相似三角形的综合应用-教师版

1、比例线段及性质 (1)比例线段的概念

(2)比例性质：基本性质、更比性质、合比性质、等比性质、比例中项 2、三角形一边的平行线性质定理及其推论

3、相似三角形的判定及性质

(1) 相似三角形的判定方法：预备定理、AA 、SSS 、ASA 、HL 、传递性 (2)相似三角形的性质

相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。 4、三角形相似的基本模型：

(1)平行型：如图，“A”型即公共角对的边平行，“X”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；

常见条件：

①//DE BC ，②::AD AB AE AC =，③AD AC AE AB ?=?，④ADE B ∠=∠

(2)相交线型：如图，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角(或对顶角)的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.

常见条件：①AD AB AE AC ?=?②::AD AC AE AB =③ ADE C ∠=∠ (3)旋转型：

常见条件：已知△BAC ∽△DAE ， 求证：△BAD ∽△CAE.

E

A

B

C

D

D

C

B A

F

E

B

C

D

已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠DAE=45°.找出相似的三角形. 已知△ABC

是等边三角形，∠DAE=120°.找出相似的三角形.

常见条件：

① 已知∠B=∠C=∠EDF ，找出相似的三角形.

② 已知∠B=∠C=∠EDF ，D 为BC 的中点，找出相似的三角形. (5)一线三等角：

常见条件：B C EDF ∠=∠=∠ (6)子母三角形：(相交线型推广)

常见条件：①，2AC AD AB =?③2

BC BD BA =?④2CD AD BD =?

(7)双高型推广：

左图两对相似三角形：ABD △∽△ACE △OCD ∽△OBE 中图六对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE

右图八对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE △ADE ∽△ABC △ODE ∽△OBC (后两个相似写出证明过程)

常见条件：①ABD ACE ∠=∠，②ADB AEC ∠=∠，③,CE AB BD AC ⊥⊥. 5、常见的三角形面积比

(1)如图一：△ABC 中，若BD ：CD=m ：n ， 则S △ABD ：S △ACD=m ：n

(2)如图二：△ABC 和△BCD 同底，则两个三角形面积之比 等于两个三角形BC 边上的高之比.

(3)蝴蝶定理：在梯形ABCD 中，若AO ：OC=m ：n ，则： 1) S △AOD ：S △COD=S △AOB ：S △BOC=m ：n 2) S △AOD ：S △AOB=S △COD ：S △BOC=m ：n 3)S △COD=S △AOB 4)S △AOD ：S △BOC=2

2

:m n

O

D

C

B

A

精解名题

例1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，联结AP，过P点做PE交DC于E，使得∠APE=∠B。

(1)求证：△ABP∽△PCE；

(2)求等腰梯形的腰AB的长；

(3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由。解：(1)∵∠APE+∠EPC=∠APC=∠B+∠BAP且∠APE=∠B

∴∠EPC=∠BAP∵等腰梯形ABCD∴∠B=∠C

∴△ABP∽△PCE

(2)延长BA、CD交于一点Q

∵∠C=∠B=60°∴△QBC为等边三角形

∵AD∥BC ∴△QAD也为等边三角形

∴AB=QB-QA=BC-AD∵AD=3cm,BC=7cm∴AB=4cm

(3)存在。BP=1cm或BP=6cm

∵CD=AB=4cm ∴当DE:EC=5:3时，DE=2.5cm,EC=1.5cm

∵△ABP∽△PCE

∴∴设BP=x cm,得，解得x=1或x=6

∵∴BP为1cm或6cm.

例2.已知：如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，AD与BE交于点F。

(1)求证：△BDF∽△BEC；

(2)如果AB=12，BD=4，求S△BDF：S△BEC

解：（1）∵等边△ABC ∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC∵BC=CE ∴△ABD≌△BCE ∴∠ADB=∠BEC ∵∠FBC=∠CBE ∴△BDF∽△BEC

(2)作AC边上高BH.∵等边△ABC，AB=12 ∴BH=，CH=6

∵△ABD≌△BCE ∴CE=BD=4 ∴HE=2∴BE=

∵∠FBC=∠CBE ∴△BDF∽△BEC

∴

例3. 如图，已知在△ABC中，D为AC上一点且CD=2AD，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于点E，联结AE。

