九年级数学培优教程整理篇(全)

第1讲 二次根式的性质和运算

考点·方法·破译

1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；

3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.

经典·考题·赏板

【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）

【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A.

【变式题组】

1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）

【例２】(黔东南)方程480x -，当y ＞0时，m 的取值范围是（ ）

A ．0＜m ＜1

B ．m ≥2

C ．m ＜2

D ．m ≤2

【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C.

【变式题组】

2．（宁波）若实数x 、y 2

(0y =，则xy 的值是__________.

3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ）

A ．－ 1

B ．1

C ．2

D ．3

4．有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3

B ．x ≥3

C ．x ＞4

D ．x ≥3且x ≠4

5.（怀化）2

2(4)0a c --=，则a －b －c ＝________.

【例３ ）

A

C D 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否

一样. A = B 不能化简；=D ==.故本题应选D.

【变式题组】

6

是同类二次根式，则a ＝________． 7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A

C

D

8

．已知最简二次根式b

是同类二次根式，则a ＝_______，b ＝______. 【例４】下列计算正确的是（ ） A

=

4=

C

= D

．(11+=

【解法指导】正确运用二次根式的性质

①2

(0)a a =≥；

②

(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪

===⎨⎪-⎩

＞＜；③

0,0)a b =≥≥

0,0)b a =≥＞ 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A 、B 中的项不能合并

.D. 2

(111-=-=-.故本题应选C.

【变式题组】

9. （聊城）下列计算正确的是（ ） A

．= B

=

C

3=

D

3=-

10

．计算：2007

20074)

(4⋅=_____________ 11

．22

-=_____________

12．(济宁)已知a

） A ．a B ．－a C ．－1 D ．0 13．已知a ＞b ＞0，a ＋b ＝

的值为（ ）

A

．

2

B ．2

C

D ．

12

【例５】已知xy ＞0

，化简二次根式的正确结果为（ ） A

B

C

．

D

．

【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=选D. 【变式题组】

14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --_______.

15

===，算

果中找出规律，并利用这一规律计算：

1)

2006++

⋅=_________.

16．已知，则0＜x ＜1=_________.

【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：

11()

b

a b b a a b ++++，其中12a =，12b =.

⑵已知

x =，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.

【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当12a =，1

2

b =时，ab ＝1，a ＋b ,

⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 101

99=-. 【变式题组】

17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2

，其中2a =--2b =-.

18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22

224

()()442a a a a a a a a a

+-+⋅-+++的值为________.

【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值

为（ ）

A ．－2008

B ．2008

C ．－1

D ．1

【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.

解:∵(2008x y =，

∴(x =

y =

(y =

x =x ＝y .

∴(2008x =, 解得x 2

＝2008，所以3x 2

－2y 2

＋3x －3y －2007＝3x 2

－2x 2

＋3x －3x －2007＝

x 2－2007＝1，故选D.

【变式题组】

19．若a ＞0，b ＞0=

的值.

演练巩固·反馈提高

01．若4m =

，则估计m 的值所在的范围是（ ）

A ．1＜m ＜2

B ．2＜m ＜3

C ．3＜m ＜4

D ．4＜m ＜5

02．n 的最大值为（ ）

A ．12

B ．11

C ．8

D ．3

03．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）

04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）

05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）

06．（常德）设a ＝20

， b ＝(－3)2

, c =

11

()2

d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的

是（ ）

A ．c ＜a ＜d ＜b

B ．b ＜d ＜a ＜c

C ．a ＜c ＜d ＜b

D ．b ＜c ＜a ＜d

07．（十堰）下列运算正确的是（ ）

A =

B =

C ．2

1)31=-

D 53=-

08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）

A ．

B

C ．

D ．

09．2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）

A ．x ≤1

B ．x ≥2

C ．1≤x ≤2

D ．x ＞0

10．（怀化）函数

y =

________.

11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝

32

=-那么12※4＝________.

12．（荆州）先化简，再求值：2232

11

21a a a a a a

-+÷-+-，其中a =

13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a +--，其中1

2

a =. 培优升级·奥赛检测

01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.

