第一单元倍数与因数

第一单元倍数与因数

第一单元倍数与因数

第一节倍数与因数

研究内容：北师版教材第九册P2——P3

学情分析：这是学生首次接触因数与倍数的概念。就教材来看知识的切入不再

是“整除”而是从乘法运算入手让学生感知因数和倍数这组相关概念。尤其是要让学生理解乘法运算中叫“因数”的数与因倍关系中的“因数”的区别所在。前者为乘法运算中的一个数，后者则须与另一个数构建成一组关系。

研究目标：结合具体情境，认识自然数和整数，联系乘法认识倍数因数。探索

找一个数倍数的方法，能在1——100的自然数中，找出10以内某个自然数所有的倍数。

研讨要点：理解什么是因数，倍数及其相互关系，掌握找倍数的基本方法。研讨的形式：独立探索，小组学习，集体研讨

研究流程：

一、前置学习：

（一）写一篇数学日记，内容中尽可能多地涵盖我们所认识过的数的的类型。教师也准备一篇备用。

可可托海镇-可可托海宾馆。可可托海宾馆是镇上唯一的宾馆了，接待领导的。不过条件挺差，但比起镇上的其它建筑好了很多。

花费：可可托海门票90/人*2；晚饭60；水果4.6 住宿120；司机住30

晚上很冷，用上羽绒睡袋了。

可可托海，哈萨克语的意思为"绿色的丛林"，蒙古语意为"蓝色的河湾"，位于富蕴县城东北48公里的阿尔泰山间，额尔齐斯河从镇中穿流而过。可可托海气候

寒冷，年平均气温只有-2.08摄氏度，实测寒极温度达到－51.5摄氏度，是仅次于漠河的全国第二冷极。

（二）看到这段方字，我们会发现数在我们的生活中无处不在，你能把这些数分分类吗？

（三）根据你的理解、查询相关资料，将这些数进行分类？

研究流程

一、师生交流对数的分类

负整数

最小的自然数是0，没有最大的自然数

0 自然数有无限个

自然数相邻两自然数的差为1

正整数基本单位为1

二、发现问题，提出问题

（一了百了学生自读P2提出问题

师：有什么发现，有什么问题

（三）问题预设

生：因数和倍数是什么数？

它们属于哪一类数？

它们有什么特点？

它们之间有什么关系？

三、小组讨论，研究问题

（一）1、举例说明什么是因数，什么是倍数

2、因数和倍数有什么特点？

3、因数和倍数关系？

（二）成果展示，解决问题

1、第一问

第一种：如果5×4=20，5和4都是20的因数，20分别是4和5的倍数。

第二种：如果a×b=c, a和b都是c的因数，c分别是a和b的倍数。

第三种：如果20÷4=5，5和4都是20的因数，20分别是4和5的倍数

（假设课堂没有这样的例子，可由教师提出）

2、第二问

生1：因数和倍数都要是整数

生2：因数和倍数都是自然数

生3：因数和倍数是非零的自然数（结合实例加以说明）

3、第三问

因数，倍数是不能单独存在的某种数

因数、倍数是相互依存的一种关系：甲是乙的因数，乙就一定是甲的倍数。

四、独立探索，研究问题

（一）找因数倍数

1、用自己能想到的办法找出“24”的因数和倍数

2、说说你是用什么方法找到的？

3、在找因数，倍数的过程中你有什么发现？

（二）生生互动交流

24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24

24的倍数：24、48、72、96…….

我发现:一个数因数的个数是有限的,而倍数却有许多许多。

只要24能被一个数整除，则这个数就是24的因数。

五、提炼小结

今天我们认识了因数和倍数，发现它们是一对好兄弟，彼此相依不能单独存在。判断是否具有因倍关系，只要确定它们之间是否具有整除关系就可以了。一个数因数的个数是有限的，而它的倍数则无限多。

六、反馈练习：

（一）基础餐

1、同桌互写一个乘法或除法算式，从中找出具有因倍关系的数。（每人两组）

2、找出4、6的倍数，既是4的倍数又是6的倍数的数。

(二)

