m，y=﹣5m ⑤

所以P点坐标为（1m，﹣5m）⑥

答：（1）小物块在水平台上滑行的距离l为1m；（2）P点的坐标为（1m，﹣5m）．13、解：（1）当v1=1m/s时，根据牛顿第二定律得：，

解得：，作用力表现为支持力．

（2）当v2=4m/s时，根据牛顿第二定律得：，

解得： N=44N，作用力表现为拉力．

答：（1）当V1=1m/s时，大小为16N，表现为支持力．

（2）当V2=4m/s时，大小为44N，表现为拉力．

14、解：（1）设小球P从斜面上下滑的加速度为a，分析受力得：mg sinθ=ma

解得a=gsinθ=5m/s2．

设小球P从斜面上下滑的时间为t，，

代入数据解得t=1s．

（2）小球q的运动为平抛运动：

代入数据解得v0=m/s．

答：（1）小球P从A点滑到B点的时间为1s．（2）小球q的初速度为m/s，抛出点离地面的高度为5m．15、解：

（1）υ0t=l・sin600，l・cos600―=gt2

l・cos600―=g（）2

υ0=

（2）小球平抛时间：t==

υx=υ0=υy=gt=g=

υ===

与竖直之间夹角为φ，tanφ==，则φ=60°，即υ与绳同一直线，小球受到外力的冲量动量减为零。以后小球作圆周运动。

根据动能定理，mgl（1-cos60°）=mυ′2 则υ′2=g l

T―mg=m T=mg+m=2mg

16、（1）小球在斜坡上做平抛运动

（2）在星球表面，向心力由重力提供

另解：

17、解析(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有H＝gt2，①

在水平方向上有：s＝

v0t，②由①②式解得v0＝

s，③代入数据得v0＝1 m/s.

(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有：

f m＝

m，

④

f m＝μN＝μ

mg，

⑤

由④⑤式得μ＝，代入数据得μ＝0.2.

答案(1)1 m/s (2)0.2

18、解答：（1），（2分）

（1分）（2分）

（2），（3分）

与水平夹角为，或（2分）

19、

20、答案：（1）

（2）