2022年上海市长宁区中考数学二模试题及答案解析

2022年上海市长宁区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在实数3.14、0、√8、π2、22

7、√49

中，无理数有( )

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

2. 下列各题的运算结果是五次单项式的是( ) A. 2mn 2+3mn 2 B. 3mn 3×2m

C. (3m 2n)2

D. (2m 2)3

3. 如图，已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，P 是直线l 外的一点，BC =2AB ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. −2m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ B. −m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ C. 2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ D. 4m

⃗⃗⃗ −3n ⃗ 4. 小张从外地出差回家，根据当地防疫要求，需进行连续14天体温测量，具体结果如表：

那么这14天小张测量的体温中，体温的众数和中位数分别是( )

A. 36.1℃，36.3℃

B. 36.5℃，36.3℃

C. 36.3℃，36.4℃

D. 36.5℃，36.4℃

5. 一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能

是( )

A.

B.

C.

D.

6. 已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，cotA =65，那么以边AC 长的3

2倍为半径的圆A 与以BC 为直

径的圆的位置关系是( )

A. 外切

B. 相交

C. 内切

D. 内含

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7. 计算：xy 6÷xy 3=______．

8. 分解因式：4a 2−16=______．

9. 方程√7−x=3的解是______．

10. 将直线y=−2x+6向左平移三个单位后，所得直线的表达式为______．

11. 已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=12

的图象经过位于x轴上方的点A，点B的

x

坐标为(−4,0)，且△AOB的面积等于8，那么点A的坐标为______．

12. 盒子里只放有2只红球、3只白球，这五只球除颜色外其他都相同．如果从这个盒子里摸出两只球，那么摸出的两只球都是红球的概率等于______．

13. 纳米(nm)是长度单位，1纳米为十亿分之一米，即1nm=10−9m.一根头发的直径约为0.005cm，那么0.005cm=______nm.(用科学记数法表示)

14. 某商店销售A、B两种型号的新能源汽车，销售一辆A型汽车可获利2.4万元，销售一辆B 型汽车可获利2万元．如果该商店销售A、B两种型号汽车的数量如图所示，那么销售一辆汽车平均可获利______万元．

15. 已知一个正多边形的中心角为45°，边长为5，那么这个正多边形的周长等于______．

16. 已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD，BD=BC，那么∠A等于______度．

17. 我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数√5−1

2

的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于______．

18. 如图，M是Rt△ABC斜边AB上的中点，将Rt△ABC绕点B旋转，使得点C落在射线CM上的点D处，点A落在点E处，边ED的延长线交边AC于点F.如果BC=6，AC=8，那么CF的长等于______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19. 计算：512+2−1−|√5−2|+(2022−π)0．

四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. (本小题10.0分)

解不等式组：{2x+3≤5

x

2

+1

3

>x−2

6

，并写出这个不等式组的自然数解．

21. (本小题10.0分)

如图，已知在半圆O中，AB是直径，CD是弦，点E、F在直径AB上，且四边形CDFE是直角梯形，∠C=∠D=90°，AB=34，CD=30.求梯形CDFE的面积．

22. (本小题10.0分)

在同一条公路上，甲车从A地驶往B地，乙车从B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲车行驶2小时后，因故停车一段时间，然后按原速继续驶往B地，最后两车同时到达各自的终点．如果甲车的速度比乙车每小时快10千米，如图表示甲车离A地的路程S(千米)与时间t(时)

的函数关系，问：

(1)甲、乙两车行驶时的速度分别为每小时多少千米？

(2)两车在离A地多少千米处相遇？(结果保留三位有效数字)

23. (本小题12.0分)

已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，G是线段AD上一点，且AG=2GD，联结BG并延长，交边AC于点E．

(1)求证：AE

CE =2BD

BC

；

(2)如果D是边BC的中点，P是边BC延长线上一点，且CP=BC，延长线段BE，交线段AP于点F，联结CF、CG，求证：四边形AGCF是平行四边形．

24. (本小题12.0分)

