陈世民理论力学简明教程(第二版)答案第六章

第六章 分析力学

滚滚长江东逝水，浪花淘尽英雄。达朗贝尔，拉格朗日，哈密顿等许多前贤相聚于此“力学论剑”，其“冲击波”使非线性问题也不攻自破。长江后浪推前浪，你也许在此可以更加“得意忘形‘。微分方程将叱咤风云。 [要点分析与总结]

1虚功原理：（平衡时）

理想条件下，力学系的平衡条件是各质 点上的主动力所作的虚功之和为零：

1

0n i i i W F r δδ==∙=∑

用广义坐标来表述：

310n i

i i x W F q q αα

δδ=∂==∂∑ 2达朗贝尔原理（动力学下的虚功原理）：

1

()0n i i i i i W F m r r δδ==-∙=∑

〈析〉r δ，W δ均是在时间未变化（0dt =）时所设想的量，而广义坐标a q 可以是角度，长度或其它的独立的坐标变量。 3拉格朗日方程

()d T T

Q dt q q ααα

∂∂-=∂∂ (1,2,3,,a s = 在保守力下，取拉氏数 L T V =-

方程为：

()0d L L dt q q αα

∂∂-=∂∂ 若拉氏数中L 不显含广义坐标q β，则：0L

q β

∂=∂ 即 循环积分： L

p const q

ββ∂==∂ 4微振动

非线性系统在小角度近似下，对拉氏方程的应用 5哈密顿函数与正则方程 （1） 哈密顿函数

1(,,)s

H p q t L p q

ααα==-+∑ 式中T L

p q

q ααα∂∂=

=

∂∂ 为广义坐标动量 （2） 正则方程

H

q

P H

p

q H L

t t

αααα

∂=∂∂=-∂∂∂=-∂∂ (1,2,3,,

a s = 若哈氏函数H 中不显含广义坐标q β，则：0H

p

q ββ

∂=-=∂ 即：循环积分 T

p const q

ββ∂=

=∂ 在稳定条件下（H 中不显含t ），1

2s

p q T ααα==∑ 则有能量积分：

H T V =+

6泊松括号

1

[,](

)s

G H G H

G H q p p q ααααα

=∂∂∂∂=-∂∂∂∂∑ 7哈密顿原理与正则变换 （1）哈密顿原理

保守力系下：2

1

0t t Ldt δ=⎰

定义：2

1

t t S Ldt =⎰为主函数

（3） 正则变换

通过某种变数的变换，找到新的函数*H ，使正则方程的形式不变（相当于坐标变换）。 新的正则变量：

12s 12s 12s 12s P =P (p ,p p ;q ,q ,q ;t) Q = Q (p ,p p ;q ,q ,q ;t)

αααα

正则变换的条件：

*

11

(P Q )()(

Q )s

s

p dq d H H dt

U U U

dq d dt q Q t

dU

ααααα

ααααα==-+-∂∂∂=++∂∂∂=∑∑ 依上亦可得：

*P U p q U Q U H H t

αααα

∂=

∂∂=-

∂∂-=

∂

U 为母函数，当 P α，Q α，H 不显含t 时，

以上条件等于：1

(P Q )s

p dq d ααααα=-∑dU =

〈析〉：正则变换妙在不解方程而使问题出解。“得意忘形”到极点了。

[解题演示]

1. 一长为0l 质量为m 的匀质棒，斜靠在固定的半球形碗的边缘，一端置于碗内，如图。已知碗是光滑的，半径为r ；棒在碗内的长度为l

(2)

l r <。用虚功原理证明棒的全长为

2204(2)

l r l l

-=

。 解：如右图所示，取定,αβ。依几何关系知：4

2

π

α

β=

-

依余弦定理：22

2

2sin cos()*22l r r

π

αα-=-+= 知：杆的势能：00(sin cos )[sin()cos ]22

4

2

l l V mg r mg r πα

βαα=-=--

因静平衡，应用虚功原理得：0[cos()sin ]0442

l dV mg r d πα

αα=--+= 得：0cos()sin 4

4

2

l r πα

α-=

两边平方并代入*可解得：2204(2)

l r l l

-=

2. 用绳子等距离地在定点O 处悬挂两个相同的匀质球，两球之上另放置一相同的球体，如图。已知分别悬挂两球的绳长都是l 。用虚功原理求出α角与β角之间的关系。 解：依受力分析知tan 2