判断下面的式子中的数具有因倍关系吗？为?什么

1.5÷3=0.5

7÷2=3.5

80÷20=4

16÷7=2 (2)

(三)自选餐

第二节2、5倍数的特征

研究内容：北师版教材第九册P4——P5

学情分析：2和5的倍数特征明显，规律性强，易于被孩子发现。而发现之后

的准确表述可作为训练数学表达的切入点。语言是思维的外壳，严谨精练的语言表达完全可以推动学生严密思考习惯的养成。奇数和偶数的概念，学生在过去的学习生活中多有接触，至少是知道单数，双数的，而对奇、偶数的数学概念界定肯定是模糊或不知道的。因此，本节课需结合2的倍数特征让学生提炼归纳出奇偶数的概念。

研究目标：

在我们创设的探索情境中，让学生经历探索的过程，理解并掌握2、5倍数的特征，并能根据其特征对具体数据进行分析判断。

理解奇数偶数的概念，并能迅速地对数的奇偶性进行判断。

在探索过程中提升学生的数学语言表达能力。

研究要点：发现并归纳出2、5的倍数特征，能据特征对数据进行分析判断。研讨形式：小组学习，集体研讨

研究流程：

一、前置检测：

（一）请举例说出你认识的单数（），双数（）

（二）你知道单数又叫做（），双数又叫做（）。

（三）请试着说说它们各有什么特征？关于它们，你有什么问题想问吗？

二、课堂探究

（一）创设情境，提出问题一

1、师：周末科技园组织了一个“小小社区”活动，同学们报名十分涌跃。由于，园区要控制入园的人数，赵老师只能选择部分孩子前往。为了公平起见，赵老师让每位学生在她自制的纸盒里抽取一个号，

抽到2的倍数的孩子就去。聪明的孩子你知道抽到哪些号的孩子能去吗？

2、解决问题，情境预设：

相信学生们能说出一些数甚至是全部，但很难准确描述出这些数的特征。

需要通过对数据表的观察，分析，归纳以及师生之间，生生之间的对话来完善2的倍数特征。

3、小组讨论：

找出2的倍数，并观察发现这些2的倍数有什么共同的特征。

用一句话概括出2倍数的特征。

4、根据2倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。

迅速地填写出56之后的2倍数。

5、师：刚才大家提到了单数，双数，奇数，偶数。它们之间底有怎样的关系呢？生：单数——奇数

双数——偶数

师：能说说符合什么特征的数是奇数？什么是偶数吗？

凡是2的倍数都是偶数，非2的倍数就是奇数。

师：有什么问题吗？（0是2的倍数吗？）

（二）创设情境，提出问题（二）

1、师；进入园区后，孩子们发现园区内的商品价格都

是5角的倍数，且最贵的东西步超过10元。你能猜出这些商品的价格可能是多少吗？试着在表格里填出来。（单位：角）

2、学生独立填写，然后同桌交流验证发现这些数的共性和规律

3、总结5倍数的特征

个位是0或5的数都是5的倍数。

三、反馈检测

（一）基础餐

1、判断

个位是2、4、6、8的数都是偶数

个位是0的数既是2的倍数，又是5的倍数

100以内5的倍数有20个。

2、5都是10的因数（约数），10能被2和5整除。

20只能被4和5整除。

2、P5第一题

3、P5第三题

（二）营养餐

你能找到2和5共有的倍数有什么特征吗？试举例验证。

第三节 3的倍数的特征

研究内容：北师版第九册P6——P7

学情分析：学生研究了2、5的倍数的特征，很容易受其思路的限制将3的倍

数的特征探讨点放在数据的个位特征上，使得思路受限。鉴于3倍数特征的独特性，怎样将学生思路引向合理的方向显得尤其重要。另外，有部分学生已经了解了3倍数的特征，如何将他们的思维引向纵深，不仅知其面，更重于结论背后的道理探讨，也就是我们所指的知其然还要知其所以然。使我们的课堂教学产生真正的价值。

