2021年上海市普陀区中考数学二模试卷(含解析)

2021年上海市普陀区中考数学二模试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1．（4分）下列计算中，正确的是( ) A ．23235a a a +=

B ．23235a a a ⋅=

C ．22

233

a a a ÷=

D ．235(2)8a a =

2．（4分）下列单项式中，可以与23x y 合并同类项的是( ) A ．3

2

x y

B ．32

2

y x

C ．23x y

D ．232x y z

3．（4x =的根是( ) A ．2x =-

B ．1x =-

C ．0x =

D ．2x =

4．（4分）已知两组数据：1x 、2x 、3x 、4x 、5x 和12x +、22x +、32x +、42x +、52x +，下列有关这两组数据的说法中，正确的是( ) A ．平均数相等

B ．中位数相等

C ．众数相等

D ．方差相等

5．（4分）已知在ABC ∆和△A B C '''中，AB A B =''，AC AC =''，下列条件中，不一定能得到ABC ∆≅△A B C '''的是( ) A ．BC B C ''=

B ．A A ∠=∠'

C ．C C ∠=∠'

D ．90B B ∠=∠'=︒

6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点A 、B 均在y 轴上，点C 在x 轴上，将ABC ∆绕着顶点B 旋转后，点C 的对应点C '落在y 轴上，点A 的对应点A '落在反比例函数6

y x

=

在第一象限的图象上．如果点B 、C 的坐标分别是(0,4)-、(2,0)-，那么点A '的坐标是( )

A ．(3,2)

B ．3

(2

，4)

C ．(2,3)

D ．3

(4,)2

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）因式分解：34a a -= ． 8．（4分）已知2

()1

f x x =

-，则(3)f = ． 9．（4分）不等式组24

31x x -<⎧⎨-<⎩

的解集是 ．

10．（4分）已知正比例函数(y kx k =是常数，0)k ≠的函数值y 随x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是 ．

11．（4分）如果关于x 的方程210x x m -+-=有两个相等的实数根，那么m 的值等于 ． 12．（4分）抛物线22(0)y ax ax a =++≠的对称轴是直线 ．

13．（4分）为了唤起公众的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”．某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，5月份这100户家庭节约用水的情况如表所示，那么5月份这100户家庭节水量的平均数是 吨． 每户节水量（单位：吨） 5 6 7.2

节水户户

62 28 10

数

14．（4分）小明已有两根长度分别是2cm 和5cm 的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm 、4cm 、7cm 、8cm 的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签

首尾顺次联结组成三角形的概率等于 ．

15．（4分）如图，两条平行线1l 、2l 分别经过正五边形ABCDE 的顶点B 、C ．如果120∠=︒，那么2∠= ．

16．（4分）如图，已知ABC ∆中，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，点F 在DE 的延长线上，EF DE =，设,BC a AF b ==，那么向量AC 用向量a 、b 表示是 ．

17．（4分）已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，6BC =，以A 为圆心2为半径长作A ，以B 为圆心BC 为半径作B ，如果A 与B 内切，那么ABC ∆的面积等于 ． 18．（4分）如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 为边BC 的中点，点F 在AE 上，过点F 作MN AE ⊥，分别交边AB 、DC 于点M 、N ，联结FC ，如果FNC ∆是以CN 为底边的等腰

三角形，那么FC = ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分

19．（10分）计算：12020

211()|32|273--+--+．

20．（10分）解方程：2224

1323

x x x x -=++-．

21．（10分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知直线1

22

y x =-+分别与x 轴、y 轴交

于点A 、B ，一个正比例函数的图象与这直线交于点C ，点C 的横坐标是1． （1）求正比例函数的解析式；

（2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线1

22

y x =-+于点D ，设平移后函数图象

的截距为b ，如果交点D 始终落在线段AB 上，求b 的取值范围．

22．（10分）如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB 将其固定，窗钩的一个端点A 固定在窗户底边OE 上，且与转轴底端O 之间的距离为20cm ，窗钩的另一个端点B 可在窗框边上

的滑槽OF 上移动，滑槽OF 的长度为17cm ，AB 、BO 、AO 构成一个三角形．当窗钩端点B 与点O 之间的距离是7cm 的位置时（如图2)，窗户打开的角AOB ∠的度数为37︒． （1）求钩AB 的长度（精确到1)cm ；

（2）现需要将窗户打开的角AOB ∠的度数调整到45︒时，求此时窗钩端点B 与点O 之间的距离（精确到1)cm ．

（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈，2 1.4)≈

23．（12分）已知：如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、边BC 的延长线上，四边形AEFD 是菱形，菱形的对角线AF 分别交DE 、DC 于点P 、Q ，AF EF