02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.

03．（全国竞赛）设a =，则

5432322

a a a a a a a

+---+=-________. 04．（全国竞赛）设

x =

,a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3

＋3ab ＝________.

05．（重庆竞赛）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.

06．（全国竞赛）已知1a =，a =，2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）

A ．a ＜b ＜c

B ．b ＜a ＜c

C ．c ＜b ＜a

D ．c ＜a ＜b

07．（武汉联赛）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）

A 3

B ．3

C 3

D

08．（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ） A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

09．（全国竞赛） ）

A ．5-

B ．1

C ．5

D ．1

10．已知0(0,0)x y x y -=>>的值为（ ）

A ．

13 B ．

12

C ．

23 D ．3

4

11．已知1

52

a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.

12．已知9+9-a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.

第2讲 二次根式的化简与求值

考点·方法·破译

1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.

2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.

经典·考题·赏板

【例１】2

=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1

x x

+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x +

+=，1

2x x += ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，

29111x x x ++=，∴原式511- 【变式题组】

1．若1

4a

a +

=（0＜a ＜1）

=________

2

=

） A ．1a a

-

B ．

1

a a

-

C ．1a a

+

D ．不能确定

【例２】（全国初中数学联赛）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.

0=，

∴0=

0>0=，则xy ＝2003，且2003是质数，

∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】

3．若a ＞0，b ＞0=的值.

【例３】1)a

=<<，求代数式

22632x x x x x x +-+÷-.

【解法指导】视x －2，x 2

-4x

=a 的代数式表示x －2，x 2

-4x ，注意0＜a ＜1的制约.

解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221

442x x a a

-+=++， 2

2

2

1

42x x a a -=+

-，

∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---

+ ＝2211

()

1()211()a a a a a a a a

a a a

+

+-+-=++--

【变式题组】 4．（武汉）已知

32x x +=+

，求代数式35

(2)242

x x x x -÷----的值. 5．（五羊杯竞赛）已知1m =+1n =-且2

2

(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ）

A ．－

5

B ．5

C ．－9

D ．9

【例４】（全国竞赛）如图，点A 、C 都在函数0)y x =

>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△

OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.

【解法指导

】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设

OE=a

，BF=b ，则，CF

，所以，点A 、C

的坐标为（a

a

）、

（2a

＋b ）

，所以2

(2)a b =+=

，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩

因此，点D 的坐标为（,0）

【变式题组】

6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如

132

3235+，

，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 33

53

33535=

⨯⨯=； （一） 36333232=⨯⨯=； （二） (

)

(

)(

)

131

3131

32132-=-+-⨯=+； （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，1

32

+还可以用以下方法化简：

()(

)()

131

31

3131

3131

31

31322

-=+-+=+-=+-=+； （四）

（1）请你用不同的方法化简3

52

+；

①参照（三）试得：

352

+=_____________________________；（要有简化过程）

②参照（四）试得：352

+=_____________________________；（要有简化过程）

（2

2n +++ 【例５】（五羊杯竞赛）设a 、b 、c 、d 为正实数，a

＜b ，c ＜d ，bc ＞ad ，

，求此三角形的面积.

【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.

解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF

＝b ，连结

EF 、FB 、EB ，则BF

＝

，EF

＝，

BE ，从而知△BEF 就是题设的三角形，而S

△BEF

＝S

长方形ABCD

＋S

△BCF

＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋

12(d －c )(b －a )－12bd ＝1

2

(bc －ad )

【变式题组】

7．(北京竞赛)

已知a 、b 均为正数，且

a ＋

b ＝2，求U ＝

演练巩固·反馈提高

01

．已知

x =

，

y =

值为__________ 02．设1a =

，则32312612a a a +--＝（ ）

A ． 24

B ．25

C

．10 D

．

12

03

．（天津）计算2001

200019991)