如图，已知菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点D的坐标为(4,1)，抛物线

y=5

6x2+bx+c经过点A、B、D，对称轴为直线x=23

10

．

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：菱形ABCD是正方形；

(3)联结OC，如果P是x轴上一点，且它的横坐标大于点D的横坐标，∠PCD=∠BCO，求点P的坐标．

25. (本小题14.0分)

如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，P是边BC上一点，∠APC=45°，PD⊥AB，垂足为点D，AB=4√5，BP=4．

(1)求线段PD的长；

(2)如果∠C的平分线CQ交线段PD的延长线于点Q，求∠CQP的正切值；

(3)过点D作Rt△ABC的直角边的平行线，交直线AP于点E，作射线CE，交直线PD于点F，求

CE

的值．

EF

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：在实数3.14、0、√8、π

2、227

、√49

中，无理数有√8，π

2，共2个，

故选：C ．

根据无理数的定义逐个进行判断即可．

本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的关键．

2.【答案】B

【解析】解：A 、2mn 2+3mn 2=5mn 2，5mn 2是三次单项式，不符合题意； B 、3mn 3×2m =6m 2n 3，6m 2n 3是五次单项式，符合题意； C 、(3m 2n)2=9m 4n 2，9m 4n 2是六次单项式，不符合题意； D 、(2m 2)3=8m 6，8m 6是六次单项式，不符合题意； 故选：B ．

根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、积的乘方法则计算，判断即可． 本题考查的是合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．

3.【答案】A

【解析】解：∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ −m ⃗⃗⃗ ， ∵BC =2AB ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ ，

∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ =−2m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ ． 故选：A ．

AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ −m ⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ ，再根据PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得出答案． 本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的计算是解答本题的关键．

4.【答案】D

【解析】解：出现次数最多的数36.5℃，

所以这组数据的众数为36.5℃，

这组数据的中位数是第7、8个数据的平均数，

=36.4(℃)．

所以这组数据的中位数为36.3+36.5

2

故选：D．

根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数求解即可．

本题主要考查中位数和众数，解题的关键是掌握中位数和众数的定义．

5.【答案】B

>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，【解析】解：A、由抛物线可知，a>0，x=−b

2a

故本选项不符合题意；

>0，得b<0，由直线可知，a>0，b<0，故本选项符合B、由抛物线可知，a>0，x=−b

2a

题意；

>0，得b>0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项不符C、由抛物线可知，a<0，x=−b

2a

合题意；

>0，得b>0，由直线可知，a>0，b<0，故本选项不符D、由抛物线可知，a<0，x=−b

2a

合题意．

故选：B．

本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx的图象相比是否一致．

本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．

6.【答案】C

【解析】解：取BC的中点D，连接AD，

在Rt△ABC中，∠C=90°，cotA=AC

BC =6

5

，

设AC=6a，BC=5a，

∴3 2AC=9a，CD=1

2

BC=5

2

a，

∴3 2AC−CD=13

2

a，

∴AD=√AC2+CD2=13

2

a，

∴以边AC长的3

2

倍为半径的圆A与以BC为直径的圆的位置关系是内含，故选：C．

取BC的中点D，连接AD，通过解直角三角形可设AC=6a，BC=5a，则3

2AC=9a，CD=5

2

a，

再根据圆与圆的位置关系判定可求解．

本题主要考查解直角三角形，圆与圆的位置关系，掌握圆与圆的位置关系是解题的关系．

7.【答案】y3

【解析】解：xy6÷xy3=y3，

故答案为：y3．

根据整式的除法法则进行计算，即可解答．

本题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键．

8.【答案】4(a+2)(a−2)