(1)写出图中所有相等的线段，并加以证明；

(2)图中有无相似三角形？若有，请写出所有的相似三角形并加以证明；若没有，请说明理由；

(3)求△BEC与△BEA的面积之比。

解（1）∵∠BAC+∠ABD=∠BDC且∠BAC=45°，∠BDC=60°

∴∠ABD=15°

∵CE⊥BD ∴∠CED=90°，∠ECA=30°，CD=2DE

∵CD=2AD ∴DE=AD ∴∠EAD=∠AED=30°

∴∠BAE=15°=∠ABD ∴AE=BE

∵∠CEA=120°∴∠ECA=∠EAC=30°∴CE=AE

∴DE=DA；EC=EA=EB

(2)△ADE∽△AEC和△BCD∽△ACB

(3)2：1

例4：如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，AC=12，AD∥BC，点E在AC

边上，∠DEA=∠B，DE的延长线交BC于F。

(1)找出图中的相似三角形，并证明；

(2)求DF的长；

(3)设DE=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域。

解：(1)△ABC∽△FEC∽△DEA

(2)过点A作AG∥DF，AG与BC相交于点G

∴∠GAC=∠DEA ∵∠DEA=∠B ∴∠GAC=∠B ∴△GAC∽△ABC

∴AG:AB=AC:BC ∴AG:8=12:16 AG=6 ∵四边形AGFD是平行四边形∴DF=AG=6

(3)∵DE=x ∴EF=6-x ∵BF=y ∴CF=16-y由△ABC∽△FEC，CF:EF=AC:AB

(16-y):(6-x)=12:8 y=3

7

2

x (0

∵∠AED=∠ACE且∠DAE=∠EAC ∴△ADE∽△AEC ∵∠CEB=90°且BE=CE ∴∠CBD=45°=∠CAB

∵∠BCD=∠ACB ∴△BCD∽△ACB

∵且CD=2AD

∴∴

∵

例5 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，点E 在BD 的延长线上，BA ﹒BD=BC ﹒BE 。

(1)求证：AE=AD ；

(2)如果点F 在BD 上，CF=CD ，求证：BD 2=BE ﹒BF 证明：(1)∵BA ﹒BD=BC ﹒BE

∴

BA BE

BC BD

=

，又∵∠ABE=∠CBD ∴△ABE ∽△CBD ，∴∠AEB=∠CDB ∵∠ADE=∠AED ，∴AE=AD (2)∵CD=CF ，∴∠CDF=∠CFD ∴180°-∠CDF=180°-∠CFD 即∠BDA=∠BFC

又∵∠ABE=∠CBD ，∴△BDA ∽△BFC

∴

BA BD BC BF =，又∵BA BE

BC BD =

∴BE BD BD BF

=∴BD 2=BE ﹒BF 例6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，P 为AB 上一动点，且点P 不与A 和B 重合，过点P 作PE ⊥AB 交AC 边(或者CB 边)于E 点，点E 不与点C 重合，可将△ABC 分割成一个小三角形和一个四边形，若AB=5，AC=4，设AP 的长为x ，分割的四边形周长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围。

解:作CD ⊥AB ，垂足为D ，则

45

AD 4

=，AD=3.2

(1)当0＜AP=x ＜3.2时，点E 在AC 上，易知△APE ∽△ACB ∴

3,434x PE PE x ==，又45x AE = 此时，3122

y x =-+(0＜x ＜3.2) (2)当3.2＜AP=x ＜5时，点E 在BC 上，易知△BPE ∽△BCA

∴

534x PE -=，4(5)3PE x =- 又535x BE -=，5

(5)3BE x =-

∴此时416

33

y x =+(3.2＜x ＜5)

例7. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是射线CD 上一动点，将一把三角尺的直角顶点与点P 重合，一条直角边始终经过点B ，另一条直角边所在直线与射线AD 相交于点E 。设CP=x ，DE=y.