1)1)2001--

+=__________ 04．

（北京竞赛）若有理数x 、y 、

z 1

()2

x y z =++，则2()x

yz -=__________

05．（北京竞赛）正数m

、n 满足430m n +-=，

=__________

06

．

（河南竞赛）若1x =

，则32(2(15x x x -++-的值是（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

07．已知实数a 满足2000a a -=，那么2

2000a -的值是（ ）

A ．1999

B ．2000

C ．2001

D ．2002

08．设a =b =c =a 、b 、c 之间的大小关系是（ ）

A ．a ＜b ＜c

B ．c ＜b ＜a

C ．c ＜a ＜b

D ．a ＜c ＜b

09．已知1x = 培优升级·奥赛检测

01．（信利杯竞赛）已知1x =+2111

242

x x x +-=+--__________

025==__________

03

．（

江

苏

竞

赛

）

已

知

(2002

x y =，则

2234x xy y --665

x y --+

=__________

04．7x =，则x ＝__________

05．(T 1杯联赛) 已知

x =

，y =，那么22y x x y +=__________

06．（武汉选拔赛）如果a b +=a b -=

3333b c b c +=-，那么333a b c -的

值为（ ）

A ．

B ．2001

C ．1

D ．0

07．（绍兴竞赛）当12

x =

时，代数式32003

(420052001)x x --的值是（ ） A ．0 B ．－1

C ．1

D ．20032-

08．（全国联赛）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=29991001a b c ++的值是（ ） A ．1999

B ．2000

C ．2001

D ．不能确定

09．计算：

（1

（2

（3

4947++

（4 10．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=

<，化简代数式11

()(1)a b a b

---b 的形

式.

11．已知21(0)a x a a +=>

12．（奥林匹克竞赛）已知自然数x 、y 、z 0=，求x ＋y ＋z 的值.

第3讲 一元二次方程的解法

考点·方法·破译

1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；

2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程； 3．会应用一元二次方程解实际应用题。

经典·考题·赏析

【例１】下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A .(m -2)x 2-2x -1=0 B .k 2x +5k +3=0

C 21203x --=

D .22

340x x

+

-= 【解法指导】A 、B 选项中的二次系数可以为0，不是；D 的分母中含字母，不符合.故选C . 【变式题组】

1．（威海）若关于x 的一元二次方程x 2

+(k +3)x +k =0的一个根是-2，则另一个根是___________.

【例2】如果m 、n 是两个不相等的实数，且满足m 2-2m =1，n 2-2n =1，那么代数式2m 2+4n 2

-4n +1998=___________. 【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.

解：由题意，2m 2=4m +2，4n 2

=8n +2，则原式=(4m +2)+(8n +2)-4n +1998=(4m +4n )+4+1998，又由根与系数关系得m +n =2，∴原式=2010.

【变式题组】

2．（南昌）若3a 2-a -2=0，则5+2a -6a 2

=___________.

3．（烟台）设a 、b 是方程x 2+x -2009=0的两个实数根，则a 2

+2a +b 的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009

【例3】关于x 的一元二次方程(m -3)x 2+4x +m 2

-9=0有一个根为0，m 的值为___________. 【解法指导】方法1：将x =0代入；方法2：有一个根为0，则常数项为0.

解：依题意m 2

-9=0，∴m =±3，根据方程是一元二次方程得m ≠3，综合知m =-3. 【变式题组】

4．（庆阳）若关于x 的方程x 2

+2x +k -1=0的一个根是0，则k =___________.

5．（东营）若关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+5x +m 2

-3m +2=0的常数项为0，则m 的值等于（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0

【例4】（连云港）解方程：x 2

+4x -1=0. 【解法指导】解：

解法一：∵a =1，b =4,c =-1，∴x =.即x =-2±

.∴原方程的根为

1222x x =-=-

解法二：配方，得(x +2)2

=5，直接开平方，得2x -=∴原方程的根为1222x x =-=-【变式题组】

6．（清远）方程x 2

=16的解是（ ）

A ．x =±4

B ．x =4

C ．x =-4

D ．x =16 7.（南充）方程(x -3)(x +1)=x -3的解是（ ）

A.x=0

B.x=3

C.x=3或x=-1

D.x=3或x=0

8.（咸宁）方程3x(x+1)=3x+3的解为（）

A．x=1 B．x=-1 C．x1=0，x2=-1 D．x1=1，x2=-1

9.（温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.