【解析】解：4a2−16=4(a2−4)=4(a+2)(a−2)．

故答案为：4(a+2)(a−2)．

首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．

此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．

9.【答案】x=−2

【解析】解：√7−x=3，

两边平方得：7−x=9，

解得：x=−2，

经检验x=−2是原方程的解，

即原方程的解是x=−2，

故答案为：x=−2．

两边平方得出7−x=9，求出方程的解，再进行检验即可．

本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．

10.【答案】y=−2x

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将直线y=−2x+6向左平移三个单位后，所得直线的表达式为y=−2(x+3)+6，即y=−2x．

故答案为：y=−2x．

根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．

11.【答案】(3,4)

【解析】解：由反比例函数y=12

x

的图象经过位于x轴上方的点A，

设A点的横坐标为a，则其总之能为12

a

，

∵点B的坐标为(−4,0)，

∴OB=4，

∴S△AOB=1

2OB⋅12

a

=8，

即1

2×4⋅12

a

=8，解得：a=3，

则12

a

=4，∴A(3,4)，

故答案为：(3,4)．

设A点的横坐标为a，则其总之能为12

a

，再利用三角形的面积公式得出结论．

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数的性质是解题的关键．

12.【答案】1

10

【解析】解：画树状图如下：

由树状图知，共有20种等可能的结果，其中摸出的两只球都是红球的结果有2种，

∴摸出的两只球都是红球的概率为2

20=1

10

，

故答案为：1

10

．

画树状图，共有20种等可能的结果，其中摸出的两只球都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可．

此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

13.【答案】5×104

【解析】解：纳米(nm)是长度单位，1纳米为十亿分之一米，即1nm=10−9m，

一根头发的直径约为0.005cm，0.005cm=5×104nm(用科学记数法表示)．

故答案为：5×104．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

14.【答案】2.16

=2.16(万元)，

【解析】解：2.4×6+2×9

6+9

即销售一辆汽车平均可获利2.16万元，

故答案为：2.16．

根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得小明的总成绩，本题得以解决．

本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．

15.【答案】40

【解析】解：∵该正多边形的中心角为45°，

∴正多边形的边数为：360°÷45°=8，

∴该正多边形的周长为5×8=40．

故答案为40．

先利用中心角求出正多边形的边数，再利用正多边形的性质求出正多边形的周长．

本题主要考查正多边形的性质，数记正多边形的中心角与边长的关系是解题关键．

16.【答案】108

【解析】解：设∠ADB=x，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=x，

∴∠A=180°−2x，

在梯形ABCD中，AB=CD，

则梯形ABCD为等腰梯形，

∴∠ABC=∠C，

∵AD//BC，

∴∠A+∠ABC=180°，∠DBC=∠ADB=x，

∴∠A+∠C=180°，

∵BD=BC，

∴∠C=∠BDC=1

2

×(180°−x)，

∴180°−2x+1

2

×(180°−x)=180°，

解得：x=36°，

∴∠A=180°−36°×2=108°，

故答案为：108．

先证明梯形ABCD为等腰梯形，得到∠ABC=∠C，进而证明∠A+∠C=180°，分别用∠ADB表示出∠A和∠C，计算即可．

本题考查的是等腰梯形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，用∠ADB表示出∠A和∠C 是解题的关键．

17.【答案】√5+1

2

【解析】解：根据折叠，可知AB=AF，BE=FE，∠BAE=∠FAE，

在矩形ABCD中，∠BAF=∠B=90°，

∴∠BAE=∠FAE=45°，

∴∠AEB=45°，

∴BA=BE，

∴AB=BE=EF=FA，

又∵∠B=90°，

∴四边形ABEF是正方形，

∴EF=BE=AB，

∵矩形ABCD是黄金矩形，

∴AB BC =√5−1

2

，

∴EF EC =√5−1

2−(√5−1)