T mg

F β=

且：2(cos )(cos 2cos )2(sin )T W mg l mg l r F l δδαδαβδα=-+-+

2sin sin 2sin 2cos T mgl mgl mgl F l αδααδαβδβαδα=--++

则：依虚功原理达到平衡时有：

3sin 2cos T W

mgl F l δααδα

=-+

3sin tan cos 0

mgl mgl αβα=-+=

可得： tan 3tan βα=

3. 用轻质橡皮圈捆扎三个置于光滑水平桌面上的相同球体，捆扎的高度与还需心的高度相同。将第四个同样的球体置于三球之上。由虚功原理求出橡皮圈中的张力。已知每个球体的重量为P 。

解：如右图所示。取三个桌面上球的球心所在面，及四球心立体

结构可分析得：0

t d h

===

皮周长：32l d r π=+2r π=

依虚功原理：

T T W mg h F l mg h h δδδδδ=+=-

则依：

0T W mg h δδ=-=

代入： 0

3

t h r ==

得：

T F =

= 4. 一弹性绳圈，它的自然长度为0l ，弹性系数为k ，单位长度质量（线密度）为σ。将此弹性圈套在一半径为0(2)R R l π>的光滑球面上，弹性圈因自重而下滑。用虚功原理法语出平衡时弹性绳圈对球心所张的角度为θ应满足的方程。

解：易知：绳伸长量02sin x R l πθ=- 以O 为参照点，高度为：cos h R θ=

W mg h kx x δδδ=+

00sin (2sin )2cos gl R k R l R σθδθπθπθδθ=-+-

2200sin 2sin 22cos 0W

gl R R k kRl δσθπθπθδθ

=-+-= 化简得：00

2

sin 2cos sin 02l gl R Rk

σθθθππ--= 5. 一半径为R 的半球形碗内装有两个质量分别为1m 和2m 的球体，它们的半径同为r （2r R <）。用虚功原理求出这两个球体在碗中平衡时它们的连心线与水平线间的夹角

解：如右图所示，以o 为参照点，取211

2

O OO ϕ∠=， 21O O 与水平线角为θ。则有：1

2

()cos(),()cos()O O h R r h R r ϕθϕθ=---=--+

1

2

1212()sin()()sin()O O W m g h m g h m g R r m g R r δδδϕθδθϕθδθ=+=---+-+

则：

12()[sin()sin()]W

R r g m m δϕθϕθδθ

=----+

1122()[tan tan tan tan ]

cos cos 0

R r g

m m m m ϕθϕθϕθ

-=----=

代入tan ϕ==

得：12

12tan tan m m m m θϕ-=

+

θ= 6. 一轻杆长为2l ，一端光滑铰链于固定点O ，另一端点及中点分别焊接有质量为m '和m 的小球。杆可在铅直平面内绕固定点摆动。写出此力学 系统的拉格朗日函数，并求出其作微小摆动时的周期。

解：以O 为参照点，取杆与竖直方向夹角为θ。则有：

2222cos (2cos )(2)cos 114222

m m

V mgl m g l m m gl m m T J J l θθθ

θθθ'''=-+-=-+'+=+=

拉氏函数： 22

4(2)cos 2

m m L T V l m m gl θθ'+'=-=

++ 解拉氏方程：2()(4)(2)sin 0d L L m m l m m gl dt θθθθ

∂∂''-=+++=∂∂ 微振动，取近似sin θθ ， 得：

24m m g m m l

θ

θ

'+=-'+

积分：

)A θ=+B （A ，B 为积分常数）

则：(

)22T πω

=

=周期7. 一半径为r 质量为m '的圆柱形轱辘，其轴线沿水平方向。轱辘上绕有长为l 的轻绳，绳的自由端系一质量为m 的重物。初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止。尔后重物下落带动轱辘转动。写出此力学系列化的拉格朗日函数，并求出绳子完全释放时轱辘转动角速度的大小。