①x2-3x+1=0；②(x-1)2=3；③x2-3x=0；④x2-2x=4.

【例5】（山西）解方程：6x2-x-12=0

【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1，解：方程两边都除以6，移项得x2-1

6

x=2，配方得

x2-1

6

x+(-

1

12

)2=2+(-

1

12

)2,(x-

1

12

)2=

289

144

=(

17

12

)2，即x-

1

12

=±

17

12

，∴x1=

3

2

,x2=

4

3

-.

【变式题组】

10．（仙桃）解方程：x2+4x+2=0.

11．（武汉）解方程：x2-3x-1=0.

12．（山西）解方程：x2-2x-3=0.

演练巩固·反馈提高

01．（宁德）方程x2-4x=0的解是___________.

02．（十堰）方程(x+2)(x-1)=0的解为___________.

03．（大兴安岭）方程(x-5)(x-6)=x-5的解是（）

A．x=5 B．x=或x=6 C．x=7 D．x=5或x=7

04．（太原）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（）

A．(x+1)2=6 B．(x-1)2=6 C．(x+2)2=9 D．(x-2)2=9

05．（云南）一元二次方程5x2-2x=0的解是（）

A．

12

2

0,

5

x x

==B．

12

5

0,

2

x x

==-

C．

12

5

0,

2

x x

==D．

12

2

0,

5

x x

==-

06．（黄石）已知a、b是关于x的一元二次方程x2+nx-1=0的两实数根，则式子

b a

a b

+的值是（）

A．n2+2 B．-n2+2 C．n2-2 D．-n2-2

07．（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）

A．8人B．9人C．10人D．11人

08．（台州）用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是（）

A．(x+2)2=1 B．(x-2)2=1 C．(x+2)2=9 D．(x-2)2=9

09．（义乌）解方程x2-2x-2=0.

10．（兰州）用配方法解一元二次方程：2x2+1=3x.

11．（新疆）解方程：(x-3)2+4x(x-3)=0.

12．（梧州）解方程：(x-3)2+2x(x-3)=0.

13．（长春）解方程：x2-6x+9=(5-2x)2.

14．（上海）解方程：

2

1

220

y x

x xy

-=

⎧⎪

⎨

--=

⎪⎩

①

②

培优升级·奥赛检测

01．（鄂州）已知α、β为方程x2+4x+2=0的两个实根，则α3+14β+50=___________.

02．已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的实数根，那么代数式

2

35

(2)

362

x

x

x x x

-

÷+-

--

的值为___________.

03．（苏州）若x 2

-x -2=02

）.

A ．

3 B ．3 C D 3

04．（全国联赛）已知三个关于x 的一元二次方程ax 2

+bx +c =0，bx 2

+cx +a =0，cx 2

+ax +b =0，恰有一个公共实数

根，则222a b c bc ca ab

++的值为（ ）. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

05．（全国联赛）已知实数x 、y 满足：

42

423x x

-=，y 4+y 2=3，则4

44y x +的值为（ ）.

A ．7

B ．

12+ C ．72

D ．5

06．（全国联赛）已知m ，n ，且(7m 2

-14m +a )(3n 2

-6n -7)=8，则a 的值等于（ ）.

A ．-5

B ．5

C ．-9

D ．9

07．（毕节）三角形的每条边的长都是方程x 2

-6x +8=0的根，则三角形的周长是___________.

08．（滨州）观察下列方程及其解的特征： ⑴12x x +

=的解为x 1=x 2=1；⑵152x x +=的解为x 1=2，x 2=12；⑶1103

x x +=的解为x 1=3，x 2=1

3；……

解答下列问题：

⑴请猜想：方程1265

x x +

=

的解为________；⑵请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为x 1=a ，x 2=1

a （a ≠0）；⑶下面以解方程126

5

x x +=为例，验证⑴中猜想结论的正确性.