(1)当点P 在线段CD 上时，求证：△BPC ∽△PED ；

(2)当点P 在线段CD 的延长线上时，求y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围； (3)当DE=1时，求CP 的长。 解：1)

2)

3)

例8. 如图，矩形ABCD 中，AD=a ，DC=b ，在边AB 上找一点E ，使点E 与点C 、D 的连线将此矩形分割成的三个三角形相似。问：这样的点E 是否存在？如果存在，这样的点E 有几个？说明理由；如果不存在，也请说明理由。

解：取AD 中点O ，联结OE

∵矩形ABCD ∴∠B=∠C=90°，AD ∥BC ∴∠DAE=∠AEB ，∠ADE=∠DEC

∴若要△ADE ∽△EAB ∽△DEC ，∠AED 必为直角 ∴

当a<2b ，E 点不存在； 当a=2b ，E 点仅一个； 当a>2b ，E 点有2个。

∵正方形ABCD ∴∠C=90° ∵∠BPE=90° ∴∠PBC=∠EPD ∵∠C=∠D=90° ∴△BPC ∽△PED

如图，同1)的证法，可得△BPC ∽△PED ∴ ∵CP=x, DE=y, CD=BC=4 ∴PD=x-4

∴ ∴

当点E 在线段AD 上时 ∵△BPC ∽△PED ∴ ∵DE=1, BC=CD=4 ∴ ∴CP=2

当点E 在线段AD 的延长线上时，DE=1即2)中的y=1

解得，舍去负根后得CP=.

综上，得CP=2或CP=

例9. 如图，△ABC 中，AB=AC 。点B 1在边AB 上，且△A 1B 1C ∽△ABC ，联结AA 1.

(1)求证：△A 1AC ∽△B 1BC ； (2)求证：AA 1∥BC ；

(3)设AB=AC=10，BC=6，BB 1=x ，AA 1=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出其定义域；

(4)在(3)的条件下，四边形ABCA 1能否成为平行四边形？如果能，求出BB 1的长；如果不能，请说明理由。 解：1) ∵△A 1B 1C ∽△ABC ∴

∴ ∴△A 1AC ∽△B 1BC

2)

3)

4)

例10. 如图，△ABC ，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，CD ⊥AB ，垂足为D 。任意作∠EDF=60°，点E 、F 分别在边AC 、BC 上，AE=x ，BF=y.

(1)求y 关于x 的函数关系式，并指出它的定义域； (2)当x 为何值时，△BDF 是等腰三角形？

解：1)过E 作AB 垂线，垂足为M ；作D 作AC 垂线，垂足为N.

∵∠EDF=60°，∠A=60° ∴∠EDF=∠A

∵∠A+∠AED=∠EDB;∠EDF+∠FDB=∠EDB ∴∠AED=∠FDB ∵FM ⊥AB ，DN ⊥AC ∴∠DMF=∠END=90° ∴△FMD ∽△DNE ∴

∵△ABC 中，∠ACB=90°,∠A=60°,AC=2 ∴∠B=30°,AB=4,BC=

∵CD ⊥AB ∴AD=1,BD=3,CD=

∵△A 1AC ∽△B 1BC ∴∠A 1AC=∠B ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠A 1AC=∠ACB ∴AA 1∥BC

∵△A 1AC ∽△B 1BC ∴ ∵AB=AC=10，BC=6，BB 1=x ，AA 1=y

∴ ∴

∵AA 1∥BC ∴AA 1=BC 时，四边形ABCA 1为平行四边形

∴ ∴ ∴ 当

时，四边形ABCA 1为平行四边形。

∵FM ⊥AB ，DN ⊥AC 且AE=x ，BF=y ∴FM=

,BM=

,AN=,DN=

∴ ∴

2)

综上，x=2或31 .

巩固练习

①当BF=DF 时 ∵FM ⊥AB ∴BM=DM

∴

解得，此时x=2

②当BF=BD 时 得

，此时

一、选择题

1．梯形两底分别为m 、n ，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为(B )

(A)

mn n m + (B)n m mn +2 (C)n

m mn

+ (D)mn n m 2+

2．如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且

AC AD ＝3

1

，AE ＝BE ，则有( B ) (A)△AED ∽△BED

(B)△AED ∽△CBD (C)△AED ∽△ABD

(D)△BAD ∽△BCD

第2题 第3题 第4题 3．如图，∠ABD ＝∠ACD ，图中相似三角形的对数是( C )

(A)2

(B)3

(C)4

(D)5

4．如图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是( C )