研究目标：

经历探索3倍数的特征的过程，理解3倍数的特征，能判断一个数是不是3的倍数。

在研究的过程中发展学生分析，比较，合理猜测，验证，归纳提

炼的能力。

了解9倍数的特征。

研究要点：探索发现3倍数的特征背后的成因，能依据特征判断一个数是否是3的倍数。

研究形式：小组研讨，集体互动

研究流程：

一、前置学习：

（一）自学课本P6的内容，并解决下列问题（如有不会的请在课堂上提出来）

1、通过看书学习，你了解到了3的倍数有什么样的特征？

2、其特征跟什么相关，你认为这是为什么呢？

3、你还有别的方法来判断一个数是不是3的倍数吗？

4、一位数中能被3整除的最大的数是（）

5、10里有（）个9，余下（）

20里面有（）个9，余下（）

100里面有（）个9，余下（）

300里面有（）个9，余下（）

400里面有（）个9，余下（）

5000里面呢？

二、课堂探究

（一）学生提出前置学习中的问题

1、为什么各数位数字之和加起来是3倍数，这个数就是3的倍数

2、希望了解还有没有什么好的判断方法

（二）教师抛砖引发思考

师在黑板上写下12，这个数能被3整除吗？

师出示一12根小棒，一捆加两根

师：12里由1个10和1个2组成，

步骤一：要了解它能否被3整除首先得搞清楚十里面有几个3？最多有3个（师从中分出3个3），就是9。

步骤二：大家可以发现9一定能被3整除。所以考虑这个数是否

能被3整除，可以先从某个数的整十部分分出若干个九。

引导学生试想，20里最多几个9，剩下几？

30里最多几个9，剩下几？

100呢？

200呢？

400呢？

5000呢？

步骤三：再分析剩下的数同其它部分合起来是否能被3整除。师再操作：10里分出1个9后，剩下的1和另两根合起来即是3，3能被3整除。因此，12能被3整除。

12÷3=4

1个9

余1 余2

1+2=3，3能被3整除

（三）分组研究分析：24，36，126，438能被3整除吗？为什么24÷3=8 126

2个9 11个9 2个9

余2 余4 余1 余2 余6

2+4=6，6能被3整除1+2+6=9 9能被3整除

（四）各组汇报对数据的分析情况

1、为什么能被3整除

2、在分析过程中你有什么新的发现？（每个数位余下的数正好是原数的各位数字）

3、你们得出了什结论。

4、你们还有新的判断方法吗？（如弃3法）

（五）概括提炼

能被３整除数的特征：一个数各个数位上的数的和能被３整除，这个数就能被３整除．

三、反馈检测

（一）基础餐

1、判断下面各数能否被3整除：207、981、733、139、450、111

2、在□中填几，这个数就能被3整除？

17□（指导思路：找出最小的数，然后依次加3）

4□2（要求一次说全）

□25□（不必说全，即问：只要保证什么就可以？）

（二）营养餐

找出下面的数是能被3整除，能被2整除，还是能被5整除？

能同时被2和3整除的数？既是3的倍数又是5的倍数的数？

58、115、207、80、108、45

（三）自选餐

1、比赛：利用给出6个数字：0，1，2，3，4，5，在30秒钟内，看谁能组出最多个能同时被

2、

3、5整除的三位数．

2、你知道具有什么特征的数一定是9的倍数吗？为什么？

第四节找因数

研究内容：北师版第九册P8——P9

学情分析：学生曾在第一节课倍数、因数的认识中初步感知了因数，并能找出

指定数据的部分因数，但由于没有细致探讨过找因数的方法故找因数的过程中往往会有漏找，找错的现象。本节课就是力图通过数形结合让学生在实际操作中找齐找全，指定数据的因数。在探究过程中寻求找因数的最佳方法。研究目标：

在用小正方形拼长方形的活动中，体会找到一个数因数的方法，培养有条理的思考习惯。

在1——100中，能独立找出某个自然数的所有因数。研究要点：寻求找因数的最佳方法，培养思维的有序性。研究形式：动手操作，集体交流研究流程：一、前置学习

（一）你不会找因数吗？举例说明你是怎样找一个数的因数的？

（二）制作12个大小一样的小正方形。二、课堂探究

（一）学生拼图比赛（4分钟）

1、用12个小正方形拼一个长方形，思考可以拼出几种完全不同的长方形？

2、你认为你拼的长方形种类完整吗？你是如何确定的？

3、边拼边记录拼图的结果（二）小组交流情境预设：

A 、拼图种类不齐，有遗。漏。

B 、拼图种类重复。

C 、拼图完整

1×12=12

2×6=12 3×4=12

（三）游戏小结

师；看来一个简单的游戏中也蕴含着道理，要想取胜方法最重要，而讲求“序”又是在寻求多种结果的路径中的至胜法宝。数学一门讲究“顺序”的学科，它告诉我们人需要有序的思考，有序的生活。