BF PF

=

． 求证：（1）四边形ABCD 为矩形； （2）BE DQ FQ PE ⋅=⋅．

24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2

12

y x bx c =

++与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ，与y 轴交于点C ，点D 是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD

与直线BC 交于点E ．

（1）求b 、c 的值和直线BC 的表达式； （2）设45CAD ∠=︒，求点E 的坐标；

（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示ACE

∆与DCE

∆的面积比．

25．（14分）在梯形ABCD中，//

AD BC，AB BC

⊥，3

AD=，5

CD=，3

cos

5

C=（如图）．M 是边BC上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．

（1）设

18

5

CE=，求证：四边形AMCD是平行四边形；

（2）联结EM，设FMB EMC

∠=∠，求CE的长；

（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，D与M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时M的半径长．

2021年上海市普陀区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1．（4分）下列计算中，正确的是( ) A ．23235a a a +=

B ．23235a a a ⋅=

C ．22

233

a a a ÷=

D ．235(2)8a a =

【解答】解：A 、223a a +，无法计算，故此选项错误；

B 、23236a a a ⋅=，故此选项错误；

C 、22

233

a a a ÷=，故此选项正确；

D 、236(2)8a a =，故此选项错误；

故选：C ．

2．（4分）下列单项式中，可以与23x y 合并同类项的是( ) A ．3

2

x y

B ．32

2

y x

C ．23x y

D ．232x y z

【解答】解：A 、32x y 与23x y ，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

B 、32

2

y x 与23x y ，所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，能合并，故本选项符合题意；

C 、2x y 与23

x y ，

所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

D 、232x y z 与23x y ，所含字母不尽相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

故选：B ．

3．（4x =的根是( ) A ．2x =-

B ．1x =-

C ．0x =

D ．2x =

【解答】解：将方程两边平方得： 22x x +=．

解这个一元二次方程得：

12x =，21x =-．

检验：把12x =，21x =-分别代入原方程， 2x =是原方程的根，1x =-是原方程的增根．

∴原方程的根为：2x =．

故选：D ．

4．（4分）已知两组数据：1x 、2x 、3x 、4x 、5x 和12x +、22x +、32x +、42x +、52x +，下列有关这两组数据的说法中，正确的是( ) A ．平均数相等

B ．中位数相等

C ．众数相等

D ．方差相等

【解答】解：因为新数据是在原数据的基础上每个加2，

∴这两组数据的波动幅度不变，

故选：D ．

5．（4分）已知在ABC ∆和△A B C '''中，AB A B =''，AC AC =''，下列条件中，不一定能得到ABC ∆≅△A B C '''的是( ) A ．BC B C ''=

B ．A A ∠=∠'

C ．C C ∠=∠'

D ．90B B ∠=∠'=︒

【解答】解：A 、由AB A B =''，AC AC =''，BC B C ''=可以判定ABC ∆≅△()A B C SSS '''，不符合题意．

B 、由AB A B =''，A

C AC

=''，A A ∠=∠'可以判定ABC ∆≅△()A B C SAS '''，不符合题意． C 、由AB A B =''，AC AC =''，C C ∠=∠'不可以判定ABC ∆≅△()A B C SSA '''，符合题意． D 、由AB A B =''，AC AC

=''，90B B ∠=∠'=︒可以判定Rt ABC Rt ∆≅△()A B C HL '''，不符合题意． 故选：C ．

6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点A 、B 均在y 轴上，点C 在x 轴上，将ABC ∆绕着顶点B 旋转后，点C 的对应点C '落在y 轴上，点A 的对应点A '落在反比例函数6

y x

=

在第一象限的图象上．如果点B 、C 的坐标分别是(0,4)-、(2,0)-，那么点A '的坐标是( )

A ．(3,2)

B ．3

(2

，4)

C ．(2,3)

D ．3

(4,)2

【解答】解：设A B '与x 轴的交点为D ，由题意可知(2,0)D ， 设直线A B '的解析式为4y kx =-， 把(2,0)D 代入得024k =-， 解得2k =，

∴直线A B '的解析式为24y x =-，

由624

y x y x ⎧

=

⎪⎨⎪=-⎩解得32x y =⎧⎨

=⎩或16x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点A '的坐标是(3,2)，

故选：A ．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）因式分解：34a a -= (2)(2)a a a +- ． 【解答】解：324(4)(2)(2)a a a a a a a -=-=+-． 故答案为：(2)(2)a a a +-． 8．（4分）已知2