解：原方程可化为5x 2

-26x =-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 09．（泸州）如图，P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），…P n （x n ，y n ）在函数4

y x

=

（x ＞0）的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…△P n A n -1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1、A 1A 2、A 2A 3、…A n -1A n 都在x 轴上. ⑴求P 1的坐标；

⑵求y 1+y 2+y 3+…+y 10的值.

第4讲 根的判别式及根与系数的关系

考点·方法·破译

1．掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；

2．理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.

经典·考题·赏板

【例１】 （成都）若关于x 的一元二次方程

有两个不相等的实数根，则k 的取值范围

是（ ） A ．k >-1 B . C.k <1 D.

【解法指导】 由题意得

【变式题组】

1．（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（）

A． B. C. D.

2．(潍坊)关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（）

A．6 B.7 C.8 D.9

【例２】（荆州）关于x的方程只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A．a=0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2

【解法指导】本题考查方程的有关知识，关于x的方程只有一解，有两种情况，①该方程是一元一次方程，此时a=0；②该方程是一元二次方程，方程有两个相等的实数根，

,解得a=2.故选D.

【变式题组】

3．(成都)设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________.

4．(南通)设是一元二次方程的两个实数根，则,则a=______ 【例３】（包头）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且=7,

则的值是（）

A．1 B.12 C.13 D.25

【解法指导】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足.由题意知：

又∵

,

而当m=5时，原方程的判别式,此时方程无解，不合题意舍去.

,故选C.

【变式题组】

5．（潍坊）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是,则k的值

是（）

A．8 B.-7 C.6 D.5

6．（鄂州）设是关于x的一元二次方程的两实根，当a为何值时，

有最小值？最小值是多少？

【例４】（兰州）已知关于x的一元二次方程.

(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；

(2) 如果此方程的两个实数根为,且满足,求a 的值.

【解法指导】 解：（1）.∵方程有两个不相等的实数根，

.(2)由题意得：

【变式题组】

7．(绵阳)已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2

－1 = 0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k 的取值范围； （2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

【例５】 （中山）已知关于x 的方程

.

（1）求证:方程有两个不相等的实数根.

（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.

【解法指导】 证明方程有两个不相等的实数根，一般要把化为完全平方加正常数的形式. （1）证明:因为△=)12(4)2(2

--+m m =4)2(2

+-m 所以无论m 取何值时, △>0，所以方程有两个不相等的实数根.

（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得

2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x

【变式题组】

8．(中山)已知一元二次方程

.

(1)若方程有两个实数根，求m 的值；（2）若方程的两个实数根为

，且+

,求m 的值.

【例６】 设实数s ,t 分别满足,并且st ≠1，

求的值.

【解法指导】 本题要观察s,t 的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值.

解：∵s ≠0，∴第一个等式可以变形为：

,又∵st ≠1，

∴t 是一元二次方程x 2

+ 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有

,即st + 1 =－99s ，t = 19s ．

∴

演练巩固·反馈提高

01．(东营)若n （n ≠0）是关于x 的方程的根，则m+n 的值为

A.1

B.2

C.-1

D.-2

02．(株洲)定义：如果一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知2

0(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是

A ．a c =

B ．a b =

C ．b c =

D ． a b c ==

03．（崇左）一元二次方程的一个根为-1，则另一个根为 ．

04．(贺州)已知关于x 的一元二次方程02=--m x x 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．

05．（上海）如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ． 1、 06．（泰安）关于x 的一元二次方程02)12(2

2=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围

是 .

07．（淄博）已知关于x 的方程014)3(22

2=--+--k k x k x ． （1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；

（3）若以方程014)3(22

2=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数x

m y =的图象上，求满足条件的m 的最小值．

08．已知关于x 的一元二次方程

(1)若方程有两个相等的实数根，求m 的值； （2）若方程的两个实数根之积等于

,求

的值.