=√5+1

2

，

故答案为：√5+1

2

．

根据折叠的性质以及矩形的性质可证四边形ABEF是正方形，可得EF=BE，进一步即可求出EF与

CE的比值．

本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．

18.【答案】9

2

【解析】解：如图，连接BF．

在Rt△BFC和Rt△BFD中，

{BF=BF

BC=BD，

∴Rt△BFC≌Rt△BFD(HL)，

∴CF=DF，

∵BC=BD，

∴BF垂直平分线段CD，

∴∠MCB+∠CBF=90°，∠ACM+∠BCM=90°，

∴∠ACM=∠CBM，

∵∠ACB=90°，AM=BM，

∴CM=MA=MB，

∴∠ACM=∠A，

∴∠CBF=∠A，

∵∠ACB=∠BCF=90°，

∴△ACB∽△BCF，

∴BC CF =AC

CB

，

∴CF=CB 2

AC =36

8

=9

2

，

故答案为：9

2

．

如图，连接BF.证明Rt△BFC≌Rt△BFD(HL)，推出CF=DF，证明BF垂直平分线段CD，再证明

△ACB∽△BCF，可得BC

CF =AC

CB

，即可解决问题．

本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．

19.【答案】解：原式=√5+1

2

−(√5−2)+1

=√5+1

2−√5+2+1

=7

2

．

【解析】先计算2−1、(2022−π)0，再把512写成二次根式的形式，化简绝对值，最后加减．

本题考查了实数的运算，掌握零指数、负整数指数幂的意义及实数的运算法则是解决本题的关键．

20.【答案】解：{2x+3≤5①x

2

+1

3

>x−2

6

②

，

解不等式①，得x≤1，

解不等式②，得x>−2，

所以不等式组的解集是−2

所以不等式组的自然数解是0，1．

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的自然数解即可．本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．

21.【答案】解：过O作OM⊥CD于M，连接OD，

∵OM⊥CD，OM过圆心O，CD=30，

∴DM=CM=15，∠OMD=90°，

∵直径AB=34，

∴半径OA=OD=OB=17，

在Rt△OMD中，由勾股定理得：OM=√OD2−DM2=√172−152=8，

∵∠C=∠D=90°，

∴CE⊥CD，FD⊥CD，

∴CE//OM//FD，

∵DM=CM，

∴OE=OF，

∴CE+DF=2OM=2×8=16，

∴梯形CDFE的面积是1

2×(CE+DF)×CD=1

2

×16×30=240．

【解析】过O作OM⊥CD于M，连接OD，根据垂径定理求出DM=CM=15，根据勾股定理求出OM，求出OM是梯形CDFE的中位线，求出CE+DF=2OM，再根据梯形的面积公式求出答案即可．