解：如右图，取θ为转过的角度，x 为下降的距离。有：x r θ=。

取O 为参照点： V mgx mgr θ=-=-

22

1122o T J mx

θ=

+ 则： 22

24

m m L T V r mgr θθ'+=-=+

22()()02

d L L m m r mgr dt θθθ'∂∂+-=-=∂∂

得： 22d m g d m m r

θθθθ=='+

积分得：24(2)mg m m r

θ

θ=

'+

当完全释放（L

r

θ=

）时：L r

θωθ=

==

8. 上题中，如果绳子具有弹性，弹性势能为2

2

ks ，s 为绳子的伸长

证明重物m 的运动为维持恒定的加速运动上附加一角频率为ω的振动。其中()22m m k

mm ω'+='

。求出此种振动的振幅。设初始时绳子

完全绕在轱辘上，体系静止，尔后释放

解：参数同上题，则可得:x s r θ=+;22ks V mgx =-+;222

142

ks T m r θ'=+

则： L T V =-

()

()222211422

ks m r m s r mg s r θθθ'=++++-

()()2222112242

ks ms m m r mrs mg s r θθθ'=+++-++ 可得：()21202

0d L L m m r mrs mgr dt d L L ms mr ks mg dt s

s θθθθ⎧∂∂⎛⎫'-=++-= ⎪⎪∂∂⎪⎝⎭⎨∂∂⎛⎫⎪-=++-= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎩

即： ()0

2kr s

J m m s k s g mm θ⎧=⎪⎪⎨

'+⎪=-+⎪'⎩ 积分得： 222

42

400cos cos 2g g s t krg t krgt krg J g J ωωωωθωωω⎧=-+⎪⎪

⎨⎪=+-⎪⎩

式中 ()2

2m m k mm ω'+='

故：x s r θ=+

22242422cos g k kgt g k t m m m ωωωωωω⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪'''⎝⎭

⎝⎭

即得恒定加速度值：2222kg mg

a m m m

ω=

=

''+ 振动角频率： ()2

2m m k mm ω'+='

振幅：()

222

422g k m mg A m k m m ωω'⎛⎫=-= ⎪''⎝⎭+

9. 力学系统如图所示。二滑轮为相同的圆盘，半径为r 质量为m 。悬挂的重物质量分别为1m 和2m ，且1

22

m m m g +<

。初始时系统静止（1）导出此力学系列化的运动微分方程；（2）分别求出两重物下降的速度与重物下落距离h 之间的关系。 解：如右图。依几何关系知：1

2

02m m y y l +=

得：1

2

01

22

m m l y y =-+

取1

m y 作广义坐标有：

()

211211m m m V m gy mgy m g y l =---+

1

2

12o o m m T T T T T =+++

2111222

222

121111122222

m m m m m y y my J J m y m y r r ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()222182716

m y m m m =

++

可得：L T V =- ()()22

2001212111

827216

2

22m m y ml l l m m m m m m y g g m g +⎛⎫

=

+++--+

- ⎪⎝⎭

可得：()()222

21218272082m m m y d L

L g

m m m m m m dt y y ⎛⎫∂∂-=++---=

⎪ ⎪∂∂⎝⎭ 即得系统运动的微分方程：2

12214(2)

827m m m m y g m m m

+-=++

再对其进行第一积分：222

2

2

2

21

()2m m m m m m d y

dy y y

dy dy ==

可积得：

2

2

1

1

2

12

m m m m m y

y

y υυ====-=

10. 一质量为m ，半径为r 的小圆住体，置于一半径为R 的大圆柱面的内侧作纯滚动。写出小圆柱体的拉格朗日函数，并求出在最低点附近小圆柱体作微小振动时的周期 解：以O 为参照点：

22222

()cos 1133()[()]()2224

V mg R r T J mr R r m R r r r θ

υθθ

=--==-=- 则：223

()()cos 4

L T V m R r mg R r θθ=-=-+-

23()()()sin 02

d L L m R r mg R r dt θθθθ∂∂-=-+-=∂∂

得：]A B θ=+

即：22T π

π

ω

=

= 11. 一质量为m ，半径为r 的小圆柱体，放在半径为R 的另一大圆柱体上，大圆柱体m '则置于粗糙的水平面上。两柱体的轴相互平等，质心在同一竖直平面内，初始时力学系统静止。若以初始时大圆柱体的质心为固定坐标系的坐标原点，证明此后的任意时刻小圆柱体的质心坐标为