09．（孝感）已知关于x 的一元二次方程2

2

(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；

（2）当22

120x x -=时，求m 的值．

10．（鄂州）关于x 的方程04

)2(2=+

++k

x k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.

(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由 11．（北京）已知：关于x 的一元二次方程2

(32)220(0)mx m x m m -+++=>．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．

12．（淄博）已知12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x +=- (1)求12,x x 及a 的值； (2)求32111232x x x x -++的值．

培优升级·奥赛检测

01．（全国联赛）设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式

22

11

a b +的值为 （ ） A 5. B7. C 9. D.11. 02．（延边预赛）已知m 是方程

的一个根，则代数式

的值等于

（ ）

A ．2016 B.2017 C.2018 D.2019

03．如果a 、b 都是质数，且

,那么

的值为（ ）

A ． B. C. D 或2

04．（全国竞赛）已知实数，且满足的

值为（ ）

A ．23 B.-23 C.-2 D.-13

05.(全国竞赛)设是关于x 的方程

的两个实数根，则

的最大值为

___________

06．已知

是方程

的两个实数根，则

07．（全国联赛）对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程

的两个根记

作,则__

08．已知关于x 的方程：.

(1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根； （2）若这个方程的两个实根为

，满足,求m 的值及相应的

.

09．（全国竞赛）设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程有两个不

相等的实数根

,(1)若

,求m 的值；

（2）求的最大值.

第5讲 一元二次方程的应用

考点方法破译

1．能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程； 2．会建立一元二次方程模型解实际应用题． 经典考题赏析

【例l 】 (南平)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )

A ．8人

B ．9人

C ．10人

D ．11人

【解法指导】 构建一元二次方程模型求解．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x,第一轮被传染人数为x ，患流感人数为x+l ；第二轮被传染人数为x(x+1)，所以l+x+x(x+1)=100，解得x=9．应选B ． 【变式题组】

1．(甘肃)近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率为x ，则关于x 的方程为 ．

2．(襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m 2

。

提高到12．1 m 2

。，若每年的年增长率相同，则年增长率为( ) A ．9％ B ．10％ C ．1l ％ D ．12％

3．(太原)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是 ．

【例2】 (黄石)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2

一12x+35=0的根，则该三角形的周长为( ) A ．14 B ．12 C ．12或14 D 。以上都不对

【解法指导】 方程x 2

一12x+35=0可化为(x 一7)(x 一5)=0，解得x=7或x=5，当x=7时，三边不能构成三角形，所以第三边的长只能取5，该三角形的周长为12．应选B ． 【变式题组】

4．(青海)方程x 2

一9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( ) A ．12 B ．12或15 C ．15 D ．不能确定

5．(襄樊)如图，在平行四边形ABCD 中，AE 上BC 于E ，AE=EB=EC=a ，且a 是一元二次方程x 2

+2x 一3=0的根，则平行四边形ABCD 的周长是( ) A 、224+ B 、2612+

C 、222+

D 、2612+或222+

【例3】 (莆田)已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是一元二次方程（x —1)(x 一2)=0的两根，且O 1O 2=2，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是 ．

【解法指导】 依题意，⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和2，∵l

6．(兰州)两圆的圆心距为l ，两圆的半径分别是方程x 2

一5x+6=0的两个根，则两圆的位置关系是( ) A ．外离 B ．内切 C ．相交 D ．外切

7．(江苏)某县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程

D

B

8．(庆阳)如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部

分作为耕地．若耕地面积需要55 l 米。，则修建的路宽应为( ) A 、1米 B 、1．5米 C 、2米 D 、2．5米

【例4】 (白银)在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a ⊕b =a 2 - b 2

，求方程(4⊕3)⊕x=24的解． 【解法指导】 解此类题要严格按照定义进行变换．

解：∵a ⊕b=a 2 - b 2∴(4⊕3)⊕x=7⊕x=72-x 2 ∴72-x 2

=25．∴x=±5． 【变式题组】

9．(全国竞赛)对于实数u 、v ，定义一种运算“※”为：u ※v =uv+v,若关于x 的方程x ※(a ※x)= 一4

1

有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．

【例5】 (十堰)如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m 长的篱笆围一个矩形场地．

(1) 怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2 ，(2)能否使所围矩形场地的面积为8l0 m 2

，为什么?