()1

f x x =

-，则(3)f 31 ．

【解答】解：当3x =2(31)(3)3131

(31)(31)

f +=

=

=--+，

31．

9．（4分）不等式组24

31x x -<⎧⎨-<⎩

的解集是 24x -<< ．

【解答】解：解不等式24x -<，得：2x >-， 解不等式31x -<，得：4x <， 则不等式组的解集为24x -<<， 故答案为：24x -<<．

10．（4分）已知正比例函数(y kx k =是常数，0)k ≠的函数值y 随x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是 0k < ．

【解答】解：对于正比例函数(0)y kx k =≠，y 随x 的值增大而减小， 0k ∴<．

故答案为：0k <．

11．（4分）如果关于x 的方程210x x m -+-=有两个相等的实数根，那么m 的值等于 5

4

． 【解答】解：方程210x x m -+-=有两个相等的实数根，

∴△224(1)4(1)0b ac m =-=---=，解得54

m =

， 故答案为：

54

． 12．（4分）抛物线22(0)y ax ax a =++≠的对称轴是直线 1

2

x =- ．

【解答】解：抛物线2y ax bx c =++的对称轴方程2b x a

=-

， ∴抛物线22(0)y ax ax a =++≠的对称轴是122

a x a =-

=-． 即对称轴是1

2x =-．

故答案为：1

2

x =-．

13．（4分）为了唤起公众的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”．某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，5月份这100户家庭节约用水的情况如表所示，那么5月份这100户家庭节水量的平均数是 5.5 吨．

【解答】解：5月份这100户家庭节水量的平均数是5626287.210

5.5100

⨯+⨯+⨯=（吨)，

故答案为：5.5．

14．（4分）小明已有两根长度分别是2cm 和5cm 的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm 、4cm 、7cm 、8cm 的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签

首尾顺次联结组成三角形的概率等于

1

4

． 【解答】解：已有两根长度分别是2cm 和5cm 的细竹签，

∴设第3根，竹签长为x cm ，则第三根可以构成三角形的范围是：37x <<，

故只有4cm ，符合题意，

则小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率是：

1

4． 故答案为：

14

． 15．（4分）如图，两条平行线1l 、2l 分别经过正五边形ABCDE 的顶点B 、C ．如果120∠=︒，那么2∠= 92︒ ．

【解答】解：正五边形ABCDE 的一个内角是108︒， 310811082088∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 12//l l ，388∠=︒，

21808892∴∠=︒-︒=︒，

故答案为：92︒．

16．（4分）如图，已知ABC ∆中，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，点F 在DE 的延长线上，EF DE =，设,BC a AF b ==，那么向量AC 用向量a 、b 表示是 2b a - ．

【解答】解：如图，在ABC

∆中，D、E分别为边AB、AC的中点，DE

∴是ABC

∆的中位线，

//

DE BC ∴，且

1

2

DE BC

=．

BC a

=，

∴

1

2

DE a

=．

又EF DE

=，

∴

1

2

EF DE a

==．AF b

=，

∴AE AF EF

=-．

点E是AC的中点，

∴

1

22()2()2

2

AC AE AF EF b a b a ==-=-=-．

故答案是：2b a

-．

17．（4分）已知等腰三角形ABC中，AB AC

=，6

BC=，以A为圆心2为半径长作A，以B为圆心BC为半径作B，如果A与B内切，那么ABC

∆的面积等于37．【解答】解：A的半径为2，B的半径为6，A与B内切，

624AB ∴=-=，

过点A 作AD BC ⊥于D ， 则1

32

BD BC =

=， 由勾股定理得，2222437AD AB BD =-=-=， ABC ∴∆的面积1

67372

=

⨯⨯=， 故答案为：37．

18．（4分）如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 为边BC 的中点，点F 在AE 上，过点F 作MN AE ⊥，分别交边AB 、DC 于点M 、N ，联结FC ，如果FNC ∆是以CN 为底边的等腰

三角形，那么FC = ．

【解答】解：延长AE ，DC 交于点A '，过点F 作FH CD ⊥于H ，

ABCD 是正方形，

4AB BC ∴==，//AB CD ，

1A ∴∠=∠'．

在ABE ∆和△ACE '中， 1A AEB A EC BE EC ∠=∠'⎧⎪

∠=∠'⎨⎪=⎩

． ABE ∴∆≅△()A CE AAS '．

4AB AC ∴='=．

E 为边BC 的中点，

1

22

BE EC BC ∴==

=．

AE ∴

sin 1BE AE ∴∠=

．

sin A ∴∠'=

AE MN ⊥， 90A FN ∴∠'=︒． 290A ∴∠'+∠=︒．

cos 2sin A ∴∠=∠' FN FC =，FH CN ⊥，

1

2

NH CH CN ∴==．

设NH x =，则2NC x =． 42A N AC NC x ∴'='+=+．

在Rt FHN ∆

中，cos 2NH FN ∠==

，

FN ∴=．

在Rt △A FN '