（四）引导观察结果，有什么发现

1、1

2、2、6、

3、4同12有着怎样的关系？

（五）归纳提炼

从游戏中，你得到了什么启示？

你认为如何找因数才能使找对找齐因数？

你还有哪些好的方法提供给大家借鉴？

小结：找因数时我们可按从小到大的顺序，一对一对地找，书写时可从两端向中间书写。

三、反馈检测

（一）基础餐P9 1、2、3

（二）营养餐P9 4、5

第五节找质数

研究内容：北师版第九册P10——P11

学情分析：“质数”“合数”的概念对于学生而言是一种对数全新的界定。它与

理解奇偶数最大的差别在于，这是生活中很难涉猎的范畴，从判断的思维过程来讲也较奇偶数复杂。奇偶数只要判断是否是2的倍数即可。而质数的辨别过程：首先，列出这个数的所有因数，其次，得辨别这些因数是否只有1和本身，最后，方可根据特征进行判断。其间，哪一步出错都会造成判断失误。就此而言，质数合数的教学较奇偶更难。另外，这两个概念的掌握与后续的质因数，最大因数，最小公倍数及其应用息息相关，本节课学习的重要意义不言自明了。

研究目标：

1、借助对“找因数”的检测引入教学，让学生在观察，分析，分类的活动中去

发现数的共性与差异，深入理解质数，合数的特征。

2、能运用其特征，准确决断一个数是质数，还是合数。

研究要点：通过对数的分类，发现并掌握质数、合数的特征。

研究形式：独立研究，小组合作，集体分享

研究流程：

一、前置检测：

1、找出下表中各数的所有因数；

2、思考：如果将这些数分类，你想如何分，为什么？

二、课堂探究

（一）你对以上的数是如何的分类的？分类标准是什么？

1、按奇偶分；

2、按大小分；

3、按因数个数多少分

按因数个数分肯定有分歧，从分歧入手开始讨论，如何分比较合理？

（二）统一分类标准，引入“质数”“合数”

师：刚才小朋友发现表中的数，有的有1个因数，有的有2个，有的有3个、4个……到底如何来分才易于我们把这些数更清晰的归类，更便于我们掌握呢？

分小组研究分类方法，并说出你们的理由。

情境预设：

第一种：1个因数的分一类，2个因数的分一类，3个因数的分一类……第二种: 因数个数为单数的,因数个数为双数的

第三种: 1个因数的，2个因数的，2个因数以上的。

（三）组际间互动交流

1、说说各种分类情况的优劣，之后进行取舍

2、观察列表，关于质数合数有什么新的发现,说说看？

1既不是质数也不是合数

除2外的质数都是奇数

最小的质数是2，没有最大的质数

最小的合数是4，没有最大的合数

合数不一定是偶数

奇数不一定是质数

奇数有可能是合数：9、15……

（四）归纳小结

在我们的数学中，采用了第三种分类方法。按因数的个数来分。只有一个因数的中只有“1”单列为一类；有两个因数（1和本身）的数我们把它叫做“质数”；有两个以上的因数（除了1和本身，还有别的因数的数）我们把它叫做“合数”