(A)∠APB ＝∠EPC (B)∠APE ＝90° (C)P 是BC 的中点 (D)BP ︰BC ＝2︰3 5．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且有下列条件： (1)∠B ＋∠DAC ＝90°； (2)∠B ＝∠DAC ；(3)

AD CD ＝AB

AC

； (4)AB 2＝BD ·BC ；

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( A )

(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个

第5题

第6题

6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有( B )

(A)△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周长 (B)△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积 (C)△ABE ∽△DEC

A

B E

2

l

D

1

l

(D)△ABE∽△EBC

7．如图，在□ABCD中，E为C D上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于(D)

(A)4︰10︰25(B)4︰9︰25(C)2︰3︰5(D)2︰5︰25

第7题第8题第9题

8．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为(C)．

(A)5︰12(B)9︰5(C)12︰5(D)3︰2

9．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝

4

1

AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为(A)

(A)2︰1(B)3︰2(C)3︰1(D)5︰2

二、填空题

10. 已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是___4__cm．

11. 若

c

b

a+

＝

a

c

b+

＝

b

c

a+

＝－m2，则m＝___1___．

第12题第13题第14题

12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝____10___．13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于___6_____．

14．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_____36____．

考场真题：

1、(黄埔5)下列各组图形中，一定相似的是( C )

A.两个矩形；

B.两个菱形；

C.两个正方形；

D.两个等腰梯形

2、(虹口5)如图1，已知

123

////

l l l，如果:2:3

AB BC=,4

DE=,则EF的长是( B )

D

A

B

C

F

E

图 2

O

C

B

A

l

A .

10

3

； B .6； C .4； D .25.

3、(卢湾6)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值( B )．

A ．有且仅有1个；

B ．有且仅有2个；

C ．有3个及以上但个数有限；

D ．有无数个．

4、(虹口12)在ABC ?中，中线AD 与中线BE 相交于点G ，若6AD =，则GD = 2 ．

5、(虹口13)已知ABC ?∽A B C '''?，顶点A 、B 、C 分别与A '、B '、C '对应，且55A ∠=?，75B ∠=?，则C '∠的度数是___50 °

6、(虹口14)如果两个相似三角形的面积的比等于1∶9，那么它们的对应边上的高的比等于__1:3____.

7、(虹口15)如图2，已知在平行四边形ABCD 中， 点E 、F 分别在线段 BD 、AB 上，EF ∥AD ， DE ∶EB =2∶3，EF =9，那么BC 的长为 15

8、(黄埔9)如图3，D 、E 是ABC ?边AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，ED ∶BC =3∶5, 则AD ∶=BD ______3：2__.

9、(黄埔11)若两个相似三角形的相似比为1∶2,且其中较大者的面积为2010， 则其中较小的三角形的面积为____8/3

10、(黄埔17)如图4,在ABC ?中,90,4,3,ACB AC BC ?

∠=== O 是边AB 的中点,过点O 的直线l 将ABC ?分割成两个部分，

若其中的一个部分与ABC ?相似，则满足条件的直线l 共有_____3_____条. 自我测试 一、填空题

1. 如图，ABC ?中，90C ∠=?，四边形DECF 是此三角形的内接正方形，已知5AC =，

3BC =，则:AE DF =_5：3______.

2. 如图，ABC ?中，EF ∥BC ,AD 交EF 于点G ，若:2:5EG GF =，则:BD DC =_

_2：5____.

3. 如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，F 为垂足，则DF

之长为_______.

E D

C

B

A

4. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN 是中位线，

对角线BD 将梯形分为两部分面积之比:1:3ABD BCD S S ??=，则S 梯形ADMN :S 梯形BCMN =___3:5____.

5. 如图，已知G 点是ABC ?的重心，若过G 点分别作边AB 、

AC 的平行线交边BC 于点D 、E 则:GDE ABC S S ??的值是_______.

6. 如图，已知，:1:3AE EB =，AD 与CE 相交于F ，且F 是AD 的

中点，则:BD DC 的值是 ___2____.

7. 两个相似三角形的面积之比是25:16，周长之差是12cm ，则较小三角形的周长是___48____. 8. 如图，AD DF FB ==，AE EG GC ==，则ADE S ?:S 四边形DEFG :S 四边形FBCG =__1:3:5_____.

二、选择题 1.