(3)sin (),()cos 3()

m m m m m x R r y R r m m θθ

θ'++=

+=+'+

解：由于纯滚动则：()C R r R υθϕ

=+⨯+⨯

得： ()22222[cos ]sin C R r R R υθϕ

θϕθ=+-+ ()()2222[2cos ]R R r R R r ϕ

θθϕθ=++-+ 有： L T V =-

()()22222

222311[]()cos 44231()44

C m R m R r R m mg R r m m R m R r ϕθϕυθϕ

θ'=

++++-+'=+++ 1

()(cos )(1cos )()2

mR R r mg R r θϕ

θθ++--++ 则：

231()()(cos )022

L m m R mR R r const ϕθθϕ∂'=+++-==∂ 得：(sin )

()3()

m R R r m m θθϕ-=

+'+

所以： (3)sin ()sin ()3()

m m m m x R r R R r m m θθ

θϕ'++=+-=+'+

()cos m y R r θ

=+

点评：其实此类题用能量变分法有时更简单（对t 或关于t 变量的变分为零）。此题中：

()

0dE d T V d d ϕϕ

+== 。 12. 小球1和小球2的质量分别为1m 和2m ，用绳子相连，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔。小球1在桌面上运动，小球2则垂直悬挂在桌面下。写出此力学系的拉格朗日函数和所有的第一积分。设绳长为l 。

解：设1m 到孔的距离为r 。以孔为参照点有：

2221211

1()22

T m m r m r θ=++ （此式中用到12r r r =-= ）

2()V m g l r =-- 222121211()()22

L T V m m r m r m g l r θ=-=

+++- （1）L 中不含积分θ，循环积分：210L

m r L θθ

∂==∂

（2）能量表达式中不含t ，能量积分： 2221212

0()11()()22

t

d T V E T V m m r m r m g l r dt θ+==+=++--⎰

13. 长为2l ，质量为m 的匀质棒，两端分别用长都为s 的轻绳垂直悬挂。今若突然将其中一根绳子剪断，用拉格朗格日方程求出棒下落的运动微分方程。 解：参量及坐标如右图所示。则：

(cos cos )[sin()sin ]C r s l j l s i θϕϕθ=-++--

221122

C C T mr J ϕ=+ 2222222211[(sin cos )(cos cos )]2621cos()32

m s l l s ml ml ms msl θθϕϕϕϕθθϕϕθθϕϕθ=

++-+=++-

(cos cos )V mg s l θϕ=-+

故：L T V =-

2222

21cos()(cos cos )32

ml ms msl mg s l ϕ

θθϕϕθθϕ=

++-++ 得拉氏方程：()0()0

d L L

dt d L L dt θθ

ϕϕ∂∂⎧-=⎪∂∂⎪⎨

∂∂⎪-=∂∂⎪⎩

微分方程为：

2222cos()sin()sin 04cos()sin()sin 03

ms msl msl mgs ml msl msl mgs θϕϕθϕϕθθϕ

θϕθθϕθϕ⎧+---+=⎪

⎨+-+-+=⎪⎩

14. 一半径为r ，质量为m 的圆环，用三根长度都为l 的无弹性轻绳在等弧点处水平悬挂，成一扭摆，如图所示。求此扭摆绕中心铅直轴扭转的微振动周期T 。 解：易分析得： L T V =-

22222111(1cos )222

ml mgl ml mgl θθθθ=

+-≈- （用到2

cos 12

θθ-

）

2()0d L L ml mgl dt θθθ

θ∂∂-=+=∂∂

得：)A B θ=+

22T π

ω

=

=

15.如图所示的耦合摆，若两摆锤的质量不同，分别为m 和m '。求

此耦合摆的本征频率。初始条件为0t =时，0,0θθϕθϕ

==== ，仅第一个摆有微小偏移0θ，求第二个摆可能达到的最大摆幅。当第二个摆的摆动最大时，第一个摆的摆幅是否为零？

解：2

22()2

l T m m θϕ

'=+ 201

[(1c o s )(1c o s

)]()