回看刚才的表格：说说哪些是质数，哪些是合数？

师：谁发现了今天我们认识的“质数”‘合数“和”1“正好组成了什么数？

质数

合数正整数（非零自然数）

1

三、反馈检测

（一）基础餐

1、下面说法正确吗？

2是偶数，所以它一定是合数；

质数一定是奇数

1既不是质数，也不是合数

最小的质数是2，最小的合数是4

9是一位数中最大的合数

个位是1、3、5、7、9的数都是质数

质数（2除外）的个位一定是1、3、5、7、9

2、判断下列各数哪些是质数？哪些是合数？

17、22、29、35、47、87、91

3、用“筛法”筛出100以内的质数。

（二）自选餐

1、熟记20以内的质数

2、熟记100以内的质数

质数的个位是多1、3、5、7、9

个位是1、3、5、7、9的不一定是质数

第六节练习课

练习内容：北师版第九册P12——P13

练习目标：巩固对因数，倍数，奇数，偶数，质数，合数的认知，深化理解它们之间区别与关联。能运用知识进行简单的应用。

练习要点：

理解因数倍数是一组相关联的数，互相依存

奇数和偶数；质数和合数是按不同的标准对整数进行的分类

练习流程：

一、课堂检测，发现问题

（一）填空

1、A 是一个正整数，它的最大因数是（），它的最小因数是（），最小倍数是（）

2、在8、17、0、-32、90.7、38、2、9

12

11

这些数中，自然数有（）整数有（），偶数有（），奇数有（），质数有（），合数有（）3、最小的一位合数是（），它是质数（）的平方。

4、与最小的合数（）相邻的两个质数分别是（）和（）

5、20以内既是奇数又是合数的数有（），20以内是2、3倍数

的数有（），是3、5的倍数的数是（），既是2的倍数，又能被3整除，还有因数5的最小两位数是（）

6、有两个质数的和是24，可以是（）+（），（）+（）或（）+（）。

7、两个质数的积是91，这两个质数的差是（）8、既是质数，又是偶数的最小自然数（），既是质数，又是奇数的最小数（）；既不是质数，又不是合数的数（）；既是奇数，又是合数的最小的数（）8、5（）（）0是个只有两个数字相同的四位数，它同时是2、3、5的倍数。这样的四位数最小是（），最大是（）（二）判断

1、在自然数中最小质数是1，最小的合数是2

2、因为10×5=50，所以50是倍数，10是因数。

3、正整数中，不是质数就是合数

4、1是所有质数的因数

5、两个不同的质数相乘，积一定是合数

6、一个合数至少有3个因数

7、三个相邻的自然数中至少有一个合数。8、三个相邻的自然数中至少有一个质数（三）简单应用

1、王叔叔向羽毛球厂定购了91个羽毛球，厂里的包装盒有2个一盒的，有3个一盒的，也有5个一盒的。他要选择哪种包装盒最经济？为什么？如果要使得每种包装盒都适宜，王叔叔至少要增订多少个羽毛球？

2、老师拿卷彩带，分别有24分米、20分米，要把它们截成同样长的小段分给小朋友做手工，而没有剩余的，每个小朋友最多能分到多少分米？二、集体订正，学生互评三、提出问题，交流解决

1、既是2的倍数，又能被3整除，还有因数5的最小两位数是（30 ）

我们知道，能同时被2、5整除的数，个位一定是0，所以，这个两位数是个整十数，又要是3的倍数，十位至少是3。 2、有两个质数的和是24，可以是（）+（），（）+（）或（）+（）。

3、两个质数的积是91，这两个质数的差是（）

以上两题有异曲同工之妙，都是考查大家对100以内质数的熟悉程度，如果能遵循有序思考的原则，就不难解决2+，3+、5+、7+、11+……

91除1和本身就只有一组因数;13和7

4、5（）（）0是一个四位数，它同时是2、3、5的倍数。这样的四位数最小是（），最大是（）

个位是0满足2、5，只需考虑3的倍数。最大百位填9，十位填1；最小思路一致。

5、应用问题第二题，只要是24和20的公因数就满足条件。

四、修正错误

五、整理错题

第七节数的奇偶性

研究内容：北师版第九册P14——P15

学情分析；根据事件发生的奇偶性来解决一些生活问题，十分有趣，对于孩子

来说很有吸引力。但在玩味问题的同时，学生更关注的是自己解决问题的结果，容易忽视从生活中去提取其间所应用到的数学策略方法。因此，引导学生在解决问题之后，回顾方法，提炼、总结方法，使这些方法能在广泛的生活空间中加以应用，才是我们真正需要达成的目标。