中，cos 2FN A N ∠=

'

∴

=

． 43

x ∴=．

FC FN ∴=．

． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分

19．（10分）计算：1

2020

211

()2|3

--+-

【解答】解：原式12

13(2=-+-+

12=-+

3=-．

20．（10分）解方程：

2224

1323

x x x x -=++-． 【解答】解：方程两边同乘以(3)(1)x x +-得： 2(1)24(3)(1)x x x x --=+-，

整理得：22222423x x x x --=+-， 则24210x x --=， (7)(3)0x x -+=，

解得：17x =，23x =-，

检验：当3x =-时，(3)(1)0x x +-=， 故3x =-是方程的增根， 当7x =时，(3)(1)0x x +-≠， 故7x =是原方程的根．

21．（10分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知直线1

22

y x =-+分别与x 轴、y 轴交

于点A 、B ，一个正比例函数的图象与这直线交于点C ，点C 的横坐标是1． （1）求正比例函数的解析式；

（2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线1

22

y x =-+于点D ，设平移后函数图象

的截距为b ，如果交点D 始终落在线段AB 上，求b 的取值范围．

【解答】解：（1）把1x =代入122y x =-+得，3

2y =，

3

(1,)2

C ∴，

设正比例函数解析式为y kx =， 把C 的坐标代入得32

k =

， ∴正比例函数的解析式为3

2

y x =

； （2）直线1

22

y x =-+中，令0y =，则4x =，

(4,0)A ∴，(0,2)B ，

设平移后的直线解析式为3

2

y x b =

+， 把(4,0)A 代入得，3

402

b ⨯+=，

解得6b =-，

∴符合题意的b 的取值范围是62b -．

22．（10分）如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B可在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2)，窗户打开的角AOB

∠的度数为37︒．（1）求钩AB的长度（精确到1)

cm；

（2）现需要将窗户打开的角AOB

∠的度数调整到45︒时，求此时窗钩端点B与点O之间的距离（精确到1)

cm．

（参考数据：sin370.6

≈

︒≈，2 1.4)

︒≈，tan370.75

︒≈，cos370.8

【解答】解：（1）如图2，过点A作AH OF

⊥于H，

sin 0.6AH

O AO

=

=， 200.612()AH cm ∴=⨯=， 2240014416()OH AO AH cm ∴=

-=-=，

1679()BH cm ∴=-=， 221448115()AB AH BH cm ∴=

+=+=；

（2）45AOB ∠=︒，AH OF ⊥， 102()AH OH cm ∴==， 222252005()BH AB AH cm ∴=

-=-=，

1459()OB OH BH cm ∴=-=-=，

答：时窗钩端点B 与点O 之间的距离为9cm ．

23．（12分）已知：如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、边BC 的延长线上，四边形AEFD 是菱形，菱形的对角线AF 分别交DE 、DC 于点P 、Q ，AF EF

BF PF

=

． 求证：（1）四边形ABCD 为矩形； （2）BE DQ FQ PE ⋅=⋅．

【解答】证明：（1）四边形ADFE 是菱形，

AF DE ∴⊥，

90EPF ∴∠=︒，

AF EF

BF PF

=

，PFE AFB ∠=∠， ABF EPF ∴∆∆∽，

90ABE EPF ∴∠=∠=︒，

∴平行四边形ABCD 是矩形；

（2）四边形ABCD 是矩形， AD BC EF ∴==， EC CF BE CE ∴+=+， BE CF ∴=，

90DPF QCF ∠=∠=︒，CQF PQD ∠=∠， DPQ FCQ ∴∆∆∽，

∴FQ CF

DQ DP =

， ∴

FQ BE

DQ PE

=

， BE DQ FQ PE ∴⋅=⋅．

24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2

12

y x bx c =

++与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ，与y 轴交于点C ，点D 是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD

与直线BC 交于点E ．

（1）求b 、c 的值和直线BC 的表达式； （2）设45CAD ∠=︒，求点E 的坐标；

（3）设点D 的横坐标为d ，用含d 的代数式表示ACE ∆与DCE ∆的面积比．