【解法指导】 解：(1)设所围矩形ABCD 的长AB 为x 米，则宽AD 为

2

1

(80一x)米．依题意，

得x ·2

1

(80一x)=750，即x 2

一80x+1500=0．解此方程，得x 1=30，x 2=50． ∵ 墙的长度不超过45m, ∴ x 2=50不合题意，应舍去．当x=30时，21(80一x)= 2

1

×(80—30)=25．所以，当所围矩形长为30m 、宽为25m 时，能使矩形的面积为750m 2

． (2)不能．因为由x ·

2

1 (80一x)=810，得x 2一80x+1620=0．又∵b 2-4ac=(一80)2

一4×1×1620= - 80<0∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为8l0 m 2

． 【变式题组】

10．(广东)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有8l 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台? 巩固练习 反馈提高 ，

1．(南通)某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，20l0年该市计划投资“改水工程”1176万元． (1)求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；

(2)从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万? 2．(长沙)当m 为何值时，关于z 的一元二次方程x 2

—4x+m 一

2

1

=0有两个相等的实数根? 此时这两个实数根是多少?

3．(贵阳)汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同。 (1)该公司2006年盈利多少万元?

(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元? 4．(庆阳)某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： (1)该企业2007年盈利多少万元?

(2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元? 培优升级 奥赛检测

1．(河南)已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2—6x+k=0的两个实数根，且x 12x 22

—x 1—x 2=115．

(1)求k 的值；(2)求x 12+x 22

+8的值．

2．(临沂)为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18．59万元． (1)求该学校为新增电脑投资的每年平均增长率；

(2)从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元?

3．(南宁)如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． (1)用含x 的式子表示横向甬道的面积为 平方米； (2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽．

4．(厦门)某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满足关系：P =100—2x ．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元? 每天要售出这种商品多少件?

5．(庆阳)如图．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方

形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米2

的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱? 6．(益阳)如图，△ABC 中，已知∠BAC=45°，AD ⊥BC 于D ，BD=2，DC=3，求AD 的长． 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题． 请按照小萍的思路。探究并解答下列问题：

(1)分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，证明四边形AEGF 是正方形；

(2)设AD=x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值．

7．(全国竞赛)某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有同学多少人?

第6讲 一元二次方程的整数根

考点·方法·破译

1．方程的整数根问题是各级各类竞赛的热点内容，重点考查含参方程，一般要求参数的值； 2．基本方法有：分解求根法、消参法、判别式法、反客为主法、综合法， 经典·考题·赏析

【例l 】 （全国联赛）已知方程a 2x 2

−(3a 2

−8a )x +2a 2

−13a +15 =0（其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =____．

【解法指导】 本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况．对于二次，可用分解求根法．

解：①a =0时，则需2a 2

−13a +15 =0，矛盾．所以此时无整数解；②a ≠0，分解得（ax +3 − 2a ）（ax +5 −a ）=0．∴a ≠0，解得 132x a =-

，25

1x a

=-．则a 是3或5的约数，故a 可取±l ，±3或±5． 【变式题组】

1．（全国竞赛）已知关于x 的方程(a −l)x 2

+2x −a −1 =0的根都是整数，那么符合条件的整数a 有____个．

2．（全国竞赛）设关于x 的二次方程（k 2−6k +8）x 2＋（2k 2−6k −4）x ＋k 2

=4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．

【例2】 （全国竞赛）试确定一切有理数r ，使得关于石的方程rx 2

+(r +2)x +r −1 =0有且只有整数根． 【解法指导】 本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况．对于二次，可用消参法，