2V g l m m k s s

θϕ'=-+-+- 0(c o s c o s )(c o s

s i n )s l i l j s θ

ϕϕθ=-+-+

经泰勒展开：222221

1()(2)22

V gl m m kl θϕθθϕϕ'=++-+

L T V =-关于θ与ϕ的拉氏方程为：

()0()0g k

k l m m

k g k m l m θθϕϕθϕ⎧++-=⎪⎪⎨

⎪-++=⎪''⎩

令 i t i t

A e A e

ωθ

ωϕθϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 代入得：2

2()0()0

g k k A A l m m

k g k A A m l m θϕθϕ

ωω⎧+--=⎪⎪⎨⎪-++-=⎪''⎩

A θ，A ϕ有解的条件：2

20g k k l m

m

k g k

m l m ωω⎛⎫

+--

⎪=

⎪ ⎪-+-

⎪''⎝

⎭

可解出：2()

,g g

k m m l l mm ω'+=+'

且：

(1,2)

(3,4)

(1,2)

(3,4)

1,

m A A A A m

θθϕϕ'

==-

。则θ与ϕ通解为： 12341234i t i t i t i t i t i t

i t i t A e A e A e A e m m A e A e A e A e

m m ωωωωθθθθωωωωθθθθθϕ''--''--⎧=+++⎪⎨''=+--⎪⎩

式中ωω'=

=代入0t =时，0,0θθϕθϕ

==== 可解出： 123400

,2()2()

m m A A A A m m m m θθθθθθ'==+=''++

且令：,2

2

A B ωωωωωω'

'

-+=

=

则：0002sin sin (sin sin cos cos )cos()A B A B A B A B m t t m m t t t t t

θϕωωθϕθωωωωϕθωω⎧

=⎪'+⎨

⎪=--=++⎩

第二个摆的最大摆幅：0

max 2m m m θϕ=

'

+

此时：sin sin 1,cos cos 0A B A B t t t t ωωωω==

则有：max

max 00m m m m

ϕθ

ϕθθ'

-=-=

'+ 16. 摆长为l ，摆捶质量为m 的两个相同单摆串接成为一个双摆，如图。求此双摆在铅直平面内作微振动时的各个本征频率。

解：易知：2

22sin()()cossin()m n l e l e τ

υθϕθϕθϕθ=-++-

（θ，ϕ如右图）

则：221

(2cos cos )(3)2

V mgl mgl θϕθϕ=-+=-+-近似

222222

2111()222

m T ml m ml θυθϕ

θϕ=+=++ 近似 L T V =-可得拉氏方程：222

22200

l l gl l l gl θ

ϕθϕθϕ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 设：i t

i t

A e A e

ωθωϕθϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 可得：22222222

2()0

()0

l gl A l A l A l gl A θϕθϕωωωω⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩ 有非零解条件：22222222

2()0l gl l l l gl ωωωω⎛⎫

-= ⎪-⎝

⎭

易得：2(2g l

ω= 所有本征频率为：

17. 两质量为m 和另一个质量为m '的球体用两根劲度系数都为k 的轻质弹簧沿一直线串接，

如图.求出体系的微振动本征频率 解:取弹簧所在方向建立坐标系，且取参量如右图。有：

22212311()22T m x

x m x '=++ 22312311

()()22V k x x b k x x b =--+--

依振动特点，取简正坐标：112233,,q x q x b q x b ==-=- 代入上式得：

2222212331231

111()()()2

2

2

2

L T V m q

q m q k q q k q q '=-=++---- 得拉氏方程： 1312233321()0()0(2)0

mq k q q mq k q q m q

k q q q --=⎧⎪

+-=⎨⎪'+--=⎩ 设i t

i i

q Ae ω=得： 2132232

312()0()0(2)0k m A kA k m A kA k m A kA kA ωωω⎧--=⎪--=⎨⎪'---=⎩ 方程有非零解的条件：22

200

02k m k

k m k k k

k m ωωω⎛⎫--

⎪--= ⎪ ⎪'---⎝

⎭ 可解得： 220,,

.k m m k m mm ω'

+='

18. 一质量为m 的质点在一光滑锥面的内壁上运动。锥体的半顶角为α，锥体口朝上。以质点离锥体顶点的距离r 及围绕锥体轴线转动的角度ϕ为广义坐标，写出质点的哈密顿函数；当质点绕锥体轴转动的角速度为多大时，可以绕轴作稳定的圆周运动？