研究目标：

鼓励学生用自创的方法（画图，列表）等去解决生活中的问题，在解决问题的过程中，让学生体验感悟运用数的奇偶性解决生活问题的准确与便捷。

借助对加法中奇偶变化规律的探索，提升学生推理能力。

研究要点：了解并能运用数的奇偶性来解决数学或生活问题

研究形式；小组合作

研究流程：

一、前置学习

（一）举例说明

奇数+奇数=？偶数+偶数=？奇数+偶数=？

奇数-奇数=？偶数-偶数=？奇数-偶数=？（偶数-奇数=？）

奇数×奇数=？偶数×偶数=？奇数×偶数=？

奇数÷奇数=？偶数÷偶数=？（奇，偶）

二、课堂探究

（一）在前置作业中你有什么发现？与大家交流

两个偶数无论是加，减，乘结果都是偶数。

两个奇数相加、减结果为偶数

两个奇数相乘、除结果为奇数

一奇和一偶相加、减结果为奇数

一奇和一偶相乘，结果一为偶数

（二）反馈检测

基础餐：完成P15试一试

（三）出示P14上的生活问题，共同解决

情境预设：

1、学生各抒己见，谈谈自己的结论

生：南；生；北；生：不知道

2、分小组讨论，重在说理。（老师建议：可以用大家便于理解的图，表，式来表示船行的过程）

小船最初在南岸，从南到北，再从北回南，不断往返。

第十一次后，船在南还是在北？为什么？

第100次后，小船在北岸，对吗？

3、生生交流：

我们发现：奇数次时船在北岸，偶数次时船在南岸，由此推断11次是奇数次，所以船在北岸。

11次是奇数次，所以船在北岸。100次后则在南岸.

生;第一次南,第二次北,第三次南,第四次北……

（四）师引导小结:无论大家用什么形式来展现船行的过程，在研究的过程中都有一个共同的特点，没有一组是真正将行船次数做到了第十一次，更没有展示第100次，这是为什么呢？

生：在研究中，我们发现行船的结果只有两种，一南一北，在做几次后，行船的规律便呈现出来了，只要是奇数次便在北岸，而偶数次则回到南岸，因此我们便可以根据总次数的奇偶性推论结果，而不必一次次地去画了。

师：看来数的奇偶性还真有用处。

（五）反馈检测

基础餐P14试一试

三、反馈检测

第八节找最大公因数

研究内容：北师版第九册P45——P46分数的意义

学情分析：

学生已经理解了因数和倍数的意义，能用乘法算式、集合等方式列举出一个数的因数。因此用列举法找最大公因数没有困难。而对于短除法求最大公因数和利用倍数关系、互质数关系确定最大公因数尚未接触过，这也是本节课需要解决的主要问题。

研究目标：

1、通过自学和反馈交流，理解公因数和最大公因数的意义，沟通因数、公因数和最大公因数的区别和联系。

2、掌握求两个数最大公因数的方法，会选择合适的方法正确的求两个数的最大公因数。能初步应用求最大公因数的方法解决生活中的简单实际问题。

研讨要点：

理解公因数和最大公因数的意义，会用不同的方法：枚举、短除式等求两个数的最大公因数。在求解过程中认识并理解“互质”的意义，并能正确判断两数是否具有互质关系。

研究形式：

自主尝试小组讨论集体研讨

前置作业：

自学书45页

（1）书上介绍了（）和（）两个数学概念。

（2）你认为公因数和最大公因数与什么知识有关？（因数）

（3）你认为可以怎样求两个数的公因数和最大公因数？（可以举例说明）

研究流程：

第一环节：自学反馈

1、列举法求两个数的最大公因数及公因数和最大公因数的意义。

（1）你是怎样求18和24的最大公因数的，谁来说说？

（2）学生反馈：

18的因数有1，2，3，6，9，18。

24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24。

18和24的公因数有1，2，3，6。

18和24的最大公因数是6。

小结：18和24公有的因数，叫做它们的公因数。公因数中最大的一个因数，叫做它们的最大公因数。

第二环节：研究求最大公因数的方法

2、求两个数最大公因数的其他方法