ABCD 是平行四边形，E 是BC 上一点，AE 交BD 于F ，

若:4:5BE EC =，则:BF FD 为( B ) (A)4:5 (B)4:9 (C)5:9

(D)4:10

2. 如图，D 、E 分别是ABC ?的边AB 、AC 上的点，在下列比例式中，不能

判定DE ∥BC 成立的是( B )

(A)AD

AE

DB EC = (B)

DE AE

BC AC =

(C)AB AC

AD

AE = (D)DB AB EC AC

= 3. 在Rt ABC ?中，C ∠为直角，CD AB ⊥，D 为垂足，若4AD =，6BD =，则ABC ?的面积为( C )

(A)46

(B)66

(C)106

(D)206

4. 如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则相似三角形有(D ) (A)4对

(B)5对

(C)6对

(D)7对

5. 在正三角形ABC 中，P 为BC 边上一点，D 为AC 上一点，且60APD ∠=?，1BP =，2

3

CD =

，则ABC ?的边长为( A ) (A)3

(B)4

(C)5

(D)6

6. 如果两个三角形的两条边对应相等，并且第三边上的高也对应相等，那么这两个三角形( D ) (A)面积相等

(B)相似

(C)全等

(D)以上都不对

7.

CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，如果1AB =,:4:1AC BC =,则CD =( D )

(A)

117

(B)

217

(C)

317

(D)

417

三、解答题 1.

ABC ?中，E 为BC 上一点，且BE AB

AB BC

=

，又AD BC ⊥，D 为垂足，EF AB ⊥，F 为垂足。求证：AE CD AF AC ?=?。

证：∵∠B=∠B ，∴△ABC ∽△EBA ∴∠EAB=∠C

∵AD ⊥BC ，EF ⊥AB ∴∠ADC=∠EFA=90° ∴△AFE ∽△CDA

∴

∴

2. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE CD ⊥，垂足为E ，联结AE 。F 为AE 上一点，且BFE C ∠=∠。

1) 求证：ABF EAD ??:；

2) 若4AB =，30BAE ∠=?，求AE 之长；

3) 在1)、2)的条件下，若4AD =，求BF 的长(计算结果可含根号)。 1)证：∵平行四边形ABCD ∴∠BAD=∠C ∵∠BFE=∠C ∴∠BFE=∠BAD

∵∠BFE=∠ABF+∠BAF ，∠BAD=∠DAE+∠BAF ∴∠ABF=∠DAE ∵AB ∥CD ∴∠BAF=∠AED ∴△ABF ∽△EAD 2)解：∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ∴△ABE 为Rt △ ∴

∵∠BAE=30°，∴AE=2BE ∵AB=4 ∴

∴BE=

，AE=

3)解：∵△ABF ∽△EAD ∴ ∵AE=,AB=4,AD=4 ∴BF=.

3. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AOD S p ?=，2BOC S q ?=，试求梯形ABCD

的面积。

证：∵AD ∥BC ∴△AOD ∽△COB

∴

∵, ∴

∴ ∴ 同理

∴

四、分析题

1. 如图，矩形DEFG 内接于ABC ?，AH BC ⊥，DG 与AH 相交于点K ，48BC =，16AH =。

1)

设AK 的长为x ，矩形DEFG 的周长为C ，面积为S ，分别求出()C f x =与()S g x =的解析式；

2)

内接矩形DEFG 的长和宽是否都能大于10？如果可能，那么请说出如何作出这样的矩形。

解：1)由题意，得：AK=x,AH=16,KH=16-x,BC=48

∵

∴

∴DG=3x

∴C=2(16-x+3x)=4x+32(0

2)由题意，得不等式组

解得当时，矩形长宽均大于10

2. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB BC ⊥，AD 、BC 的长分别是关于x 的方程22340

x mx m -++=的两根，:1:5ABD BCD S S ??=. 1) 求AD 、BC 的长； 2) 若BD DC ⊥，求BD 的长。

解：1)∵

∴AD:BC=1:5 ∴设AD=k,BC=5k

∵AD 、BC 的长分别是22340x mx m -++=的两根

∴

得k=2 即AD=2，BC=10.

2)∵AD ∥BC ∴∠ADB=∠DBC

∵AB ⊥BC ，BD ⊥DC ∴∠A=∠BDC=90° ∴△ADB ∽△DBC ∴ ∴

∴