解：此系统为保守系，参照如右图所示。则：

22

11(sin )22

cos T m r mr V mgr ϕ

αα

=

+= 定义广义动量：22,sin r T T

p mr p m r r ϕϕαϕ

∂∂=

===∂∂

得： 22,sin r

p p r

m mr ϕϕα

== 则： 2

2

22cos 2sin 2r p p H T V mgr mr m ϕαα=+=++

得： 232

cos sin r p H

p mg r mr ϕαα

∂=-=-∂ 联： ()r d mr

p

mr

dt

== 当稳定时：0r = ，此时：23

2

cos 0sin r p p

mg mr ϕαα

=-=

代入：22sin p m r ϕϕ

α= 可解得：

ϕ

=

19. 一质量为m 的质点在三维势场()V r 中运动。以球坐标r ，θ和

ϕ为质点的广义坐标，写出此质点的哈密顿函数。哪些广义坐

标为循环坐标？并写出相应的循环积分。 解：如右图取地球中心为坐标原点，取参数如图.则:

222222211(sin )22T m m r

r r GMm k V r r

υθθϕ=

=++=-=-

则:哈密顿函数为:2222221(sin )2k H T V m r r r r

θθϕ=+=++- 广义动量坐标:222sin r T

p mr r T p mr T p m r θϕθθϕθϕ⎧∂==⎪∂⎪

∂⎪

==⎨∂⎪

∂⎪

==⎪∂⎩

得： 2

22sin r p r m p mr p mr θ

ϕθϕ

θ⎧=⎪⎪

⎪=⎨⎪

⎪

=⎪⎩

代入H 得：222

2221()2sin r p p k H T V p m r r r

ϕθα=+=++-

上式中不含ϕ，故ϕ为循环坐标故：

22sin p m r C const ϕϕ

θ=== 22sin C

mr ϕ

θ

=

20. 写出对称陀螺丝绕其顶点O 作定点运动的哈密顿量。设陀螺关于对称轴及横轴的转动惯量分别为I,*I .质心离项点的距离为l .

解:依题参数如右图则有:

2222222**1111()(sin )(cos )2222

x y z z z T I I I I ωωωθθϕϕθψ=

++=+++ cos V mgl θ=

则: *2*sin cos (cos )(cos )z T p I T

p I I T

p I θϕψθ

θϕθθϕθψϕϕθψψ⎧∂==⎪∂⎪⎪∂=

=++⎨∂⎪

⎪∂=

=+⎪∂⎩

可得: *

2

*cos sin cos z p I p p I p

I θ

ϕψψθθϕθϕ

θψ⎧=

⎪⎪⎪-⎪=⎨⎪

⎪⎪+=⎪⎩

则：2

222**(cos )

cos 22sin 2p p p p H T V mgl I I I

ϕψψθθθθ-=+=+++

21. 力学量A ，B 和C 都是体系正则变量的函数，证明它们的泊松括号存在如下关系：

[,]A B =[,]B A -；[,]A B C +=[,][,]A C B C +；

[,]AB C =[,][,]A C B A B C +

解：证明： （1）1[,](

)s

A B A B A B q p p q ααααα

=∂∂∂∂=-∂∂∂∂∑

1

(

)

[,]

s A B A B

p q q p B A ααααα=∂∂∂∂=--∂∂∂∂=-∑

（2）1

()()[,]{

}s

A B C A B C

A B C q p p q ααααα

=∂+∂∂+∂+=-∂∂∂∂∑

111(

)

(

)()[,][,]

s

s

s

A C

B

C A C B C q p q p p q p q A C A C B C B C

q p p q q p p q A C B C ααααααααα

αααααααααα

===∂∂∂∂∂∂∂∂=+--∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂∂∂∂=+∑∑∑ （3）1

()()[,]{

}s

A B C A B C

AB C q p p q ααααα

=∂∙∂∂∙∂=-∂∂∂∂∑

11

{[(

)()][()()]}{(

)()}[,][,]

s

s

A B C A B C B A B A q q p p p q A C A C B C B C

B A q p p q q p p q A

C B A B C ααααααα

ααααααααα

==∂∂∂∂∂∂=+-+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=

-+-∂∂∂∂∂∂∂∂=+∑∑ 22. 证明，任何正则变量的函数，12s 12s G(p ,p p ;q ,q ,q ;t) ，存在如下关系：