解：(1)若r =0，x =

1

2

，原方程无整数根； (2)当r ≠0时，12221r x x r r ++=-=--，1211

1r x x r r

-==-，消去r 得：()12124217x x x x -++=，得（2x 1 −1）（2x 2 −1）=7，令x l

1r r -=4，r =－13；或x 1=−3，x 2 =0，1r r -=0,r =1．综合得r =－1

3

或r =l ．

【变式题组】

3．求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程kx 2

+（k +l ）x +（k −l ）=0的根都是整数．

【例3】 （海南初赛）已知20102011−20102009= 2010x

×2009×2011，那么x 的值是( )． A. 2008 B.2009 C.2010 D.2011

【解法指导】 本题运用分解因式法，由20102011−20102009= 2010x ×2009×2011，，则有20102009

（2010−1）（2010

＋1）= 2010x

×2009×2011，则有x =2009，本题应选B ． 【变式题组】 4．（全国联赛）若l00a +64和201a +64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是____．

【例4】 （全国联赛）已知a 是正整数，如果关于并的方程x 3+ (a +17)x 2

+（38−a ）x -56 =0 数，求a 的值及方程的整数根．

【解法指导】本题可用综合法，解：观察易知，方程有一个整数根x 1=1，将方程的左边分解因式得(x −1)[x 2+(a +18)x +56]=0因为a 是正整数，所以关于x 的方程x 2

+(a +18)x +56 =0 (1)

(l)的判别式△=(a +18)2

−224 >0，它一定有两个不同的实数根而原方程的根都是整数，所以方

都是整数，因此它的判别式△= (a +18)2 −224应该是一个完全平方数，设(a +18)2 −224 =k 2

（其

整数），则(a +18)2 - k 2

= 224，即（a +18 +k ）（a +18 -k ）=224.显然a +18 +k 与a +18 -k 的奇偶性相同，且

a +18 +k ≥18．而224 =112×2 =56×4 =28 ×8，所以18112,182,

a k a k ++=⎧⎨

+-=⎩或1856,

184,a k a k ++=⎧⎨+-=⎩ 或1828,188,a k a k ++=⎧⎨

+-=⎩解得39,55,a k =⎧⎨=⎩或12,26,a k =⎧⎨=⎩

或0,

10,a k =⎧⎨=⎩

而a 是正整数，所以只可能39,55,a k =⎧⎨

=⎩或12,

26.

a k =⎧⎨=⎩

当a =39时，方程(l)即x 2

+57x +56 =0，它的两根分别为－1和－ 56.此时原方程的三个根为1，－1，－56． 当a = 12时，方程(1)即x 2 +30x +56 =0，它的两根分别为-2和- 28.此时原方程的三个根为1，－2，－28． 【变式题组】

5．（全国联赛）设a 是正整数，二次函数y =x 2

+(a +17)x +38 -a ，反比例函数y =

56

x

，如果两个函数图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值，

【例5】 （全国竞赛）关于x ，y 的方程x 2 +xy +2y 2

= 29的整数解（x ，y ）的组数为( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组

【解法指导】 本题可用判别式法．解：可将原方程视为关于算的二次方程，将其变形为x 2+xy +(2y 2

−29)=0．由于该方程有整数根，则判别式△≥0，且是完全平方数．由A =y 2

−4（2y 2

−29）=－7y 2

+116≥0，解得y 2

≤116

7

≈16. 57．于是

显然，只有2

y =16时，△=4是完全平方数，符合要求．当y =4时，原方程为x 2

+4x +3 =0．此时x 1=－l ，x 2=－3；当y =－4时，原方程为x 2

−4x +3 =0，此时x 3 =1，x 4=3．

所以，原方程的整数解为 111,4;

x y =-⎧⎨

=⎩223,4;x y =-⎧⎨

=⎩221,4;x y =⎧⎨

=-⎩22

3,

4.x y =⎧⎨

=-⎩ 【变式题组】

6．（武汉）整数a 使得关于x 、y 的方程组 2

2

23234

x y a b xy b a b -=-⎧⎨

=--+⎩对于每一个实数b 总有实数解，求整数a 的