本题考查了垂径定理，梯形的性质，勾股定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．

22.【答案】解：(1)由两车同时到达各自的终点可知，乙车从B地驶往A地需6小时，

∴乙车的速度为300

6

=50(千米/小时)，

∵甲车的速度比乙车每小时快10千米，

∴甲车速度是50+10=60(千米/小时)，

答：甲车速度是60千米/小时，乙车速度是50千米/小时；

(2)由题意可知，甲车停车时间为6−300

60

=1(小时)，即出发后2小时至3小时，甲车停车，

停车结束时，甲所行路程为2×60=120(千米)，乙车所行路程为3×50=150(千米)，

∴两车再行300−(120+150)=30(千米)即可相遇，

∴相遇处离A地120+30×60

60+50

≈136(千米)，

答：两车在离A地约136千米处相遇．

【解析】(1)用路程除以时间可得乙车的速度，根据甲车的速度比乙车每小时快10千米即得甲车速度；

(2)算出甲车停车结束时两车各自行驶的路程，即知两车再行30千米即可相遇，根据速度比等于路程比可得这30千米中甲车所行驶的路程，即可得到答案．

本题考查乙车函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，求出两车的速度．

23.【答案】(1)证明：如图，过点D作DH//AC，交BE于H，

∵DH//AC，

∴△DHG∽△AEG，

∴DG AG =DH

AE

，

∵AG=2GD，

∴DH=1

2

AE，

∵DH//AC，

∴△BDH∽△BCE，

∴BD BC =DH

CE

=

1

2

AE

CE

，

∴AE CE =2BD

BC

；

(2)证明：如图，

∵D是边BC的中点，∴BC=2BD=2CD，

∴AE CE =2BD

BC

=1，

∴AE=CE，

∵CP=BC=2CD，

∴CD DP =1

3

，

∵AG=2GD，

∴DG AD =1

3

，

∴CD DP =DG

AD

，

又∵∠ADP=∠GDC，∴△DGC∽△DAP，∴∠DGC=∠DAP，∴GC//AP，

∴△GEC∽△FEA，

∴GE EF =CE

AE

=1，

∴GE=EF，

∴四边形AGCF是平行四边形．

【解析】(1)通过证明△DHG∽△AEG，由相似三角形的性质可得DH=1

2

AE，通过证明△BDH∽△BCE，可得结论；

(2)通过证明△DGC∽△DAP，可得∠DGC=∠DAP，证GC//AP，GE=EF，可得结论．

本题考查相似三角形判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．

24.【答案】(1)解：∵抛物线y=5

6x2+bx+c对称轴为直线x=23

10

，

∴−b

2×5

6=23

10，

∴b=−23

6

，

∵抛物线经过点D(4,1)，

∴1=5

6×16−23

6

×4+c，

∴c=3

∴y=5

6x2−23

6

x+3；

(2)证明：令x=0，则y=3，∴B(0,3)，

令y=0，则5

6x2−23

6

x+3=0，

解得x=1或x=18

5

(舍)，∴A(1,0)，

∴OA=1，OB=3，

∴AE=3，

∵DE=1，AB=AD，

∴△ABO≌△DAE(SSS)，

∴∠BAO=∠DAE，

∵∠BAO+∠OBA=90°，

∴∠DAE+∠BAO=90°，

∴∠BAD=90°，

∴菱形ABCD是正方形；

(3)过点C作MN⊥y轴交于M点，过点P作PN⊥MN交于N点，连接DP，∵∠MBC+∠OBA=90°，

∵∠MBC+∠MCB=90°，

∴∠OBA=∠MCB，

∵BC=AB，

∴△MBC≌△OAB(AAS)，

∴MC=OB，MB=OA，

∴C(3,4)，

∵∠PCD=∠BCO，

∴∠BCD=∠OCP=90°，

∴∠MCO+∠NCP=90°，

∵∠MCO+∠MOC=90°，

∴∠NCP=∠MOC，

∴△MCO∽△NPC，

∴MC NP =MO

CN

，

∴3 4=4

CN

，

∴CN=16

3

，

∴MN=3+16

3=25

3

，

∴P(25

3

,0)．

【解析】(1)由对称轴可得b =−236，将点D 的坐标代入y =56

x 2+bx +c 即可求解析式； (2)分别求出A 点、B 点坐标，证明△ABO≌△DAE(SSS)，即可证明菱形ABCD 是正方形；

(3)过点C 作MN ⊥y 轴交于M 点，过点P 作PN ⊥MN 交于N 点，连接DP ，通过证明△MBC≌△OAB(AAS)，求出C 点坐标，再证明△MCO∽△NPC ，求出P 点坐标即可．

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形、正方形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵∠C =90°，∠APC =45°，

∴AC =CP ，

设AC =CP =x ，

在Rt △ACB 中，AC 2+BC 2=AB 2，

∴x 2+(x +4)2=(4√5)2，

解得x =4或−8(舍去)，

∴AC =CP =4，

∵PD ⊥AB ，

∴∠PDB =∠C =90°，

∵∠B =∠B ，

∴△BDP∽△BCA ，

∴PD AC =PB AB ，

∴PD 4=4√5

， ∴PD =4√55；

(2)过点C 作CH ⊥AB 于点H ，设CQ 交AB 于点J ，过点J 作JM ⊥C 于点M ，JN ⊥CB 